Divisibilidad

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1. Múltiplos y divisores.

2. Propiedades de los múltiplos.

3. Criterios de divisibilidad.

4. Números primos y compuestos.

5. Descomposición en factores primos.

6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

7. Problemas de aplicación práctica.

Múltiplos y divisores

Observa los siguientes productos:

7 x 2 = 14 4 x 2 = 8 3 x 2 = 6 25 x 2 = 50

Los números 14, 8, 6 y 50 son múltiplos de 2 puesto que, todos ellos, lo contienen un número determinado de veces ( 7, 4, 3 y 25 veces respectivamente).

Observa ahora los siguientes cocientes:

25 : 5 = 5 15 : 5 = 3 75 : 5 = 15 90 : 5 = 18

Vemos que al dividir los números 25, 15, 75 y 90 entre 5 obtenemos como resultado un número entero, es decir, la división es exacta; por tanto, el 5 es divisor de los números 25, 15, 75 y 90.

Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Se

representa por: (a es múltiplo de b).

Un número es divisor de otro cuando está contenido en él un número exacto de

veces. b es divisor de a

1. Tacha las igualdades que sean falsas.

72 = 80 = 72 =

2. Subraya las afirmaciones que son ciertas.

“3 es divisor de 672” “3 es divisor de 17” “5 es divisor de 47”

“2 es divisor de 16” “4 es divisor de 60” “9 es divisor de 109”

Propiedades de los múltiplos

Todo número es múltiplo de sí mismo.

56 =

Por definición, un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces. Todo número se contiene a sí mismo una vez todo número es múltiplo de sí mismo.

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Todo número es múltiplo de 1.

7 = 6 = 56 = 715 = 1025 =

Todos los números contienen al 1 un número exacto de veces.

El cero es múltiplo de todos los números. 0 =

0 = 0 = 0 = 0 = 0 =

Al sumar o restar dos múltiplos de un número, obtenemos otro múltiplo de ese número.

Si a = a + c =

a – c =

Con algunos ejemplos lo veremos con más claridad.

Si sumamos 75 y 150 que, como sabemos, son múltiplos de 5, tendríamos lo siguiente:

75 + 150 =a (15 · 5) + (30 · 5) =b (15 + 30) · 5 =c 45 · 5 =d 225 y 225 =

a) Descomponemos los números en un producto en el que uno de los factores sea 5.

b) Sacamos factor común.

c) Resolvemos el paréntesis.

d) Resolvemos el producto.

Si restamos 48 y 18 que, como sabemos, son múltiplos de 3, tendríamos lo siguiente:

48 - 18 =a (16 · 3) - (6 · 3) =b (16 - 6) · 3 =c 10 · 3 =d 30 y 30 =

a) Descomponemos los números en un producto en el que uno de los factores sea 3.

b) Sacamos factor común.

c) Resolvemos el paréntesis.

d) Resolvemos el producto.

Lo anterior lo podemos expresar de la siguiente forma.

75 = 15 · 5 48 = 16 · 3

+150 = 30 · 5 - 18 = 6 · 3

225 = 45 · 5 30 = 10 · 3

Si un número es múltiplo de otro y éste, a su vez, es múltiplo de un tercero, el primero

es múltiplo del tercero. Si a =

Con un ejemplo quedará más claro.

Si 72 es múltiplo de 18 y 18 es múltiplo de 3 72 = *

Con este ejemplo tenemos la explicación matemática.

72 =a 18 · 4 =b 6 · 3 · 4 =c 24 · 3 se observa que 72 = porque lo contiene 24 veces.

a) Expresamos 72 como un producto de dos factores, uno de ellos es 18 (porque es el segundo múltiplo que hemos considerado en el ejemplo).

b) Expresamos 18 como un producto de dos factores, uno de ellos tiene que ser 3 (porque es el número del que estamos diciendo que son múltiplos los otros dos).

c) Aplicamos la propiedad asociativa del producto (ya sabes que, según esta propiedad, cuando hay más de dos factores en un producto, puedo multiplicarlos en el orden que quiera).

* Se observa que 72 = porque lo contiene 24 veces.

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3.- Demuestra las siguientes afirmaciones.

Si 15 = 15 + 27 =

Si 36 = 36 + 72 =

Si 130 = 130 =

Si 90 = 90 =

Si 72 = 72 - 48 =

Criterios de divisibilidad Para realizar algunas operaciones, resulta muy útil el saber y aplicar mecánicamente los criterios de

divisibilidad, es decir, saber cuándo un número es múltiplo de 2, de 3, de 5, de 7 o de 11.

