Modelo matemático para predecir el comportamiento de una

1

“Modelo matemático para predecir el comportamiento de una máquina de fatiga por

vibración resonante para tuberías de perforación petrolera”

Manuel Alberto Linares Yepes

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA

Bogotá, DC. Colombia

18 de enero del 2019

PROFESOR ASESOR

RODRIGO ALBERTO MARÍN CASTILLO, PhD.

Profesor asociado, Ingeniería Mecánica

2

AGRADECIMIENTOS

Quisiera agradecerle a mi asesor Rodrigo Alberto Marín. Debido a que es un maestro

ejemplar. Durante todo el proceso estuvo dispuesto a explicarme con paciencia, siempre

estaba disponible para resolver cualquier inquietud. Muchas gracias por su inmensa

dedicación.

3

TABLA DE CONTENIDO

1. Introducción________________________________________________4-5

a. Descripción del problema_________________________________ 6-8

2. Objetivo______________________________________________________9

3. Metodóloga y desarrollo____________________________________10-

19

a. Ejemplo de la Aplicación del Método_____________________20-23

4. Conclusiones________________________________________________24

5. Bibliografía_________________________________________________25

6. Apéndice____________________________________________________26-28

4

1. Introducción

Un yacimiento petrolero es una formación de roca en la cual el subsuelo se encuentra

almacenada una cantidad significativa de petróleo y en algunos casos de gas. Estas

formaciones de roca se encuentran en el subsuelo distribuidas de forma

predominantemente horizontal a una determinada profundidad. Por ejemplo, en el Llano

colombiano estos yacimientos se encuentran entre 3.600 y 4.400 metros de profundidad

(Angélica, 2019).

Para explotar un yacimiento es necesario construir un pozo, el cual es un agujero de

sección cilíndrica que comunica el yacimiento con la superficie. Para perforar el pozo se

utiliza un taladro, el cual consta de una broca ver Figura 1 y una sarta de tubería de

perforación, la cual se extiende entre la cabeza del pozo y la broca. El giro de la broca es

Figura 1. Perforación direccional (Perfoblogger, 2019).

5

producido por la energía proveniente del bombeo a presión de un lodo que fluye desde la

superficie a través de la tubería. Por razones prácticas, es conveniente que toda la sarta de

tubería gire; a medida que se aumenta la profundidad del pozo se agregan más secciones

de tubería. Debido a que el yacimiento de petróleo se encuentra distribuido de forma

horizontal, es conveniente que la orientación del pozo varié gradualmente de vertical a

horizontal. Esto causa que una sección de la tubería se encuentre en una trayectoria curva.

La sección de tubería con curvatura se encuentra sometida a un momento flector. Además,

como esta sección de tubería se encuentra girando se produce un momento flector que

varié en el tiempo. Esto genera un riesgo de falla por fatiga en la sección bajo flexión de

la Figura 3. La tubería presenta una sección de área constante y en los extremos se

encuentra la parte roscada que tiene concentradores de esfuerzos. Por lo tanto, es

importante comprender el comportamiento a la fatiga de la tubería. Es común en la

industria realizar experimentos para validar la resistencia a la fatiga de este tipo de tubería.

Figura 2. Tipos de Perforación direccional (Galpenergia, 2019).

6

a. Descripción del problema:

La comprensión del comportamiento de la tubería bajo fatiga involucra la realización de

múltiples ensayos. En estos ensayos se genera la carga de flexión sobre el tubo.

Figura 3. Tubería de perforación. (Anónimo, 2019)

En los ensayos experimentales se observa que la sección de la tubería más vulnerable a

falla son los extremos roscados, debido a que tienen una cantidad apreciable de

concentradores de esfuerzos. En la Figura 4 se observa la falla de la unión roscada macho

de una tubería de perforación en forma de una grieta en la rosca propagada por fatiga.

