Miguel Angel Olalla Acosta€¦ · Introducci on Ejemplos Ejemplo (2.1.2) Algunos grupos bien conocidos 1 Z, Q, R y C son grupos con la suma. 2 Q = Qnf0g, R = Rnf0gy C = Cnf0gson

Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos

Miguel Angel Olalla [email protected]

Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla

Octubre de 2019

Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 1 / 77

Contenido

1 Introduccion

2 Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn

3 Subgrupos. Teorema de Lagrange

4 Homomorfismos de grupos

5 Subgrupos normales. Grupo cociente


Introduccion

Permutaciones de un conjunto

(1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3

)


Introduccion


(1 2 3 4 5 6 7 8 91 8 6 4 2 9 7 5 3

)


Introduccion


Definicion (Permutacion de un conjunto)

Sea X un conjunto, se llama permutacion de X a cualquier aplicacionbiyectiva σ : X → X .

Nota

El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denota por

Sim(X ).


Introduccion


Definicion (Permutacion de un conjunto)

Sea X un conjunto, se llama permutacion de X a cualquier aplicacionbiyectiva σ : X → X .

Nota

El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto X se denota por

Sim(X ).


Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.1)

Sea X un conjunto, se verifican las siguientes propiedades:

1 La composicion de dos permutaciones cualesquiera de X es tambienuna permutacion de X .

2 La aplicacion identidad en X es una permutacion de X .

3 La inversa de cualquier permutacion de X es tambien unapermutacion de X .

4 La composicion de permutaciones verifica la propiedad asociativa.


Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.1)







Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.1)







Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.1)







Introduccion

Operacion binaria

Definicion (Operacion)

Una aplicacion de G ×G en G tal que a cada par ordenado (a, b) ∈ G ×Gle asocia un unico elemento a ? b de G se denomina operacion.


Introduccion

Grupo

Definicion (Grupo)

Un grupo es un par (G , ?), donde G es un conjunto y ? es una operacionsobre G verificando las siguentes propiedades:

1 La operacion es asociativa.

2 La operacion tiene elemento neutro. Es decir,

∃e ∈ G tal que ∀x ∈ G , x ? e = e ? x = x .

3 Cada elemento de G posee un simetrico. Es decir,

∀x ∈ G ∃x−1 ∈ G tal que x ? x−1 = x−1 ? x = e.


Introduccion

Grupo

Definicion (Grupo)








Introduccion

Grupo

Definicion (Grupo)








Introduccion

Grupo

Definicion (Grupo)








Introduccion

El Grupo Simetrico

Teorema (El grupo simetrico)

El conjunto Sim(X ) de las permutaciones de un conjunto X , junto con lacomposicion de permutaciones, es un grupo.


Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)

Algunos grupos bien conocidos

1 Z, Q, R y C son grupos con la suma.

2 Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0} son grupos con lamultiplicacion.

3 El conjunto {−1, 1} con el producto es un grupo con dos elementos.

4 El conjunto de las matrices n × n, con elementos en un cuerpo k ydeterminante no nulo, GL(n, k), es un grupo con la multiplicacion dematrices.

5 Las simetrıas de un polıgono regular junto con la operacioncomposicion es un grupo.


Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)








Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)








Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)








Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)








Introduccion

Ejemplos

Ejemplo (2.1.2)








Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.3)

El elemento neutro de un grupo (G , ?) es unico.

Proposicion (2.1.4)

En un grupo (G , ?), el simetrico de un elemento x ∈ G es unico.

Gracias a este resultado, podemos denotar al simetrico de x por x−1 (opor −x si estamos usando notacion aditiva) sin ambiguedad, puesto quesolo hay un elemento simetrico.


Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.3)


Proposicion (2.1.4)




Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.3)


Proposicion (2.1.4)




Introduccion

Propiedades

Proposicion (2.1.5)

Si x , y son elementos de un grupo (G , ?) tales que x ? y = e, entoncesy = x−1 y x = y−1.


Introduccion

Propiedades

La composicion de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa.

Ejemplo (2.1.6)

Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X

σ :

(1 2 32 1 3

)y τ :

(1 2 32 3 1

).

Entonces las composiciones de σ y τ son

τ ◦ σ :

(1 2 33 2 1

)y σ ◦ τ :

(1 2 31 3 2

).

De este ejemplo concluimos que si X tiene al menos tres elementos elgrupo Sim(X ) no es conmutativo.


Introduccion

Propiedades

La composicion de permutaciones no verifica la propiedad conmutativa.

Ejemplo (2.1.6)

Sea X = {1, 2, 3} y sean las permutaciones de X

σ :

(1 2 32 1 3

)y τ :

(1 2 32 3 1

).

Entonces las composiciones de σ y τ son

τ ◦ σ :

(1 2 33 2 1

)y σ ◦ τ :

(1 2 31 3 2

).

De este ejemplo concluimos que si X tiene al menos tres elementos elgrupo Sim(X ) no es conmutativo.


Introduccion

Grupo abeliano

Definicion (Grupo abeliano)

Dado un grupo G , si la operacion de grupo es conmutativa entonces sedice que el grupo es abeliano o conmutativo.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Ciclos y trasposiciones

Soporte de una permutacion

Definicion

Sean X un conjunto y σ una permutacion de Sim(X ). Llamamos soportede σ al conjunto

sop(σ) = {x ∈ X | σ(x) 6= x}.



Ciclos y trasposiciones

Definicion (Ciclos y trasposiciones)

Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.

Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.





Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.

Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.





Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud 0, o un 0-ciclo, si es laidentidad.Se dice que σ ∈ Sim(X ) es un ciclo de longitud r , o un r-ciclo (conr ≥ 2), si su soporte es un conjunto finito de r elementos

sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir}

donde σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . ., σ(ir−1) = ir y σ(ir ) = i1.Decimos que σ ∈ Sim(X ) es una trasposicion si es un ciclo de longitud 2.



Notacion para ciclos

Nota (2.2.1)

Sea σ ∈ Sim(X ) un ciclo tal que sop(σ) = {i1, i2, . . . , ir} donde σ(i1) = i2,σ(i2) = i3, . . ., σ(ir ) = i1.

En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().




Nota (2.2.1)


En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .

Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().




Nota (2.2.1)


En este caso el ciclo de escribira σ = (i1i2 . . . ir ), sabiendo que si x ∈ X noaparece en la lista entonces σ(x) = x .Siguiendo esta notacion podemos escribir el ciclo identidad como 1X = ().



Notacion

Nota (2.2.1)

Observese que con esta notacion tenemos diferentes representaciones deun mismo ciclo:

σ = (i1i2 . . . ir ) = (i2i3 . . . ir i1) = · · · = (ir i1 . . . ir−1).



Ejemplos

Ejemplo (2.2.2)

Veamos algunos ejemplos:

1 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por

σ :

(1 2 3 4 52 5 3 4 1

)es el 3-ciclo (1 2 5).

2 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

σ :

(1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4

)no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) escomposicion de ciclos.



Ejemplos

Ejemplo (2.2.2)

Veamos algunos ejemplos:

1 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} definida por

σ :

(1 2 3 4 52 5 3 4 1

)es el 3-ciclo (1 2 5).

2 La permutacion del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} definida por

σ :

(1 2 3 4 5 6 7 86 1 5 8 7 2 3 4

)no es un ciclo. Sin embargo τ = (1 6 2) ◦ (3 5 7) ◦ (4 8) escomposicion de ciclos.



Notacion por yuxtaposicion

En adelante, siempre que no haya posibilidad de equıvoco, prescindiremosen un grupo (G , ?) del sımbolo “?” para la operacion de dos (o mas)elementos. Escribiremos por yuxtaposicion xy en lugar de x ? y .

En particular, en el caso de permutaciones, escribiremos τσ en lugar deτ ◦ σ.




En adelante, siempre que no haya posibilidad de equıvoco, prescindiremosen un grupo (G , ?) del sımbolo “?” para la operacion de dos (o mas)elementos. Escribiremos por yuxtaposicion xy en lugar de x ? y .

En particular, en el caso de permutaciones, escribiremos τσ en lugar deτ ◦ σ.



Permutaciones disjuntas

Definicion (Permutaciones disjuntas)

Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes sondisjuntos.

Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad)

Si σ, τ ∈ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces

τσ = στ.



Permutaciones disjuntas

Definicion (Permutaciones disjuntas)

Dos permutaciones σ, τ ∈ Sim(X ) se dicen disjuntas si sus soportes sondisjuntos.

Teorema (Permutaciones disjuntas y conmutatividad)

Si σ, τ ∈ Sim(X ) son permutaciones disjuntas entonces

τσ = στ.



Ejemplo

Hay permutaciones no disjuntas que sı conmutan.

Ejemplo (2.2.3)

Sea X = {1, 2, 3, 4, 5} y sean las permutaciones de Sim(X )

σ :

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)y τ :

(1 2 3 4 55 2 1 4 3

).

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.Sin embargo, no es difıcil comprobar que

τσ = στ :

(1 2 3 4 51 4 3 2 5

).



Ejemplo


Ejemplo (2.2.3)


σ :

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)y τ :

(1 2 3 4 55 2 1 4 3

).

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.

Sin embargo, no es difıcil comprobar que

τσ = στ :

(1 2 3 4 51 4 3 2 5

).



Ejemplo


Ejemplo (2.2.3)


σ :

(1 2 3 4 53 4 5 2 1

)y τ :

(1 2 3 4 55 2 1 4 3

).

Ambas permutaciones no son disjuntas, pues sop(σ) ∩ sop(τ) = {1, 3, 5}.Sin embargo, no es difıcil comprobar que

τσ = στ :

(1 2 3 4 51 4 3 2 5

).



Notacion. Potencia de un elemento

De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .

Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:

x0 = e, x i = x i−1x .

Esta definicion la podemos extender a potencias negativas poniendo

x−i = (x−1)i .

En adelante se usara esta notacion tambien para permutaciones.




De igual manera que se usa la yuxtaposicion, xy , para expresar laoperacion de dos elementos de un grupo (G , ?), es natural definirpotencias de elementos de G .Sean x ∈ G e i un entero no negativo. La i-esima potencia de x , x i , sedefine mediante la siguiente regla recursiva:

x0 = e, x i = x i−1x .


x−i = (x−1)i .






x0 = e, x i = x i−1x .


x−i = (x−1)i .






x0 = e, x i = x i−1x .


x−i = (x−1)i .




Orden de un elemento

Definicion (Orden de un elemento)

Sea (G , ?) un grupo.Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existe un numeroentero positivo m tal que xm = e. En este caso, el orden de x , quedenotaremos o(x), es el menor entero positivo que cumple esta propiedad.

Diremos que x ∈ G tiene orden infinito si xm 6= e para todo m > 0.




