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Modelo para la Selección y Programación de Proyectos Interdependientes
Trabajo de Tesis
presentado al Departamento de Ingeniería Industrial
por
Andrea Zuluaga Uribe
Asesor: Andrés L. Medaglia G.
Para optar al t ítulo de Ingeniero Industrial
Ingeniería Industrial Universidad de los Andes
Enero 2007
AGRADEC IMIENTO S
Agradezco a mi asesor Andrés Medaglia por sus valiosos consejos y su
confianza en mí, al permitirme trabajar en el tema de selección de proyectos . A Jorge Sefair por su ayuda durante todo el proceso y por facilitarme informac ión
necesaria para desarrollar exitosamente este trabajo. A Óscar Bravo muchas
grac ias por el interés y atención prestada a és te proyecto de grado. A Juan
Felipe Duque, Gabr iel Fernández y Juan Fernando Pérez les agradezco su
apoyo en momentos importantes durante el desarrollo de la investigac ión. A
Liliana Uribe por su compañía y pacienc ia y a Jav ier Zuluaga por apoyarme y
motivarme. Agradezco a Xpress-MP de Dash Optimization que concede la licencia de su optimizador a la Universidad de Los Andes, lo cual permitió
obtener los resultados.
1. INTRODUCCIÓN ________________________________________________1 2. DEFINICIÓN DEL MODELO BASE _________________________________5 3. ANTECEDENTES _______________________________________________11
3.1. Tipos de interdependencia _____________________________________11 3.2. Antecedentes y bases para la formulación propuesta _________________12 3.3. Interdependencias relevantes y sus posibles efectos _________________19
4. MODIFICACIONES POR INTERDEPENDENCIA AL M ODELO BASE___22 5. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE COSTO Y BENEFICIO_______________29 6. EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES ___________________________33
6.1. Información General__________________________________________33 6.2. Datos de Interdependencia _____________________________________35 6.3. Resultados__________________________________________________38
7. CONCLUSIONES _______________________________________________47 BIBLIOGRAFÍA ____________________________________________________49
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1. INTRODUCCIÓN El proceso de planeación de las empresas implica la toma de decis iones con
respecto al portafolio de proyectos a realizar y las fechas en que deben llevarse
a cabo los proyectos seleccionados. Es tas dec isiones implican la asignac ión
óptima de recursos escasos, max imizando cierta función de utilidad de la
empresa. El proceso de selecc ión es complejo por var ias razones: la cantidad
de proyectos de invers ión; los múltiples objetivos de las empresas como
maximización de ganancias, minimización de r iesgo y aumento de la
partic ipación en el mercado; las restricc iones del s istema como límites de
presupuesto y ventanas de tiempo permitidas para realizar los proyectos; la
determinac ión del mo mento óptimo para llevar a cabo cada proyecto y las
interdependencias que pueden aparecer entre un conjunto de proyectos. La
toma de decis iones se dificulta ante la presencia de interdependencias entre
proyectos, debido a que las caracter ísticas o propiedades de éstos cambian
según el conjunto seleccionado. Se pueden identificar tres tipos de
interdependencias de proyectos las cuales se reconocen en la literatura como
interdependencia técnica, de recursos y de beneficios [Aaker & Tyebjee (1978),
Fox et al. (1984)], las cuales se explicarán en detalle en la sección 3. El hecho
de existir diferentes tipos de interdependencia, añade dificultad al proceso de
selección debido a que cada una debe ser modelada de una forma particular.
El presente documento tiene como objetivo modelar las interdependenc ias de
los proyectos en un modelo lineal entero mixto, que selecciona y programa
proyectos en el tiempo, max imizando el valor presente neto (VPN).
La complejidad del proceso de selecc ión de un por tafolio de proyectos óptimo,
ha s ido tema de estudio de una serie de investigadores que han desarrollado
métodos y modelos matemáticos para atacar el problema. Estos métodos
proveen herramientas para lograr que el proceso de selección sea objetivo y
manejable, teniendo en cuenta los criterios y res tricc iones de las empresas.
Lorie & Savage (1955) fueron los primeros investigadores en tratar el tema de
selección de proyectos. Utilizaron una metodología que se puede identificar
como ranking. Esta metodología consiste básicamente en organizar los
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proyectos candidatos en forma decrec iente de acuerdo a su retorno por unidad
invertida. Después se seleccionan los proyectos en orden hasta agotar el
presupuesto disponible. A partir de es te primer trabajo se han desarrollado una
serie de métodos para la selección de proyectos, algunos de éstos son:
Puntuac ión (Scor ing) [Rengarajan & Jagannathan (1997)], AHP (Analytical Hierarchy Process) [Lockett et al. (1986) , Murahaldir et al. (1990)],
Programación por metas [Lee & Kim (2000)]. En la aplicación de estos métodos
se supone la no ex istenc ia de interdependenc ias entre proyectos [Santhanam &
Kypar is is (1996)].
Otro conjunto de métodos de selección de proyectos suponen la ex istencia de
interdependencias como se señala en Lee & Kim (2000). Estos son: Programación Dinámica [Carraw ay & Schmidt (1991), Nemhauser & Ullman
(1969)], que en casos especiales puede suponer interdependencia;
Programación Cuadrática/Lineal 0-1, que lleva este nombre por la forma
cuadrática de la func ión objetivo y la linealidad de las res tricciones,
presentando interdependencia entre máx imo 2 proyectos y tan solo en la
función objetivo; Programac ión Cuadrática/Cuadrática 0-1, con
interdependencia como máximo entre dos proyectos en la func ión objetivo y en
las restricc iones de recursos, resultando en que ambos componentes sean
cuadráticos ; y Programac ión No-lineal 0-1, con interdependencia en la func ión
objetivo y en las res tricciones entre tantos proyectos como sea necesar io
[Santhanam & Kypar is is (1996)]. En Santhanam & Kyparis is (1996) se
encuentra la referenc ia de investigac iones realizadas bajo cada uno de los
métodos menc ionados que tienen en cuenta interdependencia. Stummer & Heidenberger (1999) , hacen una reseña de modelos cuantitativos con y sin
interdependencia que han sido utilizados para la as ignación de recursos y
selección de proyectos de Investigac ión y Desarrollo (R&D). A diferencia de
todas las aproximac iones observadas, el modelo lineal entero mixto que se
presenta en este trabajo, selecciona y además programa los proyectos en el
tiempo teniendo en cuenta interdependencias entre 2 proyectos , tanto en la
función objetivo como en las res tricc iones.
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3
Como se puede observar, existe una buena cantidad de literatura que se ha
ocupado de modelar interdependenc ias entre proyectos, lo cual señala la
preocupación de los inves tigadores por tener en cuenta esta caracter ística para
acercarse más a la realidad. La importancia de las interdependencias en la
selección de proyectos se hace evidente especialmente cuando se trata de proyectos de Sistemas de Información ( IS) [Dos Santos (1989), Lee & Kim
(2000), Santhanam & Kyparis is (1996)] y de R&D [Aaker & Tyebjee (1978) , Fox
at al. (1984), Weingartner (1966)]. Karimi (1990), señala la importancia y
magnitud de la reutilizac ión de softw are y en Apte et al. (1990) se encuentra
una experiencia en el diseño e implementación de una estrategia de
informac ión de s istemas para un banco, basado en la explotac ión de las
interdependencias que exis ten en el rec ic laje de softw are. Un ejemplo de aplicación se encuentra en Dickinson et al. (2001) con el desarrollo de un
modelo entero no-lineal para la optimizac ión de un por tafolio de tecnología para
Boeing Company, donde se utiliza una matr iz de dependenc ia que cuantifica
los niveles de interdependencia entre parejas de proyectos.
La ex istenc ia de interdependenc ias puede tener efectos s ignificativos sobre el
valor presente de un por tafolio has ta el punto de cambiar los proyectos
elegidos y los niveles de recursos asignados [Fox et al. (1984)]. Santhanam &
Kypar is is (1996) señalan los efectos que pueden tener las interdependenc ias
sobre el portafolio óptimo, además de ilustrar con un ejemplo la complejidad de
la selecc ión al introducir interdependencias, mostrando cómo una heur ís tica de
ranking es inútil en estos casos para llegar a la solución óptima.
Pocas investigaciones manejan interdependenc ias de proyectos y a la vez
tienen en cuenta la programac ión o secuenciac ión de proyectos en el tiempo.
Stummer & Heidenberger (2003) presentan un perfil de tiempo al tener en
cuenta que los proyectos se desarrollan durante varios per iodos, pero asumen
que todos se inic ian en el primer periodo. Dickinson et al. (2001) , logra una
secuenciac ión de proyectos que refleja los efectos de interdependencias de
beneficio en un modelo no- lineal, dejando por fuera interdependenc ia técnica y
de recursos. Además suponen el mismo beneficio adic ional por
interdependencia sin importar los periodos en los cuales inicien los proyectos,
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lo que puede ser restrictivo para reflejar la realidad. Por ejemplo, si una pareja
de proyectos interdependientes inic ian al tiempo o con 10 años de diferencia, el
beneficio por interdependencia sería el mismo, lo cual es poco realista.
Ghazemzadeh et al. (1999) refleja en su modelo lineal 0-1 de selección y
programación de proyectos, la interdependencia técnica, lo cual es de gran utilidad para el objetivo de este trabajo, pero no llena el vacío de la
interdependencia de benefic io y de recursos. Se puede concluir que no se
encuentran modelos de selecc ión y programac ión de proyectos que reflejen
todos los tipos de interdependencias , aunque en la literatura sea evidente la
importancia de és tas. En la secc ión 3, se explicará con más detalle los tipos de
interdependencia que pueden identificarse y las ventajas y defic ienc ias de los
modelos que las tienen en cuenta.
El presente trabajo consta de 7 secc iones. En la secc ión 2 se describe el
modelo lineal entero-mixto propuesto por Sefair & Medaglia (2005), sobre el
cual se va a trabajar para que refleje las cualidades de interdependencia de los
proyectos. La sección 3 está compuesta por tres sub-secc iones. En la primera
se definen los tipos de interdependencia que se encuentran en la literatura; a
continuación se realiza una rev isión bibliográfica detallada para identificar en la
literatura de selección de proyectos, enfoques que permitan acercarse al
objetivo de este estudio. La tercera subsección identifica los tipos de
interdependencias a trabajar en este estudio, recalcando la importancia de
tener los en cuenta. En la sección 4 se desarrolla la formulac ión del modelo de
selección y programación de proyectos interdependientes. Ejemplos de los
tipos de interdependenc ias que se podr ían modelar con la formulación de la sección 4 se encuentran en la sección 5. La sección 6 presenta exper imentos
computacionales aplicando el modelo formulado a un conjunto de datos
fictic ios. Se realizan análisis de sensibilidad para determinar las variaciones del
modelo frente a diferentes situaciones. Las conclus iones del presente estudio
se encuentran en la secc ión 7.