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Para realizar estas pruebas hay diferentes métodos experimentales. Un método de prueba

se denomina “Rotating Bending Beam”. En este método, un extremo de la tubería bajo

análisis se monta en un husillo similar al presente en un torno y en el otro extremo se

monta una celda de carga cuyo objetivo es ejercer una fuerza que genere flexión en la

Figura 4. Falla en rosca de tubería de perforación.

8

tubería. Ver Figura 5. Este método tiene la desventaja de que solo es posible realizar la

prueba con frecuencias de aplicación de ciclos de hasta 5 Hz.

Otro método de prueba utilizado comúnmente es el denominado “Resonant Bending

Beam Fatigue”. A la tubería bajo prueba se le induce una vibración transversal. Este

método permite realizar la prueba de fatiga aplicando ciclos de entre 20-50 Hz. Estás

frecuencias son significativamente mayores, lo que permite reducir substancialmente el

tiempo experimental. Ver Figura 6.

Figura 5. “Rotating Beam Bending Test Setup”.

Figura 6. "Resonant Beam Fatigue Test Setup"

9

2. Objetivo

El objetivo de este trabajo es verificar el modelo analítico presentado en “Resonant

Bending Fatigue Test Setup for Pipes With Optical Displacement Measuring System”

para predecir el comportamiento de una máquina de ensayos de fatiga por vibración

resonante. (Wittenberghe, y otros, 2012)

10

3. Metodología y desarrollo

Los pasos que se ejecutaron para cumplir el objetivo planteado fueron los siguientes:

I. Entendimiento detallado del modelo matemático propuesto en la literatura.

II. Planteamiento de una solución del planteamiento matemático.

III. Implementación y validación de la solución propuesta.

Para comprender el modelo matemático es importante entender cómo funciona la

máquina utilizada para realizar la prueba. Como se puede observar en la Figura 7, la

descripción general del aparato experimental es una tubería (elemento 1), simplemente

apoyada en los extremos. En esos extremos se encuentran ubicadas masas concentradas,

una de esas masas es estática (elemento 5) y la otra masa (elemento 2) rota

excéntricamente alrededor del eje del tubo por la acción del motor (elemento 4), a través

del eje (elemento 3) y un marco principal que hace de soporte.

Figura 7. Partes de la máquina experimental (Wittenberghe, y otros, 2012)

Para entender el modelo matemático que describe el problema, primero se analiza una

tubería simplemente apoyada en los dos extremos sin ninguna fuerza. Enseguida se

1. Tubería de prueba.

2. Excitador.

3. Eje de cardán.

4. Motor eléctrico.

5. Contrapeso.

6. Soporte.

7. Marco.

8. Marco de seguridad.

11

realizaron modificaciones en las condiciones de frontera, teniendo en cuenta el diseño de

la máquina para realizar la implementación de la solución propuesta.

Para analizar el problema, se inició realizando un diagrama de cuerpo libre. A

continuación, se plantearon las ecuaciones de equilibrio de este sistema, realizando

sumatoria de fuerzas. Ver Figura 8.

Figura 8. Diagrama de cuerpo libre tubería (Rao, 2007)

Posteriormente, se planteó la sumatoria de fuerzas en el eje z, la de momentos en el eje y,

a partir de lo cual se llegó a las ecuaciones (1), (2).

(1) − (𝑉 + 𝑑𝑉) + 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 + 𝑉 = 𝜌𝐴(𝑥)𝑑𝑥𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2 (Rao, 2007)

(2) 𝜕2𝑀

𝜕𝑥2 = 𝑉(𝑥, 𝑡) (Rao, 2007)

Continuando con el análisis, se reemplazo la ecuación (2) en (1), dando como resultado

la ecuación general (3) que describe el comportamiento espacial y temporal del tubo.

(3) 𝑐2 𝜕4𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥4+

𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡2= 0 (Rao, 2007)

En este punto es matemáticamente conveniente reescribir la variable 𝑐 como

12

𝑐 = √𝐸𝐼

𝜌𝐴 (Rao, 2007)

A continuación, se plantea una solución basada en el método de separación de variables.

