ModelamientomatematicoydiseñoNeurocontrolador

7/25/2019 ModelamientomatematicoydiseoNeurocontrolador

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Mg. Ing. Henry Mendiburu Daz

Foro Iberoamericano de Ciencia y Tecnologa, Panam, Abril/2005 2

La velocidad de reaccin (r x) se define como la velocidad de formacin o de desaparicin de moles delmaterial X, transformados por cada unidad de tiempo y por cada una unidad de volumen.

Para este caso, la reaccin sigue la ecuacin de segundo orden, por tanto: XX CKr (3)

Ecuacin de Arrhenius:

TR

Ex

ezpK (4)

La cual se resolver segn Henry y Simancas (1996):TeK

2.2407

*63380 (5)

Donde:rx Velocidad de reaccin [mol/(seg*m3)]K Constante de velocidad [moln/(seg*m3)]p Factor estrico [moln+1/m3]Z Frecuencia de colisiones [1/(seg*mol)]Ex Energa de activacin [K*kJ/(Kg*mol)]R Constante de Botzmann [K*kJ/(Kg*mol)]T Temperatura [K]

Se sabe que el volumen de la masa reaccionante al interior del tanque es constante, entonces tanto elflujo de entrada como el flujo de salida sern iguales, por lo que el balance global de las masas ser:

BA FiFiF2 (6)

Balance de masas para hidrxido de sodio (A):VCCKCFCiFi

dt

dCV

BAAAA

A

(7)

Balance de masas para acetato de etilo (B):VCCKCFCiFi

dt

dCV BABBB

B

(8)

Balance de masas para acetato de sodio (C):VCCKCF

dt

dCV BAC

C

(9)

Balance de masas para el etanol (D):VCCKCF

dtdCV BADD

(10)

BALANCE DE ENERGA

Segn Fogler (1992), el balance de energa en un reactor CSTR de volumen constante esta dado por la

siguiente expresin:

dt

dCVH

dt

dTCpVCHCFHiCiFiQ X

XXXXXXXX

(11)

Subdividiendo cada trmino:

CrHrFiCrHrFiHiCiFiHiCiFiHiCiFi BABBBAAAXXX (12)

FCrHrHFCHFCHFCHFCHCF DDCCBBAAXX (13)

dt

dTCrCpCpCCpCCpCCpCV

dt

dTCpVC rDDCCBBAAXX

(14)

dt

dCrHr

dt

dCH

dt

dCH

dt

dCH

dt

dCHV

dt

dCVH DD

C

CB

BA

AX

X

(15)

Los trminos correspondientes a dt

dCX

se obtienen de las ecuaciones (7), (8), (9), y (10)

El trmino Q se desarrolla de la siguiente manera:)( TTrUAQ (16)


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Modelamiento Matemtico y diseo de un Neurocontrolador DBP para un Reactor CSTR


Donde U es el coeficiente global de transferencia de calor, y segn Hernndez y Borregales (2001) se

puede asumir constante: U = 19.19 / A (17)

Operando algebraicamente y simplificando se obtiene que el balance de energa, que expresa el

comportamiento dinmico de la temperatura dentro del reactor, queda reducido a la siguiente

expresin:

VCKCHTiTCpCiFiTiTCpCiFi

TTrUA

dt

dT

VCp BABBBBAAAA )()()(V

)(

L (18)

Capacidad calorfica: DDCCBBAA CpCCpCCpCCpCCp

(19)

Generalizando la Capacidad Calorfica del material X se encuentra a partir de la siguiente ecuacin, los

coeficientes para cada material, fueron obtenidos a partir de la bibliografa Perry (1992).

43

2

2

3

1 XXXXX TTTCp (20)

Las entalpas se agrupan en un solo trmino:

dtCpCpCpCpTrefhrHBA

T

TrefDC

)()(

(21)

El coeficiente hr(Tref) representa la parte de la integral que es constante, es decir la sumatoria de las

capacidades calorficas para una temperatura de referencia (Tref).

Donde:U Coeficiente de transferencia de calor [J/(K*seg*m2)]A Superficie o rea para la transferencia de calor [m2]T Temperatura en el reactor a la salida [K]TiA Temperatura del material A en la entrada [K]TiB Temperatura del material B en la entrada [K]Tr Temperatura en el refrigerante a la salida [K]

Cp Capacidad calorfica general [kJ/(Kg*C]Cpx Capacidad calorfica del material X [kJ/(Kg*C]

L Densidad del lquido en el tanque [Kg/m3]Hx Entalpas de formacin del material X [kJ/C]

H Calor desarrollado en la reaccin [kJ/C]

El comportamiento dinmico para la temperatura de la camisa de refrigeracin (segn referencia

http://isaw.isa.cie.uva.es/ecosimjava/reactor.htm) esta dado por la expresin:

rr

rr

CpVr

TrTUATrTirCpFr

dt

dTr )()(

(22)Donde:

Tr Temperatura del refrigerante a la salida [K]Tir Temperatura del refrigerante a la entrada [K]Fr Flujo del lquido refrigerante [lit/seg]Cpr Calor especifico del refrigerante [kJ/(K*Kg)]Vr Volumen de la camisa de refrigeracin [m3]

r Densidad del refrigerante [Kg/m3]

Tambin es necesario conocer el valor del pH, este valor puede ser medido experimentalmente por un

sensor, pero en este caso de simulacin, se har una aproximacin mediante la expresin:

V

CCKPhFpHFipHFihP BABBAA

2

(23)

)(log11 10 PhpH (24)
http://isaw.isa.cie.uva.es/ecosimjava/reactor.htm


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Donde:pH Valor de pH dentro del reactorpHA Valor de pH del material ApHB Valor de pH del material BPh Variable auxiliar para determinar el pH

Las Ecuaciones del Modelo Matemtico del Reactor CSTR quedan resumidas de la siguiente manera:

V

CCKPhFpHFipHFihP

CpVr

TrTUATrTirCpFrrT

VCp

VCKCHTiTCpCiFiTiTCpCiFiTTrUA

T

V

VCCKCFC

V

VCCKCFC

V

VCCKCFCiFiC

V

VCCKCFCiFiC

BABBAA

rr

rr

BABBBBAAAA

BADD

BACC

BABBB

B

BAAAAA

2

)()(

)()()(V

)(

L

(25)

3. DISEO DEL NEUROCONTROLADOR

El objetivo del sistema de control es controlar la concentracin de los materiales que salen del reactor

(acetato de sodio y etanol). Para realizar dicho control es necesario variar las concentraciones de

entrada de los materiales reactantes (acetato de etilo e hidrxido de sodio). Otra variable a controlar es

la temper at ur a dent ro del rea ctor qumico, esto se conseguir var iando la tem pera tu ra de la camisa de

refrigeracin. Por tanto tambin se debe controlar la temperatura en la camisa de refrigeracin, para

esto la accin de control recae sobre la temperatura de entrada del refrigerante que recorre la camisa de

refrigeracin. Tambin se busca monitorearel nivel de pH de la reaccin.

ESQUEMA DE LA PLANTA

Variables sensadas:

FA, FB, TiA, TiB,CA,CB, CC, CD, T, Ph,

Fr, Tir, Tr

Variables

manipuladas

(actuadores):

CiA, CiB, Tir

Se pueden

presentar

perturbaciones en:

TiA, TiB, FiA, FiB, Fr


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NEUROCONTROLADOR

Para la implementacin de la simulacin del sistema, es necesario discretizar el modelo matemtico

anterior, quedando ste expresado de la siguiente manera:

V

kCkCKkPhFpHFipHFikPhkPh

CpVr

kTrkTUAkTrkTirCpFrkTrkTr

VCp

VkCkKCHTikTCpCiFi

VCp

TikTCpCiFikTkTrUA

kTkT

V

VkCkCKkCFkCkC

V

VkCkCKkCFkCkC

V

VkCkCKkCFkCiFi

kCkC

V

VkCkCKkCFkCiFikCkC

BABBAA

rr

rr

BABBBB

AAAA

BAD

DD

BAC

CC

BABBB

BB

BAAAA

AA

)()()(2)()1(

))()(())()(()()1(

))()(())((

))((V

))()((

)()1(

)()()()()1(

)()()()()1(

)()()()(

)()1(

)()()()()()1(

L

Dado un sistema: X(k+1) = ( Xk , uk ) , el cual es conocido, se busca controlar el sistema, para lo cual se

desea minimizar una funcin de costo

1

0

)(2

)1(2

21

N

k

kk uXJ

Donde los estados del sistema son representados por : X(k+1) = ( Xk , uk )As mismo la seal de control se representa por:u(k) = ( Xk)

Los pesos del neu rocont rolador son repr esent ados por V y W :J J

w w v vw v

Donde, representa el ratio de aprendizaje de los pesos.

La actualizacin de los pesos responde a la siguiente derivada total:

w

uu

w

XX

w

uu

w

XX

w

uu

w

XX

w

J )2()2(

)3(

)3(

)1(

)1(

)2(

)2(

)0(

)0(

)1(

)1(

Las derivadas totales de X respecto a los pesos W, se expresan de la siguiente forma:

w

X

X

u

u

X

X

X

w

u

u

X

w

X k

k

k

k

k

k

kk

k

kk )(

)(

)(

)(

)1(

)(

)1()(

)(

)1()1(

Las derivadas totales de u respecto a los pesos W, se expresan de la siguiente forma:

wX

Xu

wu

wu k

k

kkk )(

)(

)()()(

Se puede notar que el sistema trabaja bien nicamente cuando existen muy pocas neuronas en la capa

intermedia, por lo que se ha diseado el controlador utilizando 3 neuronas.

