Model Ado

Prof. Cesar de Prada, ISA, UVA

1

Modelos de procesos y linealización

Prof. Cesar de Prada

Dpt. Ingeniería de Sistemas y Automática

Univ. De Valladolid


2

Modelos

• Representación aproximada de la realidad

• Abstracción: Incluimos solo aquellos aspectos y relaciones que son de interés.

• Modelos físicos, cualitativos, cuantitativos,…

• Usos de los modelos: diseño, entrenamiento, que pasa si…., decisiones,...

• ¿Como generarlos, resolverlos, utilizarlos, validarlos?


3

¿Qué es un modelo matemático?

• Conjunto de ecuaciones que relacionan las variables de interés del proceso y representan adecuadamente su comportamiento

• Siempre son aproximaciones de la realidad

• Distintos modelos para distintos objetivos y tipos de procesos

• Compromiso entre facilidad de uso y exactitud


4

Representación adecuadaRepresentación adecuada

Proceso

u

tiempo

y

tiempo

Modelo

ym

tiempo


5

Procesos continuos y de eventos discretos

q

h

Procesos continuos:Las variables evolucionancontinuamente en el tiempoy pueden tomar cualquier valor en un rango dado

Procesos de eventos:Las variables solo cambianen instantes discretosy pueden tomar solo un número finito de valores


6

Procesos Continuos / Eventos• Procesos Continuos

– Descritos principalmente por DAEs o PDE.– Interés fundamental: la trayectoria de algunas

variables

• Procesos de eventos discretos– Descritos principalmente por secuencias de

actividades. – Interés fundamental: el comportamiento

estadístico de algunas variables.


7

Modelos estáticos y dinámicos

q

h

Ad h

d tq k h

q k h

Modelo estático: Relaciona las variables en unestado de equilibrio

Modelo dinámico:Relaciona las variables alo largo del tiempo


8

Respuesta dinámicaRespuesta dinámica

tiempo

q

h


9

Modelos estáticos y dinámicos

• Modelos estáticos– Representan situaciones de equilibrio– Descritos mediante ecuaciones algebraicas– Orientados a diseño

• Modelos dinámicos en tiempo continuo– Representan la evolución temporal– Descritos mediante DAE y PDE– Uso mas general: control, entrenamiento,...


10

Modelos para control por computador

ProcesoOrdenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

modelos en tiempo discreto deben relacionar las variables de entrada y salida

en los instantes de muestreo kT

y(t)


11

¿Como obtener modelos?

Mediante razonamientos,usando leyes físicas,químicas, etc

Mediante experimentacióny análisis de datos


12

Modelos de conocimiento

• Se obtienen mediante razonamientos y la aplicación de principios de conservación de masa, energía, momento, etc. y otras leyes particulares del dominio de aplicación

• Tienen validez general

• Requieren conocimiento profundo del proceso y de las leyes fisico-químicas


13

IdentificaciónEl modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-salida del proceso

tt

YUU

Y

Proceso

Modelo


14


Metodología de modelado:

Establecer los límites y objetivos del modeloEstablecer las hipótesis básicasEscribir las ecuaciones usando leyes de conservación y del dominio de aplicaciónEstimar el valor de los parámetrosValidar el modelo


15

Tipos de modelos

• Parámetros concentrados

• Parámetros distribuidos

• No-lineales

• Lineales

• Tiempo

• Frecuencia

• ….


16

Conservación de masa

Acumulación de masa en el sistema por unidad de tiempo =

Masa que entra al sistema por unidad de tiempo -

Masa que sale del sistema por unidad de tiempo -

Masa que se genera en el sistema por unidad de tiempo -

Masa que se consume en el sistema por unidad de tiempo -

CGFFtdmd

0i

m

Fi F0

G C


17

Ejemplo: Depósito


Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante

q

h

F

hkqtd

hdA

hkF ghpp

ppSkSvF hAm

Fqtd

md

01

011

p0

p1


18

Ejemplo: Depósito


Acumulación=flujo entrada q - flujo salida F

m masa en el depósitoA sección del depósito densidad, k constante u posición de la válvula

q

h

F

Ecuación diferencial no-lineal

AhV hukqtd

hdA

hukF hAm

Fqtd

md

Ecuación algebraica

u


19

Modelos en variables de estado

)t),t(p),t(u,x(g)t(y

)t),t(p),t(u),t(x(fdt

)t(xd

Variables manipuladas

Respuestas observables

u yx

x Estados

perturbacionesp


20

Simulación

Integrando numéricamente el modelo pueden obtenerse los valores del volumen de líquido en función de los valores de q

q

h

F AhV hA

ukq

A

1

td

hd

Integración numérica mediante el método de Euler

t)t(hA

k)t(u)t(q

A

1)t(h)tt(h


21

Causalidad

q

h

FCausalidad física: causas y efectos

q h F

hkF

Fqtd

hdA

Causalidad computacional: orden de cálculo de las variables

q h F

El uso del modelo (¿Qué pasa si..? Control, etc.) requiere una determinada causalidad computacional.


