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Capıtulo 3: El anillo de los numeros enteros
Miguel Angel Olalla [email protected]
Departamento de AlgebraUniversidad de Sevilla
Noviembre de 2018
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 1 / 79
Contenido
1 Introduccion: anillos e ideales
2 Divisibilidad en Z
3 Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
4 Congruencias
5 Los teoremas de Fermat y de Euler
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 2 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Anillo
Definicion (Anillo)
Un anillo es una terna (R,+, ·) donde R es un conjunto y + y · sonoperaciones internas binarias sobre R, llamadas suma y productorespectivamente, tales que se satisfacen las siguientes propiedades:
1 El par (R,+) es un grupo abeliano, cuyo elemento neutro llamaremos“cero” y lo notaremos por 0.
2 La operacion · es asociativa: ∀a, b, c ∈ R es a · (b · c) = (a · b) · c .3 La operacion · es distributiva a derecha y a izquierda respecto de +,
es decir: ∀a, b, c ∈ R
a · (b + c) = a · b + a · c y (a + b) · c = a · c + b · c .
4 La operacion · tiene un elemento neutro, que llamaremos “uno” y lonotaremos por 1: 1 · a = a = a · 1 para todo a ∈ R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 3 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Anillo conmutativo. Anillo unitario
Definicion (Anillo conmutativo)
Sea (R,+, ·) un anillo. Si ademas la operacion producto es conmutativa(∀a, b ∈ R a · b = b · a) se dice que el anillo es conmutativo o abeliano.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 4 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Ejemplos de anillos (Ejemplo 3.1.1)
1.- Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos. Laestructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de
grupo, puesto que el producto de dos enteros xy = y+x· · · +y es la
suma del numero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C,obviamente.
2.- El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillocon respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no esconmutativo.
3.- Si A es un anillo conmutativo, el conjunto A[x1, . . . , xn] de lospolinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambien unanillo conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 5 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Ejemplos de anillos (Ejemplo 3.1.1)
1.- Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos. Laestructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de
grupo, puesto que el producto de dos enteros xy = y+x· · · +y es la
suma del numero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C,obviamente.
2.- El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillocon respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no esconmutativo.
3.- Si A es un anillo conmutativo, el conjunto A[x1, . . . , xn] de lospolinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambien unanillo conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 5 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Ejemplos de anillos (Ejemplo 3.1.1)
1.- Los conjuntos de numeros Z, Q, R y C son anillos conmutativos. Laestructura de anillo de Z viene determinada por su estructura de
grupo, puesto que el producto de dos enteros xy = y+x· · · +y es la
suma del numero y x veces. Esto no ocurre para Q, R y C,obviamente.
2.- El conjunto M(n) de las matrices n × n sobre Q, R o C es un anillocon respecto a la suma y al producto de matrices. Este anillo no esconmutativo.
3.- Si A es un anillo conmutativo, el conjunto A[x1, . . . , xn] de lospolinomios en n indeterminadas con coeficientes en A es tambien unanillo conmutativo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 5 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Algunas propiedades
Proposicion (3.1.2)
En un anillo A se verifican las siguientes propiedades:
1) 0 · a = 0 = a · 0 para todo a ∈ A.
2) (−1) · a = −a = a · (−1) para todo a ∈ A.
Observacion (Anillo nulo)
Un anillo R se dice que es nulo si tiene un unico elemento, en cuyo caso1 = 0. Recıprocamente, si en un anillo R se tiene 1 = 0, entonces R seraun anillo nulo, pues para todo elemento a ∈ R de verificaraa = 1 · a = 0 · a = 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 6 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Algunas propiedades
Proposicion (3.1.2)
En un anillo A se verifican las siguientes propiedades:
1) 0 · a = 0 = a · 0 para todo a ∈ A.
2) (−1) · a = −a = a · (−1) para todo a ∈ A.
Observacion (Anillo nulo)
Un anillo R se dice que es nulo si tiene un unico elemento, en cuyo caso1 = 0. Recıprocamente, si en un anillo R se tiene 1 = 0, entonces R seraun anillo nulo, pues para todo elemento a ∈ R de verificaraa = 1 · a = 0 · a = 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 6 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Unidades de un anillo
Definicion (Unidades)
Sea R un anillo. Se dice que un elemento x ∈ R es una unidad en R sitiene un inverso multiplicativo, es decir, si existe un elemento y ∈ R talque xy = yx = 1. En tal caso, el elemento y es unico y se llamara elinverso de x y de denotara por x−1.Notaremos por R∗ al subconjunto de las unidades de R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 7 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Unidades de un anillo. Ejemplos
Ejemplo (3.1.3)
1 Las unidades de Z son 1 y −1, es decir, Z∗ = {1,−1}. Sin embargoQ∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0}.
2 Las unidades de M(n) son las matrices invertibles.
3 Sea Q[x ] el anillo de polinomios en la indeterminada x concoeficientes racionales, entonces
Q[x ]∗ = Q∗ = Q \ {0}.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 8 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Unidades de un anillo. Ejemplos
Ejemplo (3.1.3)
1 Las unidades de Z son 1 y −1, es decir, Z∗ = {1,−1}. Sin embargoQ∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0}.
2 Las unidades de M(n) son las matrices invertibles.
3 Sea Q[x ] el anillo de polinomios en la indeterminada x concoeficientes racionales, entonces
Q[x ]∗ = Q∗ = Q \ {0}.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 8 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
Unidades de un anillo. Ejemplos
Ejemplo (3.1.3)
1 Las unidades de Z son 1 y −1, es decir, Z∗ = {1,−1}. Sin embargoQ∗ = Q \ {0}, R∗ = R \ {0} y C∗ = C \ {0}.
2 Las unidades de M(n) son las matrices invertibles.
3 Sea Q[x ] el anillo de polinomios en la indeterminada x concoeficientes racionales, entonces
Q[x ]∗ = Q∗ = Q \ {0}.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 8 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
El grupo de las unidades. Cuerpos
Proposicion (3.1.4)
Si R es un anillo, el conjunto R∗ de las unidades de R es un grupo para elproducto del anillo.
Definicion (Cuerpo)
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto decero es una unidad, i.e. R∗ = R \ {0}.
Ejemplo (3.1.5)
Q, R y C son cuerpos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 9 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
El grupo de las unidades. Cuerpos
Proposicion (3.1.4)
Si R es un anillo, el conjunto R∗ de las unidades de R es un grupo para elproducto del anillo.
Definicion (Cuerpo)
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto decero es una unidad, i.e. R∗ = R \ {0}.
Ejemplo (3.1.5)
Q, R y C son cuerpos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 9 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos y cuerpos
El grupo de las unidades. Cuerpos
Proposicion (3.1.4)
Si R es un anillo, el conjunto R∗ de las unidades de R es un grupo para elproducto del anillo.
Definicion (Cuerpo)
Un cuerpo es un anillo conmutativo tal que todo elemento distinto decero es una unidad, i.e. R∗ = R \ {0}.
Ejemplo (3.1.5)
Q, R y C son cuerpos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 9 / 79
Introduccion: anillos e ideales Subanillos
Subanillos
Definicion (Subanillo)
Sea (R,+, ·) un anillo y sea S ⊂ R un subconjunto. Decimos que S es unsubanillo de R si se verifican las siguientes propiedades:
(i) S es un subgrupo (aditivo) de (R,+), es decir:
-) 0 ∈ S .-) Si x , y ∈ S , entonces x − y ∈ S .
(ii) 1 ∈ S .
(iii) Si x , y ∈ S , entonces x · y ∈ S .
Observacion
Si S es un subanillo de (R,+, ·), entonces S es un anillo con lasoperaciones + y ·.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 10 / 79
Introduccion: anillos e ideales Subanillos
Subanillos
Definicion (Subanillo)
Sea (R,+, ·) un anillo y sea S ⊂ R un subconjunto. Decimos que S es unsubanillo de R si se verifican las siguientes propiedades:
(i) S es un subgrupo (aditivo) de (R,+), es decir:
-) 0 ∈ S .-) Si x , y ∈ S , entonces x − y ∈ S .
