Modelo de reactor cilíndrico - jornadasmoma5.blogs.upv.esjornadasmoma5.blogs.upv.es/files/2016/05/Carlos.pdf · Introducción a las funciones de Bessel I La solución radial analítica

Universitat Politècnica de ValènciaDpto. de Ingeniería Química y Nuclear

Modelo de reactor cilíndrico

Antoni Vidal-Ferràndiz, Sofia Carlos, Gumersindo Verdú

12 de mayo de 2016

1Índice

Introducción

Solución AnalíticaFunciones de BesselResultados

Solución en Diferencias FinitasMalladoDiscretizaciónResultados

Conclusiones

A. Vidal-Ferràndiz et-al. | Reactor cilíndrico

2

Introducción

I Prácticas para la asignatura Tecnología Nuclear : Asignaturatroncal 4o curso de la titulación de Grado en Ingeniería de laEnergía.

I En este tipo de generación energética es necesario elconocimiento de la distribución de la población neutrónica dentrode un reactor, con la finalidad de mantener el funcionamientoseguro del mismo.

I Esta actividad no puede desarrollarse de forma experimental,por lo que los modelos matemáticos son de gran importanciapara lograr este objetivo.


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Diseños de reactor

Fig.: Núcleo del reactor Monju y núcleo de un reactor de agua ligera.


4

Objetivos de la Práctica

I Resolver la ecuación de la difusión neutronica en una geometríacilíndrica tanto de forma analítica como numérica.

I Estudiar la criticidad del reactor.I Introducir las funciones de Bessel.I Desarrollar un sencillo código de diferencias finitas con

MATLAB R©.I Introducir conceptos de programación para este tipo de codigos

numéricos.I Establecer las bases para que los alumnos sean capaces de

extender los modelos utilizados.


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Modelo de reactor cilíndrico

z

r

H

R

Fig.: Modelo cilíndrico.

Altura H = 365 cmRadio R = 150 cmCoeficiente de difusión D = 0,776 cmSección eficaz de absorción Σa = 0,0244 cm−1

Sección eficaz de fisión νΣf = 0,0260 cm−1

Tab.: Parámetros del reactor

I Condiciones de contorno de flujo nulo.


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Ecuación de la Difusión

I La ecuación de la difusión neutrónica para un grupo de energíaen estado estacionario viene dada por,

−~∇(D ~∇φ(x)) + Σaφ(x) =1λνΣfφ(x).

I El término (∇2φ(x)) en coordenadas cilíndricas se puedeexpresar como,

∇2φ(r , θ, z) =1r∂φ

∂r+∂2φ

∂r2 +1r2∂2φ

∂θ2 +∂2φ

∂z2 .

I Donde se cancela la variación angular ya que el reactor essimétrico en dicha coordenada. Por tanto, la ecuación queda,

−D(

1r∂φ(r , z)

∂r+∂2φ(r , z)

∂r2 +∂2φ(r , z)

∂z2

)+Σaφ(r , z) =

1λνΣfφ(r , z).


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Solución Analítica

I La solución analítica del reactor se obtiene utilizando el métodode separación de variables. Si fijamos condiciones de flujo nuloen el exterior del cilindro se expresa como,

φ(r , z) = J0

(v1 rR

)sin(πz

H

).

Siendo J0 la función de Bessel de primera especie de orden ceroy v1 es el primer cero de dicha función.

I La constante multiplicativa se calcula a partir del Bucklinggeométrico, que en un cilindro tiene la siguiente expresión.

Bg =(v1

R

)2+( π

H

)2,

keff = λ =νΣf/Σa

(1 + (D/Σa)Bg)


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Introducción a las funciones de Bessel

I La solución radial analítica del reactor utiliza funciones de besselpor lo que es necessario conocer su forma.

x

0 5 10 15 20

Bess

el

Functi

on J

0(x

)

-0.5

0

0.5

1

Fig.: Funcion de bessel de primera especie y orden cero

I Su primer cero tiene un valor de v1 = 2,4048A. Vidal-Ferràndiz et-al. | Reactor cilíndrico

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200

100

y (cm)

0

-100

-200200

100

0

x (cm)

-100

-200

1

0.5

0

phi

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Fig.: Perfil radial en el plano medio.


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phi (cm)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z (c

m)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

Fig.: Perfil axial en r = 0.

I Autovalor keff = 1,05447


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Método de Diferencias Finitas

I El Método de diferencias finitas es un método de caráctergeneral que permite la resolución aproximada de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales.

I Primero se discretiza el dominio de la ecuación utilizando nodosauxiliares para las condiciones de frontera de Dirichlet.

x1 xi+1xixi-1... xN...

L

xox0 xN+1

Fig.: Mallado unidimensional.