Para esto se define la siguiente ecuación:

(4) 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑊(𝑥)𝑇(𝑡) (Rao, 2007)

Donde la ecuación (4) corresponde a la parte espacial 𝑊(𝑥) 𝑦 𝑇(𝑡) la parte temporal.

(5) 𝑊(𝑥) = 𝐶1 sinh(𝑥𝛼) + 𝐶2 cosh(𝑥𝛼) + 𝐶3 sin(𝑥𝛼) + 𝐶4 cos(𝑥𝛼) (Rao, 2007)

�̇�(𝑥) = 𝐶1 𝛼𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝛼) + 𝐶2 𝛼𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥𝛼) + 𝐶3 𝛼𝑠𝑐𝑜𝑠(𝑥𝛼) −𝐶4 𝛼𝑠𝑖𝑛(𝑥𝛼)

�̈�(𝑥) = 𝐶1 𝛼2𝑠𝑖𝑛ℎ(𝑥𝛼) + 𝐶2 𝛼2𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥𝛼) − 𝐶3 𝛼2𝑠𝑖𝑛(𝑥𝛼) −𝐶4 𝛼2𝑐𝑜𝑠(𝑥𝛼)

�⃛�(𝑥) = 𝐶1 𝛼3𝑐𝑜𝑠h(𝑥𝛼) + 𝐶2 𝛼3sinh(𝑥𝛼) − 𝐶3 𝛼3cos(𝑥𝛼) +𝐶4 𝛼3sin(𝑥𝛼)

(6) 𝛼 = √𝜔√𝐸𝐼

𝜌𝐴 (Rao, 2007)

(7) 𝑇(𝑡) = 𝐵1 cos(𝛼𝑡) + 𝐵2sin (𝛼𝑡) (Rao, 2007)

𝑇(𝑡)̇ = −𝑤𝐵1 sin(𝛼𝑡) − 𝑤𝐵2cos (𝛼𝑡)

𝑇(𝑡)̈ = −𝑤2𝐵1 cos(𝛼𝑡) − 𝑤2𝐵2sin (𝛼𝑡)

Debido a que 𝛼 es igual a la fase y 𝜔 es la frecuencia, se procede a incluir las condiciones

de frontera particulares del diseño experimental de la prueba. Esto para determinar las

constantes que describen la variación de la posición de la tubería 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 𝑦 𝐶4 . Se usa

el sistema de coordenadas descrito en la Figura 9.

13

Finalmente, se plantea un diagrama de cuerpo libre para 𝑥 =𝐿

2 y otro para 𝑥 = −

𝐿

2. Con

esto se procede a hacer sumatoria de momentos (ecuaciones 8,10) y de fuerzas en 𝑧

(ecuaciones 9,11).

Figura 10. Condiciones de frontera 𝑥 = −𝐿

2 (Wittenberghe, y otros, 2012)

Para 𝑥 = −𝐿

2, ver Figura 10.

Figura 9. Diagrama de la máquina (Wittenberghe, y otros, 2012)

14

(8) 𝐸𝐼𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 + 𝑚𝑙𝑠𝑙𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 − (𝐽𝑙 + 𝑚𝑙𝑠𝑙2 )

𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= 0 (Rao, 2007)

La ecuación (8) está compuesta por: la parte número 1, que representa el momento flector

que se induce en la tubería, donde 𝐸 es el módulo de Young del material de la tubería, I

es el momento de inercia de área de la sección transversal de la tubería y 𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 =

�̈�(𝑥)𝑇(𝑡). La parte 2 representa el momento generado debido al peso de la masa ubicada

en el extremo izquierdo de la tubería, 𝑚𝑙 es el peso de la masa, 𝑠𝑙 la distancia del centro

de la masa al extremo de la tubería y 𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 = 𝛼2 ∗ (−𝐵1 cos(𝑡𝛼) − 𝐵2 sin(𝑡𝛼)), 𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 =

−𝛼2 ∗ 𝑇(𝑡). La parte 3 de la ecuación equivale al momento generado por la aceleración

angular. Donde (𝐽𝑙 + 𝑚𝑙𝑠𝑙2 ) es la inercia debida a la masa en el extremo de la

tubería, 𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡 es la aceleración angular, teniendo en cuenta que

𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= −𝛼2 ∗ 𝑇(𝑡) ∗

�̇�(𝑥). Por lo tanto, 𝑇(𝑡) se encuentra en las tres partes de la ecuación, lo cual permite

simplificarlo.

