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MODELADO DE SISTEMAS MECÁNICOS LINEALES CON FUNCIONES DE FUERZA COMO SEÑALES DE
ENTRADA MEDIANTE CIRCUITO MECÁNICO.
Martín Carlos Vera Estrada.
Facultad de Ingeniería. Universidad Autónoma del Estado de México
Ciudad Universitaria de Toluca, Estado de México. Tel. 2140855
Abstracto.
En este artículo se presenta el enfoque para el modelado de los
sistemas mecánicos lineales con funciones de fuerza como
señales de entrada, llamado circuito mecánico, que consiste en
construir un circuito similar a un circuito eléctrico sin pasar por
las analogías con circuitos eléctricos, y que se resuelve
aplicando la ley de nodos de un circuito mecánico, que se define
más adelante. Asimismo se hace una comparación con los
métodos convencionales.
1. Introducción.
La importancia de entender y ser capaces de determinar la
respuesta y el desempeño de un sistema físico ha sido objeto de
estudio de diversas ramas de la Ingeniería, para lo que se
desarrollan técnicas de modelado, análisis y diseño de sistemas
físicos particulares que son relevantes en tales disciplinas.
Modelado es el proceso de identificar los principales efectos
dinámicos físicos considerados en el análisis de un sistema,
expresado mediante ecuaciones algebraicas y diferenciales a
partir de leyes de conservación de la Física y de propiedades de
los componentes del sistema [1].
Entre las técnicas tradicionales de modelado de sistemas
mecánicos lineales se tiene el diagrama de cuerpo libre
[1][2][3][4], las analogías directa e inversa con circuitos
eléctricos [2][5], y la representación a tierra del sistema [2].
Algunos de estos métodos son laboriosos y requieren de gran
destreza y habilidad en su manejo, además de que no cubren la
totalidad de los casos. Aquí se propone el enfoque, llamado
circuito mecánico, que resulta más simple y que si cubre la
totalidad de los casos. El caso a analizar en este artículo es el de
los sistemas mecánicos lineales sometidos a movimiento
horizontal con funciones de fuerza como señales de entrada.
En una primera parte se presentan los métodos convencionales
en el modelado de sistemas mecánicos lineales y en seguida el
enfoque del circuito mecánico, presentándose el análisis de un
ejemplo tipo que servirá para mostrar y comparar ventajas y
desventajas con cada uno de ellos.
Los sistemas mecánicos obedecen la segunda ley de Newton
[1][3][4], que establece que la suma algebraica de las fuerzas
externas aplicadas a un cuerpo rígido en una dirección dada es
igual al producto de la masa del cuerpo por su aceleración
en la misma dirección, y que se expresa mediante la ecuación
(1). Los elementos que caracterizan el comportamiento de un
sistema mecánico son masa, resorte y amortiguador.
(1)
La masa es un elemento inercial, que almacena energía cinética
[4] y que al aplicarle una fuerza externa presenta una
aceleración; su fuerza de reacción es igual al producto de la
masa por la aceleración , y con dirección contraria a la
fuerza aplicada; en términos de la aceleración , la velocidad ,
y el desplazamiento , ésta se expresa mediante la siguiente
ecuación:
(2)
El resorte es un elemento que almacena energía potencial y que
presenta una fuerza reactiva [2][5], que cuando se le comprime
trata de expandirse y cuando se le estira trata de contraerse, su
fuerza de reacción es igual al producto de la rigidez del
resorte por la deformación (diferencia entre las posiciones
extremas del resorte, ) del mismo, que obedece la ley de
Hooke, lo que se muestra en la ecuación (3); mientras que el
amortiguador se caracteriza por absorber energía [3][5], y para
el caso de fricción viscosa, su fuerza de reacción , es igual al
producto de la constante de amortiguamiento y la velocidad
relativa entre sus extremos, ecuación (4).
(3)
(4)
2. Métodos convencionales en el modelado de sistemas
mecánicos lineales.