22

Hipótesis

q

h

F

q

h

F

ci

c

Fcqctd

Vcdi

Mezcla perfecta Flujo pistón

)F

Vt(c)

Av

Aht(c)

v

ht(c)t(c iii


23

Formulación

q

h

F

ci

c

)cc(qtd

cdV

Fcqc)Fq(ctd

cdV

Fcqctd

Vdc

td

cdV

V

Vcc

Fqtd

Vd

Fcqctd

)Vc(d

i

i

i

i

Mezcla perfecta

constante

Volumen V

Concentración ci


24

Computabilidadq1

h1

F1

h2

F2

0q hh0 hh)hhsgn(kF

hkF ?hh hhkF

FFqdt

dhA Fq

dt

dhA

imaxi212111

222212111

2122

2111

1

q2

Leyes + restricciones


25

Reactor Químico Isotermo

Reactor

FT

AT

Productos

Materia prima

Reacción:

A

A, B

A B


26

Modelo Matemático

A B

F

CA CB T

CAi , Ti

Producto A

Balance másico del producto ABalance másico del producto B

Hipótesis:

•Mezcla perfecta en el reactor

•Temperatura T constante

•Volumen constante V

Vd c

d tFc Fc Vke cA

Ai A

ERT

A

Vd c

d tFc Vke cB

B

ERT

A


27

Presión en un recipiente

2f

2vi

2f

2vii

ppaCFtdpd

RTVM

isotermo que tanRTM

p Vm

ppaCFFFtdmd

Fi

Fa

p

pf


28

Conservación de energía

T temperatura, V voltajem masa en el depósitoH entalpia, ce calor específicoA sección del depósito densidad, R resistencia

q


RcV

)TT(qtdTd

Ah

Ahm TcH si

RV

HqHqtd

)mH(d

e

2

i

e

2

i

V R T

Hipótesis:

T uniforme en el depósito Aislamiento perfecto densidad constante

Ti


29

Conservación del momento

i2

2

i

Ftd

xdm

Ftd

)mv(d

x

mF Sistema de

referencia

i2

2

i

Ttd

dI

Ttd

)I(d


30

Masa suspendida

mg

m

-kx

x

0

Fmgkxtd

xdm

Ftd

xdm

2

2

i2

2

Fm

1gx

m

k

td

vd

vtd

xd

F


31

Vehiculos acoplados

x

mF

M

f

k

y

)dt

xd

dt

yd(f)Lxy(K

dt

xdm

)dt

xd

dt

yd(f)Lxy(KF

dt

ydM

2

2

2

2

K coef. resorte f coef. fricción viscosa

sin fricción de deslizamiento

sin resistencia del aire


32

Grua unidimensional

F

mg

L

x

Modelar la posición de la masa m y el carro M respecto al sistema de referencia

m

posición de la masa M: x

posición de la masa m : x + L sen

Dos grados de libertad: x,

Fricción viscosa

Sin fricción de deslizamiento

M


33

Grua unidimensional

F

mg

L

x

m

Conservación de la cantidad de movimiento del carro y la masa m en la dirección x

dt

xdfF

dt

dmLsen

dt

dcosmL

dt

xd)mM(

dt

xdfF

dt

)Lsenx(dm

dt

xdM

2

2

2

2

2

2

2

2

2

M

Se necesita otra ecuación para


34

Grua unidimensional

F

mg

L

x

m

Conservación del momento angular referido a unos ejes moviles asociados al eje de la grua

Lcosdt

xdmLmgsen

dt

d)mLI(

2

2

2

22

M

Respecto a los ejes fijos, aparece una aceleración - d2x/dt2 en dirección horizontal

2

2

dt

xdm

dt

xdfF

dt

dmLsen

dt

dcosmL

dt

xd)mM(

2

2

2

2

2


35

q

pv

a h

p0

ghq)AfL

Ca1

(p

tdqd

AL

Avq ALm qCa1

p

gAhvAfLpApAtd

mvd

222

v2

0

22v

2v

2v0

Flujo en una tuberia

Conservación de cantidad de movimiento



36

Circuito RCR

I1

CV E

dt)II(C

1E

dt)II(C

1RIV

21

211

I1-I2

I2

Impedancia infinita I2 =0

dtIC

1E

dtIC

1RIV

1

11

1

11

IC

1

td

Ed

IC

1R

td

Id

td

Vd

1

11

IC

1

td

Ed

td

Vd

R

1I

RC

1

td

Id


37

CircuitosLR1

V EC

R2

I1

I2

I1-I2

22121

221211

11

R)II(dt)II(C

1E

R)II(dt)II(C

1

td

IdLRIV


38

Motor CC

LR

V

Excitación independiente

2

1

ktd

IdLRIV

td

d

TfIktd

dJ

I

T par externo

k2 f.c.e.m

T


39

Procesos distribuidos

x

Ti F


40

Proceso distribuido

x

Ti Ti+1Ti-1

Ts

F

Se divide el proceso en celdas de ancho x en las que T pueda considerarse uniforme

Balance de energia en un elemento

Limite cuando x 0

T(x,t)

x


41

Proceso distribuido

x

Ti Ti+1Ti-1

Ts

FT(x,t)

e

s2

e

is

0x

i1i

0x2i

0x

e

isi1i2

i

isie1ieie

2

cr

))t,x(TT(U2

x

)t,x(T

r

F

t

)t,x(T

cr

)TT(U2lim

x

)TT(lim

r

F

td

Tdlim

cr

)TT(U2

x

)TT(

r

F

td

Td

)TT(xUr2TcFTcFtd

Tcxrd

r

Balance energético

Ecuaciones en derivadas parciales


42


• Formados por conjuntos de ecuaciones diferenciales y algebraicas frecuentemente no lineales