(9) 𝐸𝐼𝜕3𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥3 + 𝑚𝑙𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 − (𝑚𝑙𝑠𝑙 )𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= 0 (Rao, 2007)

La ecuación numero (9) está compuesta por: la parte número 1, que representa la fuerza

de flexión donde 𝜕3𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥3= �⃛�(𝑥) ∗ 𝑇(𝑡). La parte 2 es la fuerza generada por el peso en

1 2 3

1 2 3

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el extremo de la tubería 𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= −𝛼2 ∗ 𝑇(𝑡). La parte 3 es la fuerza debida a la inercia de

la masa en el extremo, donde 𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= −𝛼2 ∗ 𝑇(𝑡) ∗ �̇�(𝑥). Debido a que 𝑇(𝑡) se

encuentra en las tres partes de la ecuación esto permite simplificarlo de la misma. Lo

anterior es equivalente para el análisis de la sección derecha de la tubería, lo cual permite

la simplificación del problema debido a que no se deben calcular las constantes de la parte

temporal.

Figura 11. Diagrama de cuerpo libre 𝑥 =𝐿

2 (Wittenberghe, y otros, 2012)

Para 𝑥 =𝐿

2, ver Figura 11.

(10) 𝐸𝐼𝜕2𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥2 + 𝑚𝑟𝑠𝑟𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 + (𝐽𝑟 + 𝑚𝑟𝑠𝑟2 )

𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= 0 (Rao, 2007)

(11) − 𝐸𝐼𝜕3𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥3+ 𝑚𝑟

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2+ 𝑚𝑟𝑠𝑟

𝜕3𝑢

𝜕𝑥𝜕2𝑡= 0 (Rao, 2007)

Donde las ecuaciones (8,9,10,11) son las que describen el modelo diferencial dinámico

del sistema. Se planteó un sistema lineal y se procedió a resolverlo numéricamente, ya

que este problema no tiene solución analítica.

Una vez se tienen las condiciones de frontera, se reemplaza la solución propuesta del

desplazamiento, ecuación (5). Después de ese reemplazo se simplifica algebraicamente

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de tal forma que se factorizan los coeficientes que acompañan a las constantes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3,

𝐶4 de la parte espacial. Esto produce un sistema el sistema lineal ecuación (12).

(12) 𝑨(𝛼) ∗ 𝐶 = [

0000

]

𝑨(𝛼) =

[ 𝐴1,1(𝛼) 𝐴1,2(𝛼) 𝐴1,3(𝛼) 𝐴1,4(𝛼)

𝐴2,1(𝛼) 𝐴2,2(𝛼) 𝐴2,3(𝛼) 𝐴2,4(𝛼)

𝐴3,1(𝛼)

𝐴4,1(𝛼)

𝐴3,2(𝛼)

𝐴4,2(𝛼)

𝐴3,3(𝛼)

𝐴4,3(𝛼)

𝐴3,4(𝛼)

𝐴4,4(𝛼)]

𝐶 = [

𝐶1

𝐶2

𝐶3

𝐶4

]

Donde 𝑨𝒊,𝒋 son los coeficientes de las constantes 𝐶1, 𝐶2, 𝐶3 𝑦 𝐶4. El paso siguiente es

determinar los valores 𝛼 que definen la matriz A. Esto se logra teniendo en cuenta que un

sistema lineal homogéneo tiene solución no trivial si y solo si det (𝑨(𝛼)) = 0. Este

determinante produce una ecuación con potencias altas de 𝛼 y con combinaciones de

funciones hiperbólicas. Debido a esta complejidad no tiene solución analítica por lo cual

se determino que se debe resolver numéricamente. La solución numérica de la ecuación

se dificulta debido a que esta muy mal condicionada numéricamente. Esto se puede ver

en el siguiente ejemplo. Una variación en el valor 10−6 de 𝛼, produce una variación del

ordenen de 1023en el valor del determinante como se muestra en la Figura 12.

