Ejemplo N° 1 -- Mezcla Óptima de Productos--

Una pequeña empresa fabrica artículos de dos tipos a partir de tres materias primas, llamadas A, B, C. El artículo tipo 1 produce utilidad de $400 por unidad, y para su fabricación se requieren una libra de A, una libra de B y tres gramos de C. El artículo tipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricación se necesitan una libra de A, 2 libras de B y 2 gramos de C.

La empresa dispone de 150 libras de A, 240 libras de B y 420 gramos de C, para el siguiente periodo de producción (puede ser una hora, un día u otro lapso).

Datos:

TIPO DE ARTICU

LO

CONSUMO DE

LA MATERIA PRIMA

UTILIDAD ($/UNIDA

D)

A B CP1 1 1 3 400P2 1 2 2 300

Cantidad Disponib

le

150

240

420

X1 : cantidad de artículos tipo 1 a fabricar en el período.X2 : cantidad de artículos tipo 2 a fabricar en el período.

Utilidad total = 400X1+ 300X2 $/periodo

La cantidad utilizada de cada materia prima debe ser menor o igual que la cantidad disponible.

De A Libras de A/Periodo

De B Libras de B/Periodo

De C Libras de C/Periodo

X1 , X2

 

Maximizar Utilidad Total = 400X1+ 300X2

Sujeta a:

Con X1, X2

 

Ejemplo N° 2-- Mezcla Óptima de Productos --

Una compañía produce artículos de tres tipos, realizando las operaciones C, F, T. La máquina de la operación C cuesta $1500/hora de funcionamiento, la de la operación F cuesta $2400/hora y la de la operación T cuesta $1200/hora.El costo del material para una unidad del artículo 1 es $50, para una unidad del artículo 2 es de $80 y para una unidad del artículo 3 es de $140.Los precios de venta para los artículos son respectivamente de $400, $420 y $500, la unidad.

Datos: Minutos de operación por unidad

Inicialmente podemos elaborar unas tablas con los datos del problema, así:

Máquina C F TCosto de

Funcionamiento

($/minuto)

2540 20

Artículo 1 2 3Costo del Material

($/unidad)50 80 140

Precio de Venta

($/unidad)400 420 500

Calculemos las utilidades netas, así:

  ARTICULO  1 2 3Ventas 400 420 500Costos (-) 272.5 232.5 250Material 50 80 140Operación C 2,5*25 2,5*25 2,0*25Operación F 2,0*40 1,0*40 0,5*40Operación T 4,0*20 2,5*20 2,0*20= Utilidad 127.5 187.5 250.0

Xi : cantidad de artículos del tipo i a fabricar en una hora (i=1,2,3).

Maximizar: Utilidad = Z = 127.5X1 + 187.5X2 + 250X3

Sujeto a:

TIPO DE ARTÍCULO

C F T

A1 2,5 2,0 4,0A2 2,5 1,0 2,5A3 2,0 0,5 2,0

Ejemplo N°3 -- Programación de la Producción--

Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:

MES Enero Febrero MarzoUnidades 10.000 30.000 20.000

La capacidad mensual de producción de su planta es de 20.000 unidades. El costo unitario de producción varia cada mes, así: Enero $10, Febrero $9 y Marzo $12. La compañía estima en $3 el costo de almacenamiento de cada unidad que posea en la bodega él último día del mes. La capacidad de la bodega de que dispone es de 22.000 unidades.La empresa tiene en el inventario 500 unidades y desea tener 700 al final. El problema a resolver consiste en determinar el programa de producción mensual que minimiza los costos totales en el trimestre.Se supone que la producción se realiza durante todo el mes y el despacho se efectúa él último día de mes.

Deseamos determinar el programa de producción para obtener el mínimo costo en el trimestre. Para ello definimos las variables así:

: Cantidad de artículos producidos en el mes i.

: Unidades en el inventario final del mes i.

Minimizar: Costos:

Costo de Producción

Costo de almacenamiento.

