MODELO Y CONTROL DE UNA COLUMNADE DESTILACION CONTINUA

Karina Ospina Figueredo

Proyecto de Grado

Ing. Electronica

Asesor

Ph.D Nicanor Quijano Silva

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Departamento de Ingenierıa Electrica yElectronica

Bogota, D.C., Enero 2010

Contents

1 ANTECEDENTES HISTORICOS 4

2 ESTADO DEL ARTE 5

3 INTRODUCCION 7

4 PRINCIPIOS BASICOS DEL PROCESO DE DESTILACION 8

5 COLUMNA DE DESTILACION EMPACADA 11

5.1 Modelo Tıpico de una Planta de Destilacion . . . . . . . . . . . . 115.2 Dinamicas de los platos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 MODELO DINAMICO DE LA COLUMNA DE DESTILACION 14

6.1 Esquema General de una Columna de Destilacion Binaria . . . . 146.2 Identificacion de Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 Suposiciones y Simplificaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166.4 Diagrama de estados de la Columna de Destilacion . . . . . . . . 176.5 Diagrama de Flujo del Modelo Matematico de la columna de

destilacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.6 Resultados del Modelo Matematico de la columna de destilacion 20

7 LINEALIZACION Y REDUCCION DEL MODELO DE LA

COLUMNA DE DESTILACION EMPACADA 24

7.1 Modelo Simple de Tres Etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.2 Modelo de la columna de destilacion para el lazo de control LV . 277.3 Configuracion de control y matriz de ganancia RGA . . . . . . . 307.4 Analisis de valores singulares de la columna de destilacion en lazo

abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8 CONTROL DE COMPOSICION 33

8.1 Controlador Kinv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.2 Controlador H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

9 CONCLUSIONES 51

A ECUACIONES DIFERENCIALES Y ALGEBRAICAS DEL

MODELO DINAMICO DE LA COLUMNA DE DESTILACION 56

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List of Figures

1 Anillo utilizado para relleno de columna de destilacion [1]. . . . . 82 Esquematico simple del proceso de destilacion. . . . . . . . . . . . 93 Diagrama de caja negra del proceso de destilacion. . . . . . . . . 114 Columna de destilacion. Adaptado de [3] . . . . . . . . . . . . . . 125 Esquematico de un plato[1]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Esquema general de la columna de destilacion binaria. . . . . . . 157 Diagrama de bloque de columna de destilacion. . . . . . . . . . . 168 Diagrama de estados del proceso de destilacion[24]. . . . . . . . . 189 Diagrama de estados simplificado del proceso de destilacion[24]. . 1910 Diagrama de flujo del algoritmo del modelo dinamico de la columna

de destilacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2111 Esquematico de modelo implementado en Simulink. . . . . . . . . 2212 Perfiles termodinamicos de la columna de destilacion empacada. . 2213 Esquematico de la columna de destilacion de tres etapas. . . . . . 2614 Respuesta entrada paso del modelo simplificado de la columna de

tres platos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2915 Controlador Kinv[28]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416 Respuesta del sistema con control de composicion Kinv. . . . . . 3617 Respuesta paso del sistema controlado. . . . . . . . . . . . . . . 3718 Valores singulares de las sensibilidades. . . . . . . . . . . . . . . 3819 Diagrama de bode de T(s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3820 Incertidumbre multiplicativa de entrada[3]. . . . . . . . . . . . . 4021 Aproximacion de la funcion de peso W∆i

. . . . . . . . . . . . . . 4122 Control de composicion con error de entrada de 20%. . . . . . . . 4223 Control de composicion con error de entrada de 50%. . . . . . . . 4224 Sistema en lazo cerrado con controlador 2DOF [3]. . . . . . . . . 4425 Respuesta en Frecuencia de Wp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4526 Respuesta en Frecuencia de Wu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4527 Respuesta en Frecuencia de Wn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4628 Valores singulares de planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4629 Valores singulares del sistema en lazo cerrado. . . . . . . . . . . . 4730 Respuesta en frecuencia ante ruidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 4731 Valores singulares de GKy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4832 Valores singulares de KyS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4833 Respuesta transiente del canal xD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4834 Respuesta transiente del canal xB. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4935 Simulacion no lineal de composicion de cima. . . . . . . . . . . . 4936 Simulacion no lineal de composicion de base. . . . . . . . . . . . 49

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OBJETIVOS

El objetivo principal de este proyecto es desarrollar el modelo dinamico de unacolumna de destilacion contınua e implementar una estrategia de control decomposicion. Dada la gran variedad de columnas de destilacion existentes en laindustrıa petroquımica es necesario que el modelo no incluya restricciones en eltipo de columna y mezcla a destilar.Con el desarrollo de competencias en el area de control de columnas de desti-lacion, se podra mejorar significatıvamente el proceso de separacion y los costosde produccion en la industrıa petroquımica, aumentando ası la calidad de losproductos destilados.Los objetivos especıficos son estudiar posibles configuraciones de control de com-posicion y analizar diversas estrategias de control que permitan comprender elproceso de diseno de controladores en columnas de destilacion empacadas.

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1 ANTECEDENTES HISTORICOS

La destilacion fue descubierta por los Babilonios en Mesopotamia[5]. Esteconocimiento fue luego difundido a los Alquimistas Griegos, quienes desarrol-laron equipos de destilacion de gran escala[7]. Sin embargo la invencion de ladestilacion de alta pureza es atribuıda a los quımicos Arabes y Persas del sigloVIII, quienes utilizaban la destilacion para propositos industriales como la ex-traccion de perfumes y alcoholes[9].

