Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase compensadas Manuel Pérez Cagigal Grupo de Optica. Universidad de Cantabria ESPAÑA

Modelo de formación de imágenes a través de pantallas de fase

compensadas

Manuel Pérez CagigalGrupo de Optica. Universidad de Cantabria

ESPAÑA

2

La resolución astronómica en un telescopio está limitada por :

Errores de diseño y manufactura

Límite difraccional

Distorsiones introducidas por la atmósfera

3

Atmósfera

Frente de onda plano

Sistemas de OA

Sistema de detección

Sensor de frente de

onda

Frente de onda distorsionado

Espejo

deformableFrente de onda compensado

4

Ejemplos

Distorsión atmosférica

LARGA EXPOSICION

Compensación parcial

CORTA EXPOSICION

5

EFECTO DE LA COMPENSACION

6

OBJETIVOS:

Descripción de la pantalla de fase distorsionada y compensada

Modelo de proceso de formación de imágenes

7

Modelo de pantalla de fase

- Estadística de fase

- Función de estructura

- Longitud de correlación

- Parámetro Generalizado de Fried

Caso estándar

APLICACIONES I

- Caso no-Gauss.

- Efecto en isopl.

APLICACIONES II

- Calibrado de sistemas

- Detección exoplanetas

APLICACIONES III

- Ojo humano

8

MODELO DE ATMOSFERA

ATMOSFERA = PANTALLA DE FASE

r0

Ddiámetro del telescopio

Parámetro de Fried

9

FRENTE DE ONDA CORREGIDO

ATMOSFERA+ COMPENSACION = PANTALLA FASE

0

D diámetro del telescopio

Parámetro de Fried generalizado

10

MODELO DE PANTALLA DE FASE

1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros

puntos

2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: j.

2exp)(

2exp

2

1)(

22

j

jj

MP

TF

11

ESTADISTICA DE LA FASE

-3.14 -1.57 0 1.57 3.14

(rad)

P(

)

12

VARIANZA DE LA FASE

1ji

2ij

ii

a

),(Za),(i

rr

Descomposición en polinomios de Zernike :

0.1

1

10

100

1 10 100

Número de modos corregidos

Var

ianz

a de

la fa

se

(D

/r0)

5/3

13

FUNCION DE ESTRUCTURA

( 2)()()( rrD

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1

r (D units)

D

(ra

d2 ) 2j

2j´

lc´ lc

(r/0)5/3

(r/r0)5/3

14

LONGITUD DE CORRELACION

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 25 50 75 100 125Número de polinomios corregidos

l c (

D u

nit

s)lc no depende de las condiciones atmosféricas

lc = 0.286 j-0.362 D

15

PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED

j

3/5

0

c 288.6

l

0362.0

5/3

0 j286.0coef(j)

44.3r

0.025

0.035

0.045

0.055

0.065

0.075

0 25 50 75 100

Numero de polinomios corregidos

0 (D

uni

ts)

16

PARAMETERO GENERALIZADO DE FRIED

Igual a r0 pero en compensación parcial:


- Tamaño de celda en F.O.

- Tamaño del halo en PSF

17

DAPROXIMADA

Modelo aproximado de la función de estructura:

0.1

1

10

100

0.01 0.1 1

r (D units)

D

(rad

2 )

2j

lc

(r/0)5/3

18

1.- P(I) 6.- PSF

2.- P(n) 7.- Ganancia

3.- SR 8.- Simulación

4.- SNR 9.- Experimento

5.- j






Caso estándar

19

FORMACION DE IMÁGENES

Amplitud del C.E.: suma de un gran número de contribuciones elementales.

Plano imagen

Frente de onda

N

kkki

N

kkkr

sinA

A

cos

20

PROBABILIDAD CONJUNTA de Ar y Ai

Aplicando el teorema del límite central:

2

2

2

2)(exp

2

1),(

i

i

r

rr

irir

AAAAAp

Donde:

)2(12

)1()2(12

)1(

2

2

22

2

2

M

MM

MNA

i

r

r

21

MODELO DE PANTALLA DE FASE

1 - Las fases en cada punto es independiente de las de otros

puntos

2 - La fase en cada punto sigue una distribución Gaussiana con una varianza igual a la varianza media sobre el frente de onda: j.