(ii) 1 ∈ S .
(iii) Si x , y ∈ S , entonces x · y ∈ S .
Observacion
Si S es un subanillo de (R,+, ·), entonces S es un anillo con lasoperaciones + y ·.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 10 / 79
Introduccion: anillos e ideales Subanillos
Ejemplos de subanillos
Ejemplo (3.1.6)
1 Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C es una cadena de subanillos. De hecho Q y R sonsubcuerpos de C (cuerpos dentro de un cuerpo).
2 El subconjunto
S =1
2· Z =
{m2| m ∈ Z
}⊂ Q
es un subgrupo aditivo de Q, pero no es un subanillo al no ser cerradopara el producto, pues
1
2· 1
2=
1
4/∈ S .
3 El conjunto Z2 = {2n | n ∈ Z} ⊂ Z es un subgrupo aditivo de Z y escerrado para el producto, pero no es subanillo porque 1 /∈ Z2
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 11 / 79
Introduccion: anillos e ideales Subanillos
Ejemplos de subanillos
Ejemplo (3.1.6)
1 Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C es una cadena de subanillos. De hecho Q y R sonsubcuerpos de C (cuerpos dentro de un cuerpo).
2 El subconjunto
S =1
2· Z =
{m2| m ∈ Z
}⊂ Q
es un subgrupo aditivo de Q, pero no es un subanillo al no ser cerradopara el producto, pues
1
2· 1
2=
1
4/∈ S .
3 El conjunto Z2 = {2n | n ∈ Z} ⊂ Z es un subgrupo aditivo de Z y escerrado para el producto, pero no es subanillo porque 1 /∈ Z2
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 11 / 79
Introduccion: anillos e ideales Subanillos
Ejemplos de subanillos
Ejemplo (3.1.6)
1 Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C es una cadena de subanillos. De hecho Q y R sonsubcuerpos de C (cuerpos dentro de un cuerpo).
2 El subconjunto
S =1
2· Z =
{m2| m ∈ Z
}⊂ Q
es un subgrupo aditivo de Q, pero no es un subanillo al no ser cerradopara el producto, pues
1
2· 1
2=
1
4/∈ S .
3 El conjunto Z2 = {2n | n ∈ Z} ⊂ Z es un subgrupo aditivo de Z y escerrado para el producto, pero no es subanillo porque 1 /∈ Z2
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 11 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Homomorfismo de anillos
Definicion (Homomorfismo de anillos)
Sean R y S dos anillos. Una aplicacion f : R → S se dice que es unhomomorfismo de anillos si para todo par de elementos x , y ∈ R severifica que
f (x + y) = f (x) + f (y), f (xy) = f (x)f (y) y f (1R) = 1S .
Si f es un homomorfismo sobreyectivo se dice epimorfismos, si es unhomomorfismo inyectivo se dice monomorfismo y si es un homomorfismobiyectivo se dice isomorfismo. Si existe un ismorfismo entre dos anillosunitarios R y S , se dice que ambos anillos son isomorfos y se escribeR ∼= S .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 12 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Ejemplos (3.1.7)
1.- La aplicacion identidad de un anillo R, IdR , es un ismomorfismo deanillos.
2.- Si S es un subanillo del anillo R, entonces la inclusion i : S −→ R esun homomorfismo de anillos. Como i es in yectiva, de hecho es unmonomorfismo de anillos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 13 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Ejemplos (3.1.7)
1.- La aplicacion identidad de un anillo R, IdR , es un ismomorfismo deanillos.
2.- Si S es un subanillo del anillo R, entonces la inclusion i : S −→ R esun homomorfismo de anillos. Como i es in yectiva, de hecho es unmonomorfismo de anillos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 13 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Ejemplos (3.1.7)
3.- Sea R el subanillo de las matrices de la forma(a b−b a
), con a, b ∈ R.
Definamos la aplicacionφ : R → C
por la regla
φ
(a b−b a
)= a + ib ∈ C.
Se comprueba que φ es un isomorfismo y R ∼= C.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 14 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Nucleo e imagen de un homomorfismo
Teorema (Nucleo e imagen de un homomorfismo)
Sean R y S anillos conmutativos. Sea φ : R → S un homomorfirmos deanillos. Entonces Im(φ) es un subanillo de S y ker(φ) sabemos que es unsubgrupo aditivo de (R,+) que ademas verifica la siguiente propiedad:
∀x ∈ R, ∀y ∈ ker(φ) se tiene x · y ∈ ker(φ).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 15 / 79
Introduccion: anillos e ideales Homomorfismos de anillos
Isomorfismo inverso
Teorema (Isomorfismo inverso)
Si φ : R → S es un isomorfismo de anillos unitarios, entonces tambien lo esφ−1 : S → R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 16 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ideales de un anillo conmutativo
Definicion (Ideal de un anillo conmutativo)
Sea (R,+, ·) un anillo conmutativo y sea I ⊂ R un subconjunto. Decimosque I es un ideal de R si (I ,+) es un subgrupo de (R,+) y para todox ∈ R, y ∈ I se verifica que xy ∈ I .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 17 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
1.- Si R es un anillo conmutativo, los subgrupos triviales {0} y R sonideales de R. Llamaremos ideales propios de R a los no triviales.
2.- Un ideal I de un anillo R es el total, si y solo si 1 ∈ I .
3.- Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces ker(φ) es unideal de R.
4.- Sea R un anillo conmutativo y x ∈ R un elemento. Sea el subconjunto
Rx = {rx | r ∈ R}
de los multiplos de x en R. Entonces Rx es un ideal de R. Diremosque un ideal de este tipo es un ideal principal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 18 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
1.- Si R es un anillo conmutativo, los subgrupos triviales {0} y R sonideales de R. Llamaremos ideales propios de R a los no triviales.
2.- Un ideal I de un anillo R es el total, si y solo si 1 ∈ I .
3.- Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces ker(φ) es unideal de R.
4.- Sea R un anillo conmutativo y x ∈ R un elemento. Sea el subconjunto
Rx = {rx | r ∈ R}
de los multiplos de x en R. Entonces Rx es un ideal de R. Diremosque un ideal de este tipo es un ideal principal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 18 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
1.- Si R es un anillo conmutativo, los subgrupos triviales {0} y R sonideales de R. Llamaremos ideales propios de R a los no triviales.
2.- Un ideal I de un anillo R es el total, si y solo si 1 ∈ I .
3.- Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces ker(φ) es unideal de R.
4.- Sea R un anillo conmutativo y x ∈ R un elemento. Sea el subconjunto
Rx = {rx | r ∈ R}
de los multiplos de x en R. Entonces Rx es un ideal de R. Diremosque un ideal de este tipo es un ideal principal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 18 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
1.- Si R es un anillo conmutativo, los subgrupos triviales {0} y R sonideales de R. Llamaremos ideales propios de R a los no triviales.
2.- Un ideal I de un anillo R es el total, si y solo si 1 ∈ I .
3.- Si φ : R → S es un homomorfismo de anillos, entonces ker(φ) es unideal de R.
4.- Sea R un anillo conmutativo y x ∈ R un elemento. Sea el subconjunto
Rx = {rx | r ∈ R}
de los multiplos de x en R. Entonces Rx es un ideal de R. Diremosque un ideal de este tipo es un ideal principal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 18 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
5.- Se demostrara mas adelante que los subgrupos de (Z,+) son de laforma Zn con n ≥ 0 (notese que Zn = Z(−n)). Por tanto cada Zncoincide con el ideal generado por n y por tanto tambien es un idealde Z. Ası pues, todos los subgrupos de (Z,+) son ideales del anillo Z.