En las primeras formas de destilacion se usaba: un vaporizador y un con-densador, la pureza de la destilacion dependıa primordialmente del desempenodel condensador. El proceso de destilacion se realizaba en pequenas colum-nas de destilacion echas de recipientes de vidrio, hoy conocidas como columnas“Batch”. En el siglo XIX los franceses desarrollaron tecnicas de destilacion masmodernas, las cuales hacıan uso de tambores de reflujo. En el 1877, ErnestSolvay obtuvo en Estados Unidos la patente de su columna de destilacion dis-contınua o de platos, y en anos subsequentes otros quımicos desarrollaron lascolumnas de destilacion empacadas o contınuas[7].

La primera columna de destilacion continua fue desarrollada por Cellier-Blumenthal en Francia en el ano 1813[1]. Las columnas empacadas fueron in-troducidas en la industria de la destilerıa por Clement. El auge de la industriapetrolera en el siglo XX dio paso al desarrollo de metodos matematicos precisospara el diseno de las columnas (e.g. McCabe-Thiele) lo cual permitio operaroptimamente las columnas de destilacion y realizar el proceso de destilacion delcrudo de manera eficiente.[12]

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2 ESTADO DEL ARTE

La ingenierıa de control de procesos se ha convertido en una de las areas deestudio con mayor importancia en la industrıa petroquımica en los ultimos 30anos [6]. Especialmente el control de las columnas de destilacion, debido a queafectan directamente la calidad del producto final y el consumo energetico delas plantas[16]; concretamente, se ha estimado que se podrıa reducir el consumode energıa en un 15% si las columnas estuviesen controladas correctamente[13].Por lo tanto, la importancia economica del control de las columnas de desti-lacion es evidente[12].

Actualmente, en la industria no hay un criterio consolidado acerca de cuandoaplicar control clasico o avanzado en el proceso de destilacion, debido a que elcontrol de las columnas no es entendido plenamente y por ello muchas veces esaplicado de forma errada[16]. En particular, existen diversas estrategias de con-trol que pueden ser aplicadas a las columnas de destilacion, como: (1) controlconvencional (e.g. PI, PID, etc) y (2) no convencional (e.g. control hıbrido,control predictivo, control distribuido, etc); el problema yace en que industrial-mente aun no existen estrategias que permitan discernir cuando un control uotro es necesario y/o aplicable a la columna en estudio[16].

El control de columnas de destilacion representa un problema paradigmaticoen el area de control [1], debido a la no-linealidad del proceso, el alto grado deacoplamiento entre lazos de control y la existencia de multiples perturbaciones[18]. Adicionalmente, operar la columna de forma optima requiere un perfectocontrol de composicion, lo cual usualmente no es logrado en la industrıa, debidoa la naturaleza inestable de la columna [17].

El modelo y control de columnas de destilacion binarias ha sido estudiadoampliamente para propositos academicos e industriales. Desde 1987, la mayorıade la literatura existente al respecto plantea estrategias de control robusto y“loop shaping” [27]. Academicamente, debido a las interacciones entre lazosde control dadas por los grados de libertad de las columnas de destilacion, seha utilizado desacople parcial [37]; ası, el problema de control de composicionse ha estudiado con dos grados de libertad (e.g. flujos internos o externos ),asumiendo perfecto control de presion [11]. En general, el lazo de control decomposicion debe seleccionarse bajo la premisa de obtener la mınima interaccionentre lazos [33]. La configuracion de control de composicion conocida como LVes la mas reportada en la literatura [32]. En torno a este lazo de control se handisenado controladores con sıntesis µ al igual que controladores H∞ con tecnicasde loop shaping, los cuales incluyen el modelo de la incertidumbre parametrica[34]. Posteriormente, se estudio el control de columnas de destilacion por mediode estrategias tales como, redes neuronales y logica difuza [19]. Recientemente,el control multivariable predictivo es usado en la industrıa refinera [20], pero engeneral el problema radica en obtener un modelo que prediga el comportamientono lineal de la columna en un alto intervalo de operacion, el cual permita imple-

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mentar un controlador robusto que cumpla con las especifıcacionesde desempenoaun en presencia de perturbaciones [21].

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3 INTRODUCCION

La destilacion es un proceso de separacion y purificacion de componentes muyimportante en la industrıa petroquımica. Fısicamente el proceso de separacionse lleva a cabo gracias a la diferencia de volatilidades relativas (i.e. punto deebullicion) propias de cada componente presente en la mezcla de alimentacion[3]. El punto de ebullicion de un lıquido es la temperatura a la cual la presion devapor del lıquido iguala a la presion en el liquido, propiciando la formacion deburbujas y por consiguiente el paso hacia la fase gaseosa[1]. El control de colum-nas de destilacion ha sido un tema de especial interes en el area de: (1)sıntesisde procesos, (2)dinamica de procesos y (3)control de procesos [31]; debido aque las columnas destilacion son altamente no-lineales y sus correspondientesmodelos linealizados son dificiles de controlar alrededor del punto de operacion[3].

El modelo dinamico de la columna de destilacion binaria empacada bajoestudio se realizo por medio de las ecuaciones de equilıbrio. Se presenta la lin-ealizacion y reduccion de dicho modelo para propositos de control; a partir delmodelo linealizado se realiza un analisis en estado estacionario con el fin deanalizar el lazo de control de composicion con los reflujos de lıquido y de vaporcomo variables manipuladas; conocido como lazo de control LV . Finalmentese presenta el proceso de diseno de un controlador descentralizado basado enmodelo (e.g. Controlador K inverso), al igual que el proceso de diseno de uncontrolador con dos grados de libertad H∞; el proceso de diseno del controladorH∞ realizado se basa en replicar los datos obtenidos en [3], con el fin de validarel modelo dinamico desarrollado en este trabajo. Por ultimo se presenta unanalisis de robustez y estabilidad de dichos controladores.