Definicion (Orden de un elemento)

Sea (G , ?) un grupo.Diremos que un elemento x ∈ G tiene orden finito si existe un numeroentero positivo m tal que xm = e. En este caso, el orden de x , quedenotaremos o(x), es el menor entero positivo que cumple esta propiedad.

Diremos que x ∈ G tiene orden infinito si xm 6= e para todo m > 0.



Elementos de orden infinito

Proposicion (2.2.4)

Un elemento x ∈ G tiene orden infinito si y solo si todas sus potencias xk

con k ∈ Z son distintas.




Proposicion (2.2.5)

Sean G un grupo y x ∈ G . Se tienen las siguientes propiedades:

1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.

2 Si x ∈ G tiene orden finito, entonces x−1 tambien y o(x) = o(x−1).

3 Si x ∈ G tiene orden infinito, x−1 tiene orden infinito.

4 Si G es finito, todo elemento de G tiene orden finito.

5 Si o(x) = m y xn = e, entonces m es un divisor de n.Dicho de otra forma, las potencias de x iguales a e son exactamentelas de la forma xkm con k ∈ Z.




Proposicion (2.2.5)


1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.








Proposicion (2.2.5)


1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.








Proposicion (2.2.5)


1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.








Proposicion (2.2.5)


1 o(x) = 1⇐⇒ x = e.







Orden de un ciclo

Proposicion (Orden de un ciclo)

El orden de un ciclo de longitud m ≥ 1 es m.



Expresion en ciclos disjuntos

Teorema (Expresion en ciclos disjuntos)

Toda permutacion con soporte finito puede expresarse como producto deciclos disjuntos, ademas esta descomposicion es unica salvo el orden de losciclos.



Descomposicion en ciclos disjuntos

Ejemplo (2.2.6)

En X = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} consideremos la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

).

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

Luego σ = (1354)(26).




Ejemplo (2.2.6)


σ :

(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

).

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

Luego σ = (1354)(26).




Ejemplo (2.2.6)


σ :

(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

).

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

Luego σ = (1354)(26).




Ejemplo (2.2.6)


σ :

(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

).

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

Luego σ = (1354)(26).




Ejemplo (2.2.6)


σ :

(1 2 3 4 5 6 73 6 5 1 4 2 7

).

1 = {1, 3, 5, 4} = 3 = 5 = 4 (1354),

2 = {2, 6} = 6 (26),

7 = {7} ().

Luego σ = (1354)(26).



Descomposicion como producto de transposiciones

Corolario (2.2.7)

Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutacion deSim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto detrasposiciones.

La descomposicion en producto de trasposiciones no es unica,¿sabrıas poner un ejemplo que ilustre este hecho?



Descomposicion como producto de transposiciones

Corolario (2.2.7)

Sea X un conjunto con al menos dos elementos. Toda permutacion deSim(X ) con soporte finito puede expresarse como producto detrasposiciones.

La descomposicion en producto de trasposiciones no es unica,¿sabrıas poner un ejemplo que ilustre este hecho?



Orden de una permutacion con soporte finito

Corolario (2.2.9)

Toda permutacion con soporte finito tiene orden finito.

¡Ojo! En la demostracion del corolario anterior no hemos probado que elorden de σ sea el producto de los ordenes de los ciclos en los que sedescompone. De hecho es un buen ejercicio para el proximo tema (Elanillo de los numeros enteros) demostrar que el orden de σ es el mınimocomun multiplo de los ni .



Orden de una permutacion con soporte finito

Corolario (2.2.9)

Toda permutacion con soporte finito tiene orden finito.

¡Ojo! En la demostracion del corolario anterior no hemos probado que elorden de σ sea el producto de los ordenes de los ciclos en los que sedescompone. De hecho es un buen ejercicio para el proximo tema (Elanillo de los numeros enteros) demostrar que el orden de σ es el mınimocomun multiplo de los ni .


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn El grupo Sn

Orden de un grupo

Definicion (Orden de un grupo)

Sea (G , ?) un grupo. Definimos su orden, que notaremos por |G |, como elcardinal del conjunto G .

Nota

Sea el conjunto X = {1, 2, . . . , n}, en este caso notaremos al conjunto delas permutaciones de n elementos por Sn.

Teorema (Orden de Sn)

El orden del grupo Sn es |Sn| = n!.



Orden de un grupo



Nota






Orden de un grupo



Nota






Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones

Teorema (Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones)

Toda permutacion de Sn se descompone de manera unica, salvo orden,como producto conmutativo de ciclos disjuntos.

Ademas toda permutacionde Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no demanera unica.



Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones

Teorema (Descomposicion en ciclos disjuntos y trasposiciones)

Toda permutacion de Sn se descompone de manera unica, salvo orden,como producto conmutativo de ciclos disjuntos. Ademas toda permutacionde Sn se puede expresar como producto de trasposiciones, esta vez no demanera unica.


Ciclos y trasposiciones. El grupo Sn Permutaciones pares e impares

Inversiones en una permutacion

Definicion (Inversiones en una permutacion)

Se dice que un par (i , j) es una inversion de σ ∈ Sn, si

i < j y σ(i) > σ(j).



Signo de una permutacion

Definicion (Signo de una permutacion)

Si σ ∈ Sn tiene un numero par de inversiones, diremos que σ es par, y quesigno(σ) = 1.

Si σ ∈ Sn tiene un numero impar de inversiones, diremos que σ es impar,y que signo(σ) = −1.



