MODELO MATEMÁTICO DE UN MOVIMIENTO FISICO

OBJETIVO

Mostrar una propuesta didáctica donde se desarrollan las matemáticas como herramienta fundamental en el dominio y transformación de la naturaleza.

INTRODUCCIÓN

Un soporte metálico donde se montan los sensores infrarrojos conectados a un cronómetro digital, nos permite recolectar datos del contexto físico (alturas y tiempos), y el uso de calculadoras científicas (Casio FX 82TL), programables y graficadoras (Casio FX 7400G) en modo Regresión, hacen posible la aplicación del constructivismo en las Ciencias Naturales.

Para la interpretación y transformación de la naturaleza, suponemos inicialmente hasta donde sean posibles comportamientos lineales, luego vamos refinando esa primera visión con modelos no lineales, como la proporcionalidad cuadrática, cúbica o también exponencial, logarítmica o inversa.

Este comportamiento matemático de la naturaleza, es la modelación matemática de los fenómenos, realizable solo si es posible medir y cronometrar; mediciones que se han mostrado en estos últimos tres siglos como la manera eficiente de enjuiciar, captar y exhibir a la naturaleza, dando como resultado ser las actividades más útiles para aprehender racionalmente a la naturaleza, es decir, para predecir su devenir.

PROGRAMA DE ACTIVIDADES

Competencia física: Interpretativa, argumentativa, propositiva y comunicativa.

Cognoscitiva geométrica: La parábola en el plano cartesiano.

Geometría Analítica: La función y = a x2 + b x + c.

Álgebra de funciones: La resolución de la ecuación de segundo grado.

Estadística: Regresión cuadrática.

Sistemas: Hoja de Excel.

Tecnología: Montaje del soporte con los infrarrojos y el cronómetro.

Idiomas: Redactar un informe y sus conclusiones.

Ética y valores: Aceptar la responsabilidad y cumplir con los objetivos propuestos.

ACTIVIDAD: Caída de los cuerpos.

En esta actividad se estudia el movimiento de un cuerpo cuando se deja caer de determinada altura bajo la acción de su peso, considerando la resistencia ofrecida por el aire.

 Materiales:

Conos y esfera de icopor.

Montaje con sensores infrarrojos y cronómetro digital.

Una calculadora para cada uno de los integrantes del proyecto, así como para el asesor.

Tabla de apuntes y notas.

Montaje del proyecto

Se fija un marco de madera con los infrarrojos de parada del cronómetro a una altura de 50 cm. aproximadamente, luego se coloca el otro marco en cada una de las alturas graduadas del soporte. Después, se dejan caer los conos (bocabajo, de punta y de lado) y la esfera, midiendo siete tiempos para cada altura.

 Recolección de datos

Cada integrante crea una tabla de datos en donde se almacenan los tiempos y distancias medidas como la siguiente:

CONO PEQUEÑOCONO GRANDE ESFERA

Altura y(m)

Tiempo t1(s)

Tiempo t2(s)

Tiempo t3(s)

Tiempo t4(s)

Tiempo t5(s)

Tiempo t6(s)

Tiempo t7(s)

0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

0.285 0.190 0.160 0.220 0.220 0.190

0.515 0.320 0.310 0.350 0.310 0.310 0.310 0.310

0.840 0.410 0.400 0.400 0.400 0.430 0.410 0.400

1.130 0.500 0.500 0.470 0.470 0.470 0.470 0.470

1.600 0.590 0.590 0.630 0.600 0.600 0.560 0.600

2.285 0.680 0.710 0.750 0.660 0.680 0.690 0.660

Tabla 1. Mediciones realizadas durante el experimento de caída libre.

Transformación de los datos

1. ¿Será que los conos y la esfera en sus caídas recorrieron espacios iguales en tiempos iguales?

Con la calculadora se determinan los intervalos de los tiempos y las alturas medidos (Δt = tf - ti y Δy = yf - yi) en las caídas.