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2. DEFINICIÓN DEL MODELO BASE Sefair y Medaglia (2005) proponen un modelo de programac ión entero-mixto que ayuda a elegir un conjunto de proyectos en los cuales se debe invertir y el
momento en el tiempo en el cual se debe hacer la invers ión. La función de
utilidad que se maximiza está compuesta por la suma del VPN de los proyectos
y la minimización del riesgo del portafolio elegido. Además el modelo satisface
simultáneamente un conjunto de relac iones de precedencia entre proyectos,
fechas tempranas y tardías de inicio de proyectos, límites de presupuesto y
generac ión endógena de flujos de caja. A continuac ión se encuentra una
descr ipción del modelo, además de algunas definiciones que serán utilizadas a
través del presente trabajo. La descripc ión no inc luye los términos relac ionados
con el objetivo de minimizar el r iesgo debido a que éstos no serán
cons iderados dentro de la formulación y evaluac ión de los efectos de la
interdependencia de proyectos.
Se define un conjunto P de proyectos candidatos; el número mínimo y máx imo
de proyectos a incluir en el portafolio son lN y uN respectivamente; y un
conjunto de relaciones de precedencia A. Esto quiere dec ir que si el proyecto
i P∈ precede al proyecto j P∈ entonces ( , )i j A∈ , cuyas brechas de
precedencia son representadas por 1ijg Z+∈ . Si 0ijg = , el último per iodo de
invers ión del proyecto i P∈ , debe haber terminado antes que el ciclo de
invers ión del proyecto j P∈ inic ie; si 0ijg < se permite un tras lape de hasta ijg
periodos de invers ión; y, si 0ijg > el último periodo de invers ión del proyecto i
debe es tar por lo menos ijg per iodos antes que el primer per iodo del proyecto
j .
La v ida de un proyecto i P∈ se encuentra definida por el parámetro iv y su
vida de inversión o durac ión de los per iodos de inversión, se encuentra definida
por el parámetro iu . T representa el hor izonte de planeación para la decis ión
de invers ión, por tanto no se realiza ninguna invers ión después del per iodo T .
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El tiempo más temprano y más tardío para la realización del proyecto i son it −
y it+ respectivamente, lo cual s ignifica que el proyecto i no puede iniciarse
antes del periodo it− ni después del periodo it
+ y por tanto i it t− +≤ . El parámetro
ikc es el costo de inversión del proyecto i P∈ en el periodo k tal que
{0,1,..., 1}ik u∈ − ; el beneficio i tb es el flujo de caja pos itivo esperado en el
periodo t si se selecciona el proyecto i ; y itVPN es el valor presente neto del
proyecto i P∈ dado que inicia en el periodo t . El presupuesto disponible para
el año t tal que {0, 1, ..., }t T∈ es otr .
Las var iables de decis ión son ity , iktx , tr ; donde ity es binaria y toma el valor de
1 si el proyecto i P∈ inicia en el per iodo t tal que - , ..., min{ , - 1}i i it t t T u+= + y 0
de lo contrario; iktx toma el valor de 1 s i el periodo k del proyecto i P∈ es
asignado al periodo t tal que - , ..., min{ 1, } y {0, 1, ..., 1}i i i it t t v T k v+= + − ∈ − ,
de lo contrario vale 0; y, tr , la cantidad de recursos de invers ión no usados al
final del per iodo t y que son llevados como presupuesto al per iodo 1t + .
La función objetivo busca maximizar el VPN total. Éste depende de la suma del
VPN de los proyectos elegidos de acuerdo al año de inicio de cada uno de
ellos. Como la variable ity indica si el proyecto i inicia en el periodo t, la
función objetivo se observa en (1).
-
min{ , - 1}
max i i
i
t T u
it iti P t t
VPN y+ +
∈ =∑ ∑ (1)
Cada proyecto puede ser seleccionado para inic iarse en tan solo un periodo o
puede no ser seleccionado, lo cual se logra con el conjunto de restricciones (2).
Se deben seleccionar entre lN y uN proyectos, lo cual se logra con el conjunto
de restricciones (3).
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7
-
min{ , 1}
1i i
ii
t T u
itt t
y+ − +
=
≤∑ (2)
-
min{ , 1}
i i
ii
t T u
l it ui P t t
N y N+ − +
∈ =
≤ ≤∑ ∑ (3)
La variable iktx permite identificar en qué año t se encuentra as ignado el
periodo k del proyecto i P∈ , si éste ha sido selecc ionado. Se observa que
esta var iable de decis ión dependerá del año en el cual se da inicio al proyecto,
teniendo en cuenta que una vez un proyecto inicia, continúa s in interrupc ión
hasta el final de su implementación como se observa en (4). En el ejemplo 4.1
se observa el uso de las var iables ity y iktx .
-
( )= ; 0, ..., 1; ,..., min{ , - 1}it ik t k i i i iy x i P k v t t t T u++ ∈ = − = + (4)
Se observa que es ta restricción se debe cumplir para 0, ..., 1ik v= − , lo cual
implica que todos los periodos de un proyecto que es seleccionado, deben
quedar asignados dentro del horizonte de planeación de invers ión. Para este
trabajo se considera que únicamente los per iodos de invers ión de cada
proyecto seleccionado tienen que quedar as ignados dentro del hor izonte de
planeac ión. Es to se logra cambiando los valores de k para los cuales se debe
cumplir la restr icc ión (4). La res tricc ión a utilizar en es te trabajo se observa en
(5).
-
( )= ; 0, ..., min{ 1, }; ,..., min{ , - 1}it ik t k i i i iy x i P k v T t t t t T u++ ∈ = − − = + (5)
En (5) se encuentra que la restr icción tan solo se debe cumplir para
i0, ..., min{v 1, T-t}k = − , de forma que se puedan dar beneficios positivos
por fuera del horizonte de planeac ión de inversión. Estos benefic ios no pueden
ser utilizados para financ iar otros proyectos debido a que se generan después
del último periodo en el que se pueden realizar inversiones. Por otro lado s i un
proyecto i al inic iar en un per iodo t , tiene benefic ios que se dan más allá del
fin del hor izonte de planeac ión, el parámetro itVPN sí debe reflejar el valor
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presente de estos benefic ios. En el ejemplo 4.1 se ilustra el uso de las
variables ity y iktx .
Ejemplo 2.1
Supongamos que el proyecto 1 tiene una vida de 4 periodos de los cuales uno
es periodo de inversión. Si el horizonte de planeac ión es de 6 años, la Figura
2.1 presenta las pos ibles as ignaciones del proyecto 1 de forma que los
periodos de invers ión se encuentren dentro del horizonte de planeac ión.
Figura 2.1
0 1 2 3 4 5 6 7 8
k=0 k=1 k=2 k=3
Periodos de Inversión Peridos de Beneficios
En azul se observan los periodos durante los cuales se desarrolla el proyecto 1 si se eligepara iniciar en el periodo 2.
Posib
les
asig
nacio
nes
de
los
perio
dos
del p
roye
cto
1
Horizonte de Planeación
1 2 1y =
1 0 2 1x =
1 1 3 1x =
1 2 4 1x =
1 3 5 1x =
Si se selecciona el proyecto para iniciar en el periodo 2, El per iodo 0 del
proyecto 1 debe as ignarse al año 2, el per iodo 1 al año 3, el per iodo 2 al año 4
y el per iodo 3 al año 5. La Figura 2.1 muestra las variables que deben tomar el
valor de uno si el proyecto descrito inicia en el per iodo 2.
Las relaciones de precedenc ia implican que un proyecto i debe preceder a un
proyecto j. El parámetro ijg indica cuántos periodos deben pasar como mínimo
entre la última invers ión del proyecto i y la primera del proyecto j. Si ijg toma
valores negativos se permite que se sobrepongan los periodos de inversión de i
y j por | ijg | años. Esto se modela con (6).
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,
-
--
' , '
( , ) ; - - 0; ,...,i i j
i
t u g
jt it i i j i it t
y y i j A t u g t t t−
+
=
≤ ∈ ≥ =∑ (6)
Si , - - < 0i i jt u g , la precedenc ia se debe prohibir.
Se debe resaltar que al modelar precedencias, como se es tá condic ionando la
fecha de realización de un proyecto sobre la de otro, se está teniendo en
cuenta en el sistema la exis tencia de interdependencias. Es te tipo de
interdependencia se puede reconocer como interdependenc ia técnica de
proyectos contingentes [Ghasemzadeh et al. (1999)], categor ía que se
descr ibirá en la secc ión 3. Se puede observar que la interdependencia que se
refleja en las relaciones de precedencia no impacta la func ión objetivo en forma
directa, sino que lo hace al restr ingir la elecc ión de algunos años para la
realizac ión de los proyectos.
El presupuesto exógeno para cada año se define antes de saber qué proyectos
serán seleccionados lo cual se refleja en el parámetro otr que alimenta al
modelo. El presupuesto endógeno de un año t está compuesto por el
presupuesto que sobra del per iodo anter ior más los ingresos generados por
proyectos prev iamente realizados; de usarse esta parte del presupuesto, se
está permitiendo que los proyectos se financien con los recursos generados por
otros proyectos ya realizados. En un año dado, no se puede invertir más de lo que se tiene disponible en presupuesto endógeno y exógeno, lo cual se modela
en (7) .
1 10
1 0
- 0, ......, i i
i
u v
t t t i k ikt i t ikti I k i I t u
r r r c x b x t T− −
+∈ = ∈ =
= + + =∑∑ ∑∑ (7)
Se debe observar que los beneficios están indexados según el año. Esto se
debe a que los beneficios esperados son variables aleatorias con diferentes
distribuciones para cada año, según el comportamiento de las variables
macroeconómicas correspondientes según Sefair y Medaglia (2005). De esta
forma, para cada año se tiene un valor esperado diferente. Los costos de
invers ión, por otro lado, solo dependen del per iodo de invers ión del proyecto;
se asume que hay certeza en el monto de los costos y que no cambian con la
fecha de inic io del proyecto.
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3. ANTECEDENTES
3.1. Tipos de interdependencia
Se puede identificar la existenc ia de interdependenc ia cuando la realizac ión de
un proyecto afecta las carac ter ísticas de otros proyectos . Las caracter ísticas
que pueden cambiar o verse afectadas según como se selecc ionen los proyectos, llevan a la definición de diferentes tipos de interdependencia. En la
literatura de Sistemas de Información los tipos de interdependencias han sido
catalogados como interdependencias de recursos, de benefic ios y técnicas
según Santhanam & Kyparis is (1996). En Fox et al. (1984) se encuentra que en
literatura relac ionada con selección de proyectos de R&D hay consenso sobre
tres categor ías de interdependencia que corresponden a las definidas en IS: 1)
Costo o utilizac ión de recursos 2) Benefic io, rentabilidad o efecto 3) Resultado, probabilidad o técnica.
Las interdependencias de recursos se observan cuando la cantidad de
recursos requer idos para llevar a cabo un conjunto de proyectos por separado
es mayor a la cantidad requer ida cuando se selecc ionan todos los proyectos
del conjunto. Este tipo de interdependenc ia se encuentra registrado en la
literatura, espec ialmente para modelos de selección de proyectos de Sistemas
de Informac ión ( IS) . Los proyectos de IS presentan interdependencia de
recursos frecuentemente debido al gran volumen de hardw are y softw are que
se pueden compartir entre diferentes aplicaciones [Santhanam & Kypar isis
(1996)]. Un ejemplo en R&D se encuentra cuando un conjunto de proyectos
requieren la compra de un equipo de laboratorio y el equipo se puede compartir
entre ellos. Si se suman los costos de cada proyecto donde cada uno inc luye el costo del equipo se es tar ía sobreestimando el costo total. Se encuentra de
esta forma que la suma de los costos asociados a la realización de un conjunto
de proyectos es menor a la suma de los costos de proyectos indiv iduales.