Contando inversiones

Ejemplo (2.2.12)

¿Es la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2

)par o impar?

Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.




Ejemplo (2.2.12)

¿Es la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2

)par o impar?

Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.




Ejemplo (2.2.12)

¿Es la permutacion

σ :

(1 2 3 4 5 6 76 3 1 5 4 7 2

)par o impar?

Hay 11 inversiones, luego signo(σ) = −1 y σ es una permutacion impar.Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 35 / 77


Signo de una trasposicion

Proposicion (2.2.13)

Las trasposiciones son siempre impares.



Signo de una trasposicion


Las trasposiciones son siempre impares.



Propiedades de signo


Sean σ, τ ∈ Sn. Se satisfacen las siguientes propiedades:

1 signo(στ) = signo(σ) signo(τ).

2 signo(σ−1) = signo(σ).



Signo del producto

Sean τ = (1 3 7 6 4 2) y σ = (1 5 6)(2 7 3 4) permutaciones de S7.Entonces στ es:

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

στ 22− 2 · 4 = 14 inversiones



Signo del producto


1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones




Signo del producto


1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones




Signo del producto


1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones




Signo del producto


1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones




Signo del producto


1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones

1 2 3 4 5 6 7

τ 7 inversiones

σ 15 inversiones




Trasposiciones y signo

Corolario (2.2.15)

Una permutacion σ ∈ Sn es par (impar) si y solo si es producto de unnumero par (impar) de trasposiciones.



Formula de Cauchy

Teorema (Formula de Cauchy)

Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces

signo(σ) = (−1)m−c ,

siendo m = #(sop(σ)) el numero de elementos del soporte de σ.

En particular, el signo de un ciclo de longitud m es (−1)m−1. Luego laparidad del ciclo esta cambiada respecto de su longitud: un ciclo delongitud par es impar y un ciclo de longitud impar es par.



Formula de Cauchy

Teorema (Formula de Cauchy)

Sea σ ∈ Sn el producto de c ciclos disjuntos entonces

signo(σ) = (−1)m−c ,

siendo m = #(sop(σ)) el numero de elementos del soporte de σ.

En particular, el signo de un ciclo de longitud m es (−1)m−1. Luego laparidad del ciclo esta cambiada respecto de su longitud: un ciclo delongitud par es impar y un ciclo de longitud impar es par.


Subgrupos. Teorema de Lagrange

Subgrupo

Definicion (Subgrupo)

Sea (G , ?) un grupo. Un subconjunto H de G se dice que es un subgrupode (G , ?) si (H, ?) es un grupo. Es decir, si el conjunto H, y la operaciondefinida en G , cumplen las propiedades de la definicion de grupo.

Un subgrupo es, por tanto, un grupo dentro de otro grupo con la mismaoperacion.



Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)

Vimos que los conjuntos de numeros Z,Q,R y C son grupos abelianos conla suma. De hecho es una cadena de subgrupos Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

Lo mismo ocurre con los grupos Q∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} yC∗ = C \ {0} con la multiplicacion. Es tambien una cadena de subgruposQ∗ ⊂ R∗ ⊂ C∗.

Sabemos que GL(n, k), el conjunto de las matrices invertibles n × n conelementos en un cuerpo k , es un grupo con la multiplicacion de matrices.Sea SL(n, k) el subconjunto de GL(n, k) formado por las matrices condeterminante igual a 1. Comprobamos que SL(n, k) es un subgrupo deGL(n, k).



Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)






Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)






Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)

El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones.

Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)

(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()

(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)

(1432) (1432) () (1234) (13)(24)

Se da ası la circunstancia de que un subgrupo de un grupo noconmutativo, como S4, puede ser conmutativo.



Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)

El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)

(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()

(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)

(1432) (1432) () (1234) (13)(24)




Ejemplos

Ejemplo (2.3.1)

El subconjunto de S4, C = {(), (1234), (13)(24), (1432)}, es un subgrupocon la composicion de permutaciones. Veamos la tabla de multiplicar delos elementos de C :

◦ () (1234) (13)(24) (1432)

() () (1234) (13)(24) (1432)

(1234) (1234) (13)(24) (1432) ()

(13)(24) (13)(24) (1432) () (1234)

(1432) (1432) () (1234) (13)(24)




¿Es H ⊂ G un subgrupo?

Si G es un grupo y H ⊂ G es finito, para comprobar que es subgrupo essuficiente hacer la tabla de multiplicar y razonar como en el ejemploanterior.

Si H es infinito hay que demostrar que la operacion es interna entreelementos de H, que el elemento neutro pertenece a H y que el simetricode cada elemento de H esta tambien en H.

En cualquier caso, la propiedad asociativa se “hereda” de G .















Subgrupos

El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedada la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.

Proposicion (2.3.2)

Sean (G , ?) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacıo. Las condicionessiguientes son equivalentes:

1 H es un subgrupo de (G , ?).

2 H es no vacıo y se satisface la siguiente propiedad

∀x , y ∈ H, xy−1 ∈ H.



Subgrupos

El siguiente resultado nos permite “ahorrarnos” verificar alguna propiedada la hora de demostrar que un subconjunto es subgrupo.

Proposicion (2.3.2)

Sean (G , ?) un grupo y H ⊂ G un subconjunto no vacıo. Las condicionessiguientes son equivalentes:

1 H es un subgrupo de (G , ?).

2 H es no vacıo y se satisface la siguiente propiedad

∀x , y ∈ H, xy−1 ∈ H.