2exp)(

2exp

2

1)(

22

j

jj

MP

TF

22

1. PDF DE LA INTENSIDAD

De p(Ar,Ai) : sinIAIA ir cos

d

iσ

θsinI

rσ

)r

AθI(

iσ

rπσ

)(Ip

2

2

2

2cosexp

2

1

INCONVENIENTE: P(I) se obtiene de una integración numérica

(Speckle statistics in partially corrected wavefronts. Cagigal, Canales. OL 1998)

23

En compensación parcial:

AiAr

<Ar>S

Ar

Ai

Camino aleatorio + fasor const.

Rician P(I)

24

DISTRIBUCION DE RICE

202

2

2 2exp

2

1)(

Ia

IaI

IP

Aproximación de P(I):

2

22

a

(Rician distribution to describe spec kle statistics in adaptive optics. Canales, Cagigal. AO 1999)

Se igualan medias y varianzas

25

PARAMETROS APROXIMADOS

Los parámetros se pueden aproximar por:

PI)M(σ

PI)N M( a

21122

21222: energía en el halo

a2: energía coherente

26

EXTENSION AL PLANO COMPLETO

P(x,y)Del teorema de desplazamiento:

22

jj 22)0,0(),(

f

yD

f

xDyx

2

2

02

2

2 ),(a),(

),(a2I

),(a),(

),(aexp

),(a),(

1)(

yxyxI

Iyx

yxyxI

yxI

yxyxIIp

27

2. DISTRIBUCION DE FOTONES

La distribución de fotones es la transformada de Poissón de P(I):

(Photon statistics in compensated wavefronts. Canales, Cagigal. JOSA 1999)

( ( (

22

2

2

2

12

2

σ21σ2

aL

σ21

aexp

σ21

σ2)( nn

n

nP

28

3. COCIENTE DE STREHL, SR

El cociente de Strehl se puede derivar en función de parámetros conocidos:

N

NSRASR

je)1(12i

2r

2r

29

SR DESDE EL HALO

El radio del halo se define como:

)0()( HALO2HALOHALO

IRxdxIimagen

0.00E+00

2.00E-03

4.00E-03

6.00E-03

0 32 64x ( l /D)

PSF

RHALO

Desde el halo del PSF halo:

( ( ( j-2

020

e1/1/

1

DD

SR

30

COMPARACION ENTRE SR

Comparando ambas expresiones del SR:

Baja compensación Alta compensación

2. SR (0/D)2 exp(-j)

1. Número de celdas

0 = diámetro de la celda

2

0

D

N

31

4. SNR

0

1

2

3

0 4 8 12r

SN

R)e(0e)42(2)e-(2N1

e)1(1jjj

j

3-2--

-

N

NISNR

I

32

5. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE

Desde la función de estructura y el modelo de imagen:

3/52/1

22

2

c2

)σexp(1

)σexp(44.3σ

DSR

l

(Residual phase variance in partial correction. Canales, Cagigal.JOSA 2000)

33

ESTIMACION DE LA V.R.F.

Sustituyendo la long. de correlación:

Para baja compensación:

3/5

2/1

362.02 j286.0

44.3σ

SR

3/52/1

2

2362.02

)σexp(1

)σexp(j286.044.3σ

SR

34

( (

(

c

c

lrrOTF

lrr

rOTF

FxPSF

jTEL

j

3/5

0jTEL

exp)(

exp44.3expexp)(

T)(

0

0.005

0.01

0.015

0 32 64x ( l /D)

PSF

Modelo aproximado de la PSF:

)(

2

1exp)()( TEL rDrOTFrOTF

6. PSF APROXIMADA

35

7. GANANCIA

La intensidad media en el halo es:

La intensidad en el pico coherente es:

( ( 2c

2/

exp

Df

EI jT

l

( ( 2h

2/

exp1

corr

jTalo

lf

EI

l

Ganancia del sistema :

(Gain estimates for exoplanet detection with adaptative optics. Canales, Cagigal A&A 2000)

G = Ic /I halo

36

GANANCIA

2

exp1

exp

corr

l

D

jΔ

jΔ

G

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

0 4000 8000 12000

Numero de actuadores

Gan

anci

a

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E+06

0 2500 5000 7500 10000


Tie

mpo

de

inte

grat

ion

(h

oras

)

37

Simulamos pantallas de fase compensadas siguiendo el procedimiento de N. Roddier.

8. SIMULACION POR COMPUTADOR

• Cumple la estadística de la atmósfera

• Fácil de introducir la compensación

• Calculo rápido

38

39

ESTADÍSTICA DE LA FASE

-3.14 -1.57 0 1.57 3.14

P( )

ESTADISTICA DE INTENSIDAD

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.0025 0.005 0.0075

I

p(I

)

0

0.1

0.2

0.3

0 0.006 0.012 0.018

I

p(I)

0

0.1

0.2

0.3

0 0.025 0.05 0.075 0.1

I

p(I

)

0

0.1

0.2

0.3

0 0.1 0.2 0.3 0.4

I

p(I)

SNR

0

1

2

3

0 0.5 1 1.5

x ( l /D)

SN

R

40

ESTADISTICA DE FOTONES

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 5 10 15 20

n

P(n

)

0

0.1

0.2

0.3

0 5 10 15 20n

P(n

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

n

P(n

)

0

0.2

0.4

0.6

0 5 10 15 20n

P(n

)

ANALISIS DE LA PSF

0

0.001

0.002

0.003

0 20 40 60 80x (l /D)

PS

F

0

0.001

0.002

0.003

0 20 40 60 80

x ( l/ D)

PS

F

0

0.005

0.01

0.015

0 20 40 60 80

x ( l /D)

PS

F

0

0.04

0.08

0.12

0 20 40 60 80

x ( l /D)

PS

F

41

0

0.005

0.01

0.015

0 20 40 60 80

x ( l /D)

PS

F

42

9. EXPERIMENTO

P1 LCD2 P2

CCDLaser

PC1 PROYECTOR F. de O. CORREGIDO

43

IMAGENES

44

ESTADISTICA DE LA INTENSIDAD

0

0.025

0.05

0.075

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

I

P(I

)

0

0.025

0.05

0.075

0.1

0 0.1 0.2 0.3 0.4

I

P(I

)0

0.25

0.5

0.75

0 0.05 0.1

I

P(I

)

0

0.2

0.4

0.6

0 0.05 0.1

I

P(I

)

45






Caso estándar

APLICACIONES I

- Est. no-Gaussiana

- Efecto en isopl.

APLICACIONES II



APLICACIONES III

- Ojo humano

46

I.1 ESTADISTICA NO-GAUSSIANA

Número de celdas= (D / 0)2

0

D diámetro del telescopio

Parámetro de Fried generalizado

(Non-Gaussian statistics in compensated systems. OL. 2001)

47

La función característica de N celdas es:

N N

jkk

kik kaUJjaUJUjUC

1 1

22

10 )exp()()()cos(exp()

~(

La distribución de probabilidad del c.e.:

UdkaUJjaUJAUjAPN

jkk

k

2

1

22

102

)exp()()()~~

exp(4

1)

~(

ESTADISTICA NO-GAUSSIANA

48

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 1 2 3 4

I/<I>

P(I

)

ESTADISTICA NO-GAUSSIANA

49

I.2. AREA ISOPLANATICA

h

r00 )(cos314.0

Sin compensación: Con compensación:

h0

0 )(cos314.0

Pupila Telescopio

h iso

r

h 0

50

AREA ISOPLANATICA

362.0

5/3

00 j286.0

coef(j)

44.3)(cos314.0

h

r

Dependencia del número de polinomios corregidos:

0

0,025

0,05

0,075

0,1

0 25 50 75 100Numero de polinomios corregidos

0

( uni

d. a

rb.