Para el análisis de los diferentes métodos del modelado de los
sistemas mecánicos lineales se presenta un ejemplo tipo de un
sistema mecánico sujeto a dos fuerzas externas, ver Figura (1),
en el que se requiere determinar las ecuaciones de movimiento
que describen el comportamiento del mismo.
Figura 1. Sistema mecánico lineal, ejemplo tipo.
Diagrama de cuerpo libre.
En este método se traza un esquema en el que se representa las
diferentes masas que integran al sistema mecánico, las fuerzas
de los elementos que interactúan con ellas y las fuerzas externas
que se aplican al sistema; presenta la ventaja de ser muy
sencillo y rápido en su aplicación, pero requiere un cierto grado
de destreza del usuario al plantear los valores y los sentidos de
las fuerzas de reacción de los diferentes elementos del sistema.
En estos diagramas no se puede apreciar la disposición de los
elementos entre sí, y no se pueden determinar de manera directa
todas las características dinámicas de los elementos mismos.
Para el ejemplo tipo, debido a que se tienen dos masas que se
mueven con velocidades desconocidas diferentes se construyen
dos diagramas de cuerpo libre, uno para cada masa, como se
muestra en la Figura (2), de donde se obtienen las ecuaciones
que describen el comportamiento del sistema al aplicar la
segunda ley de Newton en cada uno de los diagramas de cuerpo
libre. En términos de operadores diferenciales y ordenando, se
tienen las ecuaciones (5) y (6) para describir al sistema
mecánico lineal, cuya solución se da en las ecuaciones (7) y (8).
Figura 2. Diagramas de cuerpo libre de las masas del sistema mecánico.
(5)
(6)
)
(8)
Analogía directa con circuito eléctrico.
El método de la analogía directa, también llamado analogía
fuerza-voltaje, se define de la similitud que se presenta entre los
elementos en serie de un sistema mecánico, ecuación (9), y los
elementos en serie de un circuito eléctrico, ecuación (10); o bien
de los elementos mecánicos conectados en paralelo y elementos
eléctricos conectados en paralelo. Básicamente se requieren tres
pasos: Crear una analogía de circuito eléctrico del sistema
mecánico, utilizar los métodos de Kirchhoff para encontrar las
señales de salida del modelo análogo y trasladar las variables
eléctricas análogas por sus respectivas variables mecánicas afín
de encontrar las señales de salida del sistema mecánico.
(9)
(10)
La Tabla (1) muestra la relación de cantidades en la analogía
directa entre el sistema mecánico y el circuito eléctrico.
Sistema mecánico lineal Sistema eléctrico
Fuerza, Voltaje,
Velocidad, Corriente,
Desplazamiento, Carga,
Masa, Inductancia,
Coeficiente de amortiguamiento, Resistencia,
Constante de rigidez, Reciproco de capacitancia,
Tabla 1. Equivalencia de cantidades en la analogía directa.
Este método es laborioso en cuanto a la identificación de la
disposición de los elementos mecánicos en serie y en paralelo al
dibujar el circuito eléctrico equivalente; en el reemplazo de las
cantidades eléctricas por las cantidades mecánicas, puesto que se
debe arreglar las ecuaciones para identificar los diferentes
elementos; y en el número de pasos que se tienen que aplicar
para llegar a la solución. La ventaja que ofrece es que se pueden
determinar todas las cantidades eléctricas análogas y las
respectivas cantidades mecánicas de cualquier elemento del
circuito eléctrico análogo, y por consecuencia, de cualquier
elemento del sistema mecánico.
Para el ejemplo tipo, la Figura (3) muestra el circuito eléctrico
análogo al sistema mecánico. Las variables de los elementos del
sistema mecánico , tienen
como variables análogas de los elementos del circuito eléctrico
, respectivamente.
.