• Utiles para muchos fines

• Requieren ciertos conocimientos

• Difíciles de manipular matemáticamente

• Se resuelven mediante simulación


43

Simulación: EcosimPro

• Lenguaje de Modelado / Simulación• ¿Qué pasa si…?• Basado en tecnología orientada a objetos• Métodos numéricos y funcionalidades avanzadas• ESA: Agencia Europea del Espacio• Generador de código C++ con un entorno de

desarrollo y ejecución• Librería / Componente / Partición / Experimento• Abierto


44

EcosimPro


45

Entorno Gráfico


46

Simulación


47

Modelos linealizados

• Aproximaciones lineales de las ecuaciones no-lineales

• Mas fáciles de manipular matemáticamente pero su rango de validez es limitado

hkqtdhd

A hqtdhd

A


48

Linealización

Desarrollo en serie de Taylor sobre un punto de operación u0, y0, z0, ….

...)zz(zf

)yy(yf

)uu(uf

)z,y,u(f)z,y,u(f

0)z,y,u(f 0)z,y,u(f

00

0

0

00

000

000

zzz yyy uuu 0zzf

yyf

uuf

000000

Ecuación lineal en las nuevas variables u, y, z


49

Modelo Linealizado del Depósito

q

h

F

Ecuación diferencial lineal

0qhh2

kdt

hdA

1qf

h2

khf

Ahf

0)qq(qf

)hh(hf

)hh(hf

q,h,h 0)q,h,h(f

0hkqtdhd

A

0

0000

0

0

00

00

000

Variables desviación

h = h - h0

q = q - q0


50

Simulación

4.0

4.2

4.4

4.6

4.8

5.0

0 10 20 30 40

TIME

hh_l

5.0

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

0 10 20 30 40

TIME

q

4

5

6

7

8

0 10 20 30 40

TIME

hh_l

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

0 10 20 30 40

TIME

q

Respuestas del modelo no –lineal y linealizado para 2 saltos en q


51

Modelo Linealizado del Depósito

q

h

F

El valor de los coeficientes depende del punto de linealización

k

h2K

k

h2A

qKhdt

hd

qk

h2h

dthd

k

h2A

0qhh2

kdt

hdA

00

00

0

Variables desviación

h = h - h0

q = q - q0


52

Modelos linealizados

tt

YUU0

U

Y0

Y

las variables u e y soncambios sobre un punto de operación U0 , Y0

El rango de validez está limitado a un entorno del punto de operación

Proceso

)t(Y)t(Y)t(y

)t(U)t(U)t(u

0

0


53

q

pv

a h

p0

0)aa(af

))p(p(pf

)qq(qf

)qq(qf

0)a,p,q,q(f

ghq)AfL

Ca1

(p

tdqd

AL

00

000

00

0

0

0

0

0

222

v2

0

Flujo en una tuberiaEcuación diferencial no-lineal


54

Modelo linealizado del flujo

aK)p(Kqtdqd

]aqCa2

)p([

q2)AfL

Ca1

(

1

qtdqd

q2)AfL

Ca1

(LA

1

]aqCa2

qq2)AfL

Ca1

()p(

[LA

tdqd

]ghq)AfL

Ca1

(p

[LA

tdqd

201

0

22v

30

022

v2

022

v2

0

22v

30

22v

20

222

v2

0


55

Cambios del punto de operación

02

2v

22v

22

0

22v

2

201

)A

CfLa1Ca(a

qK

q2)AfL

Ca1

(LA

1

aK)p(Kqtd

qd

q

t

crece en puntos de operación con apertura alta K2 decrece en puntos de operación con apertura alta


56

Modelo linealizado

q

0)VV(Vf

)qq(qf

)TT(Tf

)TT(Tf

0)V,q,T,T(f

cte.h y T si Rc

V)TT(q

tdTd

Ah

00

0

0

00

00

ie

2

i

V R T

TiV

RcV2

q)TT(TqtdTd

Ahe

00i0

VKqKTtdTd

VRqcV2

qq

)TT(T

tdTd

qAh

21

0e

0

0

0i

0


57

Semejanza formal

q

V R T

Ti

VKqKTtdTd

21

q

pv

a h

p0

aK)p(Kqtdqd

201


58

Modelo linealizado del reactor

A B

F

CA CB T

CAi Producto AVd c

d tFc Fc Vke cA

Ai A

ERT

A

Vd c

d tFc Vke cB

B

ERT

A

Dos ecuaciones

0)F,c,c,c(f

0)c,F,c,c(f

ABB2

AiAA1

F


59

Modelo linealizado (1)

Ai00A0AiART

E

0A cFF)cc(c)VkeF(

tdcd

V 0

Punto de operación:0Ai0B0A0 c,c,c,F

Valor calculado en el punto de operación

Vd c

d tFc Fc Vke cA

Ai A

ERT

A

Desarrollando en serie de Taylor.....

