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MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
Departamento de Matemática
TRIMESTRE: ___I___
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
7 GRADO
PROFESORES:
INDIRA HERNÁNDEZ
ASCANIO TEJADA
ELIDA ACOSTA
OSCAR RUBATTINO
13 de agosto de 2020
TEMA: 1
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES ……………
LA SUMA O ADICIÓN ……………………………
LA RESTA O SUSTRACCIÓN ……………………….
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES …….
DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES ………….
TEMA: 2
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS ………………
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA ………….
TEMA: 3
EL PLANO CARTESIANO …………………………………
T EMA: 4
OPERACIONES CON LOS NUMEROS ENTEROS ………………
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS …………………………
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ………………….
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS ……………
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS …………………………
TEMA: 5
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES ……………
VALOR ABSOLUTO DE UN NÙMERO RACIONAL …….
RELACIÓN DE ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES …
TEMA: 6
OPERACIONES CON LOS NUMEROS RACIONALES ……………
ADICIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES …………….
SUSTRACCIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES ……….
MULTIPLICACIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES ……
DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS RACIONALES ……………….
BIBLIOGRAFIA
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El año 2020 nos ha situado en una nueva realidad que nos exige generar cambios en nuestra
forma de educar. Hoy día, es normal manejarnos con medios tecnológicos, pero dada la
situación que se ha generado a nivel mundial es imprescindible que nuestra educación no se
detenga. De allí que se nos hace un llamado a que todos pongamos a disposición del bien de
la comunidad educativa, cada uno de los recursos y competencias que sirvan para continuar
con miras a buscar nuevos rumbos que hagan la diferencia en nuestra realidad. Para ello
todos debemos poner de nuestra parte, siendo agentes activos en la construcción del
aprendizaje.
PRESENTACIÓN
Sé tu mayor competidor. Desafíate cada día a ti
mismo para ser mejor de lo que fuiste ayer.
Kaoru
INDICACIONES GENERALES
Te presentamos una Guía Didáctica, en la que encontrarás los temas del I Trimestre
juntamente con algunas prácticas que tienen sus respuestas para que evalúes tus aprendizajes.
Este trabajo requiere que aportes mucho entusiasmo y deseos de superación y requiere
cumplir algunas indicaciones:
• Lea con mucha atención las indicaciones.
• Revisa cuidadosamente el material, las veces que lo consideres necesario.
• Resuelve las actividades asignadas, a conciencia.
Ánimo, no estamos solos y
como equipo lograremos
hacer cambios que
marcaran nuevas rutas.
OBJETIVOS DE GENERALES
• Efectuar operaciones básicas en el conjunto de los números naturales.
• Demuestra habilidad en la lectura y representación de puntos en el plano cartesiano.
• Aplica correctamente la regla de los signos y las propiedades en las operaciones con los enteros.
• Emplea los números racionales, para resolver ejercicios y problemas en situaciones
del contexto aplicando sus propiedades y algoritmo.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
➢ Resolver Operaciones básicas del conjunto de los Números Naturales
➢ Define y caracteriza el conjunto de los Números Enteros
➢ Identifica y resuelve operaciones en el conjunto de los Números enteros.
➢ Define y denota el conjunto de los números racionales.
➢ Identifica y resuelve operaciones en el conjunto de los Números Racionales.
INDICADORES DE LOGRO
• Identifica correctamente las operaciones básicas utilizadas:
Realiza correctamente las operaciones básicas con números naturales
• Define y caracteriza el conjunto de los números enteros.
Señala todos los elementos de la recta numérica
Explica las características de la recta numérica en forma horizontal o vertical
Localiza de forma correcta los números enteros en la recta numérica
Dibuja con precisión el plano cartesiano y señala los elementos.
• Identifica con seguridad las operaciones, sus términos y signos operacionales.
Enuncia correctamente la ley de los signos de las operaciones de números enteros.
• Define y denota los números racionales.
Identifica correctamente los números racionales.
Nombra con precisión diferente números racionales.
Aplica el valor absoluto según la definición.
Compara números racionales utilizando los signos de relación de orden (<,>, =).
• Identifica correctamente las operaciones básicas y sus términos. Identifica correctamente operaciones básicas y sus términos.
Realiza operaciones básicas de números racionales aplicando las reglas.
Aplica las propiedades de la potenciación de números racionales
6
25 417 – 8726 25417
- 8726
16691
Los números los usamos para contar, ordenar, medir,
nombrar y para algo muy importante calcular y
resolver problemas.
Muy relacionadas con el cálculo y la solución de
problemas encontramos a las operaciones básicas de
cálculo con números naturales. Entre estas
operaciones tenemos la adición y la sustracción.
Operación que consiste en reunir varias cantidades en una sola.
• Para sumar: Alineamos los números por la derecha.
Empezamos a sumar de derecha a izquierda.
Ejemplo: Analiza los siguientes ejemplos:
Consiste en quitar una cantidad de otra para encontrar un resultado.
La sustracción es la operación opuesta a la adición.
Para restar dos números naturales, se colocan alineados por la derecha de modo que
coincidan los valores de posición de las cifras. Ejemplo:
TEMA: 1
OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES
Términos de la sustracción
Términos de la adición
83502
+ 234
83736
En algunos problemas se usa el punto
para separar las cantidades de miles y
no se confunda
72596
+ 35942
108538
7
Ejemplo:
Analiza los siguientes ejemplos:
III.
La multiplicación es una suma Ejemplo: 1240 x 25
abreviada de
sumandos iguales, que pueden
repetirse muchas veces.