Aplicando ley de voltajes de Kirchhoff a las dos mallas del
circuito y ordenando términos, se tienen las ecuaciones (11) y
(12); sustituyendo los valores de las cantidades eléctricas por sus
correspondientes valores análogos de los elementos mecánicos
en estas ecuaciones, se obtendrán las ecuaciones (5) y (6)
mostradas en la solución del método de diagrama de cuerpo
libre, y cuya solución son las ecuaciones (7) y (8).
(11)
(12)
Figura 3. Analogía directa con circuito eléctrico.
Analogía inversa con circuito eléctrico.
De manera similar al método de la analogía directa, el método
de la analogía inversa, también llamado analogía fuerza-
corriente eléctrica, se define de la similitud que se presenta entre
los elementos en paralelo de un sistema mecánico, ecuación
(13), y los elementos en serie de un circuito eléctrico, ecuación
(14); o bien de los elementos en serie de un sistema mecánico y
de los elementos en paralelo de un circuito eléctrico.
(13)
(14)
La Tabla (2) muestra la relación de cantidades en la analogía
inversa entre el sistema mecánico y el circuito eléctrico.
Sistema mecánico lineal Sistema eléctrico
Fuerza, Corriente,
Velocidad, Voltaje,
Masa, Capacitancia,
Coeficiente de amortiguamiento, Reciproco de resistencia,
Constante de rigidez, Reciproco de inductancia,
Tabla 2. Equivalencia de cantidades en la analogía inversa.
El procedimiento para construir la analogía inversa, es similar al
descrito en la analogía directa, solo que la correspondencia de
los elementos se determina de la Tabla (2). Las ventajas y
desventajas de este método son las mismas que en el método de
la analogía directa, de hecho son métodos duales; la diferencia
es que uno se resuelve por la ley de voltajes de Kirchhoff y el
otro por la ley de nodos de Kirchhoff.
La Figura 4 muestra el circuito eléctrico en analogía inversa del
sistema mecánico del ejemplo. Las v de los elementos del
sistema mecánico , tienen por
variables análogas de los elementos del circuito eléctrico
, respectivamente.
Aplicando ley de nodos o corrientes de Kirchhoff a dos nodos
del circuito y ordenando, se tienen las ecuaciones (15) y (16);
sustituyendo los valores de las cantidades eléctricas por sus
correspondientes valores análogos de los elementos mecánicos
en estas ecuaciones, se obtendrán las ecuaciones (5) y (6)
mostradas en la solución del método de diagrama de cuerpo
libre, y cuya solución son las ecuaciones (7) y (8), de manera
similar al caso de la analogía directa.
(15)
(16)
Figura 4. Analogía inversa con circuito eléctrico.
Representación a tierra del sistema.
Este método surge de la necesidad de visualizar elementos
mecánicos en serie y/o en paralelo, ya que esto no se aprecia en
la representación real de los mismos y dado que al determinar la
fuerza de inercia de una masa, ésta presenta siempre una
aceleración con respecto a tierra.
El procedimiento para construir la representación a tierra del
sistema, consiste en: dibujar líneas horizontales de referencia de
arriba a abajo que representen las posiciones de los diferentes
elementos del sistema, la posición en la que actúa la fuerza se
sitúa en la parte superior y la posición de referencia o tierra se
sitúa en la parte baja, las demás posiciones serán posiciones
intermedias; e insertar cada elemento del sistema en el diagrama
de acuerdo a su posición real. Con esta representación, se
observa directamente la disposición real de los elementos del
sistema mecánico, ubicándose éstos, en serie, en paralelo, o en
alguna posición distinta, con lo que se procede a calcular
impedancias de los diferentes arreglos de los elementos del
sistema hasta encontrar la impedancia de todo el sistema. Los
resortes y amortiguadores se podrán ubicar en dos posiciones
cualesquiera, no así las masas que deberán estar entre una
posición cualquiera y tierra.