Regla de divisibilidad del 2 Son divisibles entre 2 los números que terminan en 0 o en cifra par

Regla de divisibilidad del 3 Son divisibles entre 3 todos aquellos números en los que la suma de sus cifras sea 3 o múltiplo de 3.

Regla de divisibilidad del 4 Son divisibles entre 4 los números cuyas dos últimas cifras sean 0 o múltiplo de 4.

Regla de divisibilidad del 5 Son divisibles entre 5 los números que terminan en 0 o en 5.

Regla de divisibilidad del 6 Son divisibles entre 6 los números que son divi-sibles entre 2 y entre 3.

Regla de divisibilidad del 7 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el do-ble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7. Es más laborioso aplicar la regla que el dividir directamente entre siete

Regla de divisibilidad del 8 Son divisibles entre 8 los números cuyas tres últimas cifras son 0 o múltiplo de 8

Regla de divisibilidad del 9 Son divisibles entre 9 todos aquellos números en los que la suma de sus cifras sea 9 o múltiplo de 9.

Regla de divisibilidad del 10 Son divisibles entre 10 todos aquellos números que terminan en 0.

Regla de divisibilidad del 11 Para averiguar si un número es divisible entre 11, se procede de la siguiente forma: se suman, por un lado, las cifras que ocupan lugar impar y las cifras que ocupan lugar, por otro; se restan y si el resultado es 0, 11 o múltiplo de 11, el número es divisible entre 11.

Regla de divisibilidad del 25 y del 125 Un número es divisible entre 25 si las dos últi-mas cifras son múltiplo de 25. Un número es divisible entre 125 si las tres úl-timas cifras son múltiplo de 125.

4. Aplicando los criterios de divisibilidad, averigua entre que números son divisibles los siguientes:

456 725 4.356 156 4.840

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Números primos y compuestos Como ya sabes lo que es un múltiplo, vamos a hacer un ejercicio.

5. Tacha en la tabla siguiente todos los números que sean múltiplo de:

2 3 5 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Esto que acabas de hacer lo realizó, en el S-III antes de Cristo, el matemático y astrónomo griego Erastótenes. De esta forma obtuvo la tabla de los números primos menores de cien.

6. Responde a estas preguntas:

¿Por qué no es necesario tachar los múltiplos de 4, de 6, de 8 y de 9?

¿Cuántos números pares son primos? ¿Por qué?

¿Qué es un número primo?

Vamos a averiguarlo, para ello tienes que buscar todos los divisores de los siguientes números:

12 5 24 3 11 35 37

Como habrás observado, hay números (12, 24 y 35) que tienen varios números que los divide, mientras que el resto (5, 3, 11 y 37) sólo se pueden dividir entre 1 y entre ellos mismos.

Los primeros reciben el nombre de números compuestos; y son todos aquellos números que se pueden dividir entre la unidad, ellos mismos y otros números.

Los segundos reciben el nombre de números primos; son aquellos que sólo se pueden dividir entre ellos mismos y la unidad.

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Antes de continuar con la tarea, relájate un poquito:

¿Cómo harías para ganar siempre en este juego?

Jugáis dos personas con 17 fichas. Cada persona, por turno, retira una, dos o tres fichas. El que se lleve la última ficha pierde.

El número 4.325 no es divisible por 11. Cambiando el orden de sus cifras obtén cuatro números que sí lo sean.

Expresa el número 10 utilizando cinco veces el número 3 y dos operaciones diferentes.

Descomposición en factores primos

En el apartado anterior hemos visto que existen números compuestos y números primos, pues bien, todo número compuesto puede descomponerse en un producto de números primos. Fíjate en los siguientes ejemplos:

6 = 2 x 3; 18 = 6 x 3 = 2 x 3 x 3; 45 = 9 x 5 = 3 x 3 x 5

432 = 216 x 2 = 108 x 2 x 2 = 54 x 2 x 2 x 2 = 27 x 2 x 2 x 2 x 2 = 9 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 =

3 x 3 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2

¿Qué característica tienen todos los números resaltados?

La respuesta es sencilla, son números compuestos y por esa razón los hemos ido descomponiendo progresivamente hasta que hemos encontrado números que no podemos descomponer, estos son los números primos y lo que hemos hecho se llama descomponer en factores primos.

Existe otra forma de hacer lo anterior, que es la siguiente.