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Figura 12. Problema mal condicionado simulación.

Por lo tanto, es necesario resolver el problema matemático del cálculo de 𝛼 utilizando

aritmética de precisión arbitraria. Para realizar el cálculo se utilizó la funcionalidad que

ofrece Matlab. Por ensayo y error se llegó a la conclusión de que se debían realizar los

cálculos utilizando 320 dígitos decimales de precisión. Ya que se deben calcular las raíces

de una función, se utiliza uno de los algoritmos más eficientes para ese propósito: el

algoritmo de la bisección (Friedberg, 1982). Este algoritmo se aplicó utilizando aritmética

de precisión arbitraria. El macro algoritmo utilizado fue el siguiente:

𝑖 = 1;

𝑊ℎ𝑖𝑙𝑒 rango( 𝑨(𝛼𝑖)) > 3 𝑑𝑜

𝛼𝑖 + 1 = 𝑏𝑖𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛(𝛼𝑖);

𝑖 = 𝑖 + 1;

𝑒𝑛𝑑

La razón de lo anterior es que la función de Matlab utilizada para el cálculo del

determinante de una matriz falla por el mal condicionamiento de la misma. Por lo cual,

es necesario utilizar otro método para asegurar que 𝑨 sea una matriz singular. El método

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escogido fue utilizar el rango de A, imponiendo como condición que el rango sea menor

que 4. Como resultado de lo anterior, al terminar el 𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒 hay certeza de que el α

calculado produce una matriz con determinante nulo.

Figura 13. Simulación en Matlab del código, calculando la frecuencia natural.

Una vez calculado α, es posible calcular C (ecuación 12). Esto involucra calcular el

espacio nulo de la matriz 𝑨. Lo anterior genera otro inconveniente, el cual consiste en que

la función de Matlab para calcular el espacio nulo de una matriz falla reportando que el

espacio nulo no existe. Esto se debe a que la función de Matlab falla debido al mal

condicionamiento de la matriz 𝑨. Por lo tanto, se debe utilizar otro método indirecto para

calcular el espacio nulo. Esto se realizó usando la descomposición de A en valores

singulares (Friedberg, 1982). La descomposición de A en valores singular es

(𝟏𝟑) 𝑨(𝛼) = 𝑆Σ𝑉𝑇

donde Σ es una matriz diagonal con los valores singulares de 𝑨. El espacio nulo de 𝑨 son

las columnas de 𝑉𝑇correspondientes a los valores singulares nulos de Σ. Como se sabe

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que 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑨(𝛼)) = 𝟑 por lo tanto la dimensión del espacio nulo es uno y solo hay un

valor singular nulo relacionado a una columna de 𝑉𝑇.

De esta manera se han conseguido calcular las frecuencias naturales y los modos de

vibración del sistema propuesto. Hay un numero discreto e infinito de ellos. Sin embargo,

desde el punto de vista práctico son importantes solo los dos o tres primeros modos.

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a. Ejemplo de aplicación del método

Para validar el método descrito antes, se procedió a calcular las frecuencias naturales y

modos del sistema propuesto en (Berniti, 2007). Los parámetros de este sistema son:

𝐷𝑖 = 107 𝑚𝑚;𝐷𝑜 = 147 𝑚𝑚;

L=3.7 m

𝐴 = (𝐷𝑜2 − 𝐷𝑖

2) ∗4

𝜋

𝑉 = 𝐴 ∗ 𝐿

𝜌 = 2,7 𝑔/𝑐𝑚3

𝑚 = 54.6 𝑘𝑔;

𝐽 =𝜋

64(𝐷𝑜

4 − 𝐷𝑖4)

𝐸 = 73 𝐺𝑃𝑎

𝑚𝑖 = 𝑚𝑑 = 30 𝑘𝑔 (𝑚𝑎𝑠𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠)

𝑓𝑛 =𝜔𝑛

2𝜋

Los resultados obtenidos son los presentados en la Figura 14. Al realizar la comparación

con los datos obtenidos (Berniti, 2007). Se observó un error del 2.8% con respecto a los

datos experimentales obtenidos.