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Mallado

(i, j)

(1, 0)

(i-1, j) (i+1, j)

(i, j-1)

(i, j+1)

(N+1, 0)

(N+1, M+1)(1, M+1)

(1, 0) (N+1, 0)

(N+1, M+1)(1, M+1)

k=2k=1 k=3

k=5k=4 k=6

k=N·M

Simetría

Fig.: Mallado realizado para el reactor cilíndrico. Se muestran las dosnumeraciones de los nodos a la izquierda (i, j) y la numeración secuencial ka la derecha útil en la construcción de las matrices.


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Discretización en Diferencias Finitas

I En segundo lugar, se estiman las derivadas parciales queaparecen en la ecuación diferencial.

∂2φ(r , z)

∂r2 ≈φi−1,j − 2φi,j + φi+1,j

(∆r)2 ,

1r∂φ(r , z)

∂r≈ 1

ri

φi+1,j − φi−1,j

2∆r,

∂2φ(r , z)

∂z2 ≈φi,j−1 − 2φi,j + φi,j+1

(∆z)2 .


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I Por lo que la ecuación de la difusión neutrónica discretizadaqueda como,

a φi,j + b φi−1,j + c φi+1,j + d φi,j−1 + e φi,j+1 =1λ

f φi,j ,

i ∈ [1,N], j ∈ [1,M].

I Los coeficientes vienen dados por

a =2D

(∆r)2 +2D

(∆z)2 + Σa, i,j , b = −

(D

(∆r)2 +D

2ri ∆r

),

c = −

(D

(∆r)2 −D

2ri ∆r

), d = − D

(∆z)2 ,

e = − D

(∆z)2 , f = νΣf ,

i ∈ [2,N], j ∈ [1,M].


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I En el eje central se impone la condicion de simetria,

dφ(0, r)

dr= 0,

Esta condición se establece numéricamente forzando queφi−1,j = φi+1,j , . Por lo que los coeficientes son,

a =2D

(∆r)2 +2D

(∆z)2 + Σa, b = 0,

c = − 2D

(∆r)2 , d = − D

(∆z)2 ,

e = − D

(∆z)2 , f = νΣf ,

i = 1, j ∈ [1,M].


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Construccion de las Matrices

I Si reescribimos el sistema en forma matricial,

AΦ =1λ

BΦ,

donde

A =

a c 0 0 · · · e 0 · · · 0b a c 0 · · · 0 e · · · 0

0 b a c · · · 0 0. . . 0

.... . . . . . . . .

d 0 · · · b a c0 d 0 · · · b a c

. . . . . . . . . . . .0 · · · 0 d 0 · · · 0 b a

,


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Construcción de las Matrices

B =

f 0 0 · · · 00 f 0 · · · 0...

. . . . . . . . ....

0 · · · 0 f 00 · · · 0 0 f

,

Φ =(φ1, φ2, · · · , φN×M−1, φN×M

)T.

I Este tipo de matrices serán almacenadas en forma dispersa ydeben de ser construidas eficientemente.


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Obtención de la solución y normalización

I El problema generalizado de autovalores se resuelve mediantela función de MatLab eigs() que utiliza un método de Krylov,para el autovalor de mayor magnitud.

AΦ =1λ

BΦ.

I El autovector se normaliza de modo que el máximo flujoneutrónico sea igual a 1.


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Solución Numérica: Perfil Radial

r (cm)

0 50 100 150

phi

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Perfil Radial del plano medio

N=5, M=7

N=50, M=70

Analítica

Fig.: Comparativa de perfiles radiales.


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Solución Numérica: Perfil Axial

phi

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z (c

m)

0

50

100

150

200

250

300

350

400Perfil Axial

N=5, M=7

N=50, M=70

Analítica

Fig.: Comparativa de perfiles axiales.


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Ejercicio Propuesto

I La ecuación de la difusión neutronica se suele extender a dosgrupos de energía, separando así los neutrones rápidos y losneutrones térmicos.

− ddx

(D1

d2φ(1)

dx2

)+ (Σa1 + Σs12)φ(1) =

1λ

(νΣf1φ

(1) + νΣf2φ(2)),

− dD2dx

(dφ(2)

dx

)+ Σa2φ

(2) = Σs12φ(1) .

I Que conduce a un sistema discreto de la forma(A11 00 A22

)Φ =

1λ

(B11 B12B21 0

)Φ.


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Conclusiones

I Se presenta una aplicación de las ecuaciones en derivadasparciales en una instalación de generación de energía.

I Se muestra una aplicación de los métodos numéricos. En estecaso se resuelve por diferencias finitas.

I El alumno desarrolla las ecuaciones y comprende la necesidadde utilizar los modelos matemáticos en el diseño y operación deun reactor nuclear.


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Conclusiones

I Se han desarrollado dos laboratorios virtuales que ayudan alalumno a comprobar si los cálculos que ha realizado soncorrectos. Disponibles en:

I http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/reactor1D/default.aspxI http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/cilindro_df/default.aspx


http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/reactor1D/default.aspx

http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/cilindro_df/default.aspx

Gracias por su atención!

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