Ai00A0Ai

ART

E0A c

VF

FV

)cc(c)ke

VF

(tdcd

0

Ai1111A11A cdFbca

tdcd


60

Punto de linealización

0cVkeFcFctd

cdV A

RTE

AAiA

0cVkeFctd

cdV A

RTE

BB

Si el punto de linealización corresponde a una operación en equilibrio:

Si cAi0 = 8 y cA0 = 0.8 cB0 = 7.2

Si F0 = 26.66 y V = 80 ke-E/RT = 2.999

Ai00A0AiART

E

0A cFF)cc(c)VkeF(

tdcd

V 0

AiAAi00A0Ai

ART

E0A c333.0F09.0c332.3c

VF

FV

)cc(c)ke

VF

(tdcd

0


61

Modelo linealizado (2)

F09.0c333.0c999.2FV

cc

VF

cketdcd

BA0B

B0

ART

EB 0

Fbcacatdcd

21B22A21B

Vd c

d tFc Vke cB

B

ERT

A

Mediante un desarrollo en serie en torno al punto de operación:

Ai1111A11A cdFbca

tdcd


62

Modelo en variables de estado

Ai21

1211

B

A

2221

11

B

A

c

F

0b

bb

c

c

aa

0a

td

cdtd

cd

Fbcacatdcd

21B22A21B

Ai1211A11A cbFbca

tdcd

B

AB c

c10c

Cxy

BuAxtd

xd


63

Reactor isotermo

AiB

A

B

A

c

F

009.0

333.009.0

c

c

33.03

033.0

td

cdtd

cd

B

AB c

c10c

A B

F

CA CB T

CAi

Producto A

F

Reactor isotermo


64

q1q

a

)p(KKq

1

td

qd

aK)p(Kqtd

qd

021

201


h.1h

qhdt

hd

qA

1h

hA2

k

dt

hd

0

q

h

qah

p0

Cxy

BuAxtd

xd


65


DuCxy

BuAxtd

xd

x variables de estado: conocido su valor en el instante inicial y los valores de u(t) a lo largo del tiempo, puede determinarse el valor de las salidas a lo largo del tiempo

t

t

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

)(Solución analítica:


66

Equivalencia

Cxy

BuAxtdxd

u y

zPCy

PBuz)P(PAtdzd

zP xPxz

1-

1-

1-

zCPy

uPB zPAPtdzd

1-

1-

Existen muchas representaciones equivalentes entrada-salida


67

Autovalores

Cxy

BuAxtdxd

zCPy

uPB zPAPtdzd

1-

1-

0IA

0IA

0PIAP

0P)IA(P

0PPPAP

0IPAP

1

1

11

1

Los autovalores son invariantes en representaciones equivalentes


68

Modelo de Respuesta Impulsional

)t(gBCed)(BCey(t)

:nulo es inicial estado ely unitario impulsoun esu si

d)(BuCe)0(xCe)t(y

Att

0

)t(A

t

0

)t(AAt

g(t)(t) t

0

d)(u)t(g)t(y

respuesta impulsional

0

d)(u)t(g)t(y


69

Modelo de Respuesta Impulsional

g(t)(t)

t

0

d)(u)t(g)t(y

t

0

d)t(u)(g)t(y

0t

t0

dd t

0

d)(u)t(g)t(y

0

d)t(u)(g)t(y


70

Transformada de Laplace

Laplace de compleja le variabjs

dte)t(f)s(F)t(f0

st

L

f(t) función temporal

f(t) = 0 para t < 0t

f(t)

)s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t) si

LL Cambio de

variable t s


71

Transformada de Laplace

)s(G)s(F

)t(g)t(f

)t(gf(t) si

LL

Cambio de variable t s

Resolución del problema en el dominio s X(s)

