Conductividad elctrica: Modelo de Drude* Modelo del gas de
electrones*Rafael Ramn Rey [email protected]
* Basado en un gran nmero de presentaciones y archivos
encontrados en internet.
Conductividad elctrica: Modelo de DrudeCaptulo 1: Solid state
Physics. Neil Ashcroft & N. David Mermin
Elementos metlicos
Conductividad en materialesEn todos los materiales la conduccin
de carga se realiza mediante "portadores de carga".En los metales,
los portadores son electrones En lquidos suele haber transporte de
carga por iones de ambos signos En algunos slidos tambin se produce
transporte de carga por iones. Este proceso es generalmente de tipo
intersticial como ocurre con iones Na+ y K+ en SiO2 y de oxgeno en
ZrO2.
Conductividad elctrica
Modelo de DrudeInterpretacin clsica del fenmeno de transporte de
carga en un slido
Drude desarroll su modelo en 1900 de la conductividad elctrica y
trmica aplicando la teora cintica de los gases
Hiptesis del modelo de DrudeLos electrones se pueden mover casi
libremente entre los tomos de la red. No sienten el campo generado
por los iones. la interaccin e-e es despreciable (gas ideal de
electrones o aproximacin de electrn independiente). Los electrones
colisionan con los iones y defectos de la red La poblacin de
electrones est descrita por la estadstica de Maxwell-Boltzmann. Los
electrones estn confinados en el metal.
Conductividad elctricaEl flujo de carga elctrica en un material
es el producto de:n nmero de portadores de carga por unidad de
volumen (densidad) q carga elctrica de cada uno movilidad de los
portadores de carga
j = nqdensidad electrnica? velocidad de los portadores?
Densidad de electrones nZ nmero de electrones de valencia m
densidad A masa atmicaNmero de Avogadro (tomos/mol) * (m/A)* nmero
de electrones que aporta cada tomo
Densidades de electrnes libres
Velocidad de los electronesLa velocidad de los electrones est
determinada por la teora de gases ideales, entonces su valor medio
est determinado por la equiparticin de la energa
1 2 3 mv = k BT 2 2y obedece a la distribucin3 r E (v ) k BT
m r dn = f MB (v ) = N 2k T dv B
e 2
Camino libre medio: distancia media recorrida entre colisiones.
Tiempo de relajacin: Tiempo promedio entre colisiones velocidad
media de los electrones Valores estimados
Valores con una alta dependencia de la temperatura
Movimiento en ausencia de campo elctrico
Ver simulacin
El movimiento es al azar lo que determina que no hay un
desplazamiento efectivo en alguna direccin. La velocidad media de
los electrones es nula, = 0.
Movimiento en presencia de campo elctrico
En este caso hay un desplazamiento efectivo en la direccin
opuesta al campo elctrico, experimentado por cada electrn. La
velocidad media de los electrones en este caso es la velocidad de
arrastre, generando un trasporte efectivo de carga El efecto global
por las colisiones con la red es similar al roce viscoso
d 2x v eE + = 2 dt m
Ley de OhmA V
I
V
r r E = j
La inversa de la resistividad es la conductividad elctrica y
tambin es caracterstica del material:
Se define movilidad como el cociente de la velocidad de deriva
con el campo aplicado
Aciertos del modelo de DrudeEs consistente con la Ley de Ohm
Explica, en forma cualitativa, el fenmeno de la resistencia
elctrica Predice buenos valores para la conductividad
Fallas del modelo de Drude
EjercicioEstimar la conductividad tpica de un metal a 295 K
suponiendo un camino libre medio de alrededor de 1 nm y un nmero de
electrones de valencia de alrededor de 1029 m-3 Respuesta:
1 3 2 mvD = k BT 2 2
vD = 1.16 X 10 m s515
v=
= 8.62 X 102
s
ne 7 1 1 = ne = = 2.42 X 10 m m
Efecto Hall clsico (1879)Objetivo: detectar posibles efectos de
magnetoresistencia
= (H )hilo metlico
r E
jx = 0 E
r H
r E
?
Resultado del experimento: nulo
= 0 = 1 / 0 !
El efecto Hall clsicoEl experimento de Hall (E. H. Hall
(1879))Explicacin del resultado nulo:
r er r e r FL = v H = vHu y c c
r Hr r Fy = eE y u y++++++++++r ++ ++++++++++ + Fy
Ey
________________________
r FL
Ex
En una situacin estacionaria
r r FL + Fy = 0
jx = 0 Ex
( H ) = 0
El efecto Hall clsicoEl experimento de Hall (E. H. Hall
(1879))Voltaje y coeficiente Hall
r H
++++++++++r ++ ++++++++++ + Fy
Ey
________________________
r FL
Ex
como la fuerza total transversal es cero:
r r FL + Fy = 0
e eE y = vH cCoeficiente Hall
H Ey = jx necEy
Voltaje transversal o Hall
VHAcceso a la carga y concentracin de portadores !!!