Este método es laborioso en cuanto al número de pasos que se
tienen que llevar a cabo para encontrar la impedancia total del
sistema y luego para regresar y encontrar las características de
los diferentes elementos del sistema. También presenta el
inconveniente de que solo se puede analizar el efecto de una sola
fuerza en un solo diagrama de representación a tierra, por lo que
se deberá utilizar superposición para poder analizar casos con
más de dos fuerzas.
Para el ejemplo a analizar, como se presentan dos fuerzas
externas en el sistema, se construyen dos diagramas de
representación del sistema a tierra, uno para cada fuerza,
Figuras (5) y (6) respectivamente.
Figura 5. Representación del sistema a tierra bajo la acción de la fuerza .
Figura 6. Representación del sistema a tierra bajo la acción de la fuerza .
Primeramente se procede al cálculo de impedancias mecánicas
según la disposición de los elementos mecánicos. Para el primer
diagrama, después de numerosos cálculos y simplificar se tiene
la impedancia del circuito en la Ecuación (17) y los
correspondientes desplazamientos de las masas en las
Ecuaciones (18) y (19).
(17)
(18)
(19)
De manera análoga, para el segundo diagrama, se obtienen los
desplazamientos de las masas del sistema correspondientes a la
fuerza externa , ecuaciones (20) y (21), teniéndose
finalmente, los mismos desplazamientos, ecuaciones (22) y (23)
que en el método de diagrama de cuerpo libre, dado por las
ecuaciones (7) y (8).
(20)
(21)
(22)
(23)
Como se puede apreciar, el procedimiento es bastante extenso
para llegar al resultado final. La complejidad del problema se
incrementará enormemente por cada fuerza externa que se
agregue al sistema.
3. El enfoque del circuito mecánico aplicado al modelado
de sistemas mecánicos lineales con funciones de fuerza
como señales de entrada.
Un circuito mecánico, se visualizará como un circuito que posee
al menos una fuente que produce potencia y un elemento pasivo
que consume potencia. Una fuente mecánica que produzca
potencia será una fuente que proporcione al circuito una función
de fuerza independiente del sistema al que se aplica, por lo
que se llamará fuente de fuerza, mientras que los elementos de
un sistema mecánico: masa, resorte y amortiguador se
manejarán como los elementos reactivos del sistema, los que
consumen potencia. La representación de los elementos
mecánicos se muestra en la Figura (7).
De manera similar a los circuitos eléctricos, se establece la ley
de fuerzas, que manifiesta la conservación de la energía en
función de las fuerzas que se aplican a un nodo, y que se
expresa como: La suma de todas las fuerzas que se aplican a
cualquier nodo es igual a cero, ecuación (24); o bien como: La
suma de las fuerzas de las fuentes de fuerza es igual a la suma
de las fuerzas reactivas de los elementos mecánicos conectados
al nodo, ecuación (25). De hecho, el primer enunciado de esta
ley es la ley de D'Alembert, y la segunda es una variante que se
propone y que se llamará ley de nodos de circuito mecánico.
(24)
(25)
Figura 7. Representación de los elementos del circuito mecánico.
Los pasos necesarios para la construcción del circuito son:
Dibujar los nodos ligados a los puntos de conexión de dos o
más elementos mecánicos que representan sus respectivos
desplazamientos y que son: uno de referencia o a tierra, uno
por cada masa y uno entre elementos reactivos resortes y/o
amortiguadores conectados entre sí.
Conectar las masas entre el nodo de referencia y el nodo
que representa su desplazamiento.
Conectar los resortes y amortiguadores entre los nodos que
están asociados a sus posiciones.
Conectar las fuentes de fuerza entre los nodos
correspondientes; entre el nodo de referencia y el nodo al
que está conectado el elemento, cuando la fuerza se aplica a
una masa, o a un resorte o a un amortiguador que están fijos
en unos de sus extremos, o entre dos nodos cualesquiera
cuando la fuerza se aplica entre dos elementos mecánicos
cualesquiera. Para el caso de que la fuerza se conecte al
nodo de referencia, el sentido de la fuerza será del nodo de
referencia hacia el otro nodo cuando el desplazamiento del
elemento en que se aplica la fuerza y la fuerza tengan la
misma dirección, y en sentido contrario cuando tengan
direcciones contrarias; para los demás casos, se localizará
entre los nodos correspondientes siguiendo la misma
dirección que presenta entre los elementos entre los que se
conecta.