Sujeto a:

1. Capacidades de producción por mes:

Enero PE 20.000

Febrero PF 20.000

Marzo PM 20.000

 

2. Despachos comprometidos cada mes

Enero IFD + PE =10.000 + IFEFebrero IFE + PF = 30.000 + IFFMarzo IFF + PM = 20.000 + IFM

Inventario Inicial (Final de Diciembre) IFD=500

Inventario Final (Marzo) IFM=700

3. Capacidad de la bodega Enero IFD + PE 22.000

Febrero IFE + PF 22.000

Marzo IFF + PM 22.000

Los problemas de este tipo también pueden modelarse de otra manera como lo sugiere el siguiente grafico, en donde no incluimos la necesidad de contar con inventario final, lo cual se deja como ejercicio al estudiante. Por ejemplo, cuál sería el programa de producción si se tienen 5.000 unidades de inventario inicial y se desean 10.000 de inventario final.

Sean : Cantidad de artículos producidos en el mes i con destino a las ventas del mes j (i=E, F, M y j=E, F, M).

De esta forma el inventario final de cada mes está integrado por las cantidades producidas ese mes con destino a los meses siguientes.

La función objetivo y las restricciones serán:

Minimizar:Costo Z=10(X11+X12+X13)+9(X22+X23+12X33+3(X12+X23)+6X13

Nótese como los valores (X12+X13) y (X23+X13) equivalen a los inventarios finales de los meses de Enero y Febrero.

Sujeta a:

Capacidades de producción por mes:

Enero X11 + X12 + X13 20.000

Febrero X22 + X23 20.000

Marzo X33 20.000

 

Despachos comprometidos cada mes:

Enero IIE + X11 = 10.000Febrero X12 + X22 = 30.000Marzo X13 + X23 + X33 = 20.000

Ejemplo N° 4 -- Dieta para unas vacas--

Un granjero sabe que debe suministrar diariamente a cada una de sus vacas, un

mínimo de 27, 21 y 30 unidades de los elementos nutricionales A, B, C respectivamente. Para prepararles la comida puede comprar dos clases de alimentos. Una libra del alimento 1 contiene 3, 1, y 1 unidades del nutriente A, B, C respectivamente, y cuesta $40. Por otra parte, una libra del alimento 2 contiene respectivamente 1, 1 y 2 unidades de los nutrientes y cuesta $20.

El granjero desea conocer cuántas libras de cada alimento necesita utilizar para nutrir a cada una de sus vacas, de tal forma que minimice los costos. Suponga que no hay limite en cuanto al peso total de la comida (mezcla) resultante.

Construcción del modelo:

Para iniciar, podemos elaborar una tabla con los datos del problema:

Alimento Composición(unidad/lb del alimento)

Precio($/libra)

A B CA1 3 1 1 40A2 1 1 2 20

Requisitos diarios

(unidad/vaca)27 21 30

Sean XAi: Libras del alimento i que dedicaremos a la preparación de la dietapara una vaca (i=1,2).

El objetivo es minimizar los costos. El modelo queda:

Minimizar: Costo = Z = 40XA1 + 20XA2

Sujeto a:

Composición de la dieta

Nutriente A          3XA1 + 1XA2 27 (unidades de A/vaca)

Nutriente B          1XA1 + 1XA2 21 (unidades de B/vaca)

Nutriente C          1XA1 + 2XA2 30 (unidades de C/vaca)

Se deja al estudiante la comprobación de la consistencia de las unidades.

Veamos otro ejemplo que ilustra el caso de composición o mezcla de ingredientes.

Ejemplo N° 5 -- Producción de Gasolina--Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, la corriente y la extra. La corriente se vende a $3000 galón y la extra a $3600. Las gasolinas se fabrican a partir de dos crudos, cuyos análisis de componentes aparecen a continuación:

COMPONENTESCRUDO A B Costo por galón

1 60% 40% 1502 30% 70% 120

La gasolina corriente debe contener máximo 60% de B, mientras que la extra debe contener mínimo 50% de A.El oleoducto de la compañía puede suministrar un máximo de 4 millones de galones de crudo 1, y 3 millones de crudo 2, al día.La compañía ya tiene pedidos por 5 millones de galones de gasolina corriente y 1 millón de gasolina extra, cada día.¿Cómo debe proceder la empresa para obtener la máxima ganancia diaria?