A. Cono pequeñoa. Posición de caída: Vertical con vértice arriba

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt1 0.190 0.130 0.090 0.090 0.090 0.090

Δy /Δt1 1.500 1.769 3.611 3.111 5.222 7.611b. Posición de caída: Vertical con vértice abajo

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt2 0.160 0.150 0.090 0.100 0.090 0.120

Δy /Δt2 1.785 1.533 3.611 2.800 5.222 5.708c. Posición de caída: horizontal

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt3 0.220 0.130 0.050 0.070 0.160 0.120

Δy /Δt3 1.295 1.769 6.500 4.000 2.938 5.708

Tablas A1. Intervalos de altura y tiempo de la tabla 1.

B. Cono grandea. Posición de caída: Vertical con vértice arriba

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt4 0.310 0.090 0.070 0.130 0.160

Δy /Δt4 0.742 3.611 4.000 3.615 4.281b. Posición de caída: Vertical con vértice abajo

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt5 0.310 0.120 0.040 0.130 0.180

Δy /Δt5 0.742 2.708 7.000 3.615 3.806

c. Posición de caída: horizontal

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt6 0.220 0.090 0.100 0.060 0.090 0.130

Δy /Δt6 1.295 2.556 3.250 4.667 5.222 5.269

Tablas B1. Intervalos de altura y tiempo de la tabla 1.

C. Esfera

Δy 0.285 0.230 0.325 0.280 0.470 0.685

Δt7 0.190 0.120 0.090 0.070 0.130 0.160

Δy /Δt7

Tabla C1. Intervalos de altura y tiempo de la tabla 1.

¿Qué se observa? ¿Se puede afirmar que el fenómeno es lineal?

2. ¿Será que los espacios recorridos son proporcionales a los cuadrados de los tiempos?

Con la calculadora se determinan los cuadrados de las diferencias de los tiempos y las diferencias de las alturas distancia medidos Δt = (tf - ti)2 y Δy = yf - yi.

A. Cono pequeño

a. Posición de caída: Vertical con vértice arriba

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt1)2 0.0361 0.1024 0.1681 0.250 0.3481 0.4624

Δy /(Δt1)2 7.895 5.029 4.997 4.520 4.596 4.942b. Posición de caída: Vertical con vértice abajo

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt2)2 0.0256 0.0961 0.160 0.250 0.3481 0.5041

Δy /(Δt2)2 11.133 5.539 5.250 4.520 4.596 4.533c. Posición de caída: horizontal

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt3)2 0.0484 0.1225 0.160 0.2209 0.3969 0.5625

Δy /(Δt3)2 5.888 4.204 5.250 5.115 4.031 4.062

Tablas A2. Intervalos de altura y tiempo al cuadrado.

B. Cono grande

a. Posición de caída: Vertical con vértice arriba

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt4)2 0.0961 0.160 0.2209 0.360 0.4356

Δy /(Δt4)2 5.539 5.250 5.115 4.444 5.246

b. Posición de caída: Vertical con vértice abajo

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt5)2 0.0961 0.1849 0.2209 0.360 0.4624

Δy /(Δt5)2 5.539 4.543 5.115 4.444 4.941

c. Posición de caída: horizontal

Δy 0.285 0.515 0.840 1.130 1.600 2.285

(Δt6)2 0.0484 0.0961 0.1681 0.2209 0.360 0.4624

Δy /(Δt6)2 5.888 5.539 4.997 5.115 4.444 4.942

Tablas B2. Intervalos de altura y tiempo al cuadrado.

C. Esfera

Δy 0.2850 0.2300 0.3250 0.2800 0.4700 0.6850

(Δt7)2 0.0361 0.0961 0.160 0.2209 0.360 0.4356

Δy /(Δt7)2 7.895 5.539 5.250 5.115 4.444 5.246

 Tabla C2. Cálculo de los intervalos cuadráticos de los tiempos de la tabla 1.

¿Qué se observa? ¿Se puede afirmar que el fenómeno es cuadrático?