El grupo alternado

Teorema (El grupo alternado An)

El conjunto An de las permutaciones pares de Sn es un subgrupo llamadogrupo alternado.



El grupo alternado

Lema

Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto. Entonces para todo x ∈ Glos conjuntos A y xA = {xa | a ∈ A} son equipotentes.

Proposicion (2.3.4)

Sea H ∈ Sn un subgrupo que tiene alguna permutacion impar, entonces Hposee tantas permutaciones pares como impares.

Corolario (2.3.5)

Si n ≥ 2, el numero de elementos de An es |An| = n!/2, es decir, haytantas permutaciones pares como impares.



El grupo alternado

Lema


Proposicion (2.3.4)


Corolario (2.3.5)




El grupo alternado

Lema


Proposicion (2.3.4)


Corolario (2.3.5)




Subgrupo generado

Teorema (Subgrupo generado)

Sean (G , ?) un grupo y A ⊂ G un subconjunto no vacıo. SeaA−1 = {x−1 ∈ G | x ∈ A} el conjunto de los elementos simetricos a los deA. Entonces el conjunto que se obtiene al operar sucesiones arbitrarias deelementos de A y A−1,

〈A〉 = {x1 ? · · · ? xn | xi ∈ A ∪ A−1, n ≥ 1},

es un subgrupo de G llamado subgrupo generado por A.



Subgrupo generado

Ejemplo (2.3.6)

En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉.

Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.

◦ () (124) (12)

(142) (14) (24)

() () (124) (12)

(142) (14) (24)

(124) (124) (142) (14)

() (24) (12)

(12) (12) (24) ()

(14) (142) (124)

(142) (142) () (24) (124) (12) (14)

(14) (14) (12) (124) (24) () (142)

(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.



Subgrupo generado

Ejemplo (2.3.6)

En el grupo S4 calcular todos los elementos del subgrupoH = 〈(124), (12)〉. Hay que ir operando los elementos (124), (12) y susinversos, adjuntando a la lista los nuevos elementos que se obtengan.

◦ () (124) (12)

(142) (14) (24)

() () (124) (12)

(142) (14) (24)

(124) (124) (142) (14)

() (24) (12)

(12) (12) (24) ()

(14) (142) (124)

(142) (142) () (24) (124) (12) (14)

(14) (14) (12) (124) (24) () (142)

(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.



Subgrupo generado

Ejemplo (2.3.6)


◦ () (124) (12)

(142) (14) (24)

() () (124) (12)

(142) (14) (24)

(124) (124) (142) (14)

() (24) (12)

(12) (12) (24) ()

(14) (142) (124)

(142) (142) () (24) (124) (12) (14)

(14) (14) (12) (124) (24) () (142)

(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.



Subgrupo generado

Ejemplo (2.3.6)


◦ () (124) (12) (142) (14) (24)

() () (124) (12) (142) (14) (24)

(124) (124) (142) (14) () (24) (12)

(12) (12) (24) () (14) (142) (124)

(142) (142) () (24) (124) (12) (14)

(14) (14) (12) (124) (24) () (142)

(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.



Subgrupo generado

Ejemplo (2.3.6)


◦ () (124) (12) (142) (14) (24)

() () (124) (12) (142) (14) (24)

(124) (124) (142) (14) () (24) (12)

(12) (12) (24) () (14) (142) (124)

(142) (142) () (24) (124) (12) (14)

(14) (14) (12) (124) (24) () (142)

(24) (24) (14) (142) (12) (124) ()

En este caso H = {(), (124), (142), (12), (14), (24)}.



Grupo cıclico

Definicion (Grupo cıclico)

Se dice que un grupo G es cıclico si existe a ∈ G tal que

G = 〈a〉 = 〈{a}〉 = {am | m ∈ Z}.



Grupo cıclico

Ejemplo (2.3.7)

El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo.

El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.

De hecho, para comprobar si un grupo finito de orden m es o no cıclico,hay que verificar si existe o no en el grupo algun elemento de orden m. EnS3 no hay elementos de orden 6 mientras que en A3 hay un par deelementos de orden 3.

El grupo de los enteros con la suma, (Z,+), es cıclico infinito, puesZ = 〈1〉 = 〈−1〉.



Grupo cıclico

Ejemplo (2.3.7)

El grupo S3 no es cıclico, pues no existe ninguna permutacion que generetodo el grupo. El grupo alternado A3 = {(), (123), (132)} es cıclico, puesA3 = 〈(123)〉 = 〈(132)〉.





Grupo cıclico

Ejemplo (2.3.7)






Grupo cıclico

Ejemplo (2.3.7)





Subgrupos. Teorema de Lagrange El teorema de Lagrange

Teorema de Lagrange

Proposicion

Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Entonces los conjuntosxH = {xh | h ∈ H} para cada x ∈ G forman una particion de G .

Nota

Notaremos por G/H a la particion anterior. Es decir,

G

H= {xH | x ∈ G}.

Definicion (Indice de un subgrupo)

Dado un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , el ındice de H en G , denotado|G : H|, es el numero de elementos de G/H. Es decir:

|G : H| = #(G/H)



Teorema de Lagrange

Proposicion


Nota


G

H= {xH | x ∈ G}.



|G : H| = #(G/H)



Teorema de Lagrange

Proposicion


Nota


G

H= {xH | x ∈ G}.



|G : H| = #(G/H)



Teorema de Lagrange

Teorema (Teorema de Lagrange)

Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G |.