21

Figura 14. Simulación Realizada.

Figura 15. Simulación Berniti. (Berniti, 2007)

Enseguida, se calcularon los modos naturales del sistema. Ya que para cada frecuencia

natural 𝛼𝑖 hay un modo natural de vibración 𝑊𝑖(𝑥). Sabiendo que cada modo es una

solución del sistema 𝑨(𝜔𝑖) ∗ 𝐶 = 0 . Los puntos en los cuales el modo cruza coordenada

vertical en cero son los puntos donde no hay desplazamiento en la tubería y por lo tanto

son los puntos donde se ubican los apoyos del tubo analizado

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Figura 16. Primeros nodos de vibración para masas de 30 kg en los extremos.

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4. Conclusiones

1) Se construyo un método de solución para el modelo de prueba de fatiga

por medio de viga resonante.

2) Se verifico que los resultados de ese método coinciden con resultados

reportados en la literatura.

3) El paso natural para seguir después de este resultado es analizar el sistema

forzado.

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5. Bibliografía

Angélica, M. (01 de 08 de 2019). scribd. Obtenido de scribd:

https://es.scribd.com/document/312029624/Que-Son-Yacimientos-Petroleros

Anónimo. (01 de 08 de 2019). sfmmc. Obtenido de

http://www.sfmmc.cn/Photo/ShowInfo.asp?ID=47

Berniti, L. (2007). Resonant test rigs for fatigue full scale testing of oil drill string

connections. Pisa: Science Direct.

Chen, Y. (10 de 1 de 2018). Experimental study of friction coefficient of rocks in high

pressure and tight gas reservoirs in Sichuan. China.

ditchwitch. (02 de 08 de 2019). ditchwitch. Obtenido de ditchwitch:

https://www.ditchwitch.com/parts-service/digging-systems/drill-pipe

Galpenergia. (01 de 08 de 2019). Galpenergia. Obtenido de Galpenergia:

http://www.galpenergia.com/ES/agalpenergia/Os-nossos-negocios/Exploracao-

Producao/fundamentos-engenharia-petroleo/Paginas/Perforacion.aspx

Perfoblogger. (01 de 08 de 2019). Perfoblogger. Obtenido de Perfoblogger:

https://perfoblogger.wordpress.com/2019/02/18/avances-en-la-perforacion-

direccional/

Rao, S. S. (2007). Vibration of Continuous Systems. Florida: University of Miami.

Wittenberghe, J. V. (2012). Experimental Analysis and Modelling of the Fatigue

Behaviour of Threaded Pipe Connections. Zwijnaarde: Ghent University.

Wittenberghe, J. V., Baets, P. D., Waele, W. D., Ost, W., Verstraete, M., & Hertele, S.

(2012). Resonant Bending Fatigue Test Setup for Pipes With Optical

Displacement Measuring System. ASME, 1-6.

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7. Apéndice

Código de Matlab.

Matriz A:

syms w m1 s1 J1 Jr A ro E I C1 C2 C3 C4 l mr ml sr

ecuacion1 =w^2*(m1*s1^2 +

J1)*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +

C1*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +

C4*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) -

C2*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2)) +

E*I*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +



C2*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2)) -

m1*s1*w^2*(C4*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C2*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) -

C3*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) -

C1*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2));

ecuacion2 =C4*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) -

m1*w^2*(C4*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C2*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) -