La interdependencia de benefic ios resulta de un aumento o disminución en el
beneficio con respecto a la suma individual de los benefic ios, como resultado
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de la implementación de un conjunto de proyectos interrelac ionados. Los
proyectos que caen dentro de esta categor ía se reconocen como
complementar ios y competitivos [Aaker y Tyebjee(1978), Fox et al. (1984)].
Supongamos un par de proyectos que cons isten en lanzar al mercado dos
productos distintos . Podemos hablar de proyectos complementar ios cuando por ejemplo al lanzar los dos se puede llegar un grupo demográfico más grande y
por tanto generar ventas mayores a las sumas de las ventas de los
lanzamientos individuales. Ser ían proyectos competitivos s i los proyectos
atacaran un mismo grupo demográfico en necesidades s imilares, reduciendo
las ventas de cada producto [Fox et al. (1984) ]. Los proyectos complementar ios
son aquellos que generan sinergia entre ellos y los competitivos son aquellos
entre los cuales se da una canibalización de los benefic ios los proyectos.
Cuando la probabilidad de éx ito de un proyecto depende del éxito o fracaso de
un conjunto de proyectos se reconoce una interdependencia de resultado. Para
los proyectos mutuamente excluyentes y proyectos contingentes, no se utilizan
probabilidades de éxito o fracaso, sino que dependiendo del conjunto de
proyectos elegidos, se permite, o no, elegir un proyecto dado. Cuando hay
proyectos mutuamente excluyentes un proyecto puede selecc ionarse
únicamente si ningún proyecto de un conjunto de proyectos mutuamente
excluyentes es selecc ionado. Cuando hay proyectos contingentes, se
encuentra que un proyecto solamente puede ser elegido s i un conjunto de
proyectos son seleccionados, definición que se puede encontrar en Fox et. al
(1984). Este conjunto de interdependenc ias se denominan interdependenc ias
técnicas.
3.2. Antecedentes y bases para la formulación propuesta
En la literatura de selecc ión de proyectos , se puede encontrar el interés de los
investigadores por medir y modelar apropiadamente las interdependenc ias
entre los proyectos. Se encontraron una serie de inves tigaciones relevantes en
cuanto a es te tema; se mencionaran algunas de ellas y tres se van a estudiar
con mayor detalle: Santhanam & Kypar isi (1996) , Stummer & Heidenberger
(2003) y por último Ghasemzadeh et al.(1999). Estos artículos se discutirán con
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mayor profundidad debido a que pueden dar luces sobre la forma de modelar
interdependencia en el sis tema descrito en la sección 2.
La interdependencia de recursos y benefic ios ha sido modelada en grado 2 y 3
[Carraw ay y Schmidt (1991), Dickinson et al. (2001), Fox et al. (1984), Santhanam & Kypar is i (1996), Weingartner(1966) ], siendo grado 2 la
interdependencia entre dos proyectos y grado 3 en conjuntos de tres proyectos.
En la mayoría de estos trabajos, no se cons idera la programac ión de los
proyectos en el tiempo, caracter ística c lave del problema base.
El trabajo en Dickinson et al. (2001), para Boeing Company, es interesante
debido a que logra modelar interdependenc ias de benefic ios de grado 2 con secuenciac ión de proyectos cuando los proyectos son complementarios. Co mo
desventajas se encuentra que el modelo planteado es no- lineal, asume un
mismo beneficio por interdependencia aunque los proyectos selecc ionados se
encuentren distantes en su programación en el tiempo y no refleja
interdependencia competitiva.
Se encuentran en la literatura modelos que reflejan interdependenc ias de
beneficios [Santhanam & Kyparisis (1996), Stummer y Heidenberger (2003)] y
de recursos [Santhanam & Kypar isis (1996)], en mayores grados a 2 y 3.
Santhanam & Kyparis is (1996) , trabajan desde los tres tipos de
interdependencias: de recursos, beneficios y técnica. En su propuesta logran
conservar la linealidad del modelo sobre el cual trabajan y representar
exitosamente las interdependencias identificadas, aunque no se tiene en cuenta la programación de los proyectos en el tiempo.
Una descr ipc ión del modelo planteado por Santhanam & Kyparisis se
encuentra a continuación, enfocando la atención en la forma de modelar la
interdependencia de beneficios, empezando por unas definiciones adic ionales
que requiere el problema.
Recordando P se define como el conjunto de proyectos candidatos y {1,..., ,..., }P i n= . Sea dP el conjunto de proyectos que pertenecen a la
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interdependencia d , donde { ,..., ,..., }dP i s m= tal que i P∈ y 3 | | dP n< ≤ lo que indica que cada conjunto interdependiente está conformado por más de tres proyecto y menos que el número de proyectos candidatos. D es el conjunto de relac iones de interdependenc ia 1 2{ , , ... , , ..., }d ZP P P P . Algunos parámetros adicionales son: ib es el beneficio derivado de implementar el proyecto i P∈ únicamente; ijb es el beneficio adic ional der ivado de implementar los proyectos ,i j P∈ ; el benefic io adicional der ivado de implementar los proyectos , ,i j k P∈ sobre la implementac ión individual y combinaciones por parejas de , ,i j k es ijkb ; y,
dPb es el beneficio adic ional derivado de implementar los proyectos que conforman el conjunto dP . La variable de decisión iu toma el valor de 1 si el proyecto di P∈ es selecc ionado y 0 de los contrar io y
dPw toma el valor de 1 si el conjunto de proyectos dP es
seleccionado. La función objetivo busca maximizar beneficios der ivados de la implementac ión
de los proyectos y de las interdependencias entre ellos :
111
max ( , ..., , , ..., ) L
n
n I I i ii
f u u w w bu=
= ∑ (a)
-1 - 2 1
1 1 1 1 1
n n n n n
ij i j ijk i j ki j i i j i k j
b u u b u u u−
= = + = = + = −
+ +∑∑ ∑ ∑ ∑ (b)
d d
d
P PP D
b w∈
+ ∑ (c)
En (a) se reflejan los beneficios obtenidos de la implementac ión individual de
cada proyecto, en (b) el beneficio adicional por implementar 2 y 3 proyectos
interdependientes y en (c) el benefic io marginal por implementar un conjunto de
proyectos con cardinalidad mayor a 3.
Como la variable dPw debe reflejar si un subconjunto de proyectos ha s ido
seleccionado, la variable dPw se relac iona de forma no- lineal con la var iable iu
debido a que la multiplicación de todos los iu tal que di P∈ debe ser igual a
dPw . Las restricc iones (8) y (9) permiten linealizar esta relac ión.
| |
dd
d P s ds P
P w u P D∈
≤ ∈∑ (8)
- ( | | 1), d
d
P s d ds P
w u P P D∈
≥ − ∈∑ (9)
II.06(20)154
15
La restr icción (8) , logra que dPw tome el valor de “0”, a menos que todos los
proyectos que per tenecen al conjunto interdependiente hayan s ido
seleccionados. Con (9) se obliga a la variable dPw a tomar el valor de 1 si todos
los proyectos del conjunto correspondiente han s ido selecc ionados. Según esta
aprox imación, la cantidad de elementos interdependientes en el conjunto al
cual representa dPw , debe tener más de 3 elementos, debido a que los
beneficios resultantes de interacciones de menores grados menores se tienen
en cuenta en la función objetivo por medio de la multiplicac ión de los ix
(componentes (a) y (b) de la función objetivo) .
Es necesar io observar que hasta es te punto el modelo es no lineal, modelando las interdependencias de segundo y tercer orden con multiplicaciones de
variables. Santhanaman & Kyparis is (1996) en su ejemplo de aplicac ión del
modelo, linealizan los términos de grado 2 y 3, utilizando la aproximac ión de
Glover & Wolsey (1974), introduciendo nuevas var iables y restr icciones
apropiadas. Es to se logra reemplazando las multiplicaciones de variables
binarias, por una var iable que es igual a la multiplicac ión. En el ejemplo 3.2.1
se observan las nuevas var iables y restricc iones que se tendr ían que inc luir para linealizar el problema propuesto:
Ejemplo 3.2.1: Reemplazar los términos no-lineales, i ju u y i j ku u u , por los términos lineales iju y ijku tal que
ij i ju u u= ijk i j ku u u u= Por medio de las s iguientes res tricc iones:
1i j i ju u u+ − ≤ 2 uij i ju u≤ +
2i j k i jku u u u+ + − ≤ 3 ijk i j ku u u u≤ + + Si se permite que los proyectos interrelacionados de grado 2 y 3 conformen
conjuntos en dP D∈ , se pueden reflejar es tas interdependencias de igual forma
que las de mayor grado, resultando en las mismas restr icciones que se acaban
II.06(20)154
16
de describir. A continuación se muestran estas restr icc iones aplicando los
conjuntos y var iables utilizadas en la formulac ión inicial para interdependenc ias
de grados mayores a 3.
1
2
1 2
{proyecto 1, proyecto 2} {proyecto 1, proyecto 2, proyecto 3}
{ , }
PPD P P
==
=
1
2
1 si los proyectos 1 y 2 son seleccionados
0 dlc
1 si los proyectos 1, 2 y 3 son seleccionados
0 dlc
P
P
w
w
⎧= ⎨
⎩⎧
= ⎨⎩
1
1
1
1
2
2
2
2
1función objetivo
2
- 1,
3
- 2,
d d
d
N
i i P Pi P L
P ss P
P ss P
P ps P
P ps P
b u b w
w u
w u
w u
w u
= ∈
∈
∈
∈
∈
= +
≤
≥
≤
≥
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
En Santhanam y Kyparis is (1996) se logra representar ex itosamente la
interdependencia de beneficios entre cualquier número de proyectos en un
modelo lineal. La diferenc ia que se encuentra entre su formulación y la que se
quiere alcanzar es el efecto de la interdependencia en la programación de los
proyectos en el tiempo. Además se debe tener en cuenta que las
interdependencias de beneficio también se deben reflejar en la res tricc ión de
recursos del modelo base. Esto se debe a que se permite que los proyectos se
financ ien con los recursos generados por otros proyectos ya realizados y por
tanto el beneficio adic ional generado por interdependencia puede ser utilizado
para financiar otros proyectos. Para el fin propuesto se puede utilizar la
formulac ión de Santhanam y Kyparisis (1996) añadiendo carac ter ísticas que
tengan en cuenta la programación de los proyectos y reflejando la
interdependencia en la restricción de presupuesto.
II.06(20)154
17
Stummer & Heidenberger (2003), proponen un modelo entero lineal
multiobjetivo para la determinac ión de todos los portafolios efic ientes. Toman
en cuenta el perfil de tiempo de los objetivos e interdependenc ias entre los
proyectos además de otros requer imientos. Con los resultados óptimos que
están compuestos por los diferentes por tafolios eficientes, se busca un portafolio que encaje con las preferenc ias de los tomadores de dec isiones. Es
de interés para el presente estudio el manejo del efec to de los benefic ios
resultantes de las interdependenc ias y el perfil de tiempo del modelo de
Stummer & Heidenberger (2003).