Teorema (Indice de un subgrupo en un grupo finito)

Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces

|G : H| =|G ||H|



Teorema de Lagrange

Teorema (Teorema de Lagrange)

Sea G un grupo finito, H ⊂ G un subgrupo. Entonces |H| divide a |G |.

Teorema (Indice de un subgrupo en un grupo finito)

Si G es un grupo finito y H ⊂ G es un subgrupo, entonces

|G : H| =|G ||H|



Teorema de Lagrange

Corolario (2.3.13)

Sea G un grupo finito y sea x ∈ G , entonces el orden de x divide al ordende G .

Corolario (2.3.14)

Si G es un grupo de orden un numero primo, entonces G es cıclico.



Teorema de Lagrange

Corolario (2.3.13)

Sea G un grupo finito y sea x ∈ G , entonces el orden de x divide al ordende G .

Corolario (2.3.14)

Si G es un grupo de orden un numero primo, entonces G es cıclico.



Una relacion de equivalencia

Observacion

Dados un grupo G y un subgrupo H ⊂ G , hemos visto que los conjuntosxH, con x ∈ G , forman una particion de G . Esto nos permite definir unarelacion de equivalencia.

Definicion (2.3.8)

Sean G un grupo y H ⊂ G un subgrupo. Sobre G definimos la relacion deequivalencia ∼H de la manera siguiente: Dados x , y ∈ G ,

x ∼H y ⇔ xH = yH.

Observacion

Observese quexH = yH ⇔ x−1y ∈ H.




Observacion


Definicion (2.3.8)



Observacion





Observacion


Definicion (2.3.8)



Observacion





Nota (2.3.10)

Lo usual es notar al conjunto cociente de G por la relacion de equivalencia∼H como

G

H:=

G

∼H.



Clases a izquierda y a derecha

Nota (2.3.12)

Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda.

Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:

x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.

En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha. En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).

Cuando coinciden, se dice que el grupo H es normal: esto se estudiara alfinal de este tema.




Nota (2.3.12)

Las clases de equivalencia para ∼H , de la forma xH, se llaman clases aizquierda. Observemos que podrıamos haber definido otra relacion deequivalencia H∼ de la siguiente forma:

x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.






Nota (2.3.12)


x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.

En este caso las clases de equivalencia son de la forma Hx , con x ∈ G , yse llaman clases a derecha.

En principio, las clases a izquierda no tienenpor que coincidir con las clases a la derecha (salvo en el caso evidente1H = H1 = H).





Nota (2.3.12)


x H∼y ⇔ Hx = Hy ⇔ yx−1 ∈ H.




Homomorfismos de grupos


Definicion (Homomorfismo de grupos)

Dados dos grupos (G , ?) y (H, ∗), un homomorfismo

f : (G , ?) −→ (H, ∗)

es una aplicacion f : G → H que sastisface

f (x1 ? x2) = f (x1) ∗ f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .




Seguiremos usando la yuxtaposicion para expresar la operacion entre doselementos. Aunque ahora intervienen dos grupos con operaciones quepueden ser distintas, normalmente por el contexto sabremos si loselementos que intervienen estan en el primer grupo o en el segundo. Ası,escribiremos por ejemplo

f (x1x2) = f (x1)f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .

Igualmente se notara por e tanto al elemento neutro de G como al de H.Si hiciera falta distinguir, para evitar confusiones, se usara eG y eHrespectivamente.




Seguiremos usando la yuxtaposicion para expresar la operacion entre doselementos. Aunque ahora intervienen dos grupos con operaciones quepueden ser distintas, normalmente por el contexto sabremos si loselementos que intervienen estan en el primer grupo o en el segundo. Ası,escribiremos por ejemplo

f (x1x2) = f (x1)f (x2), ∀x1, x2 ∈ G .

Igualmente se notara por e tanto al elemento neutro de G como al de H.Si hiciera falta distinguir, para evitar confusiones, se usara eG y eHrespectivamente.



Ejemplos de homomorfismos

1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).

2.- La inclusion de un subgrupo K ⊂ G , i : (K , ?)→ (G , ?).

3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es un

homomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.

5.- Si (G , ∗) es un grupo abeliano, la exponenciacion f : G → G , definidacomo f (x) = xn es un homomorfismo f : (G , ∗)→ (G , ∗) para todoentero n.




1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).








1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).


3.- El signo de una permutacion, signo: Sn → {±1}.

4.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = n · x es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para todo entero n.





1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).








1.- La identidad, 1G : (G , ?)→ (G , ?).








6.- Si GL(n,R) es el grupo de matrices invertibles n × n de numerosreales, el determinante det : GL(n,R)→ R \ {0} es un homomorfismorespecto de la multiplicacion en ambos lados.

7.- La aplicacion exponencial f : R→ (0,+∞), f (x) = ex , es unhomomorfismo f : (R,+)→ ((0,+∞), ·).

8.- Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , la aplicacion cx : G → Gdada por cx(y) = x−1yx es un homomorfismo, llamado conjugacionpor x .















Ejemplos de aplicaciones que no son homomorfismos

1.- Si (G , ∗) no es abeliano, la exponenciacion f : G → G definida en elanterior punto 5 no es un homomorfismo, al menos para n = 2.

2.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = xn no es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para ningun n ≥ 2.