6.- Por otro lado, Z es un subanillo de Q pero no un ideal pues elelemento 1
2 · 1 /∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 19 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales
Ejemplos de ideales (Ejemplo 3.1.9)
5.- Se demostrara mas adelante que los subgrupos de (Z,+) son de laforma Zn con n ≥ 0 (notese que Zn = Z(−n)). Por tanto cada Zncoincide con el ideal generado por n y por tanto tambien es un idealde Z. Ası pues, todos los subgrupos de (Z,+) son ideales del anillo Z.
6.- Por otro lado, Z es un subanillo de Q pero no un ideal pues elelemento 1
2 · 1 /∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 19 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente
Teorema (Anillo cociente)
Sean (R,+, ·) un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal. Entonces elconjunto cociente R/I con las operaciones + y · dadas por
(x + I ) + (y + I ) = (x + y) + I ∀x , y ∈ R,
(x + I )(y + I ) = (xy) + I ∀x , y ∈ R.
es un anillo conmutativo.
Observacion (Nota 3.1.10)
Si I es un ideal del anillo R, la proyeccion natural p : R −→ R/I es unepimorfismo de anillos cuyo nucleo es el ideal I .Notese que el anillo cociente R/I es nulo si y solo si I = R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 20 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente
Teorema (Anillo cociente)
Sean (R,+, ·) un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal. Entonces elconjunto cociente R/I con las operaciones + y · dadas por
(x + I ) + (y + I ) = (x + y) + I ∀x , y ∈ R,
(x + I )(y + I ) = (xy) + I ∀x , y ∈ R.
es un anillo conmutativo.
Observacion (Nota 3.1.10)
Si I es un ideal del anillo R, la proyeccion natural p : R −→ R/I es unepimorfismo de anillos cuyo nucleo es el ideal I .Notese que el anillo cociente R/I es nulo si y solo si I = R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 20 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente (Ejemplo 3.1.11)
1.- En el anillo Z los ideales Zn con n ≥ 1 producen anillos cocientesfinitos de n elementos:
ZZn
= {0 + Zn, 1 + Zn, . . . , (n − 1) + Zn} ={
0, 1, . . . , n − 1}.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 21 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente (Ejemplo 3.1.11)
2.- Para n = 2, estas son las tablas de las operaciones en ZZ2 :
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
.
Por tanto comprobamos que ZZ2 es un cuerpo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 22 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente (Ejemplo 3.1.11)
3.- Para n = 3, estas son las tablas de las operaciones en ZZ3 :
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
· 0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
.
Por tanto comprobamos que ZZ3 es un cuerpo (todos sus elementos no
nulos son unidades).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 23 / 79
Introduccion: anillos e ideales Anillos cociente
Anillo cociente (Ejemplo 3.1.11)
4.- En el anillo R = Q[x ] consideramos el ideal I = Q[x ] · (x2 − 2).Dado que x2 + I = 2 + I , es facil comprobar que en cada clase delconjunto cociente R/I podemos encontrar un representante de gradomenor o igual que 1, de donde
Q[x ]
Q[x ] · (x2 − 2)= {(ax + b) + I | a, b ∈ Q} .
Ademas, cada elemento no nulo (ax + b) + I posee un inversomultiplicativo, luego el anillo cociente R/I es un cuerpo. Dejamoscomo ejercicio la demostracion de este hecho.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 24 / 79
Introduccion: anillos e ideales Factorizacion Canonica
Factorizacion Canonica
Teorema (Factorizacion canonica)
Todo homomorfismo de anillos conmutativos y unitarios, f : R → S ,factoriza como la composicion f = i ◦ f ◦ p de un epimorfismo de anillos p,un isomorfismo de anillos f y un monomorfismo de anillos i del siguientemodo
Rf //
p
��
S
R/ ker(f )∼=f// Im(f )
i
OO
Aquı p es la proyeccion natural sobre el cociente e i es la inclusion delsubgrupo imagen.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 25 / 79
Introduccion: anillos e ideales Factorizacion Canonica
Factorizacion Canonica
Corolario (3.1.12)
Si f : R → S es un epimorfismo de anillos entonces la aplicacionf : R/ ker(f )→ S es un isomorfismo.
Corolario (3.1.13)
Si f : R → S es un monomorfismo de anillos entonces f : R → Im(f ) es unisomorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 26 / 79
Introduccion: anillos e ideales Factorizacion Canonica
Factorizacion Canonica
Corolario (3.1.12)
Si f : R → S es un epimorfismo de anillos entonces la aplicacionf : R/ ker(f )→ S es un isomorfismo.
Corolario (3.1.13)
Si f : R → S es un monomorfismo de anillos entonces f : R → Im(f ) es unisomorfismo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 26 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Ejemplo 3.1.14
Ejemplo
Estudiemos el anillo cociente ZZ4 . Las tablas de sus operaciones son:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
.
Observamos pues que las unidades de ZZ4 son 1 y 3. Observamos tambien
que, aun siendo 2 6= 0, se tiene que 2 · 2 = 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 27 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Divisor de cero
Definicion (Divisor de cero)
Sea R un anillo conmutativo. Se dice que un elemento no nulo x ∈ R esun divisor de cero si existe un elemento no nulo y ∈ R tal que xy = 0.
En un anillo no nulo, el 0 siempre es un divisor de cero, pues 1 · 0 = 0.
Ejemplo (3.1.15)
En el anillo Z/Z4, el elemento 2 + Z4 es un divisor de cero, pues(2 + Z4)(2 + Z4) = 0 + Z4.
Asimismo, en el anillo Z/Z6 el elemento 2 + Z6 es un divisor de cero, pues
(2 + Z6)(3 + Z6) = 6 + Z6 = 0 + Z6.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 28 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Divisor de cero
Definicion (Divisor de cero)
Sea R un anillo conmutativo. Se dice que un elemento no nulo x ∈ R esun divisor de cero si existe un elemento no nulo y ∈ R tal que xy = 0.
En un anillo no nulo, el 0 siempre es un divisor de cero, pues 1 · 0 = 0.
Ejemplo (3.1.15)
En el anillo Z/Z4, el elemento 2 + Z4 es un divisor de cero, pues(2 + Z4)(2 + Z4) = 0 + Z4.
Asimismo, en el anillo Z/Z6 el elemento 2 + Z6 es un divisor de cero, pues
(2 + Z6)(3 + Z6) = 6 + Z6 = 0 + Z6.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 28 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Divisor de cero
Definicion (Divisor de cero)
Sea R un anillo conmutativo. Se dice que un elemento no nulo x ∈ R esun divisor de cero si existe un elemento no nulo y ∈ R tal que xy = 0.
En un anillo no nulo, el 0 siempre es un divisor de cero, pues 1 · 0 = 0.
Ejemplo (3.1.15)
En el anillo Z/Z4, el elemento 2 + Z4 es un divisor de cero, pues(2 + Z4)(2 + Z4) = 0 + Z4.
Asimismo, en el anillo Z/Z6 el elemento 2 + Z6 es un divisor de cero, pues
(2 + Z6)(3 + Z6) = 6 + Z6 = 0 + Z6.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 28 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Divisor de cero
Definicion (Divisor de cero)
Sea R un anillo conmutativo. Se dice que un elemento no nulo x ∈ R esun divisor de cero si existe un elemento no nulo y ∈ R tal que xy = 0.
En un anillo no nulo, el 0 siempre es un divisor de cero, pues 1 · 0 = 0.
Ejemplo (3.1.15)
En el anillo Z/Z4, el elemento 2 + Z4 es un divisor de cero, pues(2 + Z4)(2 + Z4) = 0 + Z4.
Asimismo, en el anillo Z/Z6 el elemento 2 + Z6 es un divisor de cero, pues
(2 + Z6)(3 + Z6) = 6 + Z6 = 0 + Z6.
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Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad
Definicion (Dominio de Integridad)
Un dominio de integridad (DDI) es un anillo conmutativo no nulo(1 6= 0) cuyo unico divisor de cero es el 0.