Los benefic ios por interdependenc ia que se reflejan en la función objetivo en
este modelo pueden resultar de dos casos:
I. Si el por tafolio contiene entre una cantidad mínima de proyectos que son
elementos de un subconjunto de interdependenc ia y todos los proyectos del
subconjunto.
II. Si se eligen entre 0 y una cantidad máxima de proyectos elementos de un
subconjunto de interdependenc ia.
Supongamos que hay n pos ibles proyectos para elegir y exis te un subconjunto
de m proyectos que tienen la caracter ís tica de interdependenc ia, tal que m < n.
Se define un número límite de proyectos q tal que q < m para el conjunto
interdependiente. Para el pr imer caso de interdependenc ia se obtendría un
beneficio adicional si eligen entre q y m proyectos del conjunto de proyectos
interdependientes . Para el segundo caso descr ito se obtendría un beneficio adic ional por interdependenc ia si se eligen 0 hasta q proyectos del conjunto
interdependiente.
Puede ser un supuesto muy fuerte asumir que mezclas de diferentes
cantidades de proyectos puedan resultar en los mismos beneficios adic ionales
por interdependencia. Como ejemplo se encuentra que en las aplicaciones de
interdependencia presentadas por Santhanam & Kypar isis (1996) o Dickinson
et al. (2001), no ser ía pos ible modelar las interdependencias de beneficio a
través de las interdependencias planteadas por Stummer & Heidenberger
II.06(20)154
18
(2003). De esta forma no se va a considerar la aprox imación de este último
trabajo, sin dejar de ser válida su formulación de interdependenc ia en los
momentos, que se pueden considerar excepcionales, en que se presenten las
situac iones descritas en I y II.
En cuanto al perfil de tiempo, Stummer & Heidenberger (2003) tienen en cuenta
los momentos en el tiempo en los cuales se dan los beneficios de los
proyectos, ya sean estos flujos de caja o algún otro objetivo de la compañía,
además de los benefic ios que resultan de las interrelac iones. Su desventaja se
encuentra en que el modelo asume que todos los proyectos elegidos inic ian en
el año 0 de planeación, en otras palabras , no se tiene en cuenta la
programación de los proyectos en el tiempo.
La interdependencia técnica en cuanto a proyectos contingentes y mutuamente
excluyentes , teniendo en cuenta la secuenc iación de proyectos , se encuentra
en el modelo de selección de proyectos por programac ión lineal entero 0-1 de
Ghasemzadeh et al. (1999) . La restr icc ión mostrada en (10) fija en 1 el máx imo
número de proyectos pertenec ientes a un conjunto interdependiente dP que
pueden ser elegidos, lo cual cumple con reflejar la caracterís tica de proyectos
mutuamente excluyentes . En este caso se asume que todos los conjuntos dP ,
reflejan interdependencia mutuamente excluyente.
1
d
st ds P t T
y P D∈ ∈
≤ ∈∑∑ (10)
Ghasemzadeh et al. (1999) , Sefair & Medaglia (2005) y Medaglia et al. (2006)
presentan en sus modelos relac iones de precedencia. Las relaciones de
precedencia señalan que un proyecto debe realizarse después de otro. Esto
implica que un proyecto no puede realizarse a menos que se selecc ione otro.
De esta forma se puede concluir que las relaciones de precedenc ia reflejan
interdependencia de contingencia, ya se encuentran presentes en la literatura
de selección y programación de proyectos y se modela como se observa en la restr icción (6) de la secc ión 2.
II.06(20)154
19
3.3. Interdependencias relevantes y sus posibles efectos
Una vez identificados los tres tipos de interdependencia que se presentan en la
literatura de selección de proyectos , se debe determinar la forma en que
impactan el modelo base, ya sea sobre la func ión objetivo, restr icciones
existentes o la neces idad de añadir nuevas restricciones. Además se debe
distinguir c laramente entre las interdependencias que ya se encuentran
formuladas en la literatura, para ajustarlas al modelo base y las que no, para identificar el vac ío que se debe llenar.
Iniciando con la interdependenc ia de probabilidades y resultados, el modelo no
maneja probabilidades de éxito sino valores esperados de cos to y beneficio,
eliminando la neces idad de modelar este tipo de interdependenc ia. Se
encuentra que dentro de la interdependenc ia técnica puede ser relevante el
efecto de los proyectos mutuamente exc luyentes y contingentes. El modelo
base, al reflejar precedenc ias, modela la interdependenc ia de proyectos
contingentes como se identificó en la secc ión anterior, de forma que no es
objetivo de este trabajo el manejo de es ta carac ter ística. La interdependencia
por proyectos mutuamente exc luyentes se encuentra en Ghasemzadeh et al.
(1999) en un modelo de selecc ión y programac ión de proyectos ; esto implica
que se debe adaptar su formulac ión al modelo base en este trabajo.
La interdependenc ia de recursos es tema de este trabajo debido a que el
modelo contiene una restr icción de presupuesto y por tanto si los cos tos
cambian bajo el efecto de interdependenc ia, la restricción se deberá ver
afectada. Además de ésto, como se está trabajando con una max imizac ión del
valor presente neto, en el valor de la función objetivo se debe reflejar un
cambio en los costos de los proyectos al seleccionarse proyectos interdependientes . La existenc ia de interdependenc ia de beneficios debe
tenerse en cuenta directamente en la func ión objetivo debido a que afectan el
VPN y como la res tricc ión (7) del problema base tiene en cuenta el presupuesto
endógeno, la interdependencia de beneficio también la afecta. Se encuentra
que por las características del modelo base, las interdependencias de recursos
II.06(20)154
20
y beneficios deben reflejarse en la función objetivo y en la restr icc ión de
presupuesto en forma similar.
En la literatura no se encuentra una soluc ión para la formulación de
interdependencias de recursos y de benefic ios dentro de un modelo de selección y ordenamiento de proyectos como se demostró en la secc ión 3.2.
De es ta forma se identifica como un objetivo del presente trabajo la formulac ión
de interdependenc ia de recursos y benefic ios aplicado al problema base.
La importancia de modelar las interdependencias de recursos y de benefic ios
se ve reflejada en el efecto que pueden tener en el por tafolio óptimo. Si ex isten
amplias interdependenc ias de benefic io, el por tafolio óptimo s in considerar interdependencias puede variar de manera importante con respecto a un
portafolio óptimo que considere interdependencias. Se pueden identificar los
siguientes casos de var iaciones de los portafolios: Cambio en el portafolio de
proyectos elegidos, ampliac ión o reducción del por tafolio óptimo, cambio en el
cronograma y combinaciones de es tas tres s ituac iones.
El cambio en el portafolio óptimo puede suceder cuando un conjunto de
proyectos se vuelven más o menos atrac tivos con respecto a otros proyectos.
Esto se da cuando hay mayores beneficios generados por un conjunto de
proyectos complementar ios; o el caso contrar io, con una reducción de VPN al
seleccionar un conjunto de proyectos competitivos . La ampliación o reducc ión
del portafolio se da cuando se inc luye el efec to interdependiente en la
restr icción de presupuesto, de forma que ésta permita que se selecc ionen más o menos proyectos en el portafolio óptimo. Por interdependencia de recursos
pueden darse, suficientes ahorros que permitan ampliar el portafolio; o con
interdependencia de beneficios por proyectos competitivos , que lleven a
reducción en ingresos, obligando a reducir el portafolio. De la misma forma en
que puede ampliarse el por tafolio, el cupo de presupuesto para un año en
particular puede ampliarse o reduc irse permitiendo que se generen cambios en
la programación de los proyectos en el tiempo, por ejemplo reprogramando un
proyecto para iniciarlo en una fecha más temprana.
II.06(20)154
21
A continuac ión se encuentran dos ejemplos, asumiendo { , , ..., }P A B M= el
conjunto de posibles proyectos a selecc ionar, { , , }cP D E F= el conjunto
interdependientes de benefic ios complementar ios y { , }rP A B= el conjunto
interdependientes por recursos. Además se considera:
( , , ) ( ) ( ) ( )VPN D E F VPN D VPN E VPN F> + + (a)
( , ) ( ) ( )Costo A B Costo A Costo B< + (b)
Ejemplo 3.3.1:
En (a) se observa que el VPN de seleccionar en conjunto los proyectos D, E y
F es mayor a la suma de los VPN de cada proyecto. Esto implica que existe un
atractivo adicional para selecc ionar los 3 proyectos. Supongamos que se
encuentra un portafolio óptimo sin tener en cuenta la interdependencia y un
portafolio óptimo teniendo en cuenta el efecto complementario de los proyectos
D, E y F. Podr ía suceder que el pr imer portafolio no incluya los tres proyectos
interdependendientes , pero que s í sean par te del segundo por tafolio por el
atractivo adquir ido con la sinergia.
Ejemplo 3.3.2:
En (b) se observa que el cos to de realizar los proyectos A y B en conjunto, es
menor al costo de realizar los proyectos A y B individualmente. Supongamos
que el portafolio eficiente contiene tanto los proyectos A y B aunque no se
cons idere la interdependenc ia de recursos que ellos manifies tan, pero que por
la res tricción de presupuesto tan solo el proyecto A se encuentre programado
para el año 1, aunque este sea el año más atrac tivo para asignar los dos
proyectos. Si se tiene en cuenta el ahorro en costos, puede suceder que en el
portafolio óptimo sea posible asignar el proyecto B al año 1 al igual que el
proyecto A.
La secc ión 6 contiene un ejemplo numérico en el cual se ven claramente los
impactos de tener en cuenta la interdependencia en el modelo base.
II.06(20)154
22
4. M ODIFICACIONES POR INTERDEPENDENCIA AL M ODELO BASE
Las modificaciones al modelo base, de forma que és te refleje interdependencia,
implican cambios en la función objetivo y en la restr icc ión de presupuesto.
Además se deben adicionar unas restricc iones que permitan identificar cuándo
un conjunto de proyectos interdependientes han sido seleccionados para tener
en cuenta los benefic ios y cos tos que resulten de la interdependencia y una
restr icción para los proyectos mutuamente exc luyentes. El modelo que se
presenta a continuación tiene en cuenta interdependenc ias de segundo grado.
En la secc ión 3, se encontró que Santhanam & Kyparisis (1996) resuelven la
formulac ión de interdependencia a través de un modelo de programac ión 0-1
que se puede linealizar de acuerdo a las ecuaciones (8) y (9) de la sección 3.2,
sin tener en cuenta la programación de los proyectos en el tiempo. Se pueden
utilizar los conjuntos introducidos por estos autores para definir las
interdependencias. dP se define como el conjunto de proyectos que pertenecen
a la interdependencia d , donde {( , ) | , }dP i j i P j P i j= ∈ ∈ ≠ . D es el conjunto
de relaciones de interdependencia 1 2{ , , ... , , ..., }d ZD P P P P= . Nótese que cada
conjunto interdependiente dP está conformado únicamente por dos proyectos
debido a que el objetivo del presente trabajo se limita a la formulación de
interdependencias de grado 2. Se toma la interdependencia entre dos
proyectos como primera aprox imación a la compleja tarea de selección y
programación de proyectos interdependientes.