La entrada a la red es el error entre los estados a controlar y sus respectivas referencias, estos errores

ha n sido llevados a un escala mien to de 3. Se busca que este error sea cero por lo cual ta mbin se

convierte en el error del sistema

NCSistema

X(0)U(0)

X(0)

NCSistema

X(1)U(1)

X(1)

NCSistema

X(2)U(2)

X(2)

X(3)


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La salida de la red se convierte en la seal de control que se conecta a los actuadores, la cual tambin

ha sido escalada a 0.9

El entrenamiento comenz con pesos aleatorios con distribucin gauseana, luego de aproximadamente

15000 iter aciones se consigui llegar a r esu lta dos acepta bles, el rat io de apr end izaje fluctu ent re0.00001 y 0.0000001.

La funcin utilizada en la capa intermedia fue la funcin sigmoidea, as mismo tambin se consider lavariacin de centros y amplitudes de esta, para lo cual se uso un ratio de aprendizaje entre 0.0001 y

0.00001 para los centros, y entre 0.0000001 y 0.00000001 para las amplitudes.

La actu alizacin de los pesos se consigue luego de resolver la siguient e ecuacin, donde w rep resen ta

al peso que se desea actualizar.

w

X

X

u

u

X

X

X

w

u

u

X

w

X k

k

k

k

k

k

kk

k

kk )(

)(

)(

)(

)1(

)(

)1()(

)(

)1()1(

De donde se tiene que desarrollar por partes cada trmino, as tenemos:

La derivada del estado X en elinstante siguiente con respecto

al estadoX en el instante

actual,se resuelve de la forma:

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

k

k

kD

k

kC

k

k

kD

kD

kD

kC

kD

k

kC

kD

kC

kC

kC

k

k

T

T

C

T

C

T

T

C

C

C

C

C

T

C

C

C

C

C

X

X

La derivada del estado X en el

instante siguiente con respecto

a la seal de control U en el

instante actual, se resuelve de

la forma:

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

)(

)1(

k

k

k

k

k

k

k

kD

k

kD

k

kD

k

kC

k

kC

k

kC

k

k

Tir

T

CiB

T

CiA

T

Tir

C

CiB

C

CiA

C

Tir

C

CiB

C

CiA

C

u

X

La red neuronal hace uso de la funcin sigmoideapara su entrenamiento: 1

1

2)(

a

cm

e

n

De esta se obtienen las siguientes derivadas(para pesos, amplitudes y centros):

acm

a

cme

aem

n )(

2)(

1

2 acm

a

cme

ae

cm

a

n )(

2

2)(

1

)(2 acm

a

cme

aec

n )(

2)(

1

2

La derivada de la seal de control U con respecto a los estados X,se resuelvede la forma:

vm

nw

X

u

k

k

)(

)(

Finalmente las derivadas de la seal de controlUcon respecto a los pesos se resuelven de la forma:

nnnw

T

w

C

w

C

w

u DC

mnwrefX

vu

ii

c

n

wc

u

)( a

n

wa

u

)(

pesos w pesos v centro c amplitud a


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Los pesos obtenidos cuando se realizo el entrenamiento para el caso de mltiples condiciones iniciales,

se muestran a continuacin:

3466.22750.28156.2

4769.86871.31172.6

6309.36126.19222.7

w

4101.00001.00501.0

0113.00055.00020.0

0011.30010.20158.3

v

9986.0

9991.0

3969.0

a

0518.0

0532.0

0062.0

c

4. SIMULACIN Y VALIDACIN DEL SISTEMA

A continuacin se muestra la respuesta de los estados y seal de control para el caso de mltiples

condiciones iniciales que buscan alcanzar la referencia CC = 0.25mol, CD = 0.25mol, T= 304k.

Respuesta en el tiempo de los Estados Seal de Control

A continuacin se muestra la respuesta de los estados frente a dos casos con presencia de ruido y

perturbaciones, para alcanzar la misma referencia.


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Para evaluar el rendimiento del neurocontrolador, se compar con otros dos controladores: un

controlador PID, y una red neuronal esttica, bajo las mismas condiciones que la primera simulacin:

Controlador PID Red Neuronal Esttica

5. CONCLUSIONES

Mediante las tcnicas de modelamiento matemtico se ha realizado el balance de masas y balance de

energa, cuyas ecuaciones han permitido llegar a un modelo matemtico del sistema que se desea

controlar.

El diseo del neurocontrolador dinmico ha resultado ser complicado, del mismo modo elentrenamiento

de la red es arduo y requiere un gran nmero de iteraciones. Una caracterstica importante es el hechode que el entrenamiento requiere el conocimiento del modelo del sistema. Pese a la marcadacomplejidad es justificable para el eficaz control de sistemascomplejos.

El neurocontrolador dinmico ha demostrado ser una buena opcin, debido al pequeo error en estado

estable, tiempo de establecimiento corto, la seal de control es aplicable a actuadores reales, y larespuesta del sistema no presenta alteraciones bruscas que daen el producto final producido. Cuando

se someti al sistema a la afeccin de un juego completo de perturbaciones y ruido, el resultado obtenido

afect a todos los controladores, pero en una escala menor al neurocontrolador dinmico.

6. BIBLIOGRAFA

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