Ejemplos de aplicaciones que no son homomorfismos

1.- Si (G , ∗) no es abeliano, la exponenciacion f : G → G definida en elanterior punto 5 no es un homomorfismo, al menos para n = 2.

2.- La aplicacion f : Z→ Z definida como f (x) = xn no es unhomomorfismo f : (Z,+)→ (Z,+) para ningun n ≥ 2.



Propiedades

Proposicion (2.4.2)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un homomorfismo,

f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .

Es decir, los homomorfismos preservan el elemento neutro y los simetricos.

Proposicion (2.4.3)

Dados tres grupos y dos homomorfismos como en el siguiente diagrama,

(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),

la composiciong ◦ f : (G , ?) −→ (K , •)

tambien es un homomorfismo.



Propiedades

Proposicion (2.4.2)


f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .


Proposicion (2.4.3)


(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),


tambien es un homomorfismo.



Propiedades

Proposicion (2.4.2)


f (e) = e, f (x−1) = f (x)−1, ∀x ∈ G .


Proposicion (2.4.3)


(G , ?)f−→ (H, ∗) g−→ (K , •),


tambien es un homomorfismo.Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Introduccion a la teorıa de grupos Octubre de 2019 63 / 77


Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos

Definicion (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)

Decimos que un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo,epimorfismo o isomorfismo si la aplicacion f es inyectiva, sobreyectiva obiyectiva, respectivamente. Los isomorfismos se denotan del siguientemodo

f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).

Ejemplo (2.4.4)

De los homomorfismos del ejemplo anterior, 2 y 4 son monomorfismos, y 3y 6 son epimorfismos y 1, 7 y 8 son isomorfismos. En general 5 no es unmonomorfismo ni un epimorfismo.



Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos

Definicion (Monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos)

Decimos que un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo,epimorfismo o isomorfismo si la aplicacion f es inyectiva, sobreyectiva obiyectiva, respectivamente. Los isomorfismos se denotan del siguientemodo

f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).

Ejemplo (2.4.4)

De los homomorfismos del ejemplo anterior, 2 y 4 son monomorfismos, y 3y 6 son epimorfismos y 1, 7 y 8 son isomorfismos. En general 5 no es unmonomorfismo ni un epimorfismo.



Isomorfismos

Proposicion (2.4.5)

La composicion de dos isomorfismos es un isomorfismo.

Proposicion (2.4.6)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo la aplicacion inversa f −1 : H → Ges un isomorfismo

f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).

Ejemplo (2.4.7)

Los inversos de los isomorfismos 1, 7 y 8 del ejemplo anterior son,respectivamente, 1−1

G = 1G , el isomorfismo f −1 : ((0,+∞), ·)→ (R,+)definido por f −1(x) = log(x), y el isomorfismo (cx)−1 = cx−1 definido porcx−1(y) = xyx−1.



Isomorfismos

Proposicion (2.4.5)


Proposicion (2.4.6)


f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).

Ejemplo (2.4.7)





Isomorfismos

Proposicion (2.4.5)


Proposicion (2.4.6)


f −1 : (H, ∗) −→ (G , ?).

Ejemplo (2.4.7)





Grupos isomorfos

Definicion (Grupos isomorfos)

Dos grupos (G , ?) y (H, ∗) son isomorfos si existe un isomorfismo

f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).

Corolario (2.4.8)

La relacion de ser isomorfos es de equivalencia.



Grupos isomorfos

Definicion (Grupos isomorfos)

Dos grupos (G , ?) y (H, ∗) son isomorfos si existe un isomorfismo

f : (G , ?)∼=−→ (H, ∗).

Corolario (2.4.8)

La relacion de ser isomorfos es de equivalencia.



Nucleo de un homomorfismo

Definicion (Nucleo de un homomorfismo)

Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), el nucleo de f es

Ker(f ) = {x ∈ G ; f (x) = e} ⊂ G .

Ejemplo (2.4.9)

El nucleo de signo: Sn → {±1} es el grupo alternado.



Nucleo de un homomorfismo

Definicion (Nucleo de un homomorfismo)

Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), el nucleo de f es

Ker(f ) = {x ∈ G ; f (x) = e} ⊂ G .

Ejemplo (2.4.9)

El nucleo de signo: Sn → {±1} es el grupo alternado.



Nucleo e imagen de un homorfismo


Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), su nucleo (Ker(f ), ?) es unsubgrupo de (G , ?), y su imagen (Im(f ), ∗) es un subgrupo de (H, ∗).


Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), se tiene:

1 f es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {e}.2 f es sobreyectivo si y solo si Im(f ) = H.



Nucleo e imagen de un homorfismo


Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), su nucleo (Ker(f ), ?) es unsubgrupo de (G , ?), y su imagen (Im(f ), ∗) es un subgrupo de (H, ∗).


Dado un homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗), se tiene:

1 f es inyectivo si y solo si Ker(f ) = {e}.2 f es sobreyectivo si y solo si Im(f ) = H.


Subgrupos normales. Grupo cociente

Subgrupos normales

Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .

Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):

cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.

El grupo x−1Kx podrıa ser el propio K , o podrıa ser distinto. Diremos queK es normal en G cuando obtenemos siempre el propio K , sea cual sea elelemento x ∈ G escogido.



Subgrupos normales

Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):

cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.