La principal contribucion de este proyecto es modelar dinamicamente el pro-ceso de destilacion y por tanto brindar herramientas que permitan comprenderdicho proceso al interior de una columna empacada, permitiendo ası estudiar di-versas estrategias de control. El modelo incluye: balances de energıa, caıdas depresion y eficiencias de Murphree. El modelo brinda una aproximacion precisadel funcionamiento de la columna a lo largo de su intervalo de operacion, lo cualpermite identificar las variables que modifican drasticamente la composicion yde esta forma escoger una estrategia de control adecuada que pueda mejorar elfactor de separacion.

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4 PRINCIPIOS BASICOS DEL PROCESO DE

DESTILACION

La destilacion como se menciono previamente, es el proceso mediante el cualse separa una mezcla de alimentacion en dos productos de destilado en funcionde la temperatura de ebullicion de los componentes[6]. Cuando la mezcla dealimentacion posee tan solo dos componentes es llamada una mezcla binaria,de forma similar cuando la mezcla de alimentacion incidente en la columna dedestilacion es binaria, la columna es llamada columna de destilacion binaria.

Las columnas son utilizadas para realizar determinados procesos como: des-tilacion, absorcion, adsorcion, agotamiento, etc. Las columnas son dispositivoscilındricos, cuya altura es mayor que su diametro; pueden ser de dos tipos:(1)De platos: formadas por una serie de platos perforados, que pueden llevar a suvez valvulas o campanas, colocados a alturas diferentes e intervalos regulares,con el fin de dispersar una de las fases, (2) De relleno o empacadas: confor-madas en su interior por un relleno de anillos, llamados anillos Raschig o dematerial perforado, en este tipo de columnas lo mas importante es la superficiede contacto ofrecida por el relleno y por ende la alta eficiencia de separacion [6].

En general, las columnas utilizadas industrialmente son las columnas em-pacadas ya que el relleno que poseen permite una mayor area interfacial, poseenuna alta eficiencia, ya que trabajan a altas temperaturas. Adicionalmente,poseen buenos coeficientes de transferencia de masa en comparacion a las colum-nas de platos, pero presentan grandes desventajas como la dificultad para pre-decir el flujo en el interior de las mismas [15]. Las columnas de destilacionempacadas son llamadas contınuas, debido a que las etapas no estan definidaspor platos, sino por zonas de interaccion entre fases, dividıdas en: zona de en-riquecimiento y zona de agotamiento. Los anillos utilizados para el relleno dela columna empacada son mostrados en la Fig.1.

Figure 1: Anillo utilizado para relleno de columna de destilacion [1].

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El proceso de separacion se lleva a cabo por medio de la adicion de calor alinterior de la columna, esta es la razon por la cual existen dos intercambiadoresde calor en la columna: un condensador en la cima y un rehervidor en la base.El calor que se adiciona permite tener el componente mas volatil en fase gaseosa(i.e. vapor) y el menos volatil en fase lıquida. En particular, la eficiencia de laseparacion depende de la distribucion de los componentes en las fases de acuerdoa sus volatilidades relativas, lo cual supone que la carga de los intercambiadoresde calor debe ser distribuida de forma adecuada.

El proceso de transferencia de masa se realiza por el contacto en contracor-riente del vapor que asciende, como consecuencia del calentamiento efectuadoen el rehervidor, y del lıquido que desciende como consecuencia del enfriamientoproducido en el condensador. Ası, una columna de destilacion empacada binariaes el equipo mediante el cual se puede garantizar una constante interaccion entrelas fases lıquido−vapor, teniendo como resultado la separacion de la mezcla encada uno de sus componentes.

Basicamente, en una columna de destilacion se tiene un flujo entrante (i.e.flujo de alimentacion) y dos flujos emergentes, los cuales son el flujo de destiladoy el flujo de fondos, ver Fig.2. Paralelo a la remocion de estos dos flujos de des-tilado, el balance de materia al interior de la columna debe garantizarse, es poresto que existen dos flujos que se recirculan al interior de la columna, llamadosreflujos. El objetivo final de la destilacion es obtener el producto de destiladode cima con un alto nivel de pureza (i.e. la mayor concentracion posible delcomponente mas volatil).

Figure 2: Esquematico simple del proceso de destilacion.

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En general, el proceso de destilacion implica tanto teorıa, como equipos in-volucrados en el proceso (e.g. columnas de destilacion). La teorıa entorno ala destilacion incluye leyes fundamentales, como ecuaciones de continuidad quehacen referencia al balance de materia (i.e. flujos), ecuaciones de continuidadde componentes que hacen referencia al balance de componentes, ecuaciones deenergıa que hacen referencia al balance de energıa por mol, entre otras. Dichasecuaciones seran explicadas posteriormente. Sin embargo, poner estas leyes enpractica requiere equipos reales, tales como: reactores, precalentadores, colum-nas de destilacion, etc. Por lo tanto, estudiar el proceso de destilacion requiereimplicitamente el estudio de la ingenierıa de procesos, area que posibilita eldiseno de los equipos y el diagnostico de problemas de funcionamiento de losmismos.

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5 COLUMNA DE DESTILACION EMPACADA

Las unidades de transferencia de masa que hacen posible el proceso de sepa-racion son las columnas de destilacion, y pueden ser empacadas o de platos.Las columnas de destilacion empacadas son economicamente mas competitivasque las columnas de platos, son particularmente utiles cuando la retencion dellıquido debe ser pequena y en destilaciones a baja presion en las cuales losmateriales son muy volatiles y su exposicion a temperaturas elevadas se debeminimizar.