Proposicion (3.1.16)
Sea R un anillo no nulo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) R es un DDI.
(b) Si r , s ∈ R, rs = 0 =⇒ r = 0 o s = 0.
Ejemplo (3.1.17)
1.- Los anillos Z, Q, R y C son dominios de integridad.
2.- Los anillos cociente Z/Zn con n > 0 son dominio de integridad si ysolo si n es un numero primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 29 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad
Definicion (Dominio de Integridad)
Un dominio de integridad (DDI) es un anillo conmutativo no nulo(1 6= 0) cuyo unico divisor de cero es el 0.
Proposicion (3.1.16)
Sea R un anillo no nulo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) R es un DDI.
(b) Si r , s ∈ R, rs = 0 =⇒ r = 0 o s = 0.
Ejemplo (3.1.17)
1.- Los anillos Z, Q, R y C son dominios de integridad.
2.- Los anillos cociente Z/Zn con n > 0 son dominio de integridad si ysolo si n es un numero primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 29 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad
Definicion (Dominio de Integridad)
Un dominio de integridad (DDI) es un anillo conmutativo no nulo(1 6= 0) cuyo unico divisor de cero es el 0.
Proposicion (3.1.16)
Sea R un anillo no nulo. Las siguientes propiedades son equivalentes:
(a) R es un DDI.
(b) Si r , s ∈ R, rs = 0 =⇒ r = 0 o s = 0.
Ejemplo (3.1.17)
1.- Los anillos Z, Q, R y C son dominios de integridad.
2.- Los anillos cociente Z/Zn con n > 0 son dominio de integridad si ysolo si n es un numero primo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 29 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de integridad y propiedad cancelativa
Teorema (Dominio de integridad y propiedad cancelativa)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces R es un dominio deintegridad si y solo si se satisface en R la propiedad cancelativa, es decir,
xy = xz ∧ x 6= 0⇒ y = z .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 30 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad finito
Proposicion (3.1.18)
Todo dominio de integridad finito es un cuerpo.
Ejemplo (3.1.19)
Si p ∈ Z es primo, el anillo Z/Zp es un dominio de integridad finito.Luego es un cuerpo.
Observacion (Cuerpos finitos)
En adelante notaremos por Fp al cuerpo Z/Zp,
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 31 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad finito
Proposicion (3.1.18)
Todo dominio de integridad finito es un cuerpo.
Ejemplo (3.1.19)
Si p ∈ Z es primo, el anillo Z/Zp es un dominio de integridad finito.Luego es un cuerpo.
Observacion (Cuerpos finitos)
En adelante notaremos por Fp al cuerpo Z/Zp,
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 31 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Dominio de Integridad finito
Proposicion (3.1.18)
Todo dominio de integridad finito es un cuerpo.
Ejemplo (3.1.19)
Si p ∈ Z es primo, el anillo Z/Zp es un dominio de integridad finito.Luego es un cuerpo.
Observacion (Cuerpos finitos)
En adelante notaremos por Fp al cuerpo Z/Zp,
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 31 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Ideales y unidades
Proposicion (3.1.20)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces el conjunto de las nounidades de R (R \ R∗) es igual a la union de todos los ideales propios deR.
Corolario (3.1.21)
Si un ideal I ⊂ R contiene una unidad en R entonces I = R.
Corolario (3.1.22)
Un anillo conmutativo y unitario es un cuerpo si y solo si no tiene idealespropios no nulos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 32 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Ideales y unidades
Proposicion (3.1.20)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces el conjunto de las nounidades de R (R \ R∗) es igual a la union de todos los ideales propios deR.
Corolario (3.1.21)
Si un ideal I ⊂ R contiene una unidad en R entonces I = R.
Corolario (3.1.22)
Un anillo conmutativo y unitario es un cuerpo si y solo si no tiene idealespropios no nulos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 32 / 79
Introduccion: anillos e ideales Divisores de cero. Dominios de integridad
Ideales y unidades
Proposicion (3.1.20)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Entonces el conjunto de las nounidades de R (R \ R∗) es igual a la union de todos los ideales propios deR.
Corolario (3.1.21)
Si un ideal I ⊂ R contiene una unidad en R entonces I = R.
Corolario (3.1.22)
Un anillo conmutativo y unitario es un cuerpo si y solo si no tiene idealespropios no nulos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 32 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideal maximal
Definicion (Ideal maximal)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Decimos que un ideal propio I ⊂ Res maximal si los unicos ideales que lo contienen son el propio I y R.
Ejemplo (3.1.23)
El ideal Zp ⊂ Z con p primo es un ideal maximal. En efecto, si I ⊂ Z esun ideal tal que Zp ⊂ I entonces la aplicacion
f : Z/I → Fp
n + I 7→ f (n + I ) = n + Zp
es un homomorfismo inyectivo de grupos (de hecho es un monomorfismode anillos). Entonces |Z/I | = |f (Z/I )|, como f (Z/I ) ⊂ Fp es un subgrupo,su orden divide a |Fp| = p. Al ser p primo debe ser |Z/I | = 1 o p, luegoI = Z o Zp.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 33 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideal maximal
Definicion (Ideal maximal)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Decimos que un ideal propio I ⊂ Res maximal si los unicos ideales que lo contienen son el propio I y R.
Ejemplo (3.1.23)
El ideal Zp ⊂ Z con p primo es un ideal maximal. En efecto, si I ⊂ Z esun ideal tal que Zp ⊂ I entonces la aplicacion
f : Z/I → Fp
n + I 7→ f (n + I ) = n + Zp
es un homomorfismo inyectivo de grupos (de hecho es un monomorfismode anillos). Entonces |Z/I | = |f (Z/I )|, como f (Z/I ) ⊂ Fp es un subgrupo,su orden divide a |Fp| = p. Al ser p primo debe ser |Z/I | = 1 o p, luegoI = Z o Zp.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 33 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideal primo
Definicion (Ideal primo)
Sea R un anillo conmutativo y unitario. Decimos que un ideal propio I deR es un ideal primo si satisface la siguiente propiedad:
xy ∈ I ⇒ x ∈ I o y ∈ I , con x , y ∈ R.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 34 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideales primos y maximales
Proposicion (3.1.24)
Sea R un anillo. Las propiedades siguientes son equivalentes:
(a) R es un DDI.
(b) El ideal {0} de R es un ideal primo.
Asimismo, las propiedades siguientes tambien son equivalentes:
(a’) R es un cuerpo.
(b’) El ideal {0} de R es un ideal maximal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 35 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideales primos y maximales
Proposicion (3.1.25)
Sean R un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal propio de R. Entonces:
1 I es un ideal primo de R si y solo si el anillo R/I es un dominio deintegridad.
2 I es un ideal maximal de R si y solo si el anillo R/I es un cuerpo.
Corolario (3.1.26)
Todo ideal primo maximal de un anillo conmutativo unitario es un idealprimo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 36 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Ideales primos y maximales
Proposicion (3.1.25)
Sean R un anillo conmutativo e I ⊂ R un ideal propio de R. Entonces:
