Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Escuela de MatematicasSolucion Examen 1

MM-211 Vectores y MatricesPropuesta por C.M.C.

1. Sea la matriz A =

2 0 3 13 2 1 02 1 4 11 0 2 0

. La matriz Mij representa la ij-esima menor de A, entonces determine la

matriz D = (M44)2 −MT12.

Solucion:

D =

2 0 33 2 12 1 4

2

−

3 1 02 4 11 2 0

T

=

10 3 1814 5 1515 6 23

−3 2 1

0 4 21 1 0

=

7 1 1714 1 1314 5 23

2. Dada la ecuacion matricial

(2 13 1

)(B

(1 02 3

))T

=

(3 11 2

)2

determine la matriz B

Solucion: (2 13 1

)(B

(1 02 3

))T

=

(3 11 2

)2

(B

(1 02 3

))T

=

(2 13 1

)−1(3 11 2

)−2

B

(1 02 3

)=

[(2 13 1

)−1(3 11 2

)−2 ]TB =

[(2 13 1

)−1(3 11 2

)−2 ]T (1 02 3

)−1

B =1

15

(−16 523 −7

)

1

3. Determine el tercer renglon de la adjunta de la matriz C = (cij), de orden 3, si cij =

i− j si i = jj si i > j

i + j si i < jSolucion: Es claro que

C =

0 3 41 0 51 2 0

ahora recordamos que la adjunta de una matriz es la transpuesta de la matriz de cofactores esto esadj(C) = [cof(C)]T para obtener la tercera renglon de la adjunta es equivalente a calcular la tercera columna dela matriz cof(C)

cof13(C) =

∣∣∣∣1 01 2

∣∣∣∣ = 2

cof23(C) = −∣∣∣∣0 31 2

∣∣∣∣ = 3

cof33(C) =

∣∣∣∣0 31 0

∣∣∣∣ = −3.

Por lo tanto el tercer renglon de adj(C) es(2 3 −3

)

4. Sea la matriz M =

0 0 0 3−1 2 −1 23 1 1 22 1 −1 2

calcular det(adj(adj(M)))

Solucion:

adj(adj(M)) =∣∣adj(M)

∣∣(adj(M))−1

=∣∣|M|M−1

∣∣(|M|M−1)

=∣∣M∣∣n∣∣M−1

∣∣ 1∣∣M∣∣M=∣∣M∣∣n−2

M

Ahora det(adj(adj(M))) = det(∣∣M∣∣n−2

M) =∣∣M∣∣n(n−2)+1

el orden de la matriz es 4 y el |M| = −33 entonces

det(adj(adj(M))) = (−33)9

5. Sean A y B matrices de orden 3 tales que A + B =

0 10 31 2 42 −5 0

. La matriz A tiene como menor M23 a la

matriz X =

(2 54 1

), la matriz B tiene como menor M31 a la matriz Y =

(5 −27 −6

). Si ademas. la matriz B es

simetrica y b33 = 1, construya las matrices A y B

Solucion:

Siendo X y Y matrices menores de A y B respectivamente, entonces A =

2 5 a13a21 a22 a234 1 a33

y B =

b11 5 −2b21 7 −6b31 b32 b33

usando el hecho que B es simetrica tenemos que b21 = 5,b31 = −2,b32 = −6 y nuestra hipotesis que b33 = 1

2

entonces B =

b11 5 −25 7 −6−2 −6 1

,

A + B =

2 + b11 10 a13 − 2a21 + 5 a22 + 7 a23 − 6

2 −5 a33 + 1

=

0 10 31 2 42 −5 0

resolviendo las ecuaciones tenemos que b11 = −2,a13 = 5,a21 = −4,a22 = −5,a33 = −1.

∴ A =

2 5 5−4 −5 104 1 −1

y B =

−2 5 −25 7 −6−2 −6 1

6. Resuelva graficamente el siguiente sistema

2x + 5y = 10

2x− 3y − 4z = −12x ≥ 0y ≥ 0z ≥ 0

Solucion: Haciendo eliminacion en x tenemos un sistema equivalente

y = 2− 2

5x

z =4

5x +

3

2

0 ≤ x ≤ 50 ≤ y ≤ 232 ≤ z ≤ 11

2

Por lo tanto el el conjunto solucion es el segmento PQ donde P (5, 0,11

2) y Q(0, 2,

3

2)

7. Tres atletas, Alex, Mario y Juan, compitieron en un torneo que incluia atletismo, natacion y ciclismo. Lasvelocidades alcanzadas por los atletas, en km/h, en las tres diferentes disciplinas, fueron las siguientes:Alex, 16,6 y 40, Mario 12,9 y 32, Juan 20,5 y 24, respectivamente. Alex llego en primer lugar, con un tiempototal de 2 horas y 12 minutos. Matio obtuvo el segundo lugar, con un total de 2 horas y 30 minutos. Juan quedo

3

en tercer lugar, con un tiempo total de 3 horas. Encuentre las distancias recorridas en cada disciplina por losatletas.Solucion:Sea x la cantidad de km recorridos en atletismoy la cantidad de km recorridos en natacionz la cantidad de km recorridos en ciclismoLa estrategia a resolver sera plantear ecuaciones para el ”tiempo”(con el proposito de encontrar la distancia

recorrida de cada disciplina), sustituir en cada tiempo su respectiva formula t =d

v, tomaremos de ejemplo a

Alex el tiempo total de su carrera fue 2.2h, esto significa que t1 + t2 + t3 = 2.2h, ahora si en cada tiempo

sustituimos la distancia que recorrio y la velocidad que tenia entonces t1 =x

16, t2 =

y

6, t3 =

z

40nuestra ecuacion

quedariax

16+

y

6+

z

40= 2.2h, haciendo lo mismo para Mario y Juan el sistema de ecuaciones quedaria

x

16+

y

6+

z

40= 2.2

x

12+

y

9+

z

32= 2.5

x

20+

y

5+

z

24= 3

4