Subgrupos normales

Dado un grupo (G , ?) y un elemento x ∈ G , recordemos el isomorfismocx : G → G que conjuga por x a los elementos de G , es decir,cx(y) = x−1yx para todo y ∈ G .Dado un subgrupo K ⊂ G , podemos aplicarle el isomorfismo cx a todos suselementos y obtendremos un subgrupo de G (el conjugado de K por x):

cx(K ) = x−1Kx = {x−1yx ; y ∈ K}.




Subgrupos normales

Definicion (Subgrupos normales)

Dado un grupo (G , ?) y un subgrupo K ⊂ G , decimos que K es normalen G si

x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .

Lema (2.5.1)

Si K ⊂ G es un subgrupo normal, la inclusion de la definicion anterior esde hecho una igualdad.

Del lema anterior se deduce que un subgrupo K es normal en G si y solo siaK = Ka para todo a ∈ G . En otras palabras, un subgrupo K es normalen G si y solo si las clases a izquierda (definidas para K) coincidencon las clases a derecha.



Subgrupos normales



x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .

Lema (2.5.1)





Subgrupos normales



x−1Kx ⊂ K , ∀x ∈ G .

Lema (2.5.1)





Subgrupos normales

Es importante observar que la igualdad x−1Kx = K no implica que loselementos de K quedan fijos al conjugarlos por x . Lo que queda fijo es elconjunto K , pero sus elementos pueden permutarse. Por tanto, K esnormal si y solo si conjugar K por x corresponde a una permutacion de K ,para todo x ∈ G .Esta permutacion puede ser trivial o no. En el siguiente caso, lapermutacion sı es trivial para todo x .

Proposicion (2.5.2)

Si (G , ?) es abeliano, todo subgrupo K ⊂ G es normal.



Subgrupos normales

Es importante observar que la igualdad x−1Kx = K no implica que loselementos de K quedan fijos al conjugarlos por x . Lo que queda fijo es elconjunto K , pero sus elementos pueden permutarse. Por tanto, K esnormal si y solo si conjugar K por x corresponde a una permutacion de K ,para todo x ∈ G .Esta permutacion puede ser trivial o no. En el siguiente caso, lapermutacion sı es trivial para todo x .

Proposicion (2.5.2)

Si (G , ?) es abeliano, todo subgrupo K ⊂ G es normal.



Subgrupos normales

Ejemplo (2.5.3)

Los subgrupos trivial y total {e},G ⊂ G son normales en cualquier grupoG . El subgrupo K = {1, (1 2)} ⊂ S3 no es normal puesto que

(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .

El nucleo de un homomorfismo es un subgrupo normal...

Proposicion (2.5.4)

El nucleo de f : (G , ?)→ (H, ∗) es un subgrupo normal de G .



Subgrupos normales

Ejemplo (2.5.3)


(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .


Proposicion (2.5.4)




Subgrupos normales

Ejemplo (2.5.3)


(1 3)−1(1 2)(1 3) = (1 3)(1 2)(1 3) = (2 3) /∈ K .


Proposicion (2.5.4)




Grupo cociente

Teorema (Grupo cociente)

Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo normal entonces elconjunto cociente G/K posee una unica estructura de grupo (G/K , ?) talque la proyeccion natural p : G → G/K es un homomorfismo

p : (G , ?) −→ (G/K , ?).

... y todo subgrupo normal es nucleo de un homomorfismo.

Proposicion (2.5.5)

El nucleo de la proyeccion natural p : (G , ?)→ (G/K , ?) es Ker p = K .



Grupo cociente



p : (G , ?) −→ (G/K , ?).


Proposicion (2.5.5)




Grupo cociente



p : (G , ?) −→ (G/K , ?).


Proposicion (2.5.5)




La imagen de un homomorfismo no es un subgrupo normal

Ejemplo (2.5.6)

Si (G , ?) es un grupo y K ⊂ G es un subgrupo cualquiera, la imagen de lainclusion i : (K , ?)→ (G , ?) es Im(i) = K , por tanto la imagen de unhomomorfismo en general no es normal en la llegada.



Factorizacion canonica

Teorema (Factorizacion canonica)

Todo homomorfismo f : (G , ?)→ (H, ∗) factoriza como la composicionf = i ◦ f ◦ p de un epimorfismo p, un isomorfismo f y un monomorfismo idel siguiente modo

(G , ?)f //

p

��

(H, ∗)

(G/Ker(f ), ?)∼=f// (Im(f ), ∗)

i

OO

Aquı p es la proyeccion natural sobre el cociente e i es la inclusion delsubgrupo imagen.




Corolario (2.5.7)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un epimorfismo entoncesf : (G/Ker(f ), ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo.

Corolario (2.5.8)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo entoncesf : (G , ?)→ (Im(f ), ∗) es un isomorfismo




Corolario (2.5.7)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un epimorfismo entoncesf : (G/Ker(f ), ?)→ (H, ∗) es un isomorfismo.

Corolario (2.5.8)

Si f : (G , ?)→ (H, ∗) es un monomorfismo entoncesf : (G , ?)→ (Im(f ), ∗) es un isomorfismo


Subgrupos normales. Grupo cociente Teorema de Cayley

Teorema de Cayley

Teorema (Teorema de Cayley)

Todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. Siel grupo es finito de orden n, entonces es isomorfo a un subgrupo de Sn.


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Miguel Angel Olalla Acosta€¦ · Introducci on Ejemplos Ejemplo (2.1.2) Algunos grupos bien conocidos 1 Z, Q, R y C son grupos con la suma. 2 Q = Qnf0g, R = Rnf0gy C = Cnf0gson