GASOLINAPRECIO DE

VENTA ($/GALON)

PEDIDOS(galón/día)

COMPOSICIÓN REQUERIDA

Corriente 3000 5*106 Max 60% de BExtra 3600 1*106 Min 50% de A

Sean Xij: el número de galones de crudo i que se dedican a producir la gasolina j (i=1,2);(j= corriente, extra).Maximizar:

Z= 3000(X11+X21)+3600(X12+X22)-150(X11+X12)-120(X21+X22)

Sujeto a:

Composición de Gasolinas:

B en la corriente: 0.40X11 + 0.70X21 0.60(X11 + X21) (galones de B en gasolina corriente).

A en la extra: 0.60X12 + 0.30X22 0.50(X12 + X22) (galones de A en gasolina corriente).

Disponibilidad de crudos:

X11 + X12 4*106 (galón de crudo 1)

X21 + X22 3*106 (galón de crudo 2)

Ventas máximas (producción máxima)

X11 + X21 5*106 (galón de corriente)

X12 + X22 1*106 (galón de extra)

Ejemplo N° 6 -- Cuánto Invertir en cada Alternativa--Acciones: Disponible al inicio de cada año, durante los tres próximos años. Cada peso invertido en Acciones, retorna 1.20 al siguiente año, a tiempo para reinvertir el dinero nuevamente. Puede invertir máximo $12.000.000 cada vez.Bonos: Disponible a principio del primer año. Cada peso invertido le retorna 1.50 al cabo de dos años, a tiempo para reinvertirlos. Puede invertir un máximo de $20.000.000 en esta

alternativa.Certificados de depósito a dos años: Disponible al principio del segundo año. Cada peso invertido le retorna 1.60 dos años después. Puede invertir un máximo de $15.000.000Dólares: Disponible al inicio del tercer año. Cada peso invertido le retorna 1.40, un año después. Puede invertir un máximo de $10.000.000Si por las limitaciones en la cantidad invertida en las alternativas, en determinado año no se invierte todo el dinero disponible, el sobrante se deja en una cuenta de ahorros, que indica una rentabilidad del 12% anual.

Xij: Cantidad invertida en millones en la alternativa i al principio del año j (i = A, B, C, D; j = 1, 2, 3).

Maximizar: Utilidad (al termino del año 3)                                  Z= 0.2XA3 + 0.4XD3 + 0.6XC2 + 0.12S3

Sujeta a:

Capacidad de inversión en cada año:

Año 1: XA1 + XB1 + S1 = 30.000.000Año 2: XA2 + XC2 + S2 = 1.2XA1 + 1.12S1Año 3: XA3 + XD3 + S3 = 1.2XA2 + 1.5XA2 + 1.5XB1 + 1.12S2

Inversión máxima en cada alternativa:

XA1 12, XA2 12, XA3 12

XB1 20

XC2 15

XD3 10

Con Xij 0.

Cree que la función del objetivo pudo expresarse como:

Capital al final del año 3 =  Z= 1.2XA3 + 1.4XD3 + 1.6XC2 + 1.12S3 

Ejemplo N° 7 -- Transporte de Cajas de Cerveza--

Una compañía embotelladora tiene plantas ubicadas en Medellín, Bogotá y Cartagena. La capacidad de cada una de las plantas es:

Planta Medellín Bogotá Cartagena

Producción (caja/mes) 100.000 120.000

100.000

La empresa surte a cuatro distribuidoras localizadas en diferentes zonas del país. La demanda esperada de cada uno de los distribuidores es la siguiente:

Distribuidor Cali Cucuta Ibagué RiohachaDemanda (caja/mes) 50.000 70.000 62.000

120.000

El costo de transportar una caja de cada planta a cada distribuidor es:

  PLANTADistribuidor Medellín Bogotá CartagenaCali 100 200 300Cucuta 120 150 200Ibagué 150 200 150Riohacha 210 180 130

Xij: Cantidad de cajas enviadas de la planta i hasta la bodega j.