1 I es un ideal primo de R si y solo si el anillo R/I es un dominio deintegridad.
2 I es un ideal maximal de R si y solo si el anillo R/I es un cuerpo.
Corolario (3.1.26)
Todo ideal primo maximal de un anillo conmutativo unitario es un idealprimo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 36 / 79
Introduccion: anillos e ideales Ideales primos y maximales
Primo no implica maximal
Ejemplo (3.1.27)
Sea R = Q[x , y ]. Sea el ideal I = Rx de los polinomios que son multiplosde x .Veamos que I es un ideal primo que no es maximal.Consideremos la aplicacion φ : R → Q[y ] dada por φ(f (x , y)) = f (0, y). Secomprueba facilmente que φ es un homomorfismo sobreyectivo de anillos.Como f (0, y) = 0 si y solo si f (x , y) es un multiplo de x , se tiene queker(φ) = I . Por la factorizacion canonica es R/I ∼= Q[y ]. Como Q[y ] es undominio de integridad que no es un cuerpo, I es ideal primo que no esmaximal.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 37 / 79
Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad
Caracterıstica de un dominio de integridad
Proposicion (3.1.28)
Sea R un dominio de integridad y sea S = 〈1〉 el subgrupo aditivo de Rgenerado por 1. Si S es un grupo finito de orden p entonces p es primo y
px = x+p· · · +x = 0 para todo x ∈ R
Definicion (Caracterıstica de un dominio de integridad)
Sea R un dominio de integridad. Si el orden de S = 〈1〉 es un numeroprimo p > 0, diremos que R tiene caracterıstica p. Si por el contrario elorden de 1 es infinito diremos R tiene caracterıstica 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 38 / 79
Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad
Caracterıstica de un dominio de integridad
Proposicion (3.1.28)
Sea R un dominio de integridad y sea S = 〈1〉 el subgrupo aditivo de Rgenerado por 1. Si S es un grupo finito de orden p entonces p es primo y
px = x+p· · · +x = 0 para todo x ∈ R
Definicion (Caracterıstica de un dominio de integridad)
Sea R un dominio de integridad. Si el orden de S = 〈1〉 es un numeroprimo p > 0, diremos que R tiene caracterıstica p. Si por el contrario elorden de 1 es infinito diremos R tiene caracterıstica 0.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 38 / 79
Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad
Caracterıstica de un dominio de integridad
Ejemplo (3.1.29)
Fp y Fp[x ] tienen caracterıstica p. Z, Q, R y R[x ] tienen caracterıstica 0.
Observacion (Dominios de integridad finitos)
Si R es un dominio de integridad finito entonces existe un primo p > 0 talque R tiene caracterıstica p. El recıproco no es cierto, existen dominios deintegridad infinitos con caracterıstica positiva, por ejemplo Fp[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 39 / 79
Introduccion: anillos e ideales La caracterıstica de un dominio de integridad
Caracterıstica de un dominio de integridad
Ejemplo (3.1.29)
Fp y Fp[x ] tienen caracterıstica p. Z, Q, R y R[x ] tienen caracterıstica 0.
Observacion (Dominios de integridad finitos)
Si R es un dominio de integridad finito entonces existe un primo p > 0 talque R tiene caracterıstica p. El recıproco no es cierto, existen dominios deintegridad infinitos con caracterıstica positiva, por ejemplo Fp[x ].
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 39 / 79
Divisibilidad en Z
Principio de buena ordenacion
Teorema (Principio de buena ordenacion)
Todo subconjunto no vacıo de Z acotado inferiormente posee un mınimo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 40 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.
Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.
Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un
mınimo.Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.
Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.
Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee un
mınimo.Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.
Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.
Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .
Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
El orden de los numeros enteros
Propiedades del orden de enteros:
Propiedad reflexiva: a ≥ a.Propiedad transitiva: si a ≥ b y b ≥ c entonces a ≥ c .
Propiedad antisimetrica: si a ≥ b y b ≥ a entonces a = b.Orden total: dados dos enteros a y b entonces a ≥ b o b ≥ a.
Buen orden: todo conjunto de enteros acotado inferiormente posee unmınimo.
Si a ≥ 0 entonces a + a ≥ a.Si a ≥ b entonces a + c ≥ b + c .
Si a ≥ b y c ≥ 0 entonces a · c ≥ b · c .Si a ≥ b y c ≤ 0 entonces a · c ≤ b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 41 / 79
Divisibilidad en Z
Divisibilidad
Si a y b son enteros, ¿Que significa “a divide a b”?
Definicion (Divisibilidad)
Sean a y b dos enteros. Se dira que a divide a b si existe un entero c talque a · c = b. En este caso se escribe a|b.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 42 / 79
Divisibilidad en Z
Divisibilidad
Si a y b son enteros, ¿Que significa “a divide a b”?
Definicion (Divisibilidad)
Sean a y b dos enteros. Se dira que a divide a b si existe un entero c talque a · c = b. En este caso se escribe a|b.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 42 / 79
Divisibilidad en Z
Unidades
¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?
Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!
¿Hay alguno mas?
No, ¿sabes demostrarlo?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 43 / 79
Divisibilidad en Z
Unidades
¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?
Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!
¿Hay alguno mas?
No, ¿sabes demostrarlo?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 43 / 79
Divisibilidad en Z
Unidades
¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?
Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!
¿Hay alguno mas?
No, ¿sabes demostrarlo?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 43 / 79
Divisibilidad en Z
Unidades
¿Hay numeros enteros que dividan a todos los demas?
Sı, el 1 y el −1.¡Las unidades de Z!
¿Hay alguno mas?
No, ¿sabes demostrarlo?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 43 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a
2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Propiedades de la divisibilidad
1 Propiedad reflexiva: a|a2 Propiedad transitiva: Si a|b y b|c entonces a|c.
3 Si a|b y b|a entonces a = ±b.
Observacion
Si a y b son positivos entonces la propiedad 3 es la antisimetrica, es decir,si a|b y b|a entonces a = b. Luego la relacion de divisibilidad es unarelacion de orden en el conjunto de los numeros positivos.
4 Si a|b y a|c entonces a|b + c .
5 Si a|b entonces a|b · c .
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 44 / 79
Divisibilidad en Z
Division euclıdea
¿Como se dividen dos numeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532?
1 1 7 5 8 6−1 0 7 2 4
1 0 3 4 6−9 1 9 21 1 5 4
1 5 3 27 6
Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 45 / 79
Divisibilidad en Z
Division euclıdea
¿Como se dividen dos numeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532?
1 1 7 5 8 6−1 0 7 2 4
1 0 3 4 6−9 1 9 21 1 5 4
1 5 3 27 6
Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 45 / 79
Divisibilidad en Z
Division euclıdea
¿Como se dividen dos numeros enteros, por ejemplo 117586 entre 1532?
1 1 7 5 8 6−1 0 7 2 4
1 0 3 4 6−9 1 9 21 1 5 4
1 5 3 27 6
Entonces 117586 = 76 · 1532 + 1154.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 45 / 79
Divisibilidad en Z
Division euclıdea
Teorema (Division euclıdea)
Sean a y b enteros, b 6= 0. Existen unos unicos enteros q y r tales que:
1. a = q · b + r .
2. 0 ≤ r < |b|.Al entero q se le llama cociente y a r resto de la division.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 46 / 79
Divisibilidad en Z
Subgrupos de Z
Teorema (Subgrupos de Z)
Sea H ⊂ Z un subgrupo, existe m ∈ Z, m ≥ 0, tal que H = Zm.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 47 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor
¿Que es el maximo comun divisor de dos enteros?
Definicion (Maximo comun divisor)
Dados dos enteros a y b, diremos que d es un maximo comun divisor dea y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientespropiedades:
1. d |a y d |b.
2. Si d ′ es un entero tal que d ′|a y d ′|b entonces d ′|dSi 1 es un maximo comun divisor de a y b, se dice que a y b son primosentre sı.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 48 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor
¿Que es el maximo comun divisor de dos enteros?
Definicion (Maximo comun divisor)
Dados dos enteros a y b, diremos que d es un maximo comun divisor dea y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientespropiedades:
1. d |a y d |b.
2. Si d ′ es un entero tal que d ′|a y d ′|b entonces d ′|d
Si 1 es un maximo comun divisor de a y b, se dice que a y b son primosentre sı.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 48 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor
¿Que es el maximo comun divisor de dos enteros?
Definicion (Maximo comun divisor)
Dados dos enteros a y b, diremos que d es un maximo comun divisor dea y b, y lo denotaremos por d = mcd(a, b), si se verifican las siguientespropiedades:
1. d |a y d |b.