Para inc luir interdependenc ias de beneficios y recursos en un modelo que
programa proyectos en el tiempo, se debe tener en cuenta que según el año o
periodo en el cual queden programados los proyectos, pertenecientes al
conjunto interdependiente, los benefic ios o costos adicionales pueden variar.
Esto depende de las características par ticulares de los proyectos
interdependientes y de las razones por las cuales ex isten las
interdependencias. Si se retoma el ejemplo de los proyectos complementar ios
II.06(20)154
23
de lanzamiento de productos, en la secc ión 3.1, se encuentra que al tomar la
decis ión de lanzar el primer producto en el año uno del horizonte de planeac ión
y el segundo producto en el año cinco, tan solo se goza de los benefic ios
adic ionales de interdependencia a par tir del año cinco. Si se lanzan los dos en
el año uno, desde un comienzo se percibirán los beneficios adicionales. La conc lusión es que no es suficiente saber que un conjunto de proyectos
interdependientes ha sido seleccionado, sino que es necesario identificar los
años de inic io asignados para calcular el cambio en VPN y los años en que se
dan cambios en costos y beneficios. De acuerdo a lo discutido a lo largo del
documento, los cambios en VPN, beneficios y costos, que resultan de las
interdependencias, son func iones del tiempo de inicio de los proyectos que
conforman el conjunto interdependiente. Existe una res tricción de presupuesto para cada año del horizonte de planeac ión que al tener en cuenta el
presupuesto endógeno debe también inc luir los beneficios y cos tos generados
por interdependenc ia, de modo que es tos deben es tar indexados en t .
La interdependenc ia de benefic io implica que al seleccionar un conjunto de
proyectos interdependientes, los beneficios de los proyectos pertenecientes al
conjunto, aumentan o disminuyen. Se puede entonces hablar de un porcentaje
esperado de aumento o disminución sobre los benefic ios de los proyectos por
la presenc ia de es ta caracterís tica. Como en es te caso se presenta
interdependencia máximo entre dos proyectos, se requieren los porcentajes
descr itos para los proyectos di P∈ y dj P∈ que pueden ser diferentes para
cada proyecto. La función ( ) ( ) d t i t j t if refleja este porcentaje adicional sobre los
beneficios del proyecto i que se pueden obtener en el per iodo t , (parámetro itb
de la sección 2), al seleccionar los proyectos di P∈ y dj P∈ en los per iodos ( )t i
y ( )t j respectivamente. La func ión ( ) ( ) d t i t j t jf se define de forma similar pero
refleja el porcentaje de beneficios adic ionales en el per iodo t sobre los
beneficios del proyecto j en el per iodo t , jtb . El valor del beneficio generado
por la interdependenc ia dP en el per iodo t , dado que los proyectos , di j P∈
iniciaron en, ( )t i , ( )t j respectivamente, se observa en (11):
II.06(20)154
24
( ) ( ) ( ) ( ) d t i t j t i it d t i t j t j jtf b f b⋅ + ⋅ (11)
Ejemplo 4.1:
Supongamos que para todo per iodo posterior a los per iodos de inversión, los
beneficios del proyecto i aumentan en un 20% y los del proyecto j en un 30%
durante la vida de cada uno, si ambos proyectos son elegidos. Si ambos tienen
un solo per iodo de invers ión e inic ian en el per iodo 1t = , y tienen un durac ión
de 4iv = y 5jv = respectivamente, los benefic io adicionales por
interdependencia se encuentran en la func ión (11 a).
0 0 0, 10.2 0.3 2, ...,4
0 0.3 5
0 0 6, ...,
it jt
it jtt
it jt
it jt
b b tb b t
bb b t
b b t T
⋅ + ⋅ =⎧⎪ ⋅ + ⋅ =⎪∆ = ⎨
⋅ + ⋅ =⎪⎪ ⋅ + ⋅ =⎩
(11a)
El máx imo ahorro o aumento en costo generado por la relac ión de
interdependencia dP , cuando estos exis ten, se define como dc∆ , valor que
debe determinar el tomador de dec isiones. La función t(i) t(j) t dh refleja el
porcentaje esperado sobre el máximo ahorro, dc∆ que se puede obtener en el
periodo t al selecc ionar los proyectos di P∈ y dj P∈ en los periodos ( )t i y ( )t j .
El valor del ahorro generado por la interdependenc ia dP en el periodo t , dado
que los proyectos , di j P∈ iniciaron en, ( )t i , ( )t j respectivamente, se observa
en (12).
( ) ( ) .d t i t j t dh c⋅ ∆ (12)
( ) ( )d t i t jVPN∆ es el VPN adicional generado por seleccionar los proyectos i y j
en los per iodos ( )t i y ( )t j respectivamente, donde , ,di j P i j∈ ≠ . Es te valor
debe reflejar el valor presente de los cambios en beneficios y costos dados por
(11) y (12).
II.06(20)154
25
Si la interdependenc ia d refleja una situación de proyectos competitivos, las
funciones ( ) ( ) d t i t j t jf y ( ) ( ) d t i t j t if , tomarán un valor negativo debido a que por
interdependencia los benefic ios se reducen. Si la interdependencia d refleja
una reducc ión en costos, el parámetro dc∆ o la función t(i) t(j) t dh deben tomar
valores negativos . Para mayor c lar idad de la forma de utilizar y determinar los
parámetros descr itos, en la sección 5 se encuentran ejemplos de es tas
funciones.
Retomando la formulación de Santhanam & Kypar isis (1996), descrita en la
sección 3.2, se define una variable w para cada conjunto interdependiente, que
toma el valor de 1 s i todos los proyectos del conjunto son elegidos y 0 de lo
contrario. Como es necesario tener en cuenta las fechas de inicio de los
proyectos, se observa que no es sufic iente la inc lusión de las var iables w por
cada conjunto interdependiente. Un w del conjunto se deberá crear para cada
tiempo de inicio diferente de los proyectos i y j tal que ( , ) di j P∈ resultando en
la variable de decisión , ( ), ( )d t i t jw que vale 1 si los proyectos , di j P∈ son
seleccionados para iniciar en los per iodos it y jt respectivamente y vale 0 de lo
contrario.
La func ión objetivo tiene un primer componente igual al modelo original que es
el que se observa en (13). El componente en (14) es el efecto de las
interdependencias que se tendrá en cuenta cuando , ( ), ( )d t i t jw sea igual a 1. Se
observa que la suma sobre ( )t i solo se toma sobre los periodos en los cuales
pueden inic iar los proyectos y no sobre todo el hor izonte de planeac ión de
forma que se respete las ventanas de tiempo de realización de los proyectos .
-
min{ , 1}
max i i
i
t T u
it iti P t t
VPN y+ − +
∈ =∑ ∑ (13)
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
VPN w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
+ ∆∑ ∑ ∑ (14)
II.06(20)154
26
La restr icc ión de presupuesto debe reflejar los cambios en costos y en
beneficios por las interdependencias. Esto se hace con (16) y (17), mientras se
mantiene del modelo original (15).
1 1
01
0
- i i
i
u v
t t t i k ikt i t ikti P k i P k u
r r r c x b x− −
+∈ = ∈ =
= + +∑∑ ∑∑ (15)
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
- j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j t d d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
h c w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
⋅∆ ⋅∑ ∑ ∑ (16)
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
( ) j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j t i it d t i t j t j jt d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
f b f b w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
+ ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑ (17)
0, 1, ..., t T=
La variable , ( ), ( )d t i t jw solo debe tomar el valor de 1 si los proyectos ( , ) di j P∈
son selecc ionados para inic iarse en los per iodos ( ), ( )t i t j . Esto implica que
( )i t iy y ( )j t jy deben tomar s imultáneamente el valor de 1. Para que esto
suceda se plantean las s iguientes restricc iones como lo hacen Glover & Wolsey
(1974) de forma que la relación entre ( ) ( )d t i t jw y ( )i t iy y ( )j t jy sea lineal.
( ) ( ) ( ) ( ) 2i t i j t j d t i t jy y w+ ≥ (18)
( ) ( ) ( ) ( ) 1i t i j t j d t i t jy y w+ ≤ + (19)
-, ( ) , ..., min{ , - 1} , q q q d dq i j t q t t T u para q P P D+= = + ∈ ∈
En (18) se encuentra que ( ) ( )d t i t jw tiene que ser igual a 0, a menos que tanto
( )i t iy como ( )j t jy sean igual a 1. En (19), ( ) ( )d t i t jw debe tomar el valor de 1 si
( )i t iy y ( )j t jy son iguales a 1.
Basándose en el trabajo de Ghasemzadeh et al. (1999) se encuentra que un
conjunto de proyectos mutuamente excluyentes puede tener tantos elementos
como proyectos interdependientes ex istan. Para modelar los proyectos
II.06(20)154
27
mutuamente excluyentes se define el conjunto mP como el conjunto de
proyectos que pertenecen a la interdependencia m , donde
{( , ..., , ... ) | }mP i s j s P= ∈ . Se observa que mP puede contener tantos elementos
como proyectos candidatos exis tan a diferenc ia de lo planteado con los
conjuntos interdependiente dP , que están conformados por dos proyectos
únicamente. Sea M el conjunto de relaciones de interdependenc ia de tipo
mutuamente exc luyentes tal que 1 2{ , , ... , , ..., }m aM P P P P= . Con es tos
conjuntos definidos, la restricc ión a adicionar al modelo base de forma que
tenga la capacidad de reflejar la interdependencia técnica de proyectos
mutuamente excluyentes se encuentra en (20) .
min{ , 1}
1 s s
m s
t T u
st ms P t t
y P M+
−
− +
∈ =
≤ ∈∑ ∑ (20)
Las restr icciones (2), (3) , (5) y (6) de la secc ión 2 que muestra el modelo
original permanecen iguales, y se inc luyen en el modelo modificado. La
restr icción (6) es la restr icción de precedenc ias o interdependencia técnica de proyectos contingentes y las restr icciones (2) , (3) y (5) regulan el
comportamiento de las variables ity y iktx . Con las modificaciones al modelo
base, descr itas en esta secc ión, se obtiene un modelo de selección y
programación de proyectos interdependientes.