Minimizar costo: Z = 100XMCA + 120XMCU + 150XMI + 210XMR + 200XBCA + 150XBCU + 200XBI + 180XBR + 300XCCA + 200XCCU + 150XCI + 130XCR

Sujeta a:

Capacidad de las plantas:

Medellín: XMCA + XMCU + XMI + XMR 100.000

Bogotá: XBCA + XBCU + XBI + XBR 120.000

Cartagena: XCCA + XCCU + XCI + XCR 100.000

Demandas de los distribuidores:

1 XMCA + XBCA + XCCA 50.000

2 XMCU + XBCU + XCCU 70.000

3 XMI + XBI + XCI 62.000

4 XMR + XBR + XCR 120.000

con Xij 0

Ejemplo N° 8 -- Problema del Transbordo--

La compañía X puede producir su principal artículo en dos departamentos diferentes. Cada departamento puede enviar lo producido al centro de control de calidad final A o al centro de control de calidad final B, desde los cuales se remite a cualquiera de las cuatro líneas del empaque y envío de que dispone la empresa. El departamento 1 tiene capacidad para producir 80 unidades por hora y el departamento 2 para producir máximo 60 unidades por hora. Según las demandas

esperadas, se ha programado que las líneas de empaque atiendan al menos las siguientes cantidades por hora: 30, 20, 40, 40 respectivamente.La siguiente tabla muestra los tiempos promedio (minutos) que se gasta en los diferentes movimientos de cada unidad del producto.

DEPARTAMENTO CONTROL DE CALIDAD

LINEA DE EMPAQUE Y ENVIOP1 P2 L1 L2 L3 L410 12 C1 24 - 22 -9 11 C2 19 23 20 23

El centro 1 de control de calidad, se demora 4 minutos para revisar un artículo y el centro 2 de control de calidad se demora 6 minutos.

Las variables de decisión se definirán como:

Xij : unidades enviadas del nodo i al nodo j.

Minimizar: Costo Total =   10X13 + 9X14 + 12X23 + 11X24                                 + 24X35 + 1000X36 + 22X37 + 1000X38                                + 19X45 + 23X46 + 20X47 + 23X48

Sujeta a:

Capacidad de producción de cada departamento

           X13 + X14 80             Departamento P1

           X23 + x24 60             Departamento P2

Capacidad de Transbordo en cada centro

          X13 + X23 = X35 + X37                          Centro Calidad A          X14 + X24 = X45 + X46 + X47 + X48        Centro Calidad BDemanda mínima en cada línea

           X35 + X45 30

                    X46 20

           X37 + X47 40

                    X48 40

Con Xij 0 para todo ij.

F. PROBLEMA DEL PERSONAL NECESARIO

Ejemplo N° 10 -- Programación de Turnos de Trabajo--

El administrador de un peaje determinó que el número de empleados que necesita se distribuyen durante el día así:

Periodo Intervalo Número Mínimo

de Tiempo de Empleados1 6 - 10 82 10 - 14 63 14 - 18 84 18 - 22 75 22 - 2 56 2 - 6 3

Cada empleado trabaja 8 horas diarias consecutivas. El administrador desea conocer el número mínimo de empleados que debe tener para cumplir con las necesidades de personal durante el día.Xi: Cantidad de personas que inician un trabajo a la hora i (i=2, 6, 10, 22)

Cada empleado labora 8 horas consecutivas, entonces presta sus servicios en dos de los turnos en que se dividió el día para el estudio.

Minimizar: Z = X2 + X6 + X12 + X14 + X18 + X22

Sujeta a:

Personal necesario en cada intervalo:

X2 + X6 8 de 6 - 10

X6 + X10 6 de 10 - 14

X10 + X14 8 de 14 - 18

X14 + X18 7 de 18 - 22

X18 + X22 5 de 22 - 2

X22 + X2 3 de 2 - 6

con Xi 0.

Ejemplo N° 11 -- Corte de Papel--

Una empresa produce papel en rollos de 90 cm. de ancho y 100 m. de largo, pero muchas veces recibe pedidos para despachar rollos de dimensiones menores. En este momento necesita cumplir con la siguiente orden de producción:200 metros de ancho 75 cm.,500 metros de ancho 35 cm. y 300 metros de ancho 25 cm..La compañía desea determinar la forma de cortar los rollos estándar, de tal manera que se produzca el mínimo sobrante de papel.Elabore el modelo matemático de P.L. para este problema.

FORMA DE CORTE

METROS DE ANCHO DESPERDICIO

0.75 0.35 0.251 1 0 0 0.152 0 2 0 0.203 0 1 2 0.054 0 0 3 0.15

Podemos definir las variables del modelo como:

Xi: número de metros del rollo estándar cortados en la modalidad i.Sj: número de metros del ancho j, cortados en exceso sobre lo pedido (j=1,2,3).

