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Universitat Politècnica de ValènciaDpto. de Ingeniería Química y Nuclear
Modelo de reactor cilíndrico
Antoni Vidal-Ferràndiz, Sofia Carlos, Gumersindo Verdú
12 de mayo de 2016
1Índice
Introducción
Solución AnalíticaFunciones de BesselResultados
Solución en Diferencias FinitasMalladoDiscretizaciónResultados
Conclusiones
A. Vidal-Ferràndiz et-al. | Reactor cilíndrico
2
Introducción
I Prácticas para la asignatura Tecnología Nuclear : Asignaturatroncal 4o curso de la titulación de Grado en Ingeniería de laEnergía.
I En este tipo de generación energética es necesario elconocimiento de la distribución de la población neutrónica dentrode un reactor, con la finalidad de mantener el funcionamientoseguro del mismo.
I Esta actividad no puede desarrollarse de forma experimental,por lo que los modelos matemáticos son de gran importanciapara lograr este objetivo.
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Diseños de reactor
Fig.: Núcleo del reactor Monju y núcleo de un reactor de agua ligera.
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Objetivos de la Práctica
I Resolver la ecuación de la difusión neutronica en una geometríacilíndrica tanto de forma analítica como numérica.
I Estudiar la criticidad del reactor.I Introducir las funciones de Bessel.I Desarrollar un sencillo código de diferencias finitas con
MATLAB R©.I Introducir conceptos de programación para este tipo de codigos
numéricos.I Establecer las bases para que los alumnos sean capaces de
extender los modelos utilizados.
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Modelo de reactor cilíndrico
z
r
H
R
Fig.: Modelo cilíndrico.
Altura H = 365 cmRadio R = 150 cmCoeficiente de difusión D = 0,776 cmSección eficaz de absorción Σa = 0,0244 cm−1
Sección eficaz de fisión νΣf = 0,0260 cm−1
Tab.: Parámetros del reactor
I Condiciones de contorno de flujo nulo.
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Ecuación de la Difusión
I La ecuación de la difusión neutrónica para un grupo de energíaen estado estacionario viene dada por,
−~∇(D ~∇φ(x)) + Σaφ(x) =1λνΣfφ(x).
I El término (∇2φ(x)) en coordenadas cilíndricas se puedeexpresar como,
∇2φ(r , θ, z) =1r∂φ
∂r+∂2φ
∂r2 +1r2∂2φ
∂θ2 +∂2φ
∂z2 .
I Donde se cancela la variación angular ya que el reactor essimétrico en dicha coordenada. Por tanto, la ecuación queda,
−D(
1r∂φ(r , z)
∂r+∂2φ(r , z)
∂r2 +∂2φ(r , z)
∂z2
)+Σaφ(r , z) =
1λνΣfφ(r , z).
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Solución Analítica
I La solución analítica del reactor se obtiene utilizando el métodode separación de variables. Si fijamos condiciones de flujo nuloen el exterior del cilindro se expresa como,
φ(r , z) = J0
(v1 rR
)sin(πz
H
).
Siendo J0 la función de Bessel de primera especie de orden ceroy v1 es el primer cero de dicha función.
I La constante multiplicativa se calcula a partir del Bucklinggeométrico, que en un cilindro tiene la siguiente expresión.
Bg =(v1
R
)2+( π
H
)2,
keff = λ =νΣf/Σa
(1 + (D/Σa)Bg)
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Introducción a las funciones de Bessel
I La solución radial analítica del reactor utiliza funciones de besselpor lo que es necessario conocer su forma.
x
0 5 10 15 20
Bess
el
Functi
on J
0(x
)
-0.5
0
0.5
1
Fig.: Funcion de bessel de primera especie y orden cero
I Su primer cero tiene un valor de v1 = 2,4048A. Vidal-Ferràndiz et-al. | Reactor cilíndrico
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Solución Analítica
200
100
y (cm)
0
-100
-200200
100
0
x (cm)
-100
-200
1
0.5
0
phi
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fig.: Perfil radial en el plano medio.
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Solución Analítica
phi (cm)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
z (c
m)
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Fig.: Perfil axial en r = 0.
I Autovalor keff = 1,05447
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Método de Diferencias Finitas
I El Método de diferencias finitas es un método de caráctergeneral que permite la resolución aproximada de ecuacionesdiferenciales en derivadas parciales.
I Primero se discretiza el dominio de la ecuación utilizando nodosauxiliares para las condiciones de frontera de Dirichlet.
x1 xi+1xixi-1... xN...
L
xox0 xN+1
Fig.: Mallado unidimensional.
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Mallado
(i, j)
(1, 0)
(i-1, j) (i+1, j)
(i, j-1)
(i, j+1)
(N+1, 0)
(N+1, M+1)(1, M+1)
(1, 0) (N+1, 0)
(N+1, M+1)(1, M+1)
k=2k=1 k=3
k=5k=4 k=6
k=N·M
Simetría
Fig.: Mallado realizado para el reactor cilíndrico. Se muestran las dosnumeraciones de los nodos a la izquierda (i, j) y la numeración secuencial ka la derecha útil en la construcción de las matrices.