Ejemplo: Analiza los siguientes ejemplos:
25461
× 405
127305
0
101844__
10311705
45215
× 3246
271290
180860
90430
135645____
146767890
8
¡Cuántas veces hemos deseado repartir cierto número de elementos entre determinado
número de personas!
La división nos permite averiguar cuantas veces una
cantidad está contenida en otra.
Ejemplo:
Separamos el dividendo (84500) en la misma cantidad de
números del divisor (26), si la cantidad tomada en el
dividendo (84) es mayor o igual que la del divisor (26)
veremos cuantas veces contiene el 84 al 26, sino la
cantidad separada fuera menor que el divisor, tomamos la
siguiente cifra.
El 26 está contenido 3 veces en el 84, ya que, 26 x 3 = 78
y nos sobran 6 unidades.
Luego, bajaremos la cifra de las centenas (5)
como muestra la figura y veremos cuantas
veces está contenido el 26 en el 65. El 26 está
contenido 2 veces en el 65, ya que, 26 x 2 = 52
y nos sobran 13 unidades.
Bajaremos ahora la cifra de las decenas (0),
como muestra la figura y veremos cuantas
veces está contenido el 26 en el 130. El 26
está contenido 5 veces exactas en el 130, ya
que, 26 x 5 = 130.
Por último, bajamos la cifra de las
unidades (0) y como el 26 no está
contenido en el 0, ponemos un 0 en
el cociente y tenemos un resto de 0
Términos de la división
Dividendo divisor
20 ÷ 5 = 4
cociente
9
Ejemplo: Analiza los siguientes ejemplos:
1.- Resuelve estos problemas:
➢ 6834 + 15 + 784 =
➢ 5000 + 6938 + 20305=
➢ 64000 – 9538 =
➢ 4196 – 208 =
2.- Une cada operación con su resultado:
7815 – 4936 985
239 + 746 545
1487 – 942 2879
2142 + 195 2337
3.- Multiplicar: 1) 2136 X 35
2) 326 X 754
3) 30000 X 100
4) 325 X 309
4.- Divida:
❖ 168 ÷ 24
❖ 1120 ÷ 56
❖ 1500 ÷ 100
805 ÷ 35 = 23
70
105
105
----
6432 ÷ 16 = 402
64
---32
32
---
No olvides
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11
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Áreas: aritmética- geometría valor: 15 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I CIERTO Y FALSO:
Coloque: c al concepto cierto y f concepto falso valor: 5 puntos
1- la adición y la sustracción son dos operaciones de los números naturales. ____
2- la diferencia es el resultado de la sustracción. ………………………… ____
3- el cuadrado es un cuadrilátero. …………………………………………… ____
4- el dividendo es el resultado de la división…………………………………… ____
5- los triángulos tienen tres ángulos y cuatro lados. …..…………………… . ____
II. Escoger la respuesta correcta valor: 8 puntos
Encierre la respuesta correcta al resolver las operaciones obtengo los siguientes resultados
1) 345 + 172 + 640 + 50 el resultado es:
a)1657 b)5757 c)12507 d) ninguno
2) El resultado de la diferencia de 346 – 78
a)268 b)332 c)266 d)278
3) Al multiplicar 68x35 su respuesta es
a)544 b)3604 c)238 d)2380
4) Cuando dividimos 268 entre 4 el resultado es
a)67 b) 61 c) 68 d) ninguna
III. Resolver problemas: valor: 2 puntos
En el Instituto Rubiano en la Premedia hasta el mes de febrero matricularon 764 estudiantes
en 7º, 618 en 8º y 455 en 9º. cuantos estudiantes se matricularon en la Premedia: subraye la
respuesta correcta.
a)2837 b)1737 c)1837 d)1857
12
¿Cuándo surgieron los números tal y como hoy los conocemos? Los números son el
alfabeto universal del lenguaje de las matemáticas. Las diferentes culturas han ido
utilizando este alfabeto según iban descubriendo nuevos números
Los números falsos Así llamaron durante muchísimos años a los números que hoy llamamos
negativos. Grandes matemáticos, cuando realizaban complicadas operaciones y daban
resultados negativos, solían llamarlos absurdos y que aquellas soluciones eran
imposibles. Ya, mucho antes que ellos, los comerciantes chinos usaban en sus cuentas dos
colores: los números de las deudas en color
rojo y los que no lo eran en color negro (Figura
15). En la India, también se distinguían estos
números como cantidades que se debían. De
ellos lo aprendieron los árabes. Y, así, durante
la Edad Media, los comerciantes italianos, al
navegar por todo el Mediterráneo y comerciar
con el norte de África, conocieron estos
números y se los enseñaron a sus colegas de
toda Europa. Pero se les seguía considerando
como deudas. Poco a poco, la práctica
comercial les fue dando impulso hasta que,
por fin, se les dejó de considerar como números falsos o absurdos.
Hasta este momento hemos utilizado los números naturales, los cuales tuvieron su origen en
la necesidad que tenía el ser humano de contar objetos o medir superficies.
Sin embargo, estos números no son suficientes para representar algunas cantidades, ni
expresar situaciones diferentes. Es decir, se nos presentan algunas restricciones para
resolverlas o darles solución.
Para dar solución a todos los problemas anteriores nos vemos en la necesidad de emplear otro
conjunto de números llamado conjunto de los números enteros.
En el conjunto de los números naturales N, no tiene sentido considerar restas tales como
9 – 10, por ejemplo, esta resta significa de 9 elementos quitar 10. Por esa razón, ampliamos
el conjunto de los números naturales, a otro conocido como el conjunto de números enteros.