Interpretación y expresión de la solución en el dominio t

Cambio de variable s t

j

j

st1 dse)s(X)s(X)t(x L


72

Ejemplo

s

k

s

ekdtkedte)t(f)s(F)t(f

0

st

0

st

0

st

L

f(t) función salto

f(t) = 0 para t < 0

f(t) = k para t >= 0t

f(t)=k

Tablas de transformadas de las funciones mas comunes


73

Tabla de Transformadas


74

Tabla de transformadas


75

Propiedades de la T. Laplace

)s(G)s(Fd)t(g)(f

)s(sFlim)t(flim

)s(Fe)dt(f

)0(fdt

)0(dfs)s(Fs

dt

)t(fd)0(f)s(sF

dt

)t(df

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

dte)t(f)s(F)t(f

0

0st

sd

22

2

0

st

L

L

LL

L

L

j

j

st1 dse)s(F)s(F)t(f L

Transformada inversa


76

Propiedades I

)s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af

)s(bG)s(aF)t(bg)t(af

0

st

0

st

0

st

L

L

)s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt

)t(df

dt

)t(df

dtsedu)t(fveudtdt

)t(dfdvduvuvdvu

dtedt

)t(df

dt

)t(df)0(f)s(sF

dt

)t(df

0

st

00

stst

stst

0

st

L

LL

0

stdte)t(f)s(F)t(fL


77

Propiedades

)s(Fs

1d)(f

d)(fsd)(fd)(fsdt

d)(fd

)s(F)t(fdt

d)(fd)t(f

dt

d)(fd

t

0

t

0

0

0

t

0

t

0

t

0

t

0

L

LLL

LL


78

Propiedades II

)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f

t;d0tdtdte)dt(f)dt(f

)s(Fe)dt(f

sd

0

ssd

0

ssd

d

)d(s

0

st

0

st

sd

L

L

)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f

)0(fdttd

)t(fd)0(fdte

td

)t(fdlim)s(sFlim

)0(fdtetd

)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim

0

00

st

0s0s

0

st

0st


79

Propiedades III

)s(G)s(Fde)(gde)(f

de)(gde)(fde)(gde)(f

dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f

t;0tt

dted)t(g)(fd)t(g)(f

)s(G)s(Fd)t(g)(f

0

s

0

s

s

0

ss

0

s

0

)(s

0 0

st

0

st

0

0

st

00

0

L

L


80

Resolución de LODES

tiomindosiomindotiomindo

......2s

1

1s2s

5.0sL)s(YL)t(y

2s

1

1s2s

5.0s)s(Y

2s

1)s(U)s(U

1s2s

5.0s)s(Y

)s(U5.0s1s2s)s(Y)s(U5.0)s(sU)s(Y)s(sY2)s(Ys

u5.0td

udLy

td

yd2

td

ydL

0 tpara e)t(u;0td

)0(yd;0)0(yu5.0

td

udy

td

yd2

td

yd

211

22

22

2

2

t22

2

Ejemplo:


81

Descomposición en fracciones simples

ttt2

21

222

2

2

22

21

211

te5.1e5.2e5.21s

5.1

1s

5.2

2s

5.2L)t(y

5.2bb25.5c2b2a5.00s

a5.22s

c5.11s

)2s(1s

)2s(c

)2s()1s(

)2s)(1s(b

)2s(1s

1sa

2s

1

1s

5.0s

1s

c

1s

b

2s

a

2s

1

1s

5.0s

2s

1

1s

5.0sL

2s

1

1s2s

5.0sL)s(YL)t(y


82

Función de Transferencia

t

0

d)t(u)(g)t(y

Tomando transformadas de Laplace:

)s(U)s(Gu(t)g(t)

d)t(u)(gy(t))s(Yt

0

LL

LL

U(s)Y(s)

G(s) )s(U)s(G)s(Y s variable compleja


83


Cxy

BuAxtdxd

Tomando transformadas de Laplace, con condiciones iniciales nulas:

)t(gBAsICG(s) )s(U)s(G)s(Y

)s(BUAsIC(s) Y)s(BUAsI)s(X

)s(CX)s(Y

)s(BU)s(XAsI )s(BU)s(AX)s(sX

1

11

L


84


G(s) es una función racional en la variable s

BAsICG(s) 1

01

1n1n

nn

011m

1mm

m1

asa...sasabsb...sbsb

BAsICG(s)

Solo contiene operaciones racionales +-*/

)s(D)s(N


G(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m


85

Representaciones matemáticas de modelos linealizados

)s(D)s(N


G(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m

Cxy

BuAxtdxd

t

0

d)t(u)(g)t(yVariables de estado

Respuesta impulsional

Función de transferencia


86

Matriz de Transferencia

En un proceso con varias entradas y salidas (MIMO) G(s) es una matriz de funciones de transferencia

BAsICG(s) 1

)s(U

)s(U

)s(G)s(G

)s(G)s(G

)s(G)s(G

)s(Y

)s(Y

)s(Y

2

1

3231

2221

1211

3

2

1

u1

u2

y1

y2

y3


87

Depósito. Modelo en FT

q

h

F

k

h2K

k

h2A

qKhdt

hd

00

Tomando Transformadas de Laplace:

1sK

G(s) G(s)Q(s)H(s) )s(Q1s

K)s(H

)s(KQ1s)s(H )s(KQ)s(H)s(sH

qKhdt

hd

LL

1sK

Q(s) H(s)


88

Circuito RC. Modelo en FTR

I1

CV EI1

dtIC

1E

dtIC

1RIV

1

11

)s(ICs

1)s(E

)s(ICs

1R)s(I)s(V

1

11

)s(V1RCs

1)s(I

Cs

1)s(E

)s(ICs

)1RCs()s(I

Cs

1R)s(I)s(V

1

111

1sK

V(s) E(s)

Tomando Transformadas de Fourier, con C.I. Nulas:


89

Flujo. Modelo en FT

qa

p0

aK)p(Kqtdqd

201

)s(A1s

K)s(P

1sK

)s(Q

)s(AK)s(PK)1s)(s(Q)s(Q)s(sQ

aK)p(Kqtdqd

21

21

201

LL

Tomando transformadas de Laplace con c.i. nulas:

Q(s)

1sK1

1sK2

P(s)

A(s)

)s(A

)s(P

1sK

1sK

)s(Q 21


90

Temperatura. Modelo en FT

)s(V1s

K)s(Q

1sK

)s(T

)s(VK)s(QK)1s)(s(T)s(T)s(sT

VKqKTtdTd

21

21

21

LL


T(s)

1sK1

1sK2

Q(s)