Minimizar: Sobrante: 0.15X1 + 0.20X2 + 0.05X3 + 0.15X4

Sujeta a:

Cantidad necesaria de cada ancho:(metros)

1X1 200

2X2 + 1X3 500

2X3+3X4 300

con Xi 0, i, Sj 0, j

E. PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

Ejemplo N° 9 -- Asignación de Mecánicos a Trabajos--

Cierta compañía tiene tres empleados para asignar a tres solicitudes de reparación de licuadoras en la casa de los clientes, que deben ser atendidos mañana, por lo cual los empleados viajan directamente de su hogar hasta el del cliente.Como la empresa subsidia el combustible del vehículo de los operarios, desea ahorrar lo máximo, motivo por el cual necesita conocer la forma de asignar los operarios a los clientes de tal manera que se tenga la menor distancia total de viaje de los empleados.

La tabla siguiente muestra las distancias desde la casa de cada empleado hasta la de cada cliente.

EMPLEADOCLIENTE

1 2 31 10 22 142 20 10 83 14 12 6

SOLUCION

Xij: cantidad de empleados de origen i enviados para atender la reparación del cliente j.

Con este modelo se escribirá como:

Minimizar: distancia total        Z=   10X11+22X12+14X13            +20X21+10X22+ 8X23             +14X31+12X32+ 6X33

S.a:

Solo hay un empleado en cada origen

           X11 + X12 + X13 = 1             empleado 1 (origen 1)           X21 + X22 + X23 = 1             empleado 2 (origen 2)           X31 + X32 + X33 = 1             empleado 3 (origen 3)

 

Solo hay una reparación pedida por cada cliente

           X11 + X21 + X31 = 1             cliente 1           X12 + X22 + X32 = 1             cliente 2           X13 + X23 + X33 = 1             cliente 3

Con Xij 0 para todo ij

H. PROBLEMA DE ASIGNACIÓN DE RECURSOS

Ejemplo N° 12 -- Ocupación de las Bodegas de un Avión--

Una empresa se dedica al transporte aéreo de mercancias y cuenta para ello con un avión que tiene tres bodegas: frontal, central y trasera. Las capacidades en peso y espacio para cada bodega son:

BODEGAPESO(ton.)

VOLUMEN (m3)

Frontal 5 1000Central 15 9000Trasera 8 6000

Por motivos técnicos, debe tenerse igual proporción de peso ocupado a capacidad en peso en cada bodega.

La empresa recibió el encargo de transportar la mercancia de cuatro clientes pudiendo aceptar cualquier fracción de ellas.

La información de peso, volumen y utilidades de las mercancias es:

MERCANCIA PESO (ton.)

VOLUMEN(m3) UTILIDAD ($/ton.)

1 10 1000 250.0002 12 3000 400.0003 8 2400 300.0004 14 7000 500.000

Construcción del modelo:

Un problema de este tipo es en realidad, similar a un problema de programación de recursos. En este caso, los recursos son las capacidades de peso y el volumen de las bodegas.

Antes de construir el modelo, debemos calcular el volumen por tonelada de cada mercancia.

Los resultados se registran en la siguiente tabla:

mercancia 1 2 3 4m3/ton. 100 230 300 500

Las variables de decisión serán:

Xij: Toneladas de la mercancia i a transportar en la bodega j ( i= 1, 2, 3, 4); ( j= F, C, T )

Modelo Completo:

El modelo de P.L. puede ser el siguiente:

Maximizar:

Utilidad =

Sujeta a:

Capacidades de peso en las bodegas:

Capacidad de volumen:

Frontal: 100X11 + 230X21 + 300X31 + 500X41 1000

Central: 100X12 + 230X22 + 300X32 + 500X42 9000

Trasera: 100X13 + 230X23 + 300X33 + 500X43 6000

Mercancia disponible (toneladas):

Proporción de peso en las bodegas

 