5.1 Modelo Tıpico de una Planta de Destilacion

En general el proceso de destilacion puede verse como un diagrama de caja ne-gra, en el cual la entrada es el flujo de alimentacion y las salidas son los flujosde cima y de base, este diagrama puede observarse en la Fig.3

Una columna de destilacion es entonces una unidad compuesta de un con-junto de etapas de equilibrio y dos productos finales, denominados destilado yfondo. Contiene, una etapa de equilibrio con alimentacion que separa la columnaen dos secciones de equilibrio, denominadas rectificacion y agotamiento. Laseccion de rectificacion es la zona con mayor cantidad de componentes ligeros,es la zona ubicada encima del plato de alimentacion; de forma analoga la seccionde agotamiento es la zona con mayor cantidad de componentes pesados y se en-cuentra debajo del plato de alimentacion.

Figure 3: Diagrama de caja negra del proceso de destilacion.

Adicionalmente, la columna posee un dispositivo intercambiador de calorllamado rehervidor, encargado de transferir calor al lıquido que se encuentra enla etapa de equilibrio del fondo de la columna con el fin de vaporizarlo parcial-mente, permitiendo que la fraccion vaporizada (i.e., reflujo de vapor) recirculeal fondo de la columna y ası mantener un flujo constante de vapor ascendentea traves de la columna, posteriormente, la fraccion no vaporizada se remuevecomo producto de fondo.

De forma similar, en la cima de la columna hay un dispositivo intercambi-ador de calor llamado condensador, encargado de condensar el vapor ascendente

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que surge de la etapa superior de la seccion de rectificacion; este lıquido resul-tante se divide en dos fracciones, una fraccion que es removida como productode destilado y otra fraccion denominada reflujo de lıquido, que recircula a lacima de la columna, manteniendo un flujo constante de lıquido descendente alo largo de la columna.

En sıntesis, el proceso de destilacion se lleva a cabo debido a la adicion yremocion de energıa, la cual se realiza por medio de los intercambiadores decalor (e.g. rehervidor y condensador), se introduce calor a traves del rehervi-dor con una tasa de transferencia de calor QR[unidades de energıa/tiempo](e.g.Btu/hr,pcu/hr,J/min, etc). Igualmente, se retira calor a traves del conden-sador con una tasa de transferencia de calor QC [unidades de energıa/tiempo].El diagrama tıpico de una columna de destilacion empacada es mostrado en laFig.4.

Figure 4: Columna de destilacion. Adaptado de [3]

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5.2 Dinamicas de los platos

Las columnas empacadas, son tambien llamadas contınuas debido a que al inte-rior de la misma no se pueden diferenciar etapas, pero teoricamente es necesariomodelar este tipo de columnas de manera discreta, de modo que sea posiblemodelar la temperatura, presion y composicion, entre otras, en cada etapa yesto solo es posible modelando platos teoricos en las columnas continuas.

Como ya se habıa mencionado previamente, los platos son los dispositivosque permiten la transferencia de masa de componentes ligeros (i.e.con mas ten-dencia a vaporizarse) presentes en el vapor ascendente y de componentes pesados(i.e. menos volatiles) presentes en lıquido descendente. Ver Fig.5.

El lıquido cae en cada plato gracias a un “drenaje”que dirige el lıquidoa un pequeno deposito ubicado a los lados del plato, el cual permite que ellıquido caiga al siguiente plato con cierta velocidad, permitiendo ası la cor-recta interaccion entre las fases. El “drenaje” permite regular las velocidades alas cuales asciende el vapor y desciende el lıquido, evitando que un flujo vayamas rapido que el otro; i.e. sı el lıquido no puede descender libremente o sıel contacto lıquido-vapor es pobre, el desempeno de la columna decrecerıa no-tablemente. Este proceso de interaccion de fases a traves de cada plato esdenominado “Hidrodinamica de platos”.

El vapor fluye al plato superior debido a que la presion es menor en el platode arriba, por tanto hay un incremento de presion desde el plato superior alplato ubicado en la base, es por esto que el vapor sube y el lıquido cae. Ellıquido circula hacia el plato de fondo porque fluye en direccion al gradientepositivo de presion. Todas estas dınamicas son posibles debido a que la faselıquida es mas densa que la fase gaseosa.

Figure 5: Esquematico de un plato[1].

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6 MODELO DINAMICO DE LA COLUMNA

DE DESTILACION

En esta seccion se presenta el modelo dinamico de una columna de destilacionempacada binaria. Se indica el diagrama de estados del proceso, en el cual sepresentan los balances de masa, componentes y energıa en un plato teorico. Lasdinamicas de flujos molares y volumetricos de vapor y de lıquido se analizan encada plato de la columna. Los balances de energıa se analizan de forma simplifi-cada, ya que no se tiene en cuenta la capacidad calorıfica del plato ni las perdidasen cada etapa. Por ultimo, se presenta el diagrama de flujo del algoritmo queresuelve el modelo dinamico de la columna y describe la termodinamica en cadaplato, y por ende en toda la columna de destilacion[24].

6.1 Esquema General de una Columna de Destilacion Bi-

naria

La columna de destilacion empacada bajo estudio es utilizada para separar unamezcla binaria; la mezcla binaria esta compuesta por metanol y propanol. Elnumero total de platos modelados es NT = 8 y el plato de alimentacion esNF = 5. El esquema general de la columna se muestra en la Fig.6.

La figura Fig.6 muestra como los flujos de vapor Vi ascienden y los de lıquidoLi descienden, esto debido a que en el fondo de la columna existe mayor presion,ası el lıquido fluye de acuerdo al gradiente de presion llevando consigo los compo-nentes mas pesados hasta el fondo de la columna, mientras que el vapor fluye ensentido contrario al gradiente de presion llevando consigo los componentes masvolatiles. Tambien se puede observar que los lıquidos al igual que los vaporesposeen una entalpıa denotada como hL y hV respectivamente, esta entalpıa defase en cada etapa hace referencia a la energıa por mol que posee cada flujo asu paso por las diferentes etapas de la columna.