TEMA: 2
EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS ENTEROS
La maravillosa historia de los números. Museo Virtual de la Ciencia del CSIC.
2004
13
El conjunto de números enteros, simbolizado por Z, se origina con la
introducción de los números enteros negativos.
En la vida cotidiana, el ser humano está habituado a emplear los
números enteros al indicar: temperaturas inferiores o superiores a los 0°,
al hablar de ingresos y egresos de dinero, al señalar los goles a favor o
los goles en contra de un equipo de fútbol, al representar
desplazamientos hacia la derecha o hacia la izquierda, o al referirse a los
niveles superiores e inferiores en ciertos edificios o centros comerciales. En síntesis, son
muchas las situaciones en las cuales el ser humano ha necesitado considerar un conjunto de
números distinto al conjunto de los números naturales N.
Estos números, que forman el conjunto de los números negativos se simbolizan Z− y se
representa por los números naturales precedidos por el signo menos, así:
Z− = {…, -5, -4, -3, -2, -1}.
Por su parte, el conjunto de los números naturales es considerado como el conjunto de los
números enteros positivos, los cuales forman el conjunto Z+ y se representan así:
Z+ = {1, 2, 3, 4, 5…}.
El número 0 pertenece al conjunto de los números enteros y es el único que no se considera
negativo o positivo.
A continuación, se muestra una situación en la cual se utilizan números enteros.
Un edificio tiene un ascensor que sirve para llevar a las personas hasta uno de los cinco pisos,
a una planta baja o a uno de los tres sótanos. Esto se puede mostrar así:
Se asignan números enteros positivos para indicar los pisos, el cero para indicar la planta baja y los números enteros negativos para indicar los sótanos.
DEFINICIÓN DEL CONJUNTO DE LOS ENTEROS
14
Ejemplos
Simbolizar las siguientes situaciones mediante números enteros:
a. Un submarino se encuentra a 1.500 m de profundidad.
Como es una profundidad, se expresa mediante un entero negativo así: - 1.500.
b. La lombriz Alvinella Pompejana puede sobrevivir a una temperatura de 105 °C.
Como es una temperatura mayor que cero se expresa como: + 105 ó sin signo 105
c. La pérdida generada al vender un producto fue de B/. 3500.
Como se perdió dinero, entonces, la cantidad se expresa como -3500
REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA.
Para representar números en la recta numérica, seguimos los siguientes pasos:
✓ Construimos una recta horizontal. También puede ser vertical
✓ Ubicamos un punto sobre la recta que llamaremos cero.
✓ Dividimos la recta en segmentos iguales a la derecha e izquierda del cero.
✓ A cada marca se le asigna un número entero, a la derecha ubicamos los números enteros
positivos y a la izquierda los números enteros negativos, como se muestra a continuación.
15
Resuelve en tu cuaderno las siguientes actividades, ya sabes el proceso.
1. Observa los datos que te hemos dado sobre los números enteros y confecciona un mapa
conceptual que muestre el título, los conjuntos de números y el cero que lo compone y
cómo se representa.
2. Identifique y complete. Escribe el número entero que exprese cada una de las
situaciones propuestas.
Situación Número
entero
Situación Número
entero
7 grados bajo cero El año actual
33 grados sobre cero Cantidad de dedos de una
mano
Ganó 137 dólares en la venta Estamos justo al nivel del
mar
25 dólares en deudas Luz descendió 18 pisos
Luis fue hacia el norte 25 metros Javier subió 742 escalones
300 metros bajo el nivel del mar Ingrese 320 dólares a mi
cuenta
El Everest tiene una altura de
8848 metros sobre el nivel del
mar.
Lorena camino 500 metros a
la derecha
3. Analiza las siguientes situaciones
- La persona, ¿Tenía dinero o lo debía?
____________________________
- ¿Tiene dinero en la cuenta, el señor
Daniel?
________________________________
- ¿Sé representarán estas cantidades
como positivos o negativos?
_______________________________
- ¿Cree que podrá utilizar la Tarjeta para
otra compra?
________________________________
ACTIVIDADES
16
4. Representación.
a) Dada la siguiente recta encierra en un círculo de color amarillo el número cero, azul
los números a la izquierda de cero y en rojo los números a la derecha. Escríbeles el
nombre correspondiente.
b) Dibuje la recta numérica y represente sobre ella los siguientes números enteros: - 2,
- 5, 0, + 4, +3, -7, +8, -1, -9
c) En el apartado anterior nos indican cómo es el comportamiento de los números en la
recta numérica colocada horizontal. Aplicamos el mismo razonamiento colocando los
números en la recta numérica vertical. Tomando en cuenta que, cuándo se asciende
partiendo del cero el número es positivo de lo contrario (desciende) es negativo.
Ubica los números 3, -4, 5, -1
17
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Los números enteros valor: 20 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I. Identifique y complete. Escribe el número entero que exprese cada una de las situaciones
propuestas. 14 puntos
Situación Número
entero
Situación Número
entero
13 grados bajo cero La planta baja de un edificio
19 grados sobre cero Javier subió 13 escalones
Ahorre 10 balboas 10 años antes de Cristo
2500 dólares de deuda Camine 10 metros a la
derecha
El Everest tiene una altura de
8848 metros sobre el nivel del
mar
Disminuyo el ingreso en 10
1974 años después de Cristo 35 minutos después
Regrese 10 metros 10 metros antes del punto
II. Representación. Dibuje la recta numérica y represente sobre ella los siguientes números
enteros: - 2, - 5, 0, + 4, +3, -7, +8 6puntos
18
El plano cartesiano es un sistema de coordenadas que se utiliza para localizar puntos en el
plano. Está formado por dos rectas perpendiculares (que se cruzan formando 4 ángulos rectos
como en una cruz), dichas rectas se denominan ejes, y el punto donde se cortan recibe el
nombre de origen y corresponde al punto (0,0).