2. Si d ′ es un entero tal que d ′|a y d ′|b entonces d ′|dSi 1 es un maximo comun divisor de a y b, se dice que a y b son primosentre sı.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 48 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor. Propiedades
Observacion (Unicidad del maximo comun divisor)
El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.2)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.
2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).
3. mcd(a, b) = mcd(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 49 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor. Propiedades
Observacion (Unicidad del maximo comun divisor)
El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.2)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.
2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).
3. mcd(a, b) = mcd(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 49 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor. Propiedades
Observacion (Unicidad del maximo comun divisor)
El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.2)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.
2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).
3. mcd(a, b) = mcd(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 49 / 79
Divisibilidad en Z
Maximo comun divisor. Propiedades
Observacion (Unicidad del maximo comun divisor)
El maximo comun divisor de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.2)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcd(a, b) = b ⇔ b|a.
2. mcd(a, b) = mcd(−a, b) = mcd(a,−b) = mcd(−a,−b).
3. mcd(a, b) = mcd(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 49 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo
¿Que es el mınimo comun multiplo de dos enteros?
Definicion (Mınimo comun multiplo)
Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un mınimo comunmultiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verifican lassiguientes propiedades:
1. a|m y b|m.
2. Si m′ es un entero tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 50 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo
¿Que es el mınimo comun multiplo de dos enteros?
Definicion (Mınimo comun multiplo)
Dados dos enteros a y b, diremos que un entero m es un mınimo comunmultiplo de a y b, y lo denotaremos por m = mcm(a, b), si se verifican lassiguientes propiedades:
1. a|m y b|m.
2. Si m′ es un entero tal que a|m′ y b|m′ entonces m|m′
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 50 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo. Propiedades
Observacion (Unicidad del mınimo comun multiplo)
El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.3)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.
2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).
3. mcm(a, b) = mcm(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 51 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo. Propiedades
Observacion (Unicidad del mınimo comun multiplo)
El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.3)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.
2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).
3. mcm(a, b) = mcm(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 51 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo. Propiedades
Observacion (Unicidad del mınimo comun multiplo)
El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.3)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.
2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).
3. mcm(a, b) = mcm(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 51 / 79
Divisibilidad en Z
Mınimo comun multiplo. Propiedades
Observacion (Unicidad del mınimo comun multiplo)
El mınimo comun multiplo de dos enteros, si existe, es unico salvo el signo.
Proposicion (3.2.3)
Se verifican las siguientes propiedades:
1. mcm(a, b) = a⇔ b|a.
2. mcm(a, b) = mcm(−a, b) = mcm(a,−b) = mcm(−a,−b).
3. mcm(a, b) = mcm(b, a).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 51 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Maximo comun divisor y division euclıdea
Proposicion (3.3.1)
Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r .
Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0
mcd(a, b) = mcd(b, r).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 52 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Maximo comun divisor y division euclıdea
Proposicion (3.3.1)
Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b
y si r 6= 0
mcd(a, b) = mcd(b, r).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 52 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Maximo comun divisor y division euclıdea
Proposicion (3.3.1)
Sean a, b ∈ Z no nulos, pongamos |a| ≥ |b|, y efectuemos la divisioneuclıdea a = qb + r . Entonces, si r = 0 es mcd(a, b) = b y si r 6= 0
mcd(a, b) = mcd(b, r).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 52 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|
b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < r
r = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1
r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2...
rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rn
rn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Algoritmo (Algoritmo de Euclides)
Sean a y b dos enteros no nulos, a ≥ b, y efectuemos la division euclıdeaa = q · b + r . Como r < |b|, podemos dividir b entre r , y asısucesivamente, obteniendo:
a = q · b + r 0 ≤ r < |b|b = q0 · r + r1 0 ≤ r1 < rr = q1 · r1 + r2 0 ≤ r2 < r1r1 = q2 · r2 + r3 0 ≤ r3 < r2
...rn−1 = qn · rn + rn+1 0 ≤ rn+1 < rnrn = qn+1 · rn+1 + 0 rn+2 = 0
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 53 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides y existencia del maximo comundivisor
Proposicion (3.3.2)
En la situacion anterior se tiene que mcd(a, b) = rn+1. Es decir, el maximocomun divisor de a y b es el ultimo resto no nulo al aplicar sucesivamentela division euclıdea.
Teorema (Existencia del maximo comun divisor)
Dados dos enteros a, b, existe el maximo comun divisor de a y b,mcd(a, b), que es unico salvo el signo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 54 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides y existencia del maximo comundivisor
Proposicion (3.3.2)
En la situacion anterior se tiene que mcd(a, b) = rn+1. Es decir, el maximocomun divisor de a y b es el ultimo resto no nulo al aplicar sucesivamentela division euclıdea.
Teorema (Existencia del maximo comun divisor)
Dados dos enteros a, b, existe el maximo comun divisor de a y b,mcd(a, b), que es unico salvo el signo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 54 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56
732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 732
1520 = 2 · 732 + 56732 = 13 · 56 + 4
56 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56
732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56
732 = 13 · 56 + 4
56 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56
732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Algoritmo de Euclides
Ejemplo (Ejercicio12: Calcular mcd(23532, 1520))
23532 = 15 · 1520 + 7321520 = 2 · 732 + 56
732 = 13 · 56 + 456 = 14 · 4 + 0
Luego mcd(23532, 1520) = 4
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 55 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Observacion
Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Observese que paracualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un multiplo de d .
Teorema (Identidad de Bezout)
Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y βtales que
α · a + β · b = d .
A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bezout.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 56 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Observacion
Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Observese que paracualesquiera enteros γ y δ se verifica que γa + δb es un multiplo de d .
Teorema (Identidad de Bezout)
Sean a, b enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Existen enteros α y βtales que
α · a + β · b = d .
A cualquier igualdad de este tipo se le llama identidad de Bezout.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 56 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Familia infinita de identidades de Bezout
Observacion
Los enteros α y β que aparecen en la identidad de Bezout no son unicos.En efecto, si α · a + β · b = d entonces
(α− kb)a + (β + ka)b = d , ∀k ∈ Z.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 57 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732
732 = 23532− 15 · 1520
1520 = 2 · 732 + 56
56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4
4 = 732− 13 · 56
56 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 58 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732
732 = 23532− 15 · 1520
1520 = 2 · 732 + 56
56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56
= 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 58 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732
732 = 23532− 15 · 1520
1520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 56
56 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56
= 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732
732 = 23532− 15 · 1520
1520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 56
56 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732)
=(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732)
=(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520))
=(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520
= 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Identidad de Bezout
Ejemplo (Ejercicio 12)
Sabiendo que mcd(1520, 23532) = 4 escribir una identidad de Bezoutusando el algoritmo de Euclides.
23532 = 15 · 1520 + 732 732 = 23532− 15 · 15201520 = 2 · 732 + 56 56 = 1520− 2 · 732
732 = 13 · 56 + 4 4 = 732− 13 · 5656 = 14 · 4 + 0
De donde 4 = 732− 13 · 56 = 732− 13 · (1520− 2 · 732) =(23532− 15 · 1520)− 13 · (1520− 2 · (23532− 15 · 1520)) =(1+13 ·2) ·23532+(−15−13−13 ·2 ·15) ·1520 = 27 ·23532+(−418) ·1520
27 · 23532 + (−418) · 1520 = 4.
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Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Teorema de Euclides
Teorema (de Euclides)
Sean a, b y c tres enteros no nulos tales que c|ab y mcd(a, c) = 1,entonces c |b. En particular, si p es un numero primo y p|ab entonces p|a op|b.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 59 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo
Proposicion (3.3.3)
Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos
a′ =a
dy b′ =
b
d.
Entonces a′ y b′ son primos entre sı.