En la cima de la columna de destilacion, el vapor V2 es totalmente conden-sado (i.e. condensador total). Dicho vapor totalmente condensado, fluye haciael tambor de reflujo, el cual tiene una retencion de lıquido n2, comunmente lla-mada “holdup”. La temperatura en rehervidor es aumentada por medio de unaresistencia electrica. El contenido del tambor de reflujo (i.e. etapa de conden-sador) tiene la misma composicion que el producto destilado xD. El productodestilado es removido a una razon D. Se desprecia el tiempo de retraso (i.e.tiempo muerto) en el flujo de vapor desde la cima de la columna hasta el tamborde reflujo, e igualmente el retraso del reflujo de lıquido del tambor hacia el platode cima[25].

En la base de la columna, el producto de fondo tiene composicion xB y esremovido a una razon B. El reflujo de vapor es generado a una razon VNT

, y es

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Figure 6: Esquema general de la columna de destilacion binaria.

producto del calentamiento de la resistencia electrica del rehervidor. Se asumeque el lıquido en el rehervidor y en la base de la columna, posee la misma com-posicion xB . La composicion del vapor que abandona la base de la columna yentra al plato 7 es yB , la cual se encuentra en equilibrio con la composicion xB ,es decir yB = 1− xB [25].

6.2 Identificacion de Variables

Las entradas del sistema son el flujo de alimentacion F , la composicion del flujode alimentacion ZF , el reflujo de vapor V , y el reflujo de lıquido L. Las salidasdel sistema son el flujo en el tope de la columna D, la composicion en el tope dela columna XD, el flujo en la base de la columna B, y la composicion en la basede la columna XB . Las salidas de interes (i.e., las variables controladas) sonlas composiciones en el tope y en la base de la columna, ya que el objetivo decontrol es lograr un determinado porcentaje de pureza en la composicion en eltope de la columna y en la base de la columna. Este problema se conoce comoproblema de control de composicion dual.

En este punto, es posible analizar la columna de destilacion como un procesode “caja negra”, con las entradas y salidas presentadas previamente, el diagramade bloque es mostrado en la Fig.7.

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Existen dos variables muy importantes para alcanzar la separacion de loscomponentes quımicos presentes en la mezcla, el flujo de lıquido llamado re-flujo L[mol/min] y el vapor que retorna a la columna por medio del rehervidorV [mol/min], pues estan directamente relacionadas con los balances de energıa;la entrada de vapor de reflujo depende de la carga del rehervidor QR; la can-tidad de energıa que se adiciona en el rehervidor QR debe ser removida en elcondensador QC , para asegurar que la columna sea adiabatica.

Ası, el reflujo de vapor V y el reflujo de lıquido L, pueden ser ajustadospara alcanzar los objetivos de control deseados, dado que la energıa requeridapara llevar a cabo la destillacion es aproximadamente el calor anadido por elrehervidor QR y a su vez, el calor anadido en el rehervidor depende del flujode reflujo L necesario para alcanzar la fraccion molar deseada en el destilado.De forma similar, el calor removido por el condensador Qc depende del flujo dereflujo de vapor V , el cual define drasticamente el consumo energetico en cadauna de las etapas.

Figure 7: Diagrama de bloque de columna de destilacion.

6.3 Suposiciones y Simplificaciones

El modelo de la columna empacada se realiza mediante platos teoricos, lo cualpermite tener conocimiento de los perfiles de temperatura, entalpıa y com-posicion a lo largo de la columna en todo su rango de operacion. Debido ala complejidad que representa el modelo completo del proceso, y dado que elobjetivo es comprender los conceptos basicos de la destilacion, se establecen lassiguientes suposiciones:

1. La alimentacion entra como lıquido saturado.

2. La columna es adiabatica.

3. El condensador es total, se encuentra a presion atmosferica y se modelacomo una etapa teorica.

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4. Se considera flujo de vapor no constante a lo largo de la columna, y estese calcula a partir de los balances de energıa en cada plato teorico.

5. La fase lıquida y de vapor que abandonan cada plato se encuentran enequilıbrio termico, es decir, se encuentran a la misma presion y a la mismatemperatura.

6. Las fases de lıquido y vapor no se encuentran en equilibrio de fases, porlo tanto se define el coeficiente de eficiencia de Murphree.

7. Se supone que todos los flujos de entrada y de salida de la columna seencuentran en estado lıquido.

8. Se asume caida de presion constante para seccion de enriquecimiento yseccion de enriquecimiento.

9. Se desprecia la retencion de vapor (i.e. holdup de vapor)a lo largo delsistema.

10. Se asume retencion de lıquido constante en cada etapa.

11. La transferencia de materia entre las fases lıquida y vapor se produceinstantaneamente. Es decir, el cambio en la composicion de lıquido setraduce en un cambio en la composicion de vapor, y estas a su vez estanrelacionadas por la condicion de equilibrio. El condensador y el rehervidorson modelados como etapas de no equilibrio[24].

6.4 Diagrama de estados de la Columna de Destilacion

El diagrama de estados describe el proceso al interior de la columna. Es-pecıficamente describe el proceso de destilacion en su elemento mas simple,un plato de equilibrio lıquido-vapor. La columna de destilacion es una cadenade procesos que interactuan entre etapas teoricas o platos tal como se indica enel diagrama mostrado en la Fig.6. El lıquido fluye desde la cima hasta la base dela columna a traves de una secuencia de procesos acoplados de primer orden, porlo tanto las dinamicas de los flujos pueden ser descritas mediante un retraso detiempo. El flujo de lıquido determina basicamente el comportamiento de la re-tencion de lıquido (i.e. holdup) en cada etapa. En contraste, el comportamientode la composicion y presion se determina a traves del fuerte acoplamiento en-tre las dinamicas de los platos. La presion se ve afectada principalmente porcambios en el flujo de vapor y se establece rapidamente. El vapor se propagarelativamente mas rapido a traves de la columna que el lıquido. No obstante,la composicion se establece lentamente. Ası, los flujos de vapor y lıquido tienenuna gran influencia en la composicion. La dinamica de la columna de desti-lacion puede descomponerse en la dinamica de un solo plato teorico de formatal que puedan observarse todos los sub-procesos que se llevan a cabo en unaetapa (Fig.8). Las entradas y salidas de este diagrama son consistentes con eldiagrama de bloques mostrado en la Fig.7[24].