La recta horizontal se denomina eje x o eje de las abscisas.
La recta vertical se denomina eje y o eje de las ordenadas.
En el eje x están los números positivos hacia la derecha del origen y en el eje y hacia
arriba.
En el eje x los números negativos están hacia la izquierda del origen y en el eje y
están hacia abajo del origen.
En el plano cartesiano cada punto se localiza por medio de un par ordenado, de la
forma (a, b) donde a es la primera coordenada o abscisa y la segunda coordenada es
b también llamada ordenada.
Los pares ordenados en el primer cuadrante serán (+, +)
Los pares ordenados en el segundo cuadrante serán (-, +)
Los pares ordenados en el tercer cuadrante serán (-, -)
Los pares ordenados en el cuarto cuadrante serán (+, -)
TEMA: 3
EL PLANO CARTESIANO
19
Para representar una pareja ordenada (a, b) en el plano
cartesiano se realizan los siguientes pasos.
• Se localizan la abscisa sobre el eje x y la ordenada sobre el
eje y.
• Posteriormente, se traza por a una recta vertical y por b una
recta horizontal. La intersección de estas rectas representa el
punto donde está ubicada la pareja (a, b).
• Finalmente, se nombra el punto con una letra mayúscula, así:
P (a, b), es decir, el punto P de coordenadas (a, b).
A todo par ordenado de números enteros le corresponde un punto en el plano.
Recíprocamente, a todo punto del plano le corresponde un par ordenado de números, aunque
no necesariamente enteros.
Los pares ordenados no son conmutativos: (a, b) ǂ (b, a).
Ejemplo
1. Representar en el plano
cartesiano cada pareja ordenada.
Luego, determinar en cuál cuadrante
se encuentra ubicado el punto
correspondiente.
a. D (-3, -2)
Primero, se ubica el número -3 en el eje
horizontal, luego, se ubica el número -2
en el eje vertical.
Después, se traza una recta vertical por
-3 y una recta horizontal por -2. El
punto se ubica en la intersección de las
dos rectas.
El punto está ubicado en el tercer
cuadrante.
2 escribir las coordenadas de cada punto
que se indica en el siguiente plano:
Por cada punto, se escribe primero la
coordenada correspondiente al eje horizontal y
luego se escribe, la coordenada del eje vertical.
Para el punto P, por ejemplo, la coordenada
horizontal es 5 y la coordenada vertical es 2.
Luego, las coordenadas son P (5, 2).
Las parejas ordenadas son:
P (5, 2) S (24, 21)
Q (4, 0) T (24, 2)
R (0, 23) U (3, 25)
20
b. C (1, 24)
Siguiendo el procedimiento para
graficar, el punto se ubica en el plano
cartesiano de la siguiente manera:
3. El pirata Barba negra está buscando un
tesoro, para ello debe seguir las instrucciones
que aparecen a continuación:
• Punto de referencia (-3, -3).
• Siete pasos hacia la derecha.
• Dos pasos hacia arriba.
• Tres pasos hacia la izquierda.
• Dos pasos hacia arriba.
Determinar las coordenadas del punto donde se
encuentra el tesoro a partir del mapa.
Primero se ubica el punto de referencia y luego,
se indican sobre el mapa los pasos de las
instrucciones
Las coordenadas del punto donde se encuentra
el tesoro son T (1, 1).
21
Ya estás preparado, resuelve el material en tu cuaderno, verifica y aclara dudas.
1. Determina las coordenadas de los puntos que están ubicados en el siguiente plano
cartesiano.
A (__, __), B (__, __), C (__, __), D (__, __), E (__, __). F (__, __), G (__, __), H (__, __),
I (__, __), J (__, __), K (__, __), L (__, __),
2. Ubica cada grupo de puntos en el plano cartesiano. A (-2, 2), B (-3, 0), C (5, -2),
D (2, 2), E (-5, -2). F (0, -2), G (-2, -5),
3. Escribe dos puntos que cumplan con la condición dada en cada caso.
a. Con abscisa cero. ______________________________________
b. Con ordenada negativa. __________________________________________
c. Con la misma ordenada. ____________________________________________
d. Con ordenada cero y abscisa negativa. _______________________________
4. Une con segmentos los puntos e identifica la figura que se forma.
(–3, 1), (–2, 2), (–2, 7), (0, 10), (2, 7), (2, 2), (3, 1), (3, –2), (0, 0) y (–3, –2)
ACTIVIDADES
22
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
23
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Plano Cartesiano valor: 20 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
1. Determina las coordenadas de los puntos que están ubicados en el siguiente plano
cartesiano. 12 puntos
A (__, __), B (__, __), C (__, __), D (__, __), E (__, __). F (__, __)
II. Representa los siguientes pares ordenados en el plano; después únelos mediante
segmentos en orden alfabético. 8 puntos.