Descomponemos el número 72 en sus factores primos

72 2 12 36 2 Comenzamos dividiendo el número por su 0 16 18 2 divisor primo más pequeño; el resultado se 0 0 9 3 vuelve a dividir y asís sucesivamente hasta 0 3 3 que el cociente sea primo 0 1

Hemos obtenido que 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32

Existe una manera sencilla y rápida de realizar operaciones como las anteriores. Fíjate bien.

72 2 que se corresponde con 72 2 36 2 que se corresponde con 36 2 18 2 que se corresponde con 18 2 9 3 que se corresponde con 9 3 3 3 que se corresponde con 3 3 1 que se corresponde con 1

7. Descompón en factores primos los números.

384 1.470 455 576 5.184

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Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

225 cm

615 cm

Para no cortar ningún azulejo tendremos que encontrar uno cuyo lado quepa un número exacto de veces en cada lado de la pared; dicho de otra forma, que sea divisor común de los dos lados.

Al mismo tiempo, para que sea el menor número posible de azulejos, estos tienen que ser cuanto más grandes mejor, es decir, tenemos que buscar el divisor mayor.

Para ello procedemos de la siguiente forma:

a) buscamos todos los divisores de los dos números:

615: 1, 3, 5, 15, 41, 123, 205, 615.

225: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.

b) buscamos los divisores comunes.

615: 1, 3, 5, 15, 41, 123, 205, 615.

225: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.

En este caso observamos que estos divisores comunes son: 1, 3, 5 y 15.

Con azulejos que tuvieran de lado 1 cm, 3 cm, 5 cm. o 15 cm, no tendríamos que romper ninguno de ellos, ya que todos son divisores comunes (están contenidos un número exacto de veces) de 615 y de 225.

c) buscamos el divisor común que sea mayor; para que la cantidad de azulejos sea la más pequeña. En nuestro caso, el divisor común mayor es el 15 poniendo azulejos de 15 cm de lado, no necesitaremos romper ninguno de ellos.

Queremos alicatar esta pared con azulejos cuadrados que

tengan el mayor lado posible, de manera que no haya que

cortar ningún azulejo. ¿Cuántos azulejos necesitaremos?

Si nos fijamos en la longitud, tenemos 615 : 15 = 41 azulejos.

Si nos fijamos en la altura, tenemos 225 : 15 = 15 azulejos.

Por tanto, necesitaremos 41 · 15 = 615 azulejos

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8. Siguiendo los mismos pasos del ejercicio anterior, averigua el mayor de los divisores comunes de las siguientes parejas de números:

12 y 8 14 y 35 36 y 27 48 y 72

Recuerda que los pasos a seguir son: a) buscar todos los divisores de los números. b) buscar los divisores comunes a ambos números c) buscar el mayor de los divisores comunes (el máximo común divisor).

Vamos a hacer otro ejercicio

9. Averigua el m.c.d. de las siguientes parejas de números

615 y 225 12 y 8 36 y 27 48 y 72

Al resolverlo de la manera que conocemos, tendríamos:

615: 1, 3, 5, 15, 41, 123, 205, 615.

225: 1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225.

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

8: 1, 2, 4, 8

36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

27: 1, 3, 9, 27.

48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.

72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

Esta forma de resolver los problemas en los que necesitamos averiguar el máximo común divisor no es muy práctica, por lo laboriosa y larga que puede resultar cuando los números sean mayores.

Lo resolveríamos de la siguiente forma

615 3 225 3 12 2 8 2 36 2 27 3 48 2 72 2

205 5 75 3 6 2 4 2 18 2 9 3 24 2 36 2

41 41 25 5 3 3 2 2 9 3 3 3 12 2 18 2

1 5 5 1 1 3 3 1 6 2 9 3

1 1 3 3 3 3

1 1

615 = 3 · 5 · 41 12 = 22 · 3 36 = 22 · 32 42 = 24 · 3

225 = 32 · 52 8 = 23 27 = 33 72 = 23 · 32

Observa ahora la descomposición en factores primos de los m.c.d. que hemos obtenido antes.

15 = 3 · 5 4 = 22 9 = 32 24 = 23 · 3

Fíjate bien en la descomposición de estos números y responde. ¿Qué característica tienen?

El m.c.d. (615 y 225) = 15

<

El m.c.d. (12 y 8) = 4

<

<

El m.c.d. (36 y 27) = 9

El m.c.d. (48 y 72) = 24 <

<

<

<

<

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En efecto, en todos los casos, estos números están compuestos por los factores comunes a ambos números; además, estos factores tienen el menor exponente.