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Discretización en Diferencias Finitas
I En segundo lugar, se estiman las derivadas parciales queaparecen en la ecuación diferencial.
∂2φ(r , z)
∂r2 ≈φi−1,j − 2φi,j + φi+1,j
(∆r)2 ,
1r∂φ(r , z)
∂r≈ 1
ri
φi+1,j − φi−1,j
2∆r,
∂2φ(r , z)
∂z2 ≈φi,j−1 − 2φi,j + φi,j+1
(∆z)2 .
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Discretización en Diferencias Finitas
I Por lo que la ecuación de la difusión neutrónica discretizadaqueda como,
a φi,j + b φi−1,j + c φi+1,j + d φi,j−1 + e φi,j+1 =1λ
f φi,j ,
i ∈ [1,N], j ∈ [1,M].
I Los coeficientes vienen dados por
a =2D
(∆r)2 +2D
(∆z)2 + Σa, i,j , b = −
(D
(∆r)2 +D
2ri ∆r
),
c = −
(D
(∆r)2 −D
2ri ∆r
), d = − D
(∆z)2 ,
e = − D
(∆z)2 , f = νΣf ,
i ∈ [2,N], j ∈ [1,M].
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Discretización en Diferencias Finitas
I En el eje central se impone la condicion de simetria,
dφ(0, r)
dr= 0,
Esta condición se establece numéricamente forzando queφi−1,j = φi+1,j , . Por lo que los coeficientes son,
a =2D
(∆r)2 +2D
(∆z)2 + Σa, b = 0,
c = − 2D
(∆r)2 , d = − D
(∆z)2 ,
e = − D
(∆z)2 , f = νΣf ,
i = 1, j ∈ [1,M].
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Construccion de las Matrices
I Si reescribimos el sistema en forma matricial,
AΦ =1λ
BΦ,
donde
A =
a c 0 0 · · · e 0 · · · 0b a c 0 · · · 0 e · · · 0
0 b a c · · · 0 0. . . 0
.... . . . . . . . .
d 0 · · · b a c0 d 0 · · · b a c
. . . . . . . . . . . .0 · · · 0 d 0 · · · 0 b a
,
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Construcción de las Matrices
B =
f 0 0 · · · 00 f 0 · · · 0...
. . . . . . . . ....
0 · · · 0 f 00 · · · 0 0 f
,
Φ =(φ1, φ2, · · · , φN×M−1, φN×M
)T.
I Este tipo de matrices serán almacenadas en forma dispersa ydeben de ser construidas eficientemente.
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Obtención de la solución y normalización
I El problema generalizado de autovalores se resuelve mediantela función de MatLab eigs() que utiliza un método de Krylov,para el autovalor de mayor magnitud.
AΦ =1λ
BΦ.
I El autovector se normaliza de modo que el máximo flujoneutrónico sea igual a 1.
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Solución Numérica: Perfil Radial
r (cm)
0 50 100 150
phi
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1Perfil Radial del plano medio
N=5, M=7
N=50, M=70
Analítica
Fig.: Comparativa de perfiles radiales.
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Solución Numérica: Perfil Axial
phi
-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
z (c
m)
0
50
100
150
200
250
300
350
400Perfil Axial
N=5, M=7
N=50, M=70
Analítica
Fig.: Comparativa de perfiles axiales.
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Ejercicio Propuesto
I La ecuación de la difusión neutronica se suele extender a dosgrupos de energía, separando así los neutrones rápidos y losneutrones térmicos.
− ddx
(D1
d2φ(1)
dx2
)+ (Σa1 + Σs12)φ(1) =
1λ
(νΣf1φ
(1) + νΣf2φ(2)),
− dD2dx
(dφ(2)
dx
)+ Σa2φ
(2) = Σs12φ(1) .
I Que conduce a un sistema discreto de la forma(A11 00 A22
)Φ =
1λ
(B11 B12B21 0
)Φ.
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Conclusiones
I Se presenta una aplicación de las ecuaciones en derivadasparciales en una instalación de generación de energía.
I Se muestra una aplicación de los métodos numéricos. En estecaso se resuelve por diferencias finitas.
I El alumno desarrolla las ecuaciones y comprende la necesidadde utilizar los modelos matemáticos en el diseño y operación deun reactor nuclear.
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Conclusiones
I Se han desarrollado dos laboratorios virtuales que ayudan alalumno a comprobar si los cálculos que ha realizado soncorrectos. Disponibles en:
I http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/reactor1D/default.aspxI http://labmatlab.upvnet.upv.es/eslabon/cilindro_df/default.aspx
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Gracias por su atención!