A (2, -2), B (5, 1), C (2, 4) y D (2, 2)
En la vida diaria, existen situaciones que requieren que agreguemos, quitemos, sumemos
varias veces la misma cantidad o dividamos cantidades, utilizando cantidades positivas y/o
las negativas, por esa razón plantearemos reglas que nos facilitarán resolver cada una de las
operaciones
TEMA: 4
OPERACIONES CON LOS NUMEROS ENTEROS
24
Para resolver operaciones de adición usamos las siguientes reglas
1. Cantidades con signos iguales se suman y se deja el mismo signo.
Ejemplos: Analiza los siguientes casos de sumas con signos iguales
c.
d.
2. Cantidades con signos diferentes, se restan y al resultado se le coloca el signo del
número con mayor cantidad.
Ejemplos: Analiza los siguientes casos de sumas con signos diferentes.
c.
d
Observa el ejemplo,
a. (-7) + (-4) = -11
b. +4 + 9 = +13
Ambos enteros tienen igual signo
negativo, por lo tanto, se sumaron.
Como los dos signos son - son iguales, el
resultado lleva el signo -
Ambos enteros tienen igual signo positivo,
por lo tanto, se sumaron.
Como los dos signos son + son iguales, el
resultado lleva el signo +
Podemos representar la suma con
el signo de más y paréntesis.
(-7) + (-4)
o no utilizar ni el signo de más,
ni el paréntesis
= -7 -4
a. (+3) + (-7) = -4 b. (-4) + (+9) = +5 Los números que tienen signo
diferente, por lo tanto, se restan.
El número que tiene mayor
cantidad es el 7, por lo tanto, se
coloca el signo de él.
Los números tienen signo diferente, por lo
tanto, se restan.
El número que tiene mayor cantidad es el
9, por lo tanto, se coloca el signo de él.
ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
25
Calcula:
a. – 3 – 5 + 8
= - 8 +8
= 0
b. – 2 + 4 + 3 -7
= - 9 + 7
= - 2
c. 5 + 4 +3 – 6
= 12 -6
= 6
Pasos
-3 -5 = - 8
- 2 -7 = -9
4+ 3 = 7
5 +4 + 3 = 12
Para restar números enteros debemos seguir los mismos procedimientos de la suma,
teniendo en cuenta que:
1. Cuando un número entero encerrado entre paréntesis tenga delante un signo menos, se
elimina el paréntesis y se cambia el signo del número.
Por ejemplo, -(+3) = -3 Cambia de signo
-(-5) = + 5 Cambia de signo
-(-7) = +7 Cambia de signo
2. Signos iguales se suman y se coloca el mismo signo de los números.
3. Signos diferentes se restan y se coloca el signo del número que tiene mayor cantidad.
Ejemplos: Analiza los siguientes casos de sustracciones.
c. 20 – (- 5) = 20 + 5 = 25
a. (-8) - (-17) = -8 + 17 = 9 b. 7 - (-9) = 7 + 9 = 16
El signo de – hace que la segunda cantidad
cambie de signo y aplicamos las reglas de
la suma, ya trabajado.
El signo de – hace que la segunda cantidad
cambie de signo y aplicamos las reglas de
la suma, que hemos estudiado.
SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
26
d. -12 – (3) = - 12 – 3 = -15
1. Calcula aplicando la regla de la adición.
2. Calcula.
Se aplica la regla: -(+a) = - a
- (-a) = +a
Un menos delante de un paréntesis, se elimina el paréntesis y se le cambia el signo al número
27
3. Resuelve.
4. Alonso tiene ahorrado B/. 520, sale a comprar una Tablet cuyo precio en ofertas es de
B/. 59, un teléfono celular a B/. 194 y un TV de plasma en B/. 261. ¿Le sobrará o le faltará
dinero?, ¿cuánto?
28
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Operaciones con Enteros valor: 20 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I Resuelve aplicando la adición de números enteros 5 ptos
a) - 3 + 10 =
b) – 6 + 2 =
c) 7 + 2
d) 15 + 7=
e) -6 + (-2) =
II. Calcula 6 ptos
a) . 9 + (- 8) + 4 b) 2 – 4 + 4 - 7 c) – 231 + 340 + 23
III. Resuelva ordenadamente 10 puntos
a) - 21 – (- 12)
b) 30 – (- 15)
c) 47 – (21)
d) – 120 – (- 40)
e) 500 – (- 80)
29
Para multiplicar números enteros primero multiplicamos los signos y
después las cantidades
Ejemplos: Analiza las siguientes multiplicaciones.
c. (6) (6) = 36
d. (-10) (50) = - 500
Observación:
Ejemplos: Resuelva los siguientes problemas
1. (5)(8) (-2)
El producto de los números es 80 y el de los signos es negativo (-). Entonces,
(5)(8) (-2) = -80.
2. (-9) (-6) (1)
El producto de los números es 54 y el producto de los signos es positivo (+). Entonces,
(-9) (-6) (1) = 54.
3. (-3) (5) (-10) (-2) El producto de los números es 300 y el producto de los signos es
negativo (-). Entonces, (-3) (5) (-10) (-2) = -300.
En la multiplicación con los números
enteros se pueden utilizar signos como
la “x”, el punto (.) y entre paréntesis ().
Para manejar mejor la visualización del
problema usaremos paréntesis.
Así
3 ˑ 2 = (3) (2) = 3×2
a. (-8) (-7) = 56
b. (-6) (+9) = - 54
Primero multiplicamos los signos – x - = +.
Y después los números 8 x 7 = 56
Primero multiplicamos los signos – x + = -
Y después los números (6)(9) = 54
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Cuando se presentan varios factores
se pueden agrupar y realizar las
multiplicaciones sucesivas
30
Para dividir números enteros, primero dividimos los signos y
después dividimos las cantidades, la ley de los signos para la
división es la misma que la de la multiplicación, solo cambia la
operación, pero por aquí la dejamos.