De ambas formas se obtiene el mayor de los divisores comunes, es decir, el máximo común divisor. La segunda de las formas que hemos hecho resulta más cómoda y fácil de aplicar; cualesquiera que sean los números, basta con seguir los siguientes pasos.

1. Descomponer los números dados en sus factores primos

2. Tomar los factores comunes, entre éstos, los que tengan menor exponente

3. Realizar el producto de dichos factores.

Fíjate en este otro ejemplo:

10. Dos depósitos contienen respectivamente 680 litros y 650 litros de oxígeno líquido. ¿Cuál será la capacidad máxima de las bombonas que se pueden llenar con el líquido de ambos depósitos?

Tenemos que repartir (dividir) el oxígeno en bombonas; además, éstas tienen que tener la máxima capacidad, es decir, ser lo más grande posible. Para resolverlo seguimos los pasos anteriores.

1. Descomponemos los números en sus factores primos 680 = 23 x 5 x 17 650 = 2 x 52 x 13 2. Tomamos los factores comunes que tengan menor exponente: en el ejemplo que nos ocupa son 2 y 5 3. Realizamos el producto de dichos factores: m.c.d. (680, 650) = 2 x 5 = 10

Las bombonas que buscamos tienen una capacidad de 10 litros y necesitaremos 133 unidades 680 + 650 = 1 330 litros; 1330 : 10 = 133

Centrémonos ahora en la resolución de problemas en los que es necesario calcular el mínimo común múltiplo.

Para ello vamos a resolver el siguiente problema.

Dos hijas visitan a sus padres, una cada 3 días y la otra cada 5 días. Si la última vez que coincideron fue el 12 de enero, ¿cuándo volverán a coincidir en casa de sus padres?

La primera hija los visita cada tres días, es decir, a partir del 12 de febrero a los…

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60,… días

La segunda hija los visita cada 5 días, es decir, a partir del 12 de febrero a los

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65,... días

Observando los números que hemos obtenido podremos deducir que volveran a coincidir varias veces; a los 15 días, a los 30, a los 45, a los 60…

También observamos que a los 15 días es la primera vez que vuelven a coincidir, es decir, 15 es el más pequeño de los múltiplos comunes (m.c.m.)

Al igual que en el caso del m.c.d., también existe una forma rápida y eficaz de resolverlo. Tan solo hay que seguir los siguientes pasos.

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1. Descomponer los números dados en sus factores primos

2. Tomar los factores comunes y no comunes y, entre éstos, los que tengan mayor exponente.

3. Realizar el producto de dichos factores.

A modo de resumen

El máximo común divisor de dos o más números es el menor de los divisores comunes.

Para hallar el m.c.d. de varios números, los descomponemos en sus factores primos, tomamos los factores comunes y no comunes con el menor exponente y hacemos el producto.

El mínimo común múltiplo de dos o más números es el mayor de los múltiplos comunes

Para hallar el m.c.m. de varios números, los descompones en sus factores primos, tomamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente y hacemos el producto.

Resuelve los siguientes ejercicios

11. Halla el mínimo común múltiplo de los siguientes números:

64, 48 y 153 26, 52, y 64

12. Para señalizar el recorrido de una regata se ha colocado una boya cada 15 m y una baliza cada 42 m. ¿Cada cuántos metros coincidirán una boya y una baliza?

13. ¿Es posible repartir 3.420 lápices en montones iguales de 15? (resuélvelo sin hacer ninguna operación)

14. Un comerciante nos propone averiguar las manzanas que hay en una caja. Para ello nos da dos pistas: a) Hay menos de 400 manzanas.

b) Se pueden poner en grupos de 18, 24 ó 30 sin que sobre ni falte ninguna.

¿Cuántas manzanas hay en la caja?

15. Disponemos de un restaurante en el que se reúnen tres grupos de amigos. Las reuniones las celebran cada 21, 24 y 36 días respectivamente. Si todos los grupos coincidieron por última vez el 28 de marzo, ¿cuántos días pasarán hasta que vuelvan a coincidir de nuevo?

16. Quiero repartir los 3.600 y los 5.450 litros de dos depósitos de aceite en toneles iguales, de modo que para ello utilice el menor número posible de toneles. ¿Qué capacidad deben tener dichos toneles?

17. En dos estanterías hay respectivamente 25 y 40 libros iguales y queremos colocarlos en cajas de manera que todas contengan la misma cantidad de libros. ¿Cuántos libros pondremos en cada caja?

“Bien sabe el jardinero cuando verdea el arbusto que ha de producir más tarde flor y fruto”. Fausto. Goethe