17

Figure 8: Diagrama de estados del proceso de destilacion[24].

El diagrama mostrado en la Fig.8 se debe leer de esta forma:

• La hidraulica de los platos determina el flujo de lıquido en el plato.

• El balance de energıa y la acumulacion de calor determinan el flujo devapor en el plato.

• La caıda de presion al igual que el flujo de vapor se establecen instante-neamente.

• El balance de materia y la hidraulica de los platos determinan los flujosde vapor y lıquido en la columna.

• La temperatura por etapa y la energıa por unidad de mol, determinan lasperdidas energeticas de la columna.

• El balance de componentes, la ecuacion de equilibrio y la eficiencia deMurphree permiten conocer la composicion de lıquido y de vapor en elplato.

• La temperatura del plato depende de la presion y la composicion.

• La eficiencia d ela etapa (i.e., eficiencia e Murphree), se determina pormedio de la relacion de composicion por etapa y composicion de equilibriolıquido-vapor.

18

En general, el proceso de destilacion puede simplificarse de forma tal queel modelamiento del problema se reduce a la solucion de los balances de: (1)masa, (2) componentes y (3) energıa, los cuales determinan las variables masimportantes involucradas en el proceso como: (1) flujo de lıquido, (2) flujo devapor, (3) composicion de lıquido y (4) composicion de vapor. Ver Fig.9.

Figure 9: Diagrama de estados simplificado del proceso de destilacion[24].

En el diagrama simplificado (Fig.9) puede observarse que el calor anadido enrehervidor Q, la presion de cima Pi+1 y el reflujo Li+1 son variables de diseno.Una parte muy importante en el modelamiento del proceso de destilacion es elbalance de materia, como puede observarse en la Fig.9, pues mediante el balancede materia se puede tener conocimiento de los flujos de lıquido en la columnay de la retencion de lıquido por etapa. Ası, leyendo de izquierda a derecha eldiagrama de la Fig.9, puede observarse que mediante la carga de rehervidor Qy la presion Pi+1 se pueden calcular los balances de energıa obteniendo comoresultado los flujos molares de vapor Vi. Siguiendo este orden de ideas, cuandose tiene conocimiento de las presiones por etapa, los flujos de lıquido y vapor,y los “holdups” nL, se puede realizar el balance de componente, concluyendoası con el conocimiento de la composicion por etapa. En sıntesis, a traves delmodelamiento del proceso de destilacion se desea tener conocimiento del perfilde composicion por etapa en presencia de cambios en los parametros de diseno.En realidad este es un algoritmo cıclico, pues se realiza una primera iteraciony luego se realizan de forma recurrente los calculos mostrados en la Fig.9 hastaalcanzar la convergencia.

6.5 Diagrama de Flujo del Modelo Matematico de la columna

de destilacion

El modelo matematico de la columna de destilacion fue implementado en Mat-lab, y resuelto por medio de la funcion ode15s. La funcion ode15s es capaz de

19

resolver ecuaciones diferenciales y algebraicas (i.e. DAEs) simultaneamente pormedio del metodo Runge-Kutta, es precisamente por ello que es utilizada en esteproblema en particular. En el modelo dinamico de la destilacion se tienen dosvectores de estado: (1) vector de ecuaciones diferenciales; (2) vector de ecua-ciones algebraicas. Estos dos vectores son concatenados en un solo vector deestados que debe ser resuelto por la ode15s, dicho vector de estado es nombradocomo x = [ODEs : AEs].La concentracion del componente mas volatil A en cada etapa teorica xA

i parai = 1, 2, ..., NT constituye los primeros 8 componentes del vector diferencialx. Los siguientes 7 componentes son los balances de entalpıa en las etapasi = 2, 3, ..., NT , notese que: el balance de entalpıas en el condensador es elmismo que en el plato de cima debido al condensador total, es por ello que tansolo se modelan 7 balances de energıa.Los 7 flujos molares de vapor Vi abandonando los platos son los 7 primeros com-ponentes del vector algebraico z, de nuevo, hay solo 7 flujos de vapor debidoa que la etapa de condensador no es una etapa de equilibrio, por lo tanto enella no hay un vapor abandonando la etapa. Los siguientes 8 componentes delvector algebraico son las temperaturas por etapa Ti.Por otro lado, los componentes del vector de entrada u son las variables nom-bradas en la seccion 6.2, como parametros de diseno.Todos los parametros de los componentes A,B necesarios para calcular en-talpıas, volumenes molares y presiones parciales estan contenidos en el vectorp. Finalmente, el modelo resultante contiene 15 ecuaciones diferenciales f y 15ecuaciones algebraicas g.

El diagrama de flujo del algoritmo del modelo implementado en Matlab esmostrado en la Fig.10. Las ecuaciones que modelan dicho proceso son expli-cadas con mas detalle en el apendice A.

6.6 Resultados del Modelo Matematico de la columna de

destilacion

El diagrama de bloques de la simulacion de la planta en lazo abierto implemen-tada en Simulink es mostrada en la Fig.11. Posee como variables de entrada lasvariables mencionadas en la seccion 6.2. Posteriormente se mostraran los resul-tados de la simulacion de dicho algoritmo. El bloque nombrado como “colas”,es un bloque que posee la S-function que modela el algoritmo planteado en laFig.10.