Ejemplos:
c. (−88) ÷ 1 = −88
d. 15 ÷ 3 = 5
e. – 49 ÷ 7 = − 7
¡Vamos con ánimo! Te esperan nuevas actividades lo que
señala que vamos avanzando, no te detengas, sino comprendes
algún problema consulta nuevamente los ejemplos. Recuerda, lápiz y borrador. Y
resolverlos en tu cuaderno, el secreto ser ordenado.
1. Resuelve aplicando lo aprendido
a) (−2) (−4) =
b) (7) (− 3) =
c) (−6) (8) =
d) (−9) (−6) =
e) 5 ˑ 4 =
f) (−7) (−2) =
g) (+10) (+4) =
h) (−8) (6) =
En la división con los números enteros se pueden
utilizar signos como la “÷”, el (/). Eso significa
que toda fracción es una división. Para manejar
mejor la visualización de algunos problemas
usaremos paréntesis para escribir el número
después del signo entre si es negativo
Así
3 ÷ 2 = 3
2
a. (-24) ÷ (-8) = 3
b. 12 ÷ (−3) = −4
Primero dividimos los signos – ÷ − = +.
Y después los números 24 ÷ 8 = 3
Primero dividimos los signos + ÷ − = −
Y después los números 12 ÷ 3 = 4
DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
31
II. Calcula
III. Resuelve las operaciones:
32
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Operaciones con Enteros valor: 15 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I Resuelva las siguientes multiplicaciones 5 ptos
a) (5) (7) =
b) (75) (- 8) =
c) (- 1) (720) =
d) (- 4) (- 4) =
e) (- 3) (- 10) =
II. Calcule las siguientes operaciones 6 ptos
a) (-4) (35)(2)
b) ( -4) (85) (0)
c) (3) (-6) (-1) (-2)
III. Realiza las siguientes divisiones 5 ptos
a) - 300 ÷ -10 =
b) 176 ÷ - 2 =
c) 144 ÷ 12 =
d) -180 ÷ -9 =
e) 375 ÷ -3 =
33
Seis alumnos del Instituto Rubiano compraron una pizza. Si cada uno
colaboró con igual cantidad de dinero, ¿qué parte de la pizza le
corresponde a cada uno?
¿Cómo represento la parte que a cada uno le corresponde?
Para representar esta situación, existe un conjunto de números. Es el
llamado conjunto de los NÚMEROS RACIONALES. El concepto de número racional
surge a partir de la idea intuitiva de dividir una totalidad en partes iguales.
El conjunto de los números racionales se simboliza Q y se define como el conjunto de
cocientes entre dos números enteros, es decir,
¿Cómo se representan los números racionales?
Analizando la situación anterior, la pizza representa la unidad (1unidad), y la dividiremos
en 6 partes, cada estudiante tomara 1 de 6 lo que corresponde a 1
6
Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b, que representamos de la siguiente
forma:
7, numerador de la fracción, es el número de partes que
se considera de la unidad o total.
4, denominador, indica el número de partes en que se ha
dividido la unidad.
TEMA: 5
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS RACIONALES
34
Observa los ejemplos: escribe la fracción que corresponde a la región coloreada.
1
8
3
8
3
8
3
4
El valor absoluto de un número se representa así:
+5
-5
¿Cuál es el valor absoluto en los siguientes números racionales Q?
OBSERVA LOS EJEMPLOS
a)
|−4
5 | =
4
5
b)
|+1
8 | =
1
8
c)
|−2
38 | =
2
38
d)
|−20
400 | =
20
400
e)
|64
37 | =
64
37
Como convertir una fracción a decimal.
Ejemplos
Para convertir una fracción a decimal dividimos el
numerador entre el denominador. Así,
5 es la solución. O sea que se
omite el signo. Solo tomamos la
cantidad que es 5
a
1
2=
1 ÷ 2 =
0.5
b
3
4=
3 ÷ 4 =
0.75
c
2
3=
2 ÷ 3 =
0,6666
d
9
5=
9 ÷ 5 =
1.8
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO RACIONAL
35
SIMBOLO SE LEE > Es mayor que
< Es menor que
= Es igual que
Al igual que en los números enteros podemos comparar números racionales
El 0 es mayor que todo negativo
El 0 es menor que todos los positivos. 0 ˃ -
𝟐
𝟑
0 ˂ 𝟐
𝟑
Toda cantidad positiva es mayor que toda cantidad
negativa.
𝟑
𝟒 ˃ -
𝟓
𝟖
Todo número a la derecha de otro es mayor, para compararlos si tienen igual signo,
podemos:
✓ Si tienen el mismo denominador, basta con
comparar los numeradores, es mayor el que
tiene mayor numerador
✓ También podemos dividir las fracciones y
convertirlas en notación decimal. Y comparar
los decimales.