V(s)

q

V R T

Ti

VKqKTtdTd

21


91

Reactor Isotermo. Modelo en FT

Fbcacatdcd

21B22A21B

Ai1211A11A cbFbca

tdcd


A B

F

CA CB

CAi A

)s(Cas

b)s(F

asb

)s(C

)s(Cb)s(Fbas)s(C

)s(Cb)s(Fb)s(Ca)s(sC

Ai11

12

11

11A

Ai121111A

Ai1211A11A

)s(Fas

b)s(C

asa

)s(C

)s(Fb)s(Caas)s(C

)s(Fb)s(Ca)s(Ca)s(sC

22

21A

22

21B

21A2122B

21B22A21B


92

Diagrama de bloques

A B

F

CA CB

CAi A

)s(Cas

b)s(F

asb

)s(C Ai11

12

11

11A

)s(Fas

b)s(C

asa

)s(C22

21A

22

21B

CAi(s)

F(s)

CA(s) CB(s)11

11

asb

22

21

asb

11

12

asb 22

21

asa


93

Diagrama de bloques

)s(Casas

ba)s(F

asasabbasb

)s(Cas

bas

a)s(F

asb

asb

asa

)s(Fas

b)s(C

asb

)s(Fas

bas

a)s(C

Ai1122

1221

1122

1121112121

Ai11

12

22

21

22

21

11

11

22

21

22

21Ai

11

12

11

11

22

21B

CAi(s)

F(s) CB(s) 1122

1221

asasba

1122

1121112121

asasabbasb


94

Reactor Isotermo

CAi(s)

F(s) CB(s)111.0s666.0s

12

111.0s666.0s

24.0s09.02

AiB

A

B

A

c

F

009.0

333.009.0

c

c

33.03

033.0

td

cdtd

cd

A B

F

CA CB

CAi

A


95

Bloques en serie

G1(s) G2(s)U(s) Y(s)X(s)

Y(s) = G2(s)X(s) = G2(s)G1(s)U(s) = G(s)U(s)

G (s) Y(s)U(s)

G(s) = G2(s)G1(s)


96

Proceso distribuido

e

s2 cr

))t,x(T)t(T(U2

x

)t,x(T

r

F

t

)t,x(T

Ecuación en derivadas parciales

T(0,t)

T(L,t)

FTs P


97

Proceso distribuido

e

s2

e

s2

e

s2

cr

))t,x(T)t(T(U2

x

)t,x(T

r

F

t

)t,x(T

cr

))t,x(TT(U2

x

)t,x(T

r

F0

cr

))t,x(T)t(T(U2

x

)t,x(T

r

F

t

)t,x(T

Para F = cte.

En equilibrio:

En terminos de las desviaciones T sobre el equilibrio:

))t,x(T)t(T(x

)t,x(T

t

)t,x(Ts

s Transformada de Laplace respecto a t

p Transformada de Laplace respecto a x


98

Proceso distribuido

))s,p(T)p,s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

))s,x(T)s(T(dx

)s,x(Td)s,x(Ts

))t,x(T)t(T(x

)t,x(T

t

)t,x(T

s

s

s

Transformada s respecto a t:

p respecto a x:

Ts

x

0 L

Perfil de los cambios de temperatura del vapor respecto a x


99

Proceso distribuido

Ts

x0 L

x

El perfil puede obtenerse como la diferencia de dos perfiles tipo salto desfasados una distancia L

))s,p(Tp

e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

p

)s(Te

p

)s(T)s,p(T

pL

s

spLss


100

))s,p(Tp

e1)s(T()s,0(T)s,p(Tp)s,p(Ts

pL

s

Proceso distribuido

)s(Tp

e1s

p

/)s,0(T

sp

1)s,p(T

p

e1)s(T)s,0(T)s,p(T)ps(

s

pL

pL

s

Doble función de transferencia en p y s respecto a los cambios de temperatura en la entrada y en el vapor de calefacción


101

Proceso distribuido

)s(Ts

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

)s(Ts

)e1()s,0(Ts

e)s,L(T

)s(Ts

)e1()s,0(Ts

e)s,x(T

)s(Tp

e1s

p

/)s,0(T

sp

1)s,p(T

s

Ls

LL

sL

s

Ls

Ls

s

xs

xs

s

pL

Tomando la transformada inversa respecto a p: (0x L)

Para x = L:

Funciónes de transferencia respecto a s: sistemas de primer orden con retardo T(L,s) temperatura a la salida del cambiador


102

Proceso distribuido

)s(T1s

U2cr

ee1)s,0(T

1sU2cr

e

r2U

Fce)s,L(T

)s(Ts

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

)s(Ts

)ee1()s,0(Ts

ee)s,L(T

se

Fc

UAs

F

V

e

Fc

UA

es

F

V

sFcr

LrU2s

F

LrFcr

LrU2

sF

Lr

s

Ls

LL

sL

ee

e

22e

2

2

V, volumen de

los tubos

A superficie de los tubos

Retardo V/F en la respuesta a cambios en la temperatura de entrada


103

Función de transferencia de un PID

)s(E)s(R)s(EsT

1sTsTTK)s(U

)s(E)sTsT

11(K))s(sET)s(E

sT

1)s(E(K)s(U

)td

)t(edTd)(e

T

1)t(e(K)t(u

i

i2

idp

di

pdi

p

d

t

0i

p

R(s)U(s)E(s)


104

Entradas Normalizadas

u y

t

u

tu t

u

t

u

impulso

salto

rampat=0

t=0

t=0

t=0

seno


105

Polos y ceros

)s(D)s(N


G(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m

Ceros de G(s) = raíces de N(s) = 0

Polos de G(s) = raíces de D(s) = 0

0.382- ,618.2sen polos 01s3s

3sen cero 03-s

)382.0s)(618.2s(

3s

1s3s

3sG(s)

2

2


106

¿Por qué son importantes los polos (y los ceros)?