1 = RH = H = jx H nec
Efecto Hall: Experimentos
1 RH = H HJ x nec EyRH independiente de H para campos grandes (c
>>1)
eH c = mc
Modelo del gas de electrones Captulo 1: Solid state Physics.
Neil Ashcroft & N. David Mermin Captulo 6: Solid-State Physics.
An introduction to Principles of Materials Science. Harald Ibach
& Hans Lth Captulo 6: Introduction to Solid State Physics.
Charles Kittel
Modelo de SommerfieldEs la versin cuntica del gas de electrones
libres que incorpora el principio de exclusin de Pauli, dando lugar
al gas de electrones degenerado tal y como se realiz en el tomo. La
funcin de distribucin clsica de Maxwell Boltzmann del modelo de
Drude se reemplaza por la distribucin de Fermi-Dirac en el modelo
cuntico que introduce la energa de Fermi como la escala nueva de
energa que domina las propiedades electronicas incluso a
temperatura ambiente ya que es mucho mas pequea que la temperatura
de Fermi. Esto hace que el camino libre medio de los electrones del
gas cuntico sea dos rdenes de magnitud ms grande que el parmetro de
red, en contra de las predicciones del modelo de Drude. A pesar de
ello, este modelo todava segua sin explicar dos observaciones
importantes. Por un lado, la existencia de aislantes y por otro el
signo positivo del coefficiente Hall observado en muchos
metales.
Condiciones de frontera: Paredes rigidas
Condiciones peridicas
Las soluciones de la ecuacin de onda son:
El momento lineal es:
Los posibles valores de k son:
donde ni (i=x,y,z) es entero
Cada vector de onda, punto, ocupa un volumen en el espacio k
dado por
Si hay N electrones entonces a T=0K
Se debe cumplir que:
La energa total del sistema en el estado fundamental es
Encontrar la densidad de estados para un gas de electrones
bidimensional y unidimensional
Densidad de estadosPara un cristal con dimensiones macroscpicas
el espacio k se llena densamente, esto es:
Como
V 2mE N= 2 2 3 h
3
2
la densidad de estados es (3D):
dN V 2m 1 2 D( E ) = E 2 2 dE 2 h
Capacidad calorfica calor especficoPara T=0K
ET =
EF
o
E D ( E )dE3 = nK B T F 5
En el caso de un sistema 3D, obtenemos:
ET
3 = nE 5
F
La presin es:
3 E F 3 2 dE = n P EF = n 5 V 5 3V dV
2E P= 3V
Cmo podemos crear un gas de electrones 2D?.
Nanoestructuras200 Hilo cuntico 200
Pozo cuntico
(a)
(b)Punto cuntico
200
(c)
Representacin esquemtica de las principales nanoestructuras
desarrolladas usando materiales semiconductores
Presentacin Semiconductores de Lilia Meza
Puntos cunticosMicrografa electrnica de barrido de un arreglo de
puntos cunticos en una estructura de InSb.
Modelo de un arreglo de puntos cunticosC. Espejo Trabajo
final
Heterouniones semiconductoras crecidas por MBE
Gas de electrones bidimensionalSilicon MOSFET
(Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor)
n 1013cm2Heterouniones semiconductoras
n 1011 cm 2
Superficie de Helio lquido
n 109 cm 2
MOSFET: Diagrama de bandasSiO2
5000 A
Silicon MOSFET
(Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor)
n 1011 1013 cm 2conduction band energy gap
F
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
valence band
p-Si F
Al
situacin de equilibrio
(Consultar: Solid State Physics, H Ibach & H. Luth,
Springer)
MOSFET: Variacin de n mediante un potencial de gateSiO2
2D electron gas (inversion layer)
gate
conduction band energy gap valence band
F
eVG p-Si
Al
![Capítulo 3: Campos Electromagnéticos Estáticosfisica3/cap-3a.pdfModelo: gas de electrones libres Cu: [Ar] 3d10 4s1 electrones de conducción Un conductor se caracteriza por que](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/5e32709b52dfcd26864b8b26/captulo-3-campos-electromagnticos-estticos-fisica3cap-3apdf-modelo-gas.jpg)