II.06(20)154
28
Modelo para la Selección y Programac ión de Proyectos Interdependientes
-
min{ , 1}
MAX i i
i
t T u
it iti P t t
VPN y+ − +
∈ =∑ ∑ (13)
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
VPN w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
+ ∆∑ ∑ ∑ (14)
SUJETO A:
-
min{ , 1}
1i i
ii
t T u
itt t
y+ − +
=
≤∑ (2)
-
min{ , 1}
i i
ii
t T u
l it ui P t t
N y N+ − +
∈ =
≤ ≤∑ ∑ (3)
-( )= ; 0, ..., min{ 1, }; ,..., min{ , - 1}it ik t k i i i iy x i P k v T t t t t T u++ ∈ = − − = + (5)
,
-
--
' , '
( , ) ; - - 0; ,...,i i j
i
t u g
jt it i i j i it t
y y i j A t u g t t t−
+
=
≤ ∈ ≥ =∑ (6)
Si , - - < 0 la precedencia se debe prohibiri i jSi t u g
1 1
01
0 -
i i
i
u v
t t t i k ikt i t ikti P k i P k u
r r r c x b x− −
+∈ = ∈ =
= + +∑∑ ∑∑ (15)
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
- j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j t d d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
h c w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
⋅∆ ⋅∑ ∑ ∑
- -
min{ , 1}min{ , 1}
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( , ) ( ) | ( , )
( ) j ji i
d d j di
t T ut T u
d t i t j t i it d t i t j t j jt d t i t jd P D t i t i j P t j t i j P
f b f b w++ − +− +
∈ = ∈ = ∈
+ ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑
0, 1, ..., t T=
( ) ( ) ( ) ( ) 2i t i j t j d t i t jy y w+ ≥ (18)
( ) ( ) ( ) ( ) 1i t i j t j d t i t jy y w+ ≤ + (19)
-, ( ) , ..., min{ , - 1} , q q q d dq i j t q t t T u para q P P D+= = + ∈ ∈
min{ , 1}
1 s s
m s
t T u
st ms P t t
y P M+
−
− +
∈ =
≤ ∈∑ ∑ (20)
II.06(20)154
29
5. EJEMPLOS DE FUNCIONES DE COSTO Y BENEFICIO
A continuac ión se encuentran dos ejemplos de la forma en que puede aparecer
la interdependencia de costos y beneficios y cómo se refleja esta carac terística
en el modelo planteado.
Ejemplo 5.1 Supongamos un portafolio de proyectos de una Empresas Pública de Agua y
Alcantar illado como el presentado en Medaglia et. al (2006). Supongamos que
el proyecto 1 implica la ampliación de redes sanitarias en un sector y el
proyecto 2 consta de la ampliac ión de redes pluv iales en el mismo sector. Si los
trabajos se realizan al mismo tiempo se pueden obtener ahorros debido a que
al ser el mismo sector puede ser necesar io excavar en las mismas calles y por
tanto sólo habrá que hacer lo una vez. Se podr ía mejorar la utilizac ión de
maquinar ia y personal si se realizan al tiempo generando más ahorros.
Suponga un costo de invers ión de cada proyecto es de 600 unidades
monetar ias y si se hacen los dos proyectos simultáneamente, en total se logra
un ahorro de 400 unidades monetarias en la invers ión. De este ahorro máx imo
se sabe que aproximadamente el 30% se obtendrá en el pr imer periodo de
invers ión de los dos proyectos y el res tante 70% en el segundo per iodo. Si no
se inician los dos proyectos al mismo tiempo no se obtiene ningún ahorro por
interdependencia. Los proyectos 1 y 2 conforman el conjunto de
interdependencia 1P , donde la interdependencia es de recursos. Como se da un
ahorro por interdependencia, 1c∆ se le debe restar a los cos tos y por tanto debe
ser negativo e igual a -400 unidades monetarias .
El porcentaje de ahorro esperado, sobre el máximo ahorro, que se perc ibe en
el per iodo t dado que el proyecto 1 empieza en t(1) y el proyecto 2 empieza en
t(2) se encuentra dado por la función:
II.06(20)154
30
1 (1) ( 2)
0.3 si (1) (2) = 0.7 si (1) (2) 1
0 de lo contrariot t t
t t th t t t
= =⎧⎪ = = −⎨⎪⎩
-1,2 ( ) , ..., min{ , - 1} 0, ..., q q qq t q t t T u t T+= = + =
Si ambos proyectos se inician al tiempo, utilizando la func ión 1 (1) ( 2 ) t t th el ahorro
en costos durante el primer periodo de inversión de los proyectos será de
1 t(1) t(2) t h * 1c∆ =120. Para el segundo periodo de inversión, se obtiene un ahorro
de 280, de forma que en este caso se obtiene el ahorro máx imo de
120+280=400 unidades monetarias. El VPN debe reflejar estos cambios en los
flujos, descontándolos a la tasa establec ida y el número de periodos
adecuados para cada flujo.
Ejemplo 5.2
Suponga un portafolio de proyectos que consiste en el lanzamiento de
diferentes productos. Los proyectos 1 y 2 pertenec ientes a este por tafolio son
complementar ios debido a que s i se lanzan los productos 1 y 2, se puede llegar
a un grupo demográfico más grande y por tanto se generan ventas mayores a
la suma de las ventas de los lanzamientos individuales. Supongamos también
que el impacto de la complementar iedad se maximiza cuando los productos se
lanzan al tiempo, lo cual significa que el aumento en benefic io será máximo si
los proyectos se inician al mismo tiempo y disminuirán a medida que se alejen
los tiempos de inic io de los proyectos. Se dará aumento en los beneficios tan
solo en aquellos periodos en que ambos proyectos se estén desarrollando. Se
puede definir una variable z tal que | (1) (2) |z t t= − de forma que refleje la
cantidad de per iodos de diferencia entre el inicio de los proyectos. Se define
una función auxiliar ( )L z que representa el porcentaje de aumento en
beneficios del proyecto 1 y del proyecto 2, respectivamente, si ambos
proyectos están activos. La func ión ( )L z puede ser diferente para cada
proyecto. Para cumplir con el caso descr ito, ( )L z tiene una forma decreciente
de modo que el aumento en beneficios sea menor a medida que se distanc ian
II.06(20)154
31
los proyectos como se observa en las Figuras 5.1 y 5.2. Para este ejemplo se
ha definido que la vida de ambos proyectos es de 6 periodos de forma que z
máximo es igual a 6 y la v ida.
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6z
L1(
z)
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0 1 2 3 4 5 6z
L2(
z)
Porcentaje adicional sobre los beneficios de cada periodo del proyecto 1, gráfica 5.1 y del proyecto 2, gráfica 5.2, por interdependencia.
Se puede observar que el efecto de la interdependenc ia de beneficio es mayor
sobre el proyecto 1. Además se encuentra que (6) 0L = tanto para el proyecto
1 como para el 2 debido a que cuando 6z = , la diferenc ia entre proyectos es
suficiente para que no haya ningún per iodo en que ambos proyectos estén
activos. En otras palabras, s i los proyectos inician con 6 per iodos de
separación, no habrá beneficios por interdependenc ia.
De acuerdo a la información dada se definen 1 (1) ( 2 ) 1t t tf y 1 (1) ( 2 ) 2t t tf como se
observa en (21) y (22) respectivamente.
1 (1 ) (2 ) 1 1 2
1( ) si | (1) (2) | y = t(1) (1) y t(2) (2)
0 de lo contrariot t t
L z t t zf t t v t t v
− =⎧⎪ ≤ < + ≤ < +⎨⎪⎩
(21)
1 (1 ) (2 ) 2 1 2
2( ) si | (1) (2) | y = t(1) (1) y t(2) (2)
0 de lo contrariot t t
L z t t zf t t v t t v
− =⎧⎪ ≤ < + ≤ < +⎨⎪⎩
(22)
-1, 2 ( ) , ..., min{ , - 1} 0, ..., 0,...,6q q qq t q t t T u t T z+= = + = =
Figura 5.1 Figura 5.2
II.06(20)154
32
Por ejemplo, s i (1) 1t = y (2) 3t = , entonces 2z = , 1(2) 0.15L = y 2(2) 0.05L = de
acuerdo a las gráficas 5.1 y 5.2. Ambos proyectos se encuentran activos en los
periodos 3,...,6t = , y por tanto para es tos periodos 1 (1) ( 2) 1 0.15t t tf = y
1 (1) ( 2) 2 0.05t t tf = . El aumento en beneficios por interdependencia que se define
como ( ) ( ) ( ) ( ) d t i t j t i it d t i t j t j jtf b f b⋅ + ⋅ será igual a 1 2 0.15 0.05t tb b⋅ + ⋅ para
3,...,6t = . En es te caso el 1, ( ), ( )t i t jVPN∆ que se activa es 1, 1 , 3VPN∆ , el cual
refleja el cambio en VPN por la interdependencia 1 si (1) 1t = y (2) 3t = . El
parámetro 1, 1 , 3VPN∆ debe ser igual al valor presente de 6
1 2 3
0.15 0.05t tt
b b=
⋅ + ⋅∑ .
Otro tipo de proyectos en los cuales se presenta una func ión decrec iente a
medida que los proyectos interdependientes se alejan en el tiempo, se
encuentra frecuentemente en Sistemas de Informac ión donde la tecnología se
vuelve obsoleta con el tiempo y por tanto entre más alejados los proyectos,
menos ventaja se obtendrá de la interdependenc ia.
II.06(20)154
33
6. EXPERIMENTOS COMPUTACIONALES
6.1. Información General
Para el experimento computacional se tomó como base el caso propuesto por
Sefair & Medaglia (2005), cuya descripción se encuentra a continuación como
es presentado por ellos.
Cons idere una empresa que cuenta con 10 alternativas de
invers ión que desea programar a lo largo de los próximos 13 años
a par tir del 2004, es dec ir la planeación se llevará a cabo hasta el
año 2016. Para cada una de las alternativas de inversión se cuenta
con el pronóstico de los flujos de benefic io de cada proyecto, los
cuales fueron construidos a partir de variables conoc idas como
población , precio internacional del producto, demanda en algún
otro lugar geográfico comparable, prec io de la moneda extranjera,
entre otros.
Tabla 6.1
Proyecto0 1 2
p1 246 0 0
p2 532 0 0p3 182 0 0p4 285 285 0p5 185 185 185p6 1000 0 0p7 645 445 0p8 33 33 33
p9 186 186 0
p10 850 0 0
Periodos de inversión
Costos de Inversión
Asimismo, se supone que la empresa tiene certeza sobre los cotos de inversión de cada proyecto (Tabla 6.1). Con estos costos de
II.06(20)154
34
invers ión y con los flujos de benefic ios , es posible calcular el VPN
de cada proyecto para cualquier año de inicio ( i tVPN )… Para esto
se realizaron 100 simulac iones del comportamiento de los flujos de
beneficios utilizando el supuesto de normalidad con el cual el valor
pronosticado se dis tribuye normal con parámetros 2( , )tt ff σ . A partir
de esto se obtuvo el VPN promedio ( i tVPN )… La tasa de
descuento utilizada fue de 14%.
Tabla 6.2
Proyectop1 1 11 2004 2016 -
p2 1 12 2004 2016 -p3 1 4 2004 2016 -p4 2 10 2004 2010 =0p5 3 12 2005 2005 -p6 1 10 2007 2014 -p7 2 8 2004 2007 -p8 3 9 2004 2004 -p9 2 10 2004 2007 =0p10 1 6 2004 2007 -
iu iv it−
it+
ijg
8,4g
9,10g
Longitud de la inversión, ventanas de tiempo,
vida de los proyectos y precedencias.
La empresa cuenta además con restr icciones de tiempo para la
realizac ión de los proyectos, es dec ir, exis ten fechas de inicio
temprano, tardío y precedenc ias entre proyectos . Estas
restr icciones de tiempo son exógenas al modelo y provienen de
ejerc icios de planeación previos, conocimientos del mercado,
neces idades técnicas (e.g. el inic io de un proyecto requiere la
realizac ión de otro) o simplemente restr icciones políticas que obligan a que un proyecto se realice en un año específ ico. Esta
informac ión se encuentra en la Tabla 6.2, en dónde además se
muestra la longitud de la inversión de cada proyecto ( iu ), la vida de
cada proyecto ( iv ) y la brecha permitida entre las precedencias
( ijg ). En ambos casos se requiere la precedencia estricta ( 0ijg = ).