𝟔
𝟓 ˃
𝟏
𝟓
1.2 ˃ 0. 2
Otra forma seria multiplicar en cruz las fracciones y luego comparar los productos
cruzados
𝒂
𝒃 ˃
𝒄
𝒅 sí y solo si (a) (d) ˃ (b) (c)
𝟏
𝟐 __
𝟏
𝟑
𝟏
𝟐 ˃
𝟏
𝟑
(1) (3) __ (2) (1)
3 ˃ 2
𝒂
𝒃 ˂
𝒄
𝒅 sí y solo si (a) (d) ˂ (b) (c)
−𝟑
𝟐 __ −
𝟓
𝟒
−𝟑
𝟐 ˂ −
𝟓
𝟒
(-3) (4) __ (2) (-5)
-12 ˂ -10
𝒂
𝒃 ˭
𝒄
𝒅 sí y solo si (a) (d) ˭ (b) (c)
𝟕
𝟑 __
𝟐𝟏
𝟗
𝟕
𝟑 ˭
𝟐𝟏
𝟗
(7) (9) __ (3) (21)
63 = 63
RELACIÓN DE ORDEN DE LOS NÚMEROS RACIONALES
36
Ejemplo: Dado las siguientes fracciones coloque el signo ˃, ˂, ˭ según sea el caso, use el
método que le sea más fácil de los presentados aquí proponemos algunas formas.
Aquí estamos de nuevo preparando otra resolución con tu cuaderno, tu lápiz y tu borrador,
listos para iniciar otra asignación. Recuerda realizar todas las operaciones y al finalizar
comparar tus resultados. Cualquiera duda estamos listos para ayudarte, pero primero lee y
revisa bien la teoría dada.
I. Encuentra el valor absoluto de las siguientes cantidades
1) |−5
7 | =
52) |7
15 | =
3) |−6
13 | =
4) |+19
24 | =
5) |−2
7 | =
- 3
5 ˂ +
2
3
Todo número negativo es menor que los positivos
+ 5
10 ˃ +
5
11
(5) (11) ___ (10) (5) igual puedes dividir y
55 ˃ 50 comparar los decimales
- 6
7 ˃ -
9
8
Observando las divisiones, - 0.85 ˃ -1.1 (recordemos
que los negativos funcionan al revés de los positivos) Igual lo puede resolver multiplicando en cruz
- 3
5 = -
21
35
(-3) (35) ___ (5) (-21) igual puedes dividir y
comparar los decimales
- 105 = -105
- 5
3 ˂ +
7
4
Todo número negativo es menor que los positivos
37
II. Escriba en la línea el símbolo <, >, = según sea el caso, recuerda los procedimientos dados
- 6
7 ____ −
18
21
+ 9
4 ____ −
9
8
+ 8
2 ____ −
2
9
- 6
4 ____ +
6
4
+ 12
17 ____ +
9
11
III. Expresa cada fracción, mediante un número decimal
38
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
El conjunto de los Racionales valor: 20 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I. Encuentra el valor absoluto de las siguientes cantidades 5 ptos
1) |2
9 | =
2) |+9
10 | =
3) |−1
23 | =
4) |−13
2 | =
5) |32
75| =
II. Escriba en la línea el símbolo <, >, = según sea el caso, recuerda los procedimientos
dados. 10 ptos
III. Expresa cada fracción, mediante un número decimal 6 ptos.
−1
3
13
5
21
10
- 9
2 ____ −
1
21
+ 4
16 ____ −
12
5
- 7
9 ____ −
7
9
- 5
17 ____ +
6
4
+ 1
7 ____ +
9
3
39
Los números racionales, en algunos casos, pueden representar una misma cantidad. Por
ejemplo, al representar los números 3
4 y
6
8 en una unidad se puede observar que indican la
misma región coloreada. Cuando dos fracciones representan la misma cantidad, pero se
escriben de forma diferente se dice que las fracciones son equivalentes.
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
Simplificar una fracción es transformarla en una fracción equivalente a la fracción dada,
pero que tengan los términos menores.
Para simplificar una fracción dividimos numerador y denominador por un mismo
número. La simplificación termina cuando se obtiene una fracción que tiene los términos
primos entre sí, y se llama fracción irreducible (no hay ningún número que divida
numerador y denominador al mismo tiempo).
Para realizar las divisiones, nos apoyaremos con las reglas de divisibilidad.
Criterios de divisibilidad
Los criterios o caracteres de divisibilidad son ciertas señales de los números que nos
permiten conocer, por simple inspección si un número es divisible por otro.
Tabla de la divisibilidad
Divisibilidad Por:
Regla Ejemplo numérico
Regla aplicada
2
Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o número par.
38 es divisible por dos porque termina en número par
3 Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es 3 o divisible exactamente entre 3
456 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras 4 + 5 + 6 = 15 y quince es divisible exactamente entre 3
5 Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o 5
120 es divisible por 5 porque termina en 0
10 Un número es divisible por 10, si la última cifra del número es cero
360 Es divisible entre 10 porque termina en cero
Existen otras reglas que usted puede investigar y que lo ayudan para la rápida resolución de
problemas de división.
Empezaremos a simplificar probando por los primeros números primos: 2, 3, 5, 7, ... Es
decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientras se pueda, después
pasamos al 3 y así sucesivamente. Se repite el proceso hasta que no haya más divisores
comunes.
TEMA: 6
OPERACIONES CON LOS NUMEROS RACIONALES
40
La representación seria de esta forma para facilitar la presentación,
Pero para efecto de explicación lo haremos horizontal.
Simplifica
Dividimos por 2 y después por 3 tanto en el numerador como denominador
Dividimos por 2, después por 3 y por último otra vez por 3 tanto en el numerador como denominador
Dividimos por 10 (quitamos un cero) tanto en el numerador como denominador y después dividimos por 4 (en lugar de 10 también puedes dividir entre 2 y después entre 5 y el resultado será el mismo)
Dividimos por 10 (quitamos un cero) tanto en el numerador como denominador y después dividimos por 2
Para resolver adiciones con fracciones consideraremos las siguientes:
Si los racionales tienen el mismo denominador son homogéneos, en este caso se suman los
numeradores y se coloca el mismo denominador. Si se puede se simplifica la respuesta.
