Universidad Nacional de Colombia Sede Medelln - Escuela de
MatematicasCalculo Diferencial - Ejercicios Sobre Modelamiento de
Funciones - Semestre 01-2015
1. Exprese el area A de un triangulo equilatero como funcionde
la altura h del triangulo.
2. Se va a construir una caja rectangular abierta con unabase
cuadrada de longitud x y un volumen de 16000 cm3.Exprese el area A
de la caja como funcion de x.
3. Considere un rectangulo inscrito en un crculo de radioa cm.
Exprese tanto el area A como el permetro P dedicho rectangulo en
funcion de la longitud de su base x.
4. Un envase cerrado de hojalata cuyo volumen es de 60 cm3
tiene la forma de un cilindro circular recto.
(a) Exprese el area A de la superficie total del envasecomo
funcion del radio r de la base.
(b) Exprese el area A de la superficie total del envasecomo
funcion de la altura h del cilindro.
5. Para el envase del ejercicio anterior, si el precio del
mate-rial que se usa para la base y la tapa es de $ 4 por
cm2,mientras que el costo del material para la parte curva esde $ 2
por cm2, exprese el costo total C del material delenvase como
funcion del radio r de la base e indique eldominio de la funcion
resultante.
6. Un fabricante de envases de carton desea construir cajas,sin
la tapa superior, usando laminas cuadradas de cartonde 120 cm de
lado, recortando cuadrados iguales de lascuatro esquinas y doblando
los lados hacia arriba. Si xcm es la longitud del lado del cuadrado
que debe recor-tarse, exprese en cm3 el volumen V de la caja a
fabricar,como funcion de x y diga cual es el dominio de la
funcionresultante.
7. Un granjero tiene 750 pies de cerca, desea encerrar un
loterectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cer-cas
paralelas a uno de los lados del rectangulo. Expreseel area total A
del lote en terminos de la longitud x dellado del lote paralelo a
las cercas interiores. Indique eldominio de la funcion.
8. Se bombea agua en un tanque conico invertido, cuya al-tura es
de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Exprese, en m3,el volumen del
agua dentro del tanque, como una funciondel radio r de la
superficie de agua.
9. Exprese la distancia del punto (0, 0) a un punto (x, y)sobre
la recta y = 2x 3, en terminos de x solamente.Indique el dominio de
la funcion.
10. En el proyecto de una heladera se calcula que si se
insta-lan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la
gananciadiaria sera de $ 8000 por silla, pero si la capacidad de
si-llas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por cadasilla
disminuye $40 por el numero de sillas excedentes. Six es el numero
de sillas y G la ganancia diaria, exprese aG como funcion de x
indicando el dominio de la funcionresultante.
11. Se debe construir una pista de atletismo con dos segmen-tos
rectos y dos semicirculares, como se muestra en lasiguiente figura.
El radio de cada segmento semicirculares r. La longitud de la pista
debe ser 1 km. Exprese elarea limitada por la pista como funcion de
r.
12. Suponga que una farola se encuentra en el extremo su-perior
de un poste de 15 pies de altura, situado en unacalle horizontal y
recta. Si un hombre de 6 pies de es-tatura camina por dicha calle,
alejandose del poste, ex-prese la longitud de sus sombra s (en
cualquier instantet) en terminos de la distancia x del hombre al
poste.
13. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/minhacia el
interior de un deposito cuya forma es la de uncono invertido de 16
m de altura y 4 m de radio. Expresela profundidad h del agua a los
t minutos de iniciado elllenado.
14. Una ventana rectangular esta rematada por unsemicrculo. El
permetro de la ventana es 200 cm. Ex-prese el area A de la ventana
como funcion del radio x delsemicrculo e indique el dominio de la
funcion resultante.
15. Un avion de una compana tiene cupo para 100 pasajeros.La
compana cobra, para una excursion, $ 800,000 a cadapasejero, mas $
10,000 por cada puesto que vaya vaco. Siviajan 100 pasajeros,
(a) exprese cuanto dinero D pagara cada uno;
(b) exprese, mediante una funcion de x, el ingreso T querecibe
la compana por todos los pasajeros.
16. Los arboles de naranja que crecen en La Pintada pro-ducen
600 naranjas por ano cada uno, si no se plantanmas de 20 arboles
por hectarea. Por cada arbol plantadoadicional por hectarea el
rendimiento por arbol decreceen 15 naranjas. Exprese el numero de
naranjas N pro-ducidas en cada hectarea por ano como una funcion
delnumero de arboles x plantados por hectarea.
17. Se circunscribe un cono circular recto alrededor de
uncilindro circular recto de 2 cm de radio y 3 cm de altura,como se
muestra en la figura.
Exprese el volumen V del cono en funcion
(a) del radio r de la base del cono;
(b) de la altura h del cono.
18. Dos de los lados de un trangulo tienen 4 y 5 metros
delongitud y el angulo entre ellos es .
(a) Exprese el area A de dicho triangulo como funcionde .
(b) Exprese la longitud del tercer lado z en terminos de.
19. Un equipo de futbol juega en un estadio con una capaci-dad
de 15,000 espectadores. Con el precio de la boletafijado en 12
dolares, la asistencia promedio a un partidoes de 11,000
espectadores. Un estudio de mercado indicaque por cada dolar que
disminuya el precio de la boleta,la asistencia promedio aumentara
1000 espectadores. Ex-prese el ingreso por la venta de boletas a un
partido enfuncion del precio x de cada boleta.
20. Los vertices de un rectangulo estan uno sobre el eje x,otro
sobre el eje y, otro sobre la grafica de y = 4 x2 yel otro es el
origen. Exprese el area A del rectangulo enfuncion de uno de sus
lados.
21. Un trozo de alambre de 10 pies de longitud se corta endos
partes. Con una parte se hace una circunferencia y laotra se dobla
en forma de cuadrado. Si x es la longituddel trozo de alambre usado
para construir la circunferen-cia, exprese el area total A de las
dos figuras como unafuncion de x. Indique el dominio de la
funcion.
22. Se elabora un cono a partir de un trozo circular de papelde
radio R, al recortar un sector circular y unir los bordes.Exprese
la capacidad V del cono como funcion
(a) del radio r del cono;
(b) de la altura h del cono.
Respuestas
1. A(h) = h23, h > 0.
2. A(x) = x2 + 64000x
, x > 0.
3. A(x) = x4a2 x2, 0 < x < 2a.
P (x) = 2x+ 24a2 x2, 0 < x < 2a.
4. (a) A(r) = 2pir2 + 120r, 0 < r