A continuación se determinan para cada nodo, excepto para el
nodo de referencia, la ley de nodos de circuito mecánico,
ecuación (25), de los elementos que convergen al nodo.
En la Figura (8) se muestra el circuito mecánico obtenido para el
ejemplo base, donde se puede observar cómo se mantiene la idea
del método de la representación a tierra del sistema, de que las
masas se aterricen, convergiendo en un nodo de referencia; la
disposición de los elementos del sistema mecánico, en serie o en
paralelo, similar a los métodos de las analogías directa e inversa;
y en cada nodo, asociado con un desplazamiento; puede verse
los elementos y las fuerzas externas que interactúan con ese
desplazamiento, similar a lo que se observa en el diagrama de
cuerpo libre. En resumen con este método se puede apreciar las
características de cada uno de los métodos convencionales.
Figura 8. Circuito mecánico.
Aplicando la ley de nodos de circuito mecánico, ecuación (25) a
los nodos del circuito, exceptuando el nodo de referencia,
permite obtener las ecuaciones:
(26)
(27)
Reordenando las ecuaciones (26) y (27), se obtienen las
ecuaciones (5) y (6) obtenidas con los métodos convencionales.
Entre las ventajas que ofrece este método con respecto a los
métodos convencionales, se puede decir que con respecto:
al diagrama de cuerpo libre permite analizar en un solo
esquema todas las relaciones existentes entre los elementos
mecánicos del sistema; identificar la disposición que
guardan entre si, en serie o en paralelo, los elementos del
sistema; identificar el sentido de las fuerzas reactivas de los
elementos; y visualizar y encontrar directamente las
características mecánicas (fuerza y desplazamiento) de
cualquier elemento del circuito. Asimismo ofrece la misma
rapidez en encontrar las ecuaciones del sistema.
a las analogías directa e inversa con circuitos eléctricos,
maneja ecuaciones similares y no requiere de la analogía de
cantidades y la conversión de las mismas, por lo que resulta
más directo y sencillo.
a la representación a tierra del sistema, permite realizar de
una manera simplificada el análisis del sistema sometido a
varias fuerzas, y simplificar los elementos del circuito de
acuerdo a su disposición en serie y paralelo, y no requiere
del manejo de impedancias intermedias.
4. Conclusiones.
El enfoque circuito mecánico aplicado al modelado de los
sistemas mecánicos lineales, permite obtener los mismos
resultados que los métodos convencionales pero de una manera
más rápida y directa, permite visualizar la disposición de los
elementos entre sí, no requiere de analogías con otras
cantidades, no requiere el manejo de impedancias intermedias,
permite el análisis de cualquier número de fuerzas y se puede
aplicar a una diversidad de casos de sistemas mecánicos lineales.
De los alcances de este trabajo dentro de los sistemas mecánicos
lineales se tienen los sistemas mecánicos sometidos a la acción
de la gravedad, con desplazamientos como señales de entrada,
con posiciones relativas, con poleas, con engranes y con
palancas, entre otros.
Este método del circuito mecánico permitirá el análisis de otros
sistemas dinámicos, tales como sistemas mecánicos rotacionales,
sistemas hidráulicos, sistemas neumáticos, sistemas térmicos y
diversos sistemas híbridos.
5. Bibliografía.
[1]. Robert L. Woods, Kent L. Lawrence. Modeling and Simulation of
Dynamic Systems. Prentice Hall. USA. 1997.
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Wiley. U.S.A. 2010.
[5]. David L. Smith. Introduction to Dynamic Systems Modeling for
Design. Prentice-Hall. U.S.A. 1994.