I. MEZCLA DE PRODUCTOS CON FUNCIÓN OBJETIVO SEPARABLE

Ejemplo N° 13 -- Precios de Venta con Descuentos según la Cantidad--

Una compañía produce tres artículos A, B, C. Cada unidad de A, requiere una hora de maquinaria, ocho horas de mano de obra y cuatro libras de materia prima.Cada unidad de B, necesita tres horas de maquinaria, tres horas de mano de obra y tres libras de materia prima.Cada unidad de C, requiere dos horas de maquinaria, cuatro horas de mano de obra y dos libras de materia prima. La empresa dispone de 300 libras de materia prima, 800 horas de mano de obra y 80 horas de maquinaria, para el próximo periodo.El precio de venta y por ende las utilidades de los artículos, van rebajando a medida que aumenta la cantidad vendida, como se indica en la siguiente tabla:

PRODUCTO A PRODUCTO B PRODUCTO CUnidades Vendidas

Utilidad Unitaria

Unidades Vendidas

Utilidad Unitaria

Unidades Vendidas

Utilidad Unitaria

0 - 40 10 0 - 50 8 0 - 100 7

41 - 100 9 51 - 100 6 101 - 5101 - 150 8 101 - 5

151 - 6

Debe entenderse que si por ejemplo para el artículo A se venden 70 unidades, las primeras 40 dan utilidad de $10 y las 30 siguientes dan utilidad de $9. Así mismo si se venden 180 unidades, las primeras 40 dan $10 de utilidad, las siguientes 60 dan utilidad de $9, las 50 siguientes utilidad de $ 8 y las ultimas 30, darán utilidad de $6. ¿Cuál será el programa de producción y ventas que maximiza la utilidad total?Inicialmente elaboramos una tabla con los datos de consumo de los recursos de la empresa:

PRODUCTOMAQUINARIA

(horas/unidad)MANO DE OBRA (horas/unidad)

MATERIA PRIMA

(lb/unidad)A 1 8 4B 3 3 3C 2 4 2

Disponible/Periodo 80 800 300

Xi: Número de unidades del articulo i que deben fabricarse en el periodo.

Xij: Cantidad de unidades vendidas del articulo i, que pertenecen al intervalo j (i= A,B,C; j=1, 2, 3, 4)

Xi: cantidad total de unidades del articulo i vendidos.

Modelo Completo:

De esta manera el modelo de P.L., queda:

Maximizar: utilidad:Z = 10XA1 + 9XA22 + 8XA13 + 6XA4 + 8XB1 + 6XB2 + 5XB3 + 7XC1 + 5XC2 Sujeta a:

Limites de las cantidades que pertenecen a cada intervalo.

Para XA

XA1 40

XA2 60

XA3 50

Para XB

XB1 50

XB2 50

Para XC

XC1 100

Por comodidad al escribir las restricciones de uso de los recursos, podemos expresar las siguientes igualdades:

XA = XA1 + XA2 + XA3 + XA4XB = XB1 + XB2 + XB3XC = XC1 + XC2

Luego se escriben las restricciones de disponibilidad de recursos así:

Maquinaria:

1XA + 3XB + 2XC 80

Mano de obra

8XA + 3XB + 4XC 800

Materia Prima

4XA + 3XB + 2XC 300

Con Xij 0 para todo ij

Xi 0 para todo i.

J. PROGRAMACIÓN ENTERA

Ejemplo N° 14 -- Corte de Madera--

Una marquetería debe enmarcar 175 cuadros de 119x96 cm. En el mercado puede comprar varillas de la moldura indicada con longitud de 300 cm.

¿Cómo deben cortarse las varillas para obtener los marcos requeridos, obteniendo el menor sobrante posible?

Solución:

Modalidades de corte

Xi: Número de varillas estándar cortadas en la modalidad i (i= 1, 2, 3)

Para 175 marcos se necesitan 350 piezas de cada longitud.

Minimizar: 62X1 + 1X2 + 30X3 longitud sobrante

Sujeta a:

2X1 + 1X2 350 piezas de longitud 119

2X2 + 3X3 350 piezas de longitud 90

Pregunta: ¿ El valor de las Xi tiene que ser entero?¿Cuál será la diferencia de sobrantes, si permite que el valor de los Xi sea fraccionario?