• Como se verá mas adelante, el tipo de respuesta temporal a una determinada entrada depende de las posiciones de los polos (y ceros) del sistema.

• Igualmente la estabilidad está ligada a las posiciones de los polos


107

Ganancia

t

u

y

u

y

)0(G)s(sU

)s(sYlimK

u

yK

0s

equilibrio en

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(K

)s(Gn21

m1

tiempode constante K. gananciay 1

- ceros , 1

- polos formato


108

Polos y Autovalores

)s(D)s(N

BAsICG(s) 1

BAsIdet

AsIadjCBAsICG(s) 1

0AsIdet

Autovalores de A = polos de G(s) (salvo cancelaciones polo/cero)

Polos: raices de D(s) = 0

Autovalores: raices de


109

Realizabilidad Física

q

h

1sK

)s(G

Sistema físico continuo

Existe

Dada una función de transferencia G(s)

¿Puede existir un sistema físico cuya función de transferencia sea G(s)?


110

Realizabilidad

Para que G(s) sea fisicamente realizable: m n

)s(D)s(N


G(s)01

1n1n

nn

011m

1mm

m

En caso contrario:

)s(U2s

1dt

)t(du)t(y

)s(U2s

1s)s(U

2s1s2s

)s(Y2

1-L

Para una entrada en salto en u(t) tendria que dar una y(t) infinita


111

Un proceso con retardo (de transporte)

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)t(TT)t(u)TT(dt

)t(Td

q

V

q

vol

vA

LA

v

L)t(Tcq)t(Tcq

dt

)t(TcVd

T))t(u1(T)t(u)t(TTcq))t(u1(Tcq)t(u)t(Tcq

ffc

eeee

fcefeceee

Suponiendo ρ, ce ctes.

u: señal en tanto por uno


112

Mezcla con retardo

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

00

fc

0f0fc0

ffc

u)t(u)t(uT)t(T)t(T

)t(T)t(u)TT(dt

)t(Td

q

V

TTu)TT(dt

Td

q

V

)t(TT)t(u)TT(dt

)t(Td

q

V

T0 , u0 punto de operación estacionario


113

Mezcla con retardo

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(xd

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(T

V

q

dt

)t(Td

)s(U1s

qV

)TT(e)s(T)t(u)TT()t(T

dt

)t(Td

q

V

fc

fcs

fc

Modelo con retardo a la entrada


114

Retardo a la salida

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , TeL, volT

m

)t(Cx)t(y

)t(Bu)t(Axdt

)t(xd

)t(T.1)t(T)t(uV

)TT(q)t(T

V

q

dt

)t(Td

)t(T)t(T)t(u)TT()t(Tdt

)t(Td

q

V

mfc

mfc

Modelo con retardo a la salida

Tm


115

Retardoq

V R T

Ti TT

)vL

t(T)dt(T)t(Td

L

)s(V1s

Ke)s(Q

1sKe

)s(Te)s(T1

2ds

1

1ds

dsd

)s(V1s

K)s(Q

1sK

)s(T1

2

1

1

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke

)s(Gn21

m1ds

t

y

u

td


116

Aproximación de Pade

12ds

s2d

1

12ds

2ds

1e 2

2

ds

G(s) con un retardo d no es racional. Si se necesita, puede aproximarse el retardo por una expansión en serie:

)1s)......(1s)(1s()1s)......(1s(Ke

)s(Gn21

m1ds

s2d

1

s2d

1e ds

Aproximación de Pade de primer orden

Aprox. de 2º orden:

resppade

C:\programas\MATLAB\bin\win32\matlab.exe


117

Control de procesos por computador

Proceso

Transmisor

u(t)

y(t)

4-20 mA

4-20 mA

Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)w

Regulador digital

Actuador

Las señales que recibe y procesa el ordenador son de naturaleza distinta: digitales y solo cambian en ciertos instantes de tiempo


118

Señales

Proceso

u(t)

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

y(kT)

t

y(t)

tT

La información en el ordenador se actualiza cada T unidades de tiempo (periodo de muestreo)


119

Modelo discretizado

u(t)

y(t)Ordenador D/A

A/Dy(kT)

u(kT)

wt

u(t)

t

u(kT)Cxy

BuAxtd

xd

Encontrar un modelo y(kT) = f( u(kT) ) tal que y(kT) = y(t) en los instantes de muestreo


120

Modelo discretizado

DuCxy

BuAxtd

xd

Tomando como tiempos de inicio y final los instantes kT y (k+1)T de un periodo de muestreo:

T)1k(

kT

)T)1k((AAT d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

t

t

tAttA dBuetxetx0

0 )()()( )(0

)(


121

Modelo discretizado

)kT(Bude)kT(xe)T)1k((x

-dd ,-1)T(k : variablede cambio

)kT(Bude)kT(xe

d)(Bue)kT(xe)T)1k((x

T

0

AAT

T)1k(

kT

)T)1k((AAT

T)1k(

kT

)T)1k((AAT

u(t)Durante un periodo de muestreo u(t) es constante e igual a u(kT)


122

Modelo discretizado

Bdee

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

T

0

AAT

DuCxy

BuAxtd

xd

u(t) Para este tipo de entradas, el modelo discretizado da los mismos valores en los instantes t = kT que el modelo continuo. (Partiendo del mismo estado inicial y aplicando las mismas entradas)

Ecuación en diferenciasMatlab c2d

y(t)

y(kT)


123

Modelo discretizado

Bdee

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

T

0

AAT

Cxy

BuAxtd

xd

)k(Cx)k(y

)1k(u)1k(x)1k(x

Notación simplificada:

k se refiere al primer, segundo, tercer, etc. periodo de muestreo


124

Ejemplo: Depósito

h.1h

uhdt

hd

Bdee

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

T

0

AAT

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h

)1e(dee

TT

TT

0

T

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si q = 0:


125

Ejemplo: Depósito

h.1h

uhdt

hd

)kT(Cx)kT(y

)kT(u)kT(x)T)1k((x

)kT(u)1e()kT(he)T)1k((h TT

Modelo discretizado: Ecuación en diferencias

Si q = 0:

5.0T

167.0A

hk

252.1hA2

ku

0

0

0

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h Si


126

Respuesta temporal

)k(Cx)k(y

)k(u)k(x)1k(x

Condiciones iniciales: x(0)

1k

0i

1ikk1k

0i

1ikk

23

2

2

)i(uC)0(xC)k(y)i(u)0(x)k(x

.......

)2(u)1(u)0(u)0(x

)2(u)1(u)0(u)0(x)2(u)2(x)3(x

)1(u)0(u)0(x

)1(u)0(u)0(x)1(u)1(x)2(x

)0(u)0(x)1(x


127

Respuesta impulsional pulsada

1k

0i

1ikk )i(uC)0(xC)k(y

T

u(k)ZOH+Proceso

T

y(k)t

T

Impulso unitario en t = 0

1

Respuesta partiendo de condiciones iniciales nulas

1k

0i

1k1k

0i

1ikk

)i(u)ik(h)k(y

)k(hC)i(uC)0(xC)k(y

h(k)

Modelo de respuesta impulsional


128

Modelo respuesta impulso

t

h(k)

k

1j

1k

0i

)jk(u)j(h

)1k(u)1(h)2k(u)2(h...)1(u)1k(h)0(u)k(h

)i(u)ik(h)k(y

Como h(i) = 0 para i ≤ 0 y para condiciones inociales nulas: u(i) = 0 para i < 0 :

1j0i

)jk(u)j(h)i(u)ik(h)k(y

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la entrada


129

Ejemplo: Mezcla

TTu

uq

(1-u)q

Tc

Tf

q , Te

L, vol

T

m

)2k(u75.4)k(T905.0)1k(T

75.4)1060(20

4de905.0ee

min14

4)t(u

V

)TT(q)t(T

V

q

dt

)t(Td

5.0

0

20

45.0

20

4AT

fc

Para q=4 l/min, V=10 l, Tc=60ºC, Tf=10ºC, vol=4 l, periodo = 0.5 min.


130

Operador desplazamiento q-1

)k(uqIC)k(y

)k(uqI)k(x

)k(u)k(xqI

)k(u)k(x)k(qx)1k(x

)1k(z)k(qz)1k(z)k(zq

1

1

1

n

11n

1n1

nm

11m

1m1

m01

aqa...qaq

bqb...qbqbqIC

)k(u

)k(y

Función racional de q


131

Función de transferencia pulsada

mnd

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q

)k(u]aqa...qaq[q

]bqb...qbqb[q

)k(uaqa...qaq

bqb...qbqb)k(uqIC)k(y

nn

1n1n

11

mm

1m1m

110

)mn(

n1

1n1n

1nn

m1

1m1m

1m

0n

n1

1n1n

1n

m1

1m1m

1m

01

)k(uqaqa...qa1

)qbqb...qbb(q)k(u

)q(A

)q(B)k(y

nn

1n1n

11

mm

1m1m

110

d

1

1


132

Función de transferencia pulsada

)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub

)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y

)mdk(ub...)1dk(ub)dk(ub

)nk(ya...)2k(ya)1k(ya)k(y

)k(u)qb...qbb(q)k(y)qa...qaqa1(

)k(u)q(B)k(y)q(A

)k(uqa...qaqa1

)qb...qbb(q)k(u

)q(A

)q(B)k(y

m10

n21

m10

n21

mm

110

dnn

22

11

11

nn

22

11

mm

110

d

1

1

La salida es una combinación lineal de valores pasados de la salida y de la entrada al proceso


133

Ejemplo: Depósito

q

h

F u

)5.0k(u062.0)5.0k(h535.0)5.0)1k((h

)k(uq535.01

q062.0)k(u

535.0q

062.0

)k(u)062.0(535.0q1

)k(uqIC)k(u)q(A

)q(B)k(y

1

1

1

1

1

1

T = 0.5

Polo = Autovalor = 0.535

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