Si se ubica un tiempo t en este plano (con t1 t t6,) ¿cuál debe ser la ordenada correspondiente y para que corresponda a la altura del cono en ese momento?

Recíprocamente, si se ubica una altura del cono y en este plano (con y1 y y6), ¿cuál debe ser el tiempo en que pasa por ahí?

Con los puntos obtenidos en el gráfico, se reconoce la relación que existe entre tiempo y altura de caída del cono. Esto es un ejemplo de una función cuadrática.

Con ayuda de la calculadora en modo REG se introducen los datos y se determina la regresión cuadrática correspondiente:

A-a A-b A-c B-a B-b B-c C

a +0.028 +0.025 +0.010 +0.007 -0.014 +0.018

b -0.087 +0.408 +0.087 +0.284 +0.313 +0.112

c +4.858 +3.856 +4.293 +4.333 +4.438 +4.726

r

Tabla 2. Valores de la regresión cuadrática

F(X) FUNCION MATEMATICA FUNCION FISICA

Y a +b x +cx2 Y0 +V0 t + 1/2a t2

Y1 0.028-0.087x+4.858x2 0.028 – 0.087 t + 4.858 t2

Y2 0.025+0.408x+3.856x2 0.025 + 0.408 t + 3.856 t2

Y3

Y4 0.010+0.087x+4.293x2 0.010 + 0.087 t + 4.293 t2

Y5 0.007+0.284x+4.333x2 0.007 + 0.284 t + 4.333 t2

Y6 -0.014+0.313x+4.438x2 -0.014 + 0.313 t + 4.438 t2

Y7 0.018+0.112x+4.726x2 0.018 + 0.112 t + 4.726 t2

Tabla 3. Regresión estadística y función física

Con ayuda de la calculadora se trazan las gráficas de estas funciones y se comparan con la ecuación galileana Y = ½ g t2. ¿Qué se observa? ¿Cómo se explica?

La ley de la gravitación universal permite calcular la gravedad a cualquier altura sobre la superficie terrestre:

g = G M / d 2

Con G = 6.67x10-11 Nm2/kg2; M = 6x1024 Kg. y d = 6.4x106 m se determina:

g = 9.77 m/s2

Las diferencias entre los valores experimentales con resistencia del aire y los valores teóricos en el vacío serían:

%E = (g-a)/g

g(m/s2) c(m/s2) a(m/s2) E (%)

9.77 4.858 9.72 0.5

9.77 3.856 7.17 21.0

9.77

9.77 4.293 8.59 1.8

9.77 4.333 8.67 11.2

9.77 4.438 8.88 9.1

9.77 4.726 9.46 3.3

Interpolación:

¿Con la información anterior se puede predecir la altura del objeto para cualquier tiempo t (t1 t t7)? ¿Qué operaciones se deben realizar para predecir la altura a la que se encuentra el objeto en un tiempo t?

Recíprocamente, dada una altura y, con y1 y y6, se puede decir ¿en qué tiempo estuvo ahí? ¿Qué operaciones se deben realizar para predecir un tiempo t cuando el objeto se encuentra a una altura y?

Extrapolación:

¿Con la información anterior se puede predecir la altura del objeto para cualquier tiempo t (t7 t)? ¿Qué operaciones se deben realizar para predecir la altura a la que se encuentra el objeto en un tiempo t?

Recíprocamente, dada una altura y, con y7 y, se puede decir ¿en qué tiempo estuvo ahí? ¿Qué operaciones se deben realizar para predecir un tiempo t cuando el objeto se encuentra a una altura y?

Conclusiones

Las conclusiones del proyecto serán las respuestas de carácter formal que se den a las dudas generadas por los datos experimentales.

¿Qué es un fenómeno cuadrático?

¿Se puede predecir a la naturaleza de manera precisa y exacta?

¿Cuáles son las ventajas y desventajas de este enfoque para la enseñanza de las matemáticas en el nivel básica y media?