Proposicion (3.3.4)
Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces
mcm(a, b) =ab
d.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 60 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Maximo comun divisor y mınimo comun multiplo
Proposicion (3.3.3)
Sean a y b dos enteros no nulos, sea d = mcd(a, b) y consideremos
a′ =a
dy b′ =
b
d.
Entonces a′ y b′ son primos entre sı.
Proposicion (3.3.4)
Sean a y b dos enteros no nulos y sea d = mcd(a, b). Entonces
mcm(a, b) =ab
d.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 60 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Existencia del mınimo comun multiplo
Teorema (Existencia del mınimo comun multiplo)
Dados dos enteros a y b, existe el mınimo comun multiplo de a y b,mcm(a, b), que es unico salvo el signo.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 61 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Teorema fundamental de la divisibilidad
Observacion (Numero primo)
En todas estas notas llamamos numeros primos a aquellos enterosp 6= 0,±1 que son divisibles unicamente por ±p y ±1.
Teorema (fundamental de la divisibilidad)
Todo entero distinto de 0, 1 y −1 se descompone como producto de unnumero finito de primos. Esta descomposicion es unica salvo el orden y elsigno de los factores primos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 62 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Teorema fundamental de la divisibilidad
Observacion (Numero primo)
En todas estas notas llamamos numeros primos a aquellos enterosp 6= 0,±1 que son divisibles unicamente por ±p y ±1.
Teorema (fundamental de la divisibilidad)
Todo entero distinto de 0, 1 y −1 se descompone como producto de unnumero finito de primos. Esta descomposicion es unica salvo el orden y elsigno de los factores primos.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 62 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
El conjunto de los numeros primos es infinito
Teorema (de Euclides sobre la infinitud de los numeros primos)
El conjunto de los numeros primos es infinito.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 63 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Calculo de mcd y mcm
Proposicion (3.3.6)
Seana = ±
∏p>0 primo
pνa(p), b = ±∏
p>0 primo
pνb(p)
las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos.
Consideremos
d =∏
p>0 primo
pmın(νa(p),νb(p)) y m =∏
p>0 primo
pmax(νa(p),νb(p)).
Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 64 / 79
Algoritmo de Euclides. Identidad de Bezout
Calculo de mcd y mcm
Proposicion (3.3.6)
Seana = ±
∏p>0 primo
pνa(p), b = ±∏
p>0 primo
pνb(p)
las descomposiciones de dos enteros a y b en producto de primos.Consideremos
d =∏
p>0 primo
pmın(νa(p),νb(p)) y m =∏
p>0 primo
pmax(νa(p),νb(p)).
Entonces d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 64 / 79
Congruencias
Congruencias
¿Que hora marcara el reloj despues de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352horas?
Despues de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203horas. ¿Como podemos saber si tras a horas el reloj marcara lo mismo que
tras b horas?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 65 / 79
Congruencias
Congruencias
¿Que hora marcara el reloj despues de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352horas?
Despues de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203horas. ¿Como podemos saber si tras a horas el reloj marcara lo mismo que
tras b horas?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 65 / 79
Congruencias
Congruencias
¿Que hora marcara el reloj despues de pasar 4, 15, 211, 1203 o 12352horas?
Despues de 15 horas el reloj marca lo mismo que si hubieran pasado 1203horas. ¿Como podemos saber si tras a horas el reloj marcara lo mismo que
tras b horas?
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 65 / 79
Congruencias
Congruencias
Definicion (Congruencia)
Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dira que a es congruente con bmodulo m si a− b es divisible por m. Se escribira a ≡ b (modm).
Observacion (m > 0)
a y b son congruentes modulo m si y solo si son congruentes modulo −m.Luego podemos suponer siempre, sin perdida de generalidad, que m > 0
Proposicion (3.4.1)
a ≡ b (modm) si y solo si a y b tienen el mismo resto en la divisioneuclıdea por m.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 66 / 79
Congruencias
Congruencias
Definicion (Congruencia)
Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dira que a es congruente con bmodulo m si a− b es divisible por m. Se escribira a ≡ b (modm).
Observacion (m > 0)
a y b son congruentes modulo m si y solo si son congruentes modulo −m.Luego podemos suponer siempre, sin perdida de generalidad, que m > 0
Proposicion (3.4.1)
a ≡ b (modm) si y solo si a y b tienen el mismo resto en la divisioneuclıdea por m.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 66 / 79
Congruencias
Congruencias
Definicion (Congruencia)
Sean a, b y m enteros, m 6= 0, se dira que a es congruente con bmodulo m si a− b es divisible por m. Se escribira a ≡ b (modm).
Observacion (m > 0)
a y b son congruentes modulo m si y solo si son congruentes modulo −m.Luego podemos suponer siempre, sin perdida de generalidad, que m > 0
Proposicion (3.4.1)
a ≡ b (modm) si y solo si a y b tienen el mismo resto en la divisioneuclıdea por m.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 66 / 79
Congruencias
Congruencias. Propiedades
Observacion
La relacion “ser congruente con” es precisamente la relacion ∼Zm definidaen el tema anterior. Luego es una relacion de equivalencia y el conjuntocociente es el anillo Z/Zm.
En consecuencia las congruencias son compatibles con la suma y elproducto.
Proposicion (3.4.2)
Sea m > 0 un entero. Sean a, b, c , d ∈ Z tales que a ≡ b (modm) yc ≡ d (modm). Se verifican las siguientes propiedades:
1 a + c ≡ b + d (modm).
2 ac ≡ bd (modm).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 67 / 79
Congruencias
Congruencias. Propiedades
Observacion
La relacion “ser congruente con” es precisamente la relacion ∼Zm definidaen el tema anterior. Luego es una relacion de equivalencia y el conjuntocociente es el anillo Z/Zm.
En consecuencia las congruencias son compatibles con la suma y elproducto.
Proposicion (3.4.2)
Sea m > 0 un entero. Sean a, b, c , d ∈ Z tales que a ≡ b (modm) yc ≡ d (modm). Se verifican las siguientes propiedades:
1 a + c ≡ b + d (modm).
2 ac ≡ bd (modm).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 67 / 79
Congruencias
Congruencias y propiedad cancelativa
Observacion (3.4.3)
De cara a resolver ecuaciones en congruencias sera necesario saber en quecondiciones se puede aplicar la propiedad cancelativa. Es decir, se trata dever cuando se verifica que
ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm).
Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,
2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 68 / 79
Congruencias
Congruencias y propiedad cancelativa
Observacion (3.4.3)
De cara a resolver ecuaciones en congruencias sera necesario saber en quecondiciones se puede aplicar la propiedad cancelativa. Es decir, se trata dever cuando se verifica que
ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm).
Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.
Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,
2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 68 / 79
Congruencias
Congruencias y propiedad cancelativa
Observacion (3.4.3)
De cara a resolver ecuaciones en congruencias sera necesario saber en quecondiciones se puede aplicar la propiedad cancelativa. Es decir, se trata dever cuando se verifica que
ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm).
Si m es un numero primo entonces Z/Zm es un dominio de integridad (dehecho es un cuerpo) y se satisface la propiedad cancelativa.Si m no es primo, en general no se satisface la propiedad cancelativa. Porejemplo,
2 · 2 ≡ 0 · 2 (mod 4) y 2 6≡ 0 (mod 4).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 68 / 79
Congruencias
Congruencias y propiedad cancelativa
Teorema (Congruencias y propiedad cancelativa)
Sean x ,m ∈ Z, m > 0, se verifica la propiedad
∀a, b ∈ Z, ax ≡ bx (modm) =⇒ a ≡ b (modm)
si y solo si x y m son primos entre si.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 69 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Proposicion (3.4.4)
La ecuacion en congruencias
ax ≡ b (modm)
tiene solucion si y solo si d = mcd(a,m) divide a b.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 70 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Teorema (chino del resto)
Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,
sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias
x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)
...x ≡ an (modmn)
tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 71 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Teorema (chino del resto)
Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros.