En la Fig.12 se muestran los perfiles de composicion, entalpıa, flujo molarde vapor y temperatura de la columna de destilacion binaria.

El perfil de composicion mostrado en la Fig.12, evidencia como el flujo dealimentacion con 50% de componente A es separado etapa tras etapa, hastaobtener en el plato de cima 70% de componente A y en el plato de fondo 10%

20

Figure 10: Diagrama de flujo del algoritmo del modelo dinamico de la columnade destilacion.

de componente A. Este perfil de composicion posee 8 curvas, cada una rep-resenta el comportamiento dinamico de la composicion del componente A encada una de las etapas que componen la columna de destilacion. La caıda depresion encima y debajo del plato de alimentacion, delimita las etapas de rec-tificacion (superior) y de despojamiento (inferior). Especıficamente, las cuatrocurvas superiores representan la etapa de rectificacion, en la cual se tiene lamayor composicion del componente mas volatıl de la mezcla de alimentacion,y las cuatro lıneas inferiores corresponden a la etapa de despojamiento. Adi-cionalmente, en esta curva de composiciones se puede observar que a pesar deque la fraccion molar final en el plato de cima es 0.7, en un punto intermedioalcanza un maximo de 0.8. Por lo tanto, la eficiencia de separacion puede sermejorada de forma tal que se pueda obtener esta maxima composicion molarposible en cima durante todo el rango de operacion de la columna.

La curva superior derecha de la Fig.12 es la curva del diferencial de entalpıapor plato, el cual se refiere basicamente a la diferencia entre la entalpıa de la

21

Figure 11: Esquematico de modelo implementado en Simulink.

Figure 12: Perfiles termodinamicos de la columna de destilacion empacada.

fase lıquida y de la fase de vapor de la mezcla binaria en el plato teorico, esdecir la energıa por mol de la etapa. El diferencial de entalpıa debe ser anal-izado de manera conjunta con la composicion molar de componente A como loindica la Fig.9. Se puede observar que cuando la curva de composicion alcanzasu maximo la curva de diferencial de entalpıa alcanza su mınimo, esto debidoa que cuando la composicion molar de cima es la maxima posible ya no se re-quiere mas energıa para llevar a cabo la separacion. De igual forma, cuandola composicion molar empieza a decrecer, la entalpıa por etapa aumenta, deforma tal que el proceso de separacion pueda seguir llevandose a cabo. Por otro

22

lado, la curva del diferencial de entalpıa demuestra que la zona de rectificacionposee menos energıa que la zona de despojamiento, puesto que en la zona derectificacion la energıa es removida por medio del condensador y en la zona dedespojamiento se anade energıa por medio del rehervidor.

El perfil de flujo molar de vapor (ver Fig.12), muestra el aumento de flujode vapor en su trayectoria ascendente a lo largo de la columna, esto permiteque el componente mas volatıl pueda ser llevado hasta la cima. La eficienciade separacion depende de la interaccion entre las fases lıquido y vapor, ası unaumento en la composicion molar por plato requiere un aumento en el flujode vapor, para obtener mayor transferencia de masa. Igualmente, es posibleevidenciar el fuerte acoplamiento que existe entre las dinamicas del flujo de va-por y el diferencial de entalpıa por etapa, tal y como se indico previamente enla Fig.8. Adicionalmente, se puede observar que el flujo de vapor se establecerapidamente y que ademas, existe un retardo en la respuesta de la composicioncon respecto al flujo de vapor en el plato.

El perfil de temperatura debe ser analizado conjuntamente al perfil de com-posicion, debido a que la temperatura es directamente proporcional a la presiony a la composicion de la etapa. En la Fig.12 se observa un aumento en latemperatura del plato cuando la composicion disminuye, ya que la temperaturadel plato define drasticamente la condicion termica en la que se encuentran losflujos en la etapa y por ende, define la composicion molar de la etapa. Ademas,se observa que en puntos iniciales la temperatura se mantiene constante paralograr vaporizar el flujo de alimentacion y por lo tanto llevar a cabo el procesode separacion. En sıntesis, el perfil de temperatura permite conocer de formaclara la composicion en el plato al igual que el diferencial de energıa por etapa.Por otro lado, es posible inferir que la temperatura en el plato se modifica deforma instantanea ante cambios en la energıa por etapa. Es por ello que las cur-vas de energıa y de temperatura en la columna de destilacion son muy similares.

En general, se puede observar que la columna de destilacion es inestable enlazo abierto. Las curvas de composicion, entalpıa y temperatura presentadasen la Fig.12 evidencian la inestabilidad en el rango de operacion de la columna,esto debido al alto grado de interaccion entre las diferentes dinamicas de lasetapas.

23

7 LINEALIZACION Y REDUCCION DEL MOD-

ELO DE LA COLUMNA DE DESTILACION

EMPACADA

En esta seccion se presenta la reduccion del modelo 5x5 presentado en la seccionanterior. Para propositos de control es necesario encontrar un modelo linealizadoy simplificado, que permita realizar analisis de controlabilidad. En una columnade destilacion existen variables muy importantes que inciden directamente enel proceso de separacion, estas son las variables de entrada y las perturbacionesilustradas en la Fig.7. El modelo de la columna de destilacion se puede reducir alnumero de etapas en las cuales los balances de materia, energıa y componentesrelacionen de manera directa flujos de reflujo de vapor y de lıquido, al igualque el flujo de alimentacion y las composiciones de productos destilados. Dichomodelo simplificado de tres etapas de separacion se muestra en esta seccion.