II.06(20)154
35
Para el experimento en el presente trabajo, a diferencia del exper imento de
Sefair & Medaglia (2005), se permitirá que se elijan entre 0 y 10 proyectos
( 0lN = , 10uN = ). Se tomarán tres pos ibles escenarios de presupuesto
(Gráfica 6.1), de forma que en un caso el presupuesto sea un fac tor muy
restr ictivo (caso A) , un presupuesto medio (caso B) y un presupuesto relajado
(caso C).
Gráfica 6.1
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
Años
Pre
supu
esto
C as o B
C as o A
C as o C
Presupuesto por año
6.2. Datos de Interdependencia Las precedenc ias que se encuentran en el modelo de Sefair & Medaglia (2005)
modelan la interdependenc ia de proyectos contingentes , datos que se
discutieron en la secc ión 6.1. Además de este tipo de interdependencia, el
modelo presentado en este trabajo permite modelar interdependenc ias de recursos (costos) , beneficios y técnica de proyectos mutuamente excluyentes.
La tabla 6.3 identifica el número de la interdependenc ia, los proyectos
interdependientes y el tipo de interdependenc ia que presentan.
II.06(20)154
36
Tabla 6.3
Número Interdependencia Caracterísi tcas1 1 , 5 Beneficios Complementarios2 4 , 9 Beneficios Competi tivos3 3 , 10 Beneficios Complementarios4 2 , 6 Costos Costos compartidos5 2 , 9 Técnica Mutuamente Excluyentes
Proyectos
Proyectos interdependientes y sus caracterís ticas.
La interdependenc ia 1 se da entre los proyectos 1 y 5. Para todo per iodo de
beneficios del proyecto 1, poster ior a los per iodos de inversión del proyecto 5, los beneficios del proyecto 1 aumentan en un porcentaje dado. Se tomaron dos
escenarios, un aumento de 20% y un aumento de 50% de los benefic ios. De
esta forma, si el proyecto 1 empieza en el per iodo 0 (2004) y el proyecto 5 en el
periodo 1 (2005) el valor de los beneficios adic ionales por interdependencia
para cada per iodo será, bajo el escenario 1, de 1 50.2* 0*t tb b+ a par tir de la
ecuac ión (11). Estos benefic ios , solo se darán en los per iodos 4, ...,10t = ; esto
debido a que el proyecto 5 tiene 3 periodos de inversión (tabla 6.2) y por tanto
solo a partir de 4t = y hasta el periodo 10, cuando termina el proyecto 1 que
tiene una duración de 11 periodos, es tán ambos proyectos activos. Se debe
definir func iones ( ) ( ) d t i t j t if y ( ) ( ) d t i t j t jf apropiadas para todos los posibles
( ), ( )t i t j que cumplan con las ventanas de tiempo de ambos proyectos. Se
define 1 {1,5}P = tal que 1P D∈ .
Los proyectos 4 y 9 son interdependientes de una forma similar a los proyectos
1 y 5 debido a que se dan cambios en los benefic ios del proyecto 4 únicamente
en aquellos per iodos poster iores a los per iodos de inversión del proyecto 9. La
diferencia es que los benefic ios de cada periodo del proyecto 4 se reducen en
un 20% en vez de aumentar por ser proyectos competitivos. Se define
2 {4,9}P = tal que 2P D∈ .
II.06(20)154
37
El beneficio adicional por interdependenc ia resultante de elegir los proyectos 3
y 10 depende de la diferencia entre los tiempos de inic io entre los dos
proyectos, de forma que el benefic io es máximo cuando los proyectos se inic ian
al tiempo y disminuye a medida que se alejan en el tiempo como la
interdependencia con func ión decreciente presentada en el ejemplo 5.2.
Recordando que z se define como | (3) (10) |z t t= − , las funciones 3( )L z y
10( )L z que reflejan el porcentaje de benefic ios adicionales en un per iodo de
acuerdo a z , se encuentran en la tabla 6.4. Se puede observar que a par tir de
5z = no hay aumento en beneficios por interdependenc ia porque la v ida de los
proyectos es de 4 y 6 periodos para los proyectos 3 y 10 respectivamente y por tanto si sus tiempos de inic io están a más de 5 periodos de distancia, no
tendrán ningún per iodo en el cual estén ambos activos, condición para que se
den benefic ios por interdependenc ia en un per iodo. Se define 3 {3,10}P = tal
que 3P D∈ .
Tabla 6.4
z=|t(i)-t(j) | L(z, 3) L(z, 10)0 0,4 0,51 0,25 0,42 0,17 0,253 0,12 0,14 0,1 0,085 0,09 0,056 0 07 0 08 0 09 0 0
10 0 011 0 012 0 0
Porcentaje de aumento en beneficios según la
diferencia entre los inicios de los proyectos 3 y 10.
La interdependencia 4 es de costos entre los proyectos 2 y 6, de forma que tan
solo si ambos proyectos se inic ian al tiempo se tiene un costo compartido de
una cantidad de 150 unidades monetar ias como se presentó en el ejemplo 5.1.
Esto significa que 150dc∆ = − (ahorro) el cual se debe asignar en su totalidad al
periodo de inic io de los proyectos, de forma que t(i) t( j) t 1dh = si (2) (6)t t t= = y de
II.06(20)154
38
lo contrario es 0. Así, el cambio en costo en el per iodo t tal que (2) (6)t t t= =
es igual a 1*(-150)=-150 siguiendo la fórmula ( ) ( ) * d t i t j t dh c∆ . Esto implica que
el mejor escenar io para sacar ventaja de esta interdependenc ia es que los
proyectos 2 y 6 inicien en el mismo per iodo. Se define 4 {2,6}P = tal que 4P D∈ .
Los proyectos 2 y 9 no pueden ser elegidos en conjunto por su calidad de
proyectos mutuamente exc luyentes de tal forma que 5 {2,9}P = y 5P M∈ , el
conjunto de proyectos mutuamente exc luyentes.
6.3. Resultados
Se realizaron una ser ie de experimentos para reflejar diferentes efectos de la
interdependencia entre proyectos. Antes de cada exper imento se encuentra
una descr ipción de los datos utilizados en cada caso y posteriormente un
anális is de cada exper imento en par ticular . Los datos que pueden cambiar
entre exper imentos son: Presupuesto (Según los Casos A, B y C), interdependencias incluidas en el experimento y nivel de interdependencia (en
cuanto a cantidad de ahorros y benefic ios generados por las
interdependencias). La interdependencia técnica de proyectos contingentes
que se modela a través de precedencias siempre se incluye debido a que hace
parte del modelo original de Sefair & Medaglia (2005) y por tanto no se
menc iona como parte de las caracter ís ticas de cada exper imento. Las Figuras
6.1 a 6.6 reflejan los resultados de selección y ordenamiento de los proyectos.
Por simplicidad, tan solo se muestran los per iodos de invers ión de los
proyectos.
Escenar io 1
Tipo de Presupuesto: Caso B
Interdependenc ias consideradas: Ninguna
Bajo los condic iones del experimento 1, se encuentra que los proyectos 5 y 7
son exc luidos (Figura 6.1) . El proyecto 7 presenta un VPN negativo s in importar
II.06(20)154
39
en cuál per iodo se inic ie y por tanto no es sorpresa su exclus ión. El 5 tiene una
ventana de tiempo que únicamente permite que se realice en el periodo 1
(Tabla 2) y no hay presupuesto sufic iente para inc luir lo.
Figura 6.1
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
p1p2
p3
p4
p5p6
p7
p8p9
p10 VPN = 462,979 Selección y programación de proyectos sin considerar
interdependencias.
Los resultados de este experimento serán punto de comparación para
identificar los efectos de las interdependencias.
Escenar io 2
Tipo de Presupuesto: Caso B
Interdependenc ias: Beneficio entre los proyectos 1 y 5 ( Interdependencia 1)
Magnitud Interdependenc ia: Aumento de benefic ios del proyecto 1 en 20%
Al incluir la interdependencia de beneficios entre los proyectos 1 y 5,
manteniendo el mismo presupuesto que en el exper imento 1, se puede
seleccionar un proyecto adic ional, que antes era excluido. En la Figura 6.2 se
observan los resultados de este exper imento, el cual refleja dos cambios
particulares con respecto al experimento 1: El proyecto 5 es selecc ionado y el
proyecto 2 se reprograma, pasando del 2005 al 2009. Se observa que los
proyectos 1 y 5 tienen el final de sus periodos de inversión al mismo tiempo
(2007), esto logra el máximo benefic io por interdependenc ia debido a que todos los periodos de beneficio del proyecto 1 son poster iores al final de los periodos
II.06(20)154
40
de inversión del proyecto 5, condic ión para que se den benefic ios por
interdependencia del 20% sobre los beneficios del proyecto 1.
Figura 6.2 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
p1
p2p3
p4p5
p6p7
p8p9
p10 VPN = 504,919 Selección y programación de proyectos bajo el escenario 2,
reflejando en azul los cambios frente a los resultados del
escenario 1.
Como consecuenc ia de la interdependenc ia entre los proyectos 1 y 5 se logra
una ampliac ión del portafolio de proyectos elegidos (de 8 a 9 proyectos) y se
cambia la programac ión de un proyecto. El VPN del por tafolio óptimo aumenta
en un 9% en comparación al por tafolio 1 al tomar ventaja de los beneficios por
interdependencia.
Escenar io 3
Tipo de Presupuesto: Caso A.
Interdependenc ia: Benefic io entre los proyectos 1 y 5 ( Interdependencia 1)
Magnitud Interdependenc ia:
a) Aumento de beneficios del proyecto 1 en 20% (Figura 6.3a)
b) Aumento de beneficios del proyecto 1 en 50% (Figura 6.3b)
En el escenario (3a), figura (6.3a), el presupuesto no alcanza para incluir el
proyecto 5 y el valor generado por la interdependencia no es sufic iente para
justificar su inclus ión. La reducción de presupuesto solo tiene el efecto de
reprogramar los proyectos de forma que se realicen cuando haya presupuesto
para completarlos comparado al escenar io 1. Para el escenar io (3b), figura
II.06(20)154
41
(6.3b) , se encuentra que al aumentar los beneficios por interdependencia, el
proyecto 5 se vuelve más atrac tivo de forma que se inc luye en el portafolio,
pero a cos ta de la exclusión del proyecto 10. En la figura (6.3b) se encuentra
que además se reprograman los proyectos 3, 4 y 9 con relación a la figura
(6.3a) .
Figura 6.3 2004 2005 200 6 20 07 2 008 2009 201 0 20 11 2 012
p1p2
p3
p4
p5
p6
p7p8
p9
p10 VPN = 373,166
20 04 2 005 2006 200 7 20 08 2 009 2010 2011 201 2
p 1p 2
p 3
p 4
p 5
p 6
p 7p 8
p 9
p 10 VPN = 4 06,391 (a) (b)
Selección y programación de proyectos bajo el escenario 3 (a) y (b)
respecti vamente. La figura 6.3a muestra en azul los cambios frente al
escenario 1. La figura 6.3b muestra en azul l os cambios frente al escenario
(3a) .