C3*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) -

C1*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)) +




C2*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2)) +

m1*s1*w^2*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +



C2*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2));

ecuacion3

=E*I*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +

C1*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) -

C4*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +


w^2*(mr*sr^2 +

Jr)*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +




mr*sr*w^2*(C4*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C2*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C3*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C1*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2));

ecuacion4 =- mr*w^2*(C4*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C2*cosh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C3*sin((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2) +

C1*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)) -



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mr*sr*w^2*(C3*cos((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2) +



C2*sinh((l*((A*ro)/(E*I))^(1/2))/2)*((A*ro)/(E*I))^(1/2));

A=[ w^2*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(ml*sl^2 + Jl) +

ml*sl*w^2*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2) - E*I*c*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2),

E*I*c*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

w^2*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(ml*sl^2 + Jl) -

ml*sl*w^2*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2),

w^2*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(ml*sl^2 + Jl) +

ml*sl*w^2*sin((L*(c*w)^(1/2))/2) + E*I*c*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2),

w^2*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(ml*sl^2 + Jl) -

ml*sl*w^2*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

E*I*c*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)] [ w*(ml*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2) +

E*I*c*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

ml*sl*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)), -

w*(ml*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) +

ml*sl*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

E*I*c*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)),

w*(ml*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2) -

E*I*c*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

ml*sl*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)), -

w*(ml*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

ml*sl*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

E*I*c*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2))] [ E*I*c*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2) -

mr*sr*w^2*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2) -

w^2*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(mr*sr^2 + Jr),

E*I*c*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

w^2*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(mr*sr^2 + Jr) -

mr*sr*w^2*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2), -

w^2*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(mr*sr^2 + Jr) -

mr*sr*w^2*sin((L*(c*w)^(1/2))/2) - E*I*c*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2),

w^2*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)*(mr*sr^2 + Jr) -

mr*sr*w^2*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

E*I*c*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)] [ -w*(mr*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2) +

E*I*c*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

mr*sr*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)), -

w*(mr*w*cosh((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) +

mr*sr*w*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

E*I*c*sinh((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)), -

w*(mr*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2) -

E*I*c*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

mr*sr*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2)), -

w*(mr*w*cos((L*c^(1/2)*w^(1/2))/2) -

mr*sr*w*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2) +

E*I*c*sin((L*(c*w)^(1/2))/2)*(c*w)^(1/2))]

27

n = 600 ; doble_u = linspace(1, 600, n); fs = zeros(0); k = 1; for i=1:n w = k*doble_u(i); fs(i) = fdet(w); if (i > 1) if fs(i)*fs(i-1) < 0 disp('Zero'); disp(fs(i)) disp(fs(i-1)) disp(i) end end end

function f = fdet(x)

w = sym(x); A_w=vpa([…]);

f = vpa(det(A_w));

end

x = linspace(-L/2, L/2, 100);

anum = double(eval(a)); Us1 = zeros(100,1); Us2 = zeros(100,1);

for i = 1:100, i Us1(i) = [sinh(anum*x(i)), cosh(anum*x(i)), sin(anum*x(i)),

cos(anum*x(i))]*Cs; %Us2(i) = [cosh(anum*x(i)), sinh(anum*x(i)), cos(anum*x(i)),

sin(anum*x(i))]*Cs; end

plot(x,Us1) grid on

function p = bisection(f,a,b) if f(a)*f(b)>0 disp('Wrong choice bro') else

p = vpa((sym(a) + sym(b))/2); err = vpa(sym(abs(f(p)))); disp(err); while (rankA(p) == 4) if f(a)*f(p)<0 b = p; disp('+') else a = p;

28

disp('-') end p = vpa(((sym(a) + sym(b))/2),300); disp(p); err = vpa(sym(abs(f(p))));

disp(err); end end

function r = rankA(x)

w = sym(x); A_w=vpa([…]);

r = rank(A_w);

end

z = zeros(0);

for i=1:n-1, if fs(i)*fs(i+1) < 0 i z = [z, (doble_u(i)/(2*pi))];

end end

hold on ; plot(z, zeros(size(z)), 'b*') ;

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Modelo matemático para predecir el comportamiento de una