7.1 Modelo Simple de Tres Etapas

Las etapas mas importantes en el proceso de destilacion son: (1) la etapa dealimentacion, (2) la etapa de condensador y (3) la etapa de rehervidor. Dichasetapas, definen drasticamente las dinamicas al interior de la columna debido aque en ellas se tiene el flujo de entrada de alimentacion, los flujos de reflujode vapor y de lıquido, al igual que los flujos de destilado y de fondos; por elloel analisis de la columna de destilacion se puede llevar a cabo tan solo con lasdinamicas de dichas etapas, quienes brindan la informacion suficiente para per-mitir disenar una estrategia de control de composicion.

Se asume separacion de una mezcla binaria, presion constante, “holdup” devapor despreciable, control de nivel en tambor de reflujo y en rehervidor, flujosmolares de vapor constante (i.e. reemplazan los balances de energıa), equilibriolıquido-vapor (i.e. VLE), volatilidad relativa constante α = 10, “holdup” delıquido constante (i.e. se desprecian hidrodinamicas de los platos). Con dichassimplificaciones, las variables de estado son la fraccion molar xi del componenteliviano en cada etapa[31].

El punto de operacion alrededor del cual se realiza todo el analisis se encuen-tra en la Tabla.1. La columna posee dos etapas teoricas N = 2 y una etapa decondensador total. La etapa 3 corresponde a la etapa de condensador, el flujode alimentacion entra en la etapa 2 y la etapa 1 es el rehervidor[31].

De esta forma el problema se reduce a:

1. Formular las ecuaciones dinamicas para la respuesta de la composicion enlas tres etapas, teniendo como variables independientes las variables L yV .

24

Stage i Li Vi xi yi

Condenser 3 3.05 0.9Feed stage 2 4.05 3.55 0.4737 0.9Reboiler 1 3.55 0.1 0.5263

Table 1: Punto de operacion del modelo simplificado de tres etapas.

2. Linealizar dichas ecuaciones y plantearlas de la forma x = A∆x + B∆u +E∆d donde ∆x, ∆u y ∆d representan la variable de desviacion con re-specto al punto de operacion indicado en la Tabla.1.

3. Obtener las ganancias en estado estacionario del modelo linealizado.

El diagrama simplificado de la columna de destilacion se muestra en laFig.13. Las ecuaciones diferenciales que modelan el balance de componentesen cada etapa son:

n3x3 = V2y2 − L3x3 −Dx3 (condensador) (1)

n2x2 = FzF + V1y1 + L3x3 − V2y2 − L2x2 (alimentacion) (2)

n1x1 = L2x2 − V1y1 −Bx1 (rehervidor) (3)

Donde, el flujo de vapor V1 es el reflujo de vapor notado como V (i.e. V = V1)y el flujo de lıquido L3 es el reflujo de lıquido notado como L (i.e. L = L3). Conla suposicion que el flujo de vapor es constante, es posible decir que todos losflujos de vapor V = V1 = V2 = V3 presentes en la columna seran iguales al flujode vapor que ingresa en la etapa 1 por el rehervidor. Con estas suposiciones,las dinamicas de las respuestas de flujo son desacopladas de las dinamicas decomposicion, y mediante el balance de materia en cada etapa se puede encontrarque:

• V2 = V

• L2 = L + F

• D = L− V

• B = L + F − V

Las composiciones de vapor en cada una de las etapas yi se puede expresaren terminos de la composicion de lıquido xi por medio de la condicion de equilib-rio lıquido-vapor yi = αxi

1+(α−1)xi. Dicha expresion es linealizada en cada etapa

obteniendo que ∆yi

∆xi= K

′

i , donde para el caso de volatilidad relativa constante

25

Figure 13: Esquematico de la columna de destilacion de tres etapas.

K′

i = α(1+(α−1)xi)2

[31]. Reorganizando las ecuaciones (1)-(3) en forma matricial,

se obtiene:

nixi = A∆x + B∆u + E∆d (4)

x =

x1

x2

x3

u =

(

LV

)

d =

(

FzF

)

Donde

A =

−V V K′

2 0

L −(L + F + V K′

2) V K′

1

0 L + F −(B + V K′

1)

B =

0 0

x3 − x2 K′

1x1 −K′

2x2

x2 − x1 x1 −K′

1x1

E =

0 0zF − x2 Fx2 − x1 0

26

Evaluando las matrices A, B y E en el punto de operacion dado en la tabla.1,se obtienen las siguientes matrices[31]:

A =

−3.550 1.282 03.050 −5.332 9.834

0 4.050 −10.334

B =

0 00.4263 −0.37370.3737 −0.4263

E =

0 00.0263 10.3737 0

Los valores propios de la matriz A son −0.22, −4.26 y −14.7 [min−1]. Lainversa de la magnitud del menor valor propio de esta matriz determina la con-stante de tiempo del sistema, por lo tanto el sistema en lazo abierto tendra unaconstante de tiempo igual a τ = 1/0.22 = 4.5 min[31]. Por otro lado, es posibleobservar que todos los elementos de la primera fila de las matrices B y E soncero, lo cual implica que cambios en L, V , F o zF no tienen efecto inmediatoen la composicion de cima.

7.2 Modelo de la columna de destilacion para el lazo de

control LV

La matriz de transferencia del sistema total G(s) entrega informacion del efectoque tienen las entradas L, V , F , zF en las variables observadas x1, x2 y x3.La matriz G(s) se obtiene a partir de la relacion G(s) = (sI − A)( − 1)[B E],que se refiere a la transformacion de la representacion en espacio de estados aldominio de la frecuencia (e.g. laplace). La matriz resultante G(s) es una matrizde dimensiones 3x2. Esta matriz puede ser reducida a una matriz de 2x2 debidoa que el proposito de la reduccion del modelo es analizar la influencia de L, V ,F y zF en las composiciones de cima y de base, es por ello que la composicionx2 es despreciable en este analisis.

De esta forma el la representacion del lazo de control LV en el dominio dela frecuencia es:

(

xD

xB

)

= G(s)