El sistema de ecuaciones en congruencias
x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)
...x ≡ an (modmn)
tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 71 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Teorema (chino del resto)
Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias
x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)
...x ≡ an (modmn)
tiene solucion.
Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 71 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Teorema (chino del resto)
Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias
x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)
...x ≡ an (modmn)
tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn.
Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 71 / 79
Congruencias
Ecuaciones en congruencias
Teorema (chino del resto)
Sean m1,m2, . . . ,mn enteros mayores que 1 primos entre sı dos a dos,sean a1, a2, . . . , an enteros. El sistema de ecuaciones en congruencias
x ≡ a1 (modm1)x ≡ a2 (modm2)
...x ≡ an (modmn)
tiene solucion. Ademas si x y x ′ son dos soluciones entoncesx ≡ x ′ (modM), donde M = m1m2 · · ·mn. Recıprocamente si x es unasolucion y x ′ ≡ x (modM) entonces x ′ tambien es solucion.
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Congruencias
Ejemplo 3.4.5
Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:
x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)
Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.Por la identidad de Bezout tenemos
mcd(m1,M1) = 1, 1 = (−7) · 2 + 1 · 15, luego β1 = 1.mcd(m2,M2) = 1, 1 = (−3) · 3 + 1 · 10, luego β2 = 1.mcd(m3,M3) = 1, 1 = (−1) · 5 + 1 · 6, luego β3 = 1.
Por tanto una solucion es x = a1β1M1 + a2β2M2 + a3β3M3 = 53.Las soluciones son los enteros congruentes con 53 modulo 30.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 72 / 79
Congruencias
Ejemplo 3.4.5
Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:
x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)
Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.
Por la identidad de Bezout tenemos
mcd(m1,M1) = 1, 1 = (−7) · 2 + 1 · 15, luego β1 = 1.mcd(m2,M2) = 1, 1 = (−3) · 3 + 1 · 10, luego β2 = 1.mcd(m3,M3) = 1, 1 = (−1) · 5 + 1 · 6, luego β3 = 1.
Por tanto una solucion es x = a1β1M1 + a2β2M2 + a3β3M3 = 53.Las soluciones son los enteros congruentes con 53 modulo 30.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 72 / 79
Congruencias
Ejemplo 3.4.5
Resolvamos el siguiente sistema de congruencias:
x ≡ 1 (mod 2)x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)
Siguiendo la notacion de la demostracion anterior, en nuestro casotenemos m1 = 2,m2 = 3,m3 = 5, M = 30,M1 = 15,M2 = 10 y M3 = 6.Por la identidad de Bezout tenemos
mcd(m1,M1) = 1, 1 = (−7) · 2 + 1 · 15, luego β1 = 1.mcd(m2,M2) = 1, 1 = (−3) · 3 + 1 · 10, luego β2 = 1.mcd(m3,M3) = 1, 1 = (−1) · 5 + 1 · 6, luego β3 = 1.
Por tanto una solucion es x = a1β1M1 + a2β2M2 + a3β3M3 = 53.Las soluciones son los enteros congruentes con 53 modulo 30.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 72 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Unidades de Z/Zm
Teorema (Unidades de Z/Zm)
El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es
Um = {a + Zm | mcd(a,m) = 1, 0 ≤ a < m}.
Observacion (3.5.1)
El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. De hecho
Up = {1 + Zp, . . . (p − 1) + Zp}
y |Up| = p − 1.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 73 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Unidades de Z/Zm
Teorema (Unidades de Z/Zm)
El grupo de las unidades del anillo Z/Zm es
Um = {a + Zm | mcd(a,m) = 1, 0 ≤ a < m}.
Observacion (3.5.1)
El conjunto Z/Zp es un cuerpo si y solo si p es primo. De hecho
Up = {1 + Zp, . . . (p − 1) + Zp}
y |Up| = p − 1.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 73 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
El teorema de Fermat
Figura: Pierre de Fermat
Teorema ((Pequeno) teorema de Fermat (1640))
Si p es un numero primo y no divide a un entero a entonces
ap−1 ≡ 1(mod p).
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Los teoremas de Fermat y de Euler
La funcion de Euler
Definicion (Funcion φ o indicatriz de Euler)
A la cantidad de numeros enteros a, 1 ≤ a ≤ m, que son primos con m sele denota por φ(m), la funcion φ o indicatriz de Euler. Es decir,
φ(m) = |Um|.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Propiedades de la funcion de Euler
Observacion (3.5.2)
Sea p ∈ N, p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.
Proposicion (3.5.3)
Sea p ∈ N primo, entonces φ(pr ) = (p − 1)pr−1.
Teorema (3.5.4)
Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 76 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Propiedades de la funcion de Euler
Observacion (3.5.2)
Sea p ∈ N, p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.
Proposicion (3.5.3)
Sea p ∈ N primo, entonces φ(pr ) = (p − 1)pr−1.
Teorema (3.5.4)
Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 76 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Propiedades de la funcion de Euler
Observacion (3.5.2)
Sea p ∈ N, p es primo si y solo si φ(p) = p − 1.
Proposicion (3.5.3)
Sea p ∈ N primo, entonces φ(pr ) = (p − 1)pr−1.
Teorema (3.5.4)
Sean m y n dos enteros primos entre si, entonces φ(mn) = φ(m)φ(n).
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Calculo de φ(n)
Corolario (3.5.5)
Sea n un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr su descomposicion en factores primos,entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r .
Observacion (3.5.6)
Si n es un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr es su descomposicion en factoresprimos, entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r = n
(1− 1
p1
)· · ·(
1− 1
pr
).
Ejemplo (3.5.7)
φ(360) = φ(23325) = φ(23)φ(32)φ(5) = (2− 1)22(3− 1)3(5− 1) = 96.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Calculo de φ(n)
Corolario (3.5.5)
Sea n un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr su descomposicion en factores primos,entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r .
Observacion (3.5.6)
Si n es un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr es su descomposicion en factoresprimos, entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r = n
(1− 1
p1
)· · ·(
1− 1
pr
).
Ejemplo (3.5.7)
φ(360) = φ(23325) = φ(23)φ(32)φ(5) = (2− 1)22(3− 1)3(5− 1) = 96.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 77 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Calculo de φ(n)
Corolario (3.5.5)
Sea n un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr su descomposicion en factores primos,entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r .
Observacion (3.5.6)
Si n es un entero y n = pn11 pn2
2 · · · pnrr es su descomposicion en factoresprimos, entonces
φ(n) = (p1 − 1) · · · (pr − 1)pn1−11 · · · pnr−1
r = n
(1− 1
p1
)· · ·(
1− 1
pr
).
Ejemplo (3.5.7)
φ(360) = φ(23325) = φ(23)φ(32)φ(5) = (2− 1)22(3− 1)3(5− 1) = 96.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler
Figura: Leonhard Euler
Teorema (Teorema de Euler (1736))
Sea a + Zm una unidad en Z/Zm. Entonces
aφ(m) ≡ 1(modm).
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.
Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).
Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.
Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.
Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
Olalla (Universidad de Sevilla) El anillo de los numeros enteros Noviembre de 2018 79 / 79
Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).
De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
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Los teoremas de Fermat y de Euler
Teorema de Euler (Ejemplo 3.5.8)
Calcular el resto de dividir 623475827 entre 20.Como 62347 = 3117 · 20 + 7, entonces 623475827 ≡ 75827 (mod 20).Ademas 7 es primo con 20, luego podemos aplicar el teorema de Euler.Por un lado φ(20) = 8, por otro, si dividimos 5827 entre 8 se obtiene5827 = 728 · 8 + 3.Por el teorema de Euler 78 ≡ 1 (mod 20), luego
75827 = (78)72873 ≡ 73 (mod m).
7 · 7 = 49 y 49 ≡ 9(mod 20). Luego 73 ≡ 9 · 7 (mod 20) y 63 ≡ 3 (mod 20).De donde el resto de dividir 623475827 entre 20 es 3.
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