)

51






Caso estándar

APLICACIONES I

- Est. no-Gaussiana

- Efecto en isopl.

APLICACIONES II



APLICACIONES III

- Ojo humano

52

II.1. VARIANZA RESIDUAL DE LA FASE

Fuentes de error:

- Resolución finita: espacial y temporal

- Ruido de fotones

- Anisoplanatismo

- Scintillation

- Retraso entre sensado y compensación

Valor instantáneo de j es útil para:

A. Calibrar el sistema

B. Estadística instantánea de fotones

C. PSF instantáneas

53

A. ESTIMACION DE LA V.R.F

1

10

100

1000

0 25 50 75 100

Number of corrected modes

2 (r

ad2)

B. ESTADISTICA INTENSIDAD

0

0.1

0.2

0.3

0 0.02 0.04 0.06

I

P(I

)

0

0.1

0.2

0.3

0 0.05 0.1 0.15 0.2

I

P(I

)0

0.1

0.2

0 0.2 0.4 0.6

I

P(I

)

0

0.1

0.2

0 0.2 0.4 0.6

I

P(I

)

C. PSF INSTANTANEAS

0

0.005

0.01

0.015

0 20 40 60 80

x ( l /D)

PS

F

54

II.2. DETECCION DE EXOPLANETAS

Desviaciones de:

- P(n)

-Transformada de Fourier o Laplace de P(n)

- n(2), g(2)...

*o n

NnSNR

55

)e1(D

)e(Δρ)G(Δ

j

j

Δ2

Δj

20

j

GANANCIA

0,E+00

2,E+05

4,E+05

6,E+05

8,E+05

0 4000 8000 12000


Gan

anci

a

1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E+06

0 2500 5000 7500 10000


Tie

mpo

de

inte

grac

ion

(h

oras

)

56

INTERFEROMETRO DE NULO

1,E-06

1,E-04

1,E-02

1,E+00

1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04

Número de modos corregidos

Inte

nsid

ad

2222* 22 irirI

57

0

2

4

6

0 2500 5000 7500 10000

Numero de modos corregidos

S/N

INTERFEROMETRO DE NULO

( 2/1

*0 ),(21/ yxInINS j

1

10

100

1000

0 20000 40000 60000


Tiem

po d

e in

tegr

ació

n (h

oras

)

58






Caso estándar

APLICACIONES I

- Est. no-Gaussiana

- Efecto en isopl.

APLICACIONES II



APLICACIONES III

- Ojo humano

59

0

0,25

0,5

0,75

1

-4 -2 0 2 4

P(

)DISTRIBUCION DE FASE

0

0,1

0,2

0,3

0,4

-30 -10 10 30

P()

60

FUNCION DE ESTRUCTURA

0,001

0,01

0,1

1

10

100

0,01 0,1 1r

D

0,001

0,01

0,1

1

10

100

0,01 0,1 1r

D

0,001

0,01

0,1

1

10

100

0,01 0,1 1r

D

0,001

0,01

0,1

1

10

100

0,01 0,1 1r

D

61

PARAMETRO GENERALIZADO DE FRIED

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2 3 4 5 6 7


0

PARAMETROS CARACTERISTICOSLONGITUD DE CORRELACION

0

0,1

0,2

0,3

0,4

2 3 4 5 6 7


Lon

gitu

d d

e co

rrel

acio

n (

D

units

)

62

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,01 0,1 1

r

D

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

1,E+01

1,E+02

0,01 0,1 1

r

D

MODELO DE F. DE ESTRUCTURA

c2

63.0)(

c

55.1

0

l

lD

j

63

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

50 60 70 80x

PSF

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

50 60 70 80x

PSF

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

50 60 70 80x

PSF

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

50 60 70 80x

PSF

PSF MODELO-EXPERIMENTAL

64






Caso estándar

APLICACIONES I

- Est. no-Gauss.

- Efecto en isopl.

APLICACIONES II



APLICACIONES III

- Ojo humano

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