Observa estos ejemplos
1) 2)
Ambos racionales tienen igual
denominador, por lo que se coloca el
mismo denominador y, como sus signos
son iguales, se suman, y se coloca el
mismo signo.
Ambos racionales tienen igual
denominador, por lo que se coloca el
mismo denominador y, como sus signos
son diferentes, se restan, y se coloca el
signo del mayor en valor absoluto.
3) 2
11+
1
11+
3
11=
2+1+3
11=
6
11
4) −7
2+
5
2=
−7+5
2=
−2
2= −1
ADICIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
41
Si los racionales tienen denominador diferente son heterogéneos, en este caso se procede a
buscar el m.c.m. para homogenizar las fracciones y luego se aplica el caso anterior.
Revisa los ejemplos:
1)
2)
PASOS
3)
4) Para transformar el mixto a fracción, dividimos el
numerador entre el denominador, colocamos el
resultado como entero, lo que sobra es el
numerador y repetimos el denominador
−4
7−
3
14 =
−8−3
14 =
−11
14
−1
5−
2
10 =
−2−2
10 =
−4
10= −
2
5
3
4+
2
3 =
9+8
12 =
17
12= 1
5
12
42
Al igual que en la sustracción de enteros, en los racionales, cambiamos el signo y resolvemos.
La operación de allí se resolverá igual que en la suma de los racionales, aplicando las mismas
reglas, para igual denominador como para distinto denominador.
Observemos y analicemos los ejemplos:
1. Resuelva la siguiente operación
2) 4
39− (
2
39) =
4−2
39=
2
39
3) −1
5− (
3
7) =
−7−15
35= −
22
35
4) 1
5− (
−7
6) + (
−3
2) =
6+35−45
30=
−4
30= −
2
15
Una vez más hay nuevos retos que debes enfrentar. Recuerda que tienes todas las
herramientas que necesitas, pero si tienes dudas revisa las explicaciones y te darás cuenta de
que no es tan difícil, solo requiere un poco más de atención.
I. Resuelva las siguientes adiciones
−7
20− (−
4
20) =
−7+4
20 =
−3
20
SUSTRACCIÓN DE FRACCIONES
43
II. Resuelva paso a paso las siguientes sustracciones
44
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Adición y sustracción de racionales valores: 20 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I Resuelva las siguientes adiciones 12 ptos
a) 14
5+
16
5=
b) 8
5−
3
5=
c) 9
5−
11
4=
d)−4
6−
3
8=
II. Resuelva las siguientes sustracciones 10 ptos
a) 2
6− (−
1
6) =
b) 1
5− (
3
10) =
c) 4
3− (
1
8) + (
7
4) =
45
Para multiplicar dos fracciones
• Multiplicamos los signos.
• Después, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador y
después se simplifica de ser posible, o bien,
• Primero simplificamos (ya sea la misma fracción o en cruz) de ser posible, y luego
multiplicamos numerador por numerador y denominador por denominador, esta es la
forma más recomendada para trabajar con cantidades más pequeños.
Observa los ejemplos
1. (3
5) (
2
7) =
3×2
5×7=
6
35
2.
3.
4.
5.
Para dividir dos fracciones
Para dividir fracciones, se aplica el método de invertir y multiplicar. El método consiste en
invertir la segunda fracción, es decir, cambiar el denominador por el numerador y cambiar
el numerador por el denominador. Después, se multiplican las dos fracciones, como
explicamos anteriormente.
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
DIVISIÓN DE RACIONALES
46
1) Recordemos que toda fracción es una división,
2) 7
3÷
4
5= (
7
3) (
5
4) =
35
12= 2
11
12
3)
Luego de ver los ejemplos anteriores ya puedes ir a resolver los problemas que plantearemos,
recuerda que no debes detenerte si algo no está claro, regresa al material explicado y repasa
los ejemplos. Siempre iras mejorando si lo intentas. Recuerda tu cuaderno, tu lápiz y
borrador.
I. Resuelve las siguientes operaciones:
II. Resuelve las siguientes divisiones:
47
48
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
DIRECCIÒN REGIONAL DE SAN MIGUELITO
INSTITUTO RUBIANO
PRUEBA DIAGNÓSTICA DE MATEMÁTICA
Multiplicación y división de racionales valores: 28 puntos
Nombre: _______________________ nivel: 7º______
Fecha: ____________________
Indicación general: lea correctamente antes de resolver. Escriba sus respuestas en forma
clara sin borrones ni tachones.:
I. Multiplique las siguientes cantidades 16 ptos
a) 4
5× (−
10
8) =
b)−2
7× (−
1
3) =
c) 11
8×
1
22=
d) −7
8×
9
21=
II. Divide 12 ptos.
a) 1
5÷
2
10=
b) 4
9÷
3
10=
c)−14
35÷ (
21
10) =
49
Fuente: Números enteros
http://curiosidades.info/numeros-enteros
BIBLIOGRAFIA
El mundo maravilloso de la matemática 7 º. Talleres para alumnos módulo para el
desarrollo de las competencias matemáticas. Docentes de la Maestría en Didáctica
de la Matemática, dictada por la Universidad Autónoma de Barcelona. Auspiciada
por la SENACY y el Ministerio de Educación
Guía de Premedia. Matemática 7. Ministerio de Educación.
Matemática 7. Santillana.