En el escenario (3b), la interdependencia entre los proyectos 1 y 5, aunque no
amplía el portafolio, s í logra un cambio en la combinac ión óptima de proyectos
a elegir y reprograma var ios proyectos con relación al escenar io (3a).
Escenar io 4
Tipo de Presupuesto: Caso B
Interdependenc ias: Beneficio entre los proyectos 4 y 9 ( Interdependencia 2)
Magnitud Interdependenc ia: Disminución de benefic ios del proyecto 1 en 20%
En es te caso se encuentra que los proyectos 4 y 9 son competitivos, de forma
que si se seleccionan ambos proyectos , los benefic ios del proyecto 4
disminuyen en un 20%. Esta disminución en los beneficios del proyecto 4 es
suficiente para que este proyecto deje de ser viable si se elige el proyecto 9 y
por tanto es exc luido como se observa en la Figura 6.4. Recordando la informac ión de los proyectos, encontramos que el proyecto 8 debe preceder al
II.06(20)154
42
proyecto 4, pero por sí solo el proyecto 8 no presenta un VPN pos itivo y por
tanto si se excluye el proyecto 4 no hay ninguna razón para elegir el proyecto 8.
Al excluir estos proyectos, se abre cupo en el presupuesto para incluir el
proyecto 5 que en el escenario 1 era excluido. Esta interdependencia reduce el
VPN en comparación al escenario 1 en 10.1%, aunque el proyecto 4, miembro del conjunto interdependiente no es elegido. Esto se debe a que como el
proyecto 4 pierde atractivo, se cambia la combinac ión de proyectos elegidos y
por supuesto es ta combinac ión es menos atractiva que la que se logra obtener
en el escenario 1.
Figura 6.4 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
p1p2
p3p4
p5
p6p7
p8p9
p10 VPN = 416,303 Selección y programación de proyectos b ajo el escenario 4.
En azul l os cambios frente al escenario 1.
La interdependencia de beneficios, hace los proyectos competitivos menos
atractivos y por tanto pueden terminar siendo exc luidos del por tafolio de
proyectos óptimos como sucede en este caso. El por tafolio óptimo se redujo de
8 a 7 proyectos al tener en cuenta esta interdependencia y algunos proyectos
fueron reprogramados.
Escenar io 5
Tipo de Presupuesto: Caso B
Interdependenc ias: Costos entre los proyectos 2 y 6 ( Interdependencia 4)
Magnitud Interdependenc ia:
a) 150dc∆ = − b) 100dc∆ = − c) 75dc∆ = − d) 50dc∆ = −
II.06(20)154
43
En los escenar ios (5a) , (5b) y (5c) se observa que los proyectos 2 y 6 empiezan
al mismo tiempo. Esto sucede debido a que por la definic ión de la
interdependencia entre los proyectos 2 y 6, se obtendrá un ahorro en cos tos
únicamente si empiezan al tiempo. Debido a la reprogramación de los
proyectos 2 y 6 es posible ampliar el portafolio de proyectos seleccionados de forma que se incluye el proyecto 5. En el escenario (5d) , los ahorros en cos tos
no son suficientemente grandes para hacer diferencia en la selección y
programación de proyectos en comparac ión con el escenario 1. De esta forma
en el escenario (5d) no se toma ventaja de los ahorros por interdependencia.
Es interesante que aunque un ahorro de 50 parece bastante relevante al
representar un 10.8% sobre un VPN de 462.979 unidades monetarias que es el
que se presenta en el escenario (5d), no es suficiente para jus tificar el costo de oportunidad que implica la re-programación de los proyectos 2 y 6, comparado
al escenar io 1, para que empiecen al tiempo y se obtenga el ahorro por
interdependencia.
Figura 6.5 2004 2005 200 6 20 07 2 008 2009 201 0 20 11 2 012
p1
p2
p3
p4p5
p6
p7
p8
p9p10 VPN = 5 07,231
2 004 2005 2006 20 07 2 008 2009 2010 201 1 20 12
p1
p2
p3
p4p5
p6
p7
p8
p9p10 VPN = 48 1,2 62
(a) (b) 2004 2005 200 6 20 07 2 008 2009 201 0 20 11 2 012
p1
p2
p3
p4
p5p6
p7
p8
p9
p10 VPN = 4 70,766
2004 2005 2006 2007 200 8 2009 2010 201 1 2012
p1p2
p3p4
p5
p6p7
p8p9
p10 VPN = 462,979 (c) (d)
Selección y programación de proyectos bajo el escenario 5 (a), (b), (c) y (d)
respecti vamente. En azul los cambios frente al escenario 1.
II.06(20)154
44
La importancia de la magnitud de la interdependenc ia se hace evidente a
través de los casos tratados en el escenar io 5, como se observa, un ahorro de
75 es relevante para programar los proyectos, mientras uno de 50 no tiene
ningún efec to sobre la programac ión comparado al escenario en que no se
cons idera interdependenc ias (Escenario 1).
Escenar io 6
Tipo de Presupuesto:
a) Caso A: Presupuesto restrictivo
b) Caso B: Presupuesto poco restr ictivo
c) Caso C: Presupuesto relajado
Interdependenc ias: Todas las interdependencias de la Tabla 3
Los escenar ios (6b) y (6c) reflejan cambios s imilares e importantes con relac ión
al escenar io 1. En estos casos se exc luyen los proyectos 2, 4 y 8 que en el
escenario 1 eran selecc ionados, y se inc luye el proyecto 5. Además se
reprograman los proyectos 1 y 3. Estos cambios se pueden interpretar de la
siguiente forma: Como los proyectos 2 y 9 son mutuamente excluyentes por la
interdependencia 5, solo uno de ellos puede ser selecc ionado, de esta forma el
proyecto 2 es excluido. Los proyectos 4 y 9 son competitivos por la
interdependencia 2, de forma que s i se eligen ambos, los benefic ios del
proyecto 4 disminuyan hasta el punto de perder atractivo la selecc ión de este
proyecto y por tanto es exc luido. El proyecto 8 tiene un VPN negativo, pero
debe preceder al proyecto 4, de forma que la única razón para selecc ionarlo,
sería con motivo de elegir el proyecto 4. Como el proyecto 4 es excluido del portafolio, no hay motivo para seleccionar el proyecto 8.
II.06(20)154
45
Figura 6.6
200 4 20 05 20 06 2 007 2 008 2 009 2 010 2011 2012p1
p2p3
p4
p5p6
p7
p8p9
p10 VPN = 374,374
20 04 2 005 2006 2007 200 8 2 009 2010 2011 201 2p1
p2
p3
p4
p5
p6p7
p8
p9
p1 0 VPN = 516 ,93 2 (a) (b)
2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
p1
p2
p3
p4
p5
p6
p7
p8
p9
p10 VPN = 525,172 (c)
Selección y programación de proyectos bajo el escenario 6 (a), (b), (c) y (d)
respecti vamente. En azul los cambios frente al escenario 1.
Se encuentra que al reducir el presupuesto como sucede en el escenar io (6a)
la programac ión cambia de una forma s ignificativa con relac ión a los
escenarios (1) , (6b) y (6c). Se pueden interpretar los resultados del escenar io
(6a) de la siguiente forma: Como el presupuesto es menor, los proyectos
seleccionados cambian. Entre los proyectos mutuamente excluyentes 2 y 9, se
elige el proyecto 2. A l exc luir el proyecto 9, la interdependenc ia 2 de proyectos
competitivos no tiene efec to sobre el proyecto 4 de forma que este es
seleccionado. Para que el proyecto 4 pueda ser seleccionado debe cumplir con
la precedencia del proyecto 8 y por tanto este también ingresa al portafolio
eficiente. La interdependenc ia 4 dice que s i los proyectos 2 y 6 inician al tiempo
se logra un ahorro en costos, lo que presiona para que estos proyectos se
inicien en el 2010. Los proyectos 1 y 5 presentan benefic ios por
interdependencia y por tanto el proyecto 5 es incluido en el por tafolio. El
presupuesto en este caso es muy restr ictivo y la interdependencia de
II.06(20)154
46
beneficios entre los proyectos 3 y 10 parece no haber sido suficientemente
grande para inc luir el proyecto 10.
Del escenar io 6 es muy interesente observar los fuertes cambios en los
portafolios óptimos a diferentes presupuestos , dando como resultado que diferentes interdependencias tomen relevancia en diferentes escenarios de
presupuesto. Se encuentra a través de los escenarios (6a) , (6b) y (6c) que las
interdependencias tienen efectos sobre la cantidad de proyectos a seleccionar,
la combinac ión de proyectos óptimos y la programación de los proyectos
elegidos, dependiendo de las situac iones que se presenten. Como era de
esperarse, a medida que el presupuesto se vuelve menos restrictivo, el VPN
del portafolio aumenta debido a que se da más libertad para programar los proyectos en dónde se requiera y tomar la mayor ventaja posible de las
interdependencias
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47
7. CONCLUSIONES
Este trabajo presenta un modelo integral para la selección y programac ión de
proyectos a través de programac ión lineal entera mixta, complementando el
modelo presentado por Sefair & Medaglia (2005) de forma que se puedan
reflejar los tres tipos de interdependenc ia presentes en la literatura de selecc ión
de proyectos: Interdependencia técnica, de recursos y de benefic ios. El modelo
presentado puede ser la solución a un problema enfrentado por una empresa
real, especialmente aquellas que cuenten con un alto número de proyectos de
Sistemas de Informac ión o Investigac ión y Desarrollo, donde se ha encontrado
la mayor ev idencia de la existencia de interdependencias.
Las precedencias que se presentan en Sefair & Medaglia (2005) modelan la
interdependencia técnica de proyectos contingentes. La interdependencia
técnica de proyectos mutuamente exc luyentes se adaptó al sis tema de este
trabajo, a partir del modelaje de proyectos mutuamente exc luyentes presentado por Ghasemzadeh et al. (1999) en su problema de selección y programac ión de
proyectos. Las interdependencias de recursos y benefic ios se modelaron en
grado 2 (máx imo entre dos proyectos) , linealizando una relación que
originalmente es cuadrática a través de las ecuac iones presentadas en (8) y (9)
tomadas de Glover & Wolsey (1974) y de Santhanam & Kypar is is (1996) . En
este trabajo se adapta al modelo Sefair & Medaglia (2005) la interdependencia
técnica que ya se encontraba en la literatura y se llena el vac ío de los modelos
de selección y programación de proyectos en cuanto al modelaje de
interdependencias de recursos y beneficios.
Se demostró el alto impacto que pueden tener las interdependencias en la
programación óptima de los proyectos. Se encontró que las interdependenc ias
pueden afectar la cantidad y la combinac ión de proyectos en el portafolio
óptimo además de la programación de los mismos. El tener en cuenta las
interdependencias permite tomar ventaja de las características que relacionan
a los proyectos y/o evitar costos adicionales que pueden aparecer por es tas
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48
mismas relac iones, que dependiendo de su magnitud, pueden ser muy
significativas sobre el valor presente del portafolio.
Para una investigación futura se propone la ampliac ión del modelo presentado
a interdependenc ias de recursos y benefic ios entre más de dos proyectos. También ser ía interesante ver aplicado el modelo en un caso real de selecc ión
y programación de proyectos interdependientes.
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49
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