Ejemplo N° 15 -- Programación de la Producción de un Ensamble--

Cierta empresa produce un artículo que se forma con cuatro piezas del componente A y tres piezas del componente B. Las piezas se pueden fabricar en cualquiera de las tres máquinas diferentes que posee la compañía, las cuales transforman las dos materias primas en las piezas que van al ensamble del producto final.

La tabla siguiente muestra el número de gramos de cada materia prima que deben utilizarse en cada máquina para realizar un ciclo de producción de las componentes. La misma tabla muestra el número de componentes de cada tipo que se obtienen en cada ciclo de producción de cada una de las maquinas, así como el número de gramos disponibles de las materias primas.

MÁQUINA M.P 1 (g/ciclo)

M.P. 2 (g/ciclo)

Componente A (u/ciclo)

Componente B (u/ciclo)

1 8 6 7 52 5 9 6 93 3 8 8 4

Disponible 100 200

Xi = Número de tandas de producción que realiza la máquina i.

Necesitamos entonces definir también que             XA = número de componentes de tipo A obtenidas.            XB = número de componentes de tipo B obtenidas.

Maximizar : número de ensambles = XA/4

Las restricciones son de dos clases :

1. Las relacionadas con los recursos o materias primas.

            8X1 + 5X2 + 3X3 100 gramos de la mp1

            6X1 + 9X2 + 8X3 200 gramos de la mp2

2. Las relacionadas con la cantidad total de cada componente

            XA = 7X1 + 6X2 + 8X3 Unidades del componente A            XB = 5X1 + 9X2 + 4X3 Unidades del componente BPero hace falta una restricción muy importante que relaciona el número de componentes de tipo A con el número de componentes de tipo B, de tal manera que se puedan obtener los ensambles completos.Nada nos ganamos con maximizar el cociente XA/4 ( que equivale a maximizar el valor de XA), si esto no conduce a que simultáneamente se produzcan las XB unidades de B, proporcionales para obtener los ensambles deseados. Por ejemplo, no sería óptimo producir 100 unidades de A y solo 60 de B, ya que con las A alcanzaría para 25 ensambles, mientras que con las B alcanzaría solo para 20, siendo entonces 20 el número real (máximo posible ) de ensambles.

En conclusión XA/4 se debe maximizar pero sin exceder el valor XB/3, lo cual conduce a que al modelo debe agregarse una nueva restricción que se expresa

como: XA/4z XB/3

K. VARIABLES BINARIAS

Ejemplo N° 16-- Programación de Proyectos--

Una compañía tiene cuatro proyectos llamados A, B, C y D, cada uno de los cuales puede o no hacerse.Los proyectos B y D no se pueden ejecutar simultáneamente (son mutuamente excluyentes).La información relevente de los proyectos es: (cifras en millones de pesos)

 

PROYECTO A B C DInversión Inicial 10 20 15 12

Inversión al año 5 7

Recibido al año 10 5Recibido a los 2 años 20 15 15 10Recibido a los 3 años 12 20 10 20

La compañía dispone actualmente de 25 millones y al inicio del segundo año recibirá 5 millones de otras inversiones. Además necesita disponer de 15 millones al inicio del tercer año que destinará a cancelar unos compromisos de pago en esa fecha.La tasa de interés que se paga actualmente en el mercado es 20% anual efectiva.

Elabore un modelo de P.L. para determinar cuales proyectos deben ejecutarsen con el propósito de maximizar el Valor Presente Neto de las inversiones realizadas.

La compañía de seguros Todosalud SA está preparando su plan de inversiones para los próximos dos años. Actualmente, la empresa tiene 1,5 millones de Bolívares para invertir y espera ingresar, gracias a inversiones pasadas, un flujo de dinero al final de los meses, 6 12 y 18 próximos. Por otra parte, la empresa quiere expandirse y tiene dos propuestas sobre la mesa. La primera es asociarse con la empresa Sanimas SA y la segunda con la empresa Buenavida SA. En el Cuadro siguiente se muestra el flujo de caja de Todosalud SA si entrara con un 100% en cada uno de los proyectos.

Debido al actual nivel de endeudamiento, a Todosalud SA no se le permite pedir préstamos. Pero si que puede, a cada seis meses, invertir sus fondos excedentes (es decir, aquellos que no ha invertido en ningún proyecto) en un fondo que le daría un 7% cada seis meses. Por otro lado, Todosalud SA puede participar en cada uno de los proyectos con un nivel inferior al 100% y, consecuentemente, el flujo de caja se reducirá en la misma proporción.

Es decir, que si decide entrar por ejemplo con el 50% en el proyecto de Buenavida, el flujo correspondiente también se reducirá en la misma proporción. El problema que se plantea Todosalud SA es cuanto invertir en cada proyecto para maximizar el dinero en efectivo que tendrá la empresa en dos años.

Formulación matemática del problema:

Definición de las variables :

X1 : porcentaje de participación en el proyecto Sanimas

X2 : porcentaje de participación en el proyecto Buenavida SA

S0, S6, S12 y S18 : dinero que se depositará en el fondo en los periodos 0, 6 12 y 18 respectivamente.

Para formular las restricciones del modelo se utilizará un razonamiento secuencial. La empresa dispone de 1,5 millones de Bolívares hoy (periodo 0) y las quiere gastar considerando las opcionessiguientes:

1. participar en el proyecto Sanimas, que implicaría desembolsar 1.000.000X1 Bs en el periodo 0;2. participar en el proyecto Bonavida, teniendo que gastar 800.000X2;3. depositar el dinero al 7%

Estas opciones no son excluyentes entre ellas. Por lo tanto, se tiene que cumplir la siguiente ecuación de equilibrio:

1.500 = 1.000X1 + 800X2 + S0

Al cabo de seis meses, la empresa ingresará 500.000 Bs. gracias a inversiones realizadas anteriormente. También el dinero depositado en el fondo en el periodo anterior estará a disposición junto con los intereses: S0 + 0,07S0 .

Por otra parte, el proyecto Buenavida dará una entrada de dinero igual a 500.000X2. Con este dinero tendrá que hacer frente al co mpromiso adquirido con Sanimas, 700.000X1, y depositar lo que quede al 7% una vez más.

Similarmente, en los perìodos 6, 12 y 18:

500 + 500X2 + 1,07S0 = 700X1 + S6

400 + 1.800X1 + 1,07S6 = 200X2 + S12

380 + 400X1 + 1,07S12 = 700X2 + S18

Finalmente, al cabo de dos años (periodo 24), la empresa tendrá únicamente ingresos y no tendrá ningún gasto. Los ingresos provienen de los dos proyectos (600.000 X1 + 2.000.000 X2) y del dinero depositado en el periodo anterior, 1,07 S18. Si se define X0 como los ingresos realizados en el periodo 24 en miles de Bs. , tendremos que:

X0 = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18

que no es más que el objetivo del problema:

Maximizar los ingresos al cabo de dos años

Finalmente, como solo se puede invertir un máximo de 100% en cada proyecto, las variables X1 y X2 no pueden exceder la unidad. Por lo tanto, hay que añadir las restricciones siguientes:X1 1X2 1

En resumen, reordenando los términos tendremos que el programa lineal se escribe de la forma siguiente:

Max Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18

sujeto a:

1000X1 +800X2 + S0 = 1.500

700X1 - 500X2 - 1,07S0 + S6 = 500

- 1.800X1 +200X2 - 1,07S6 + S12 = 400

- 400X1 +700X2 - 1,07S12 + S18 = 380

X1 1

X2 1

X1, X2, S0, S6, S12, S18 0

Restricciones

Período cero

Primer sern.

Segundo sem.

Tercer sem.

Restricción de proporción

No Negatividad

En resumen, reordenando los términos tendremos que el programa lineal se escribe de la forma siguiente:

Variables

Función objetivoMax Z = 600X1 + 2.000X2 + 1,07S18

sujeto a:

1000X1 +800X2 + S0 = 1.500

700X1 - 500X2 - 1,07S0 + S6 = 500

- 1.800X1 +200X2 - 1,07S6 + S12 = 400

- 400X1 +700X2 - 1,07S12 + S18 = 380

X1 1

X2 1

X1, X2, S0, S6, S12, S18 0

Restricciones

Período cero

Primer sern.

Segundo sem.

Tercer sem.

Restricción de proporción

No Negatividad

En resumen, reordenando los términos tendremos que el programa lineal se escribe de la forma siguiente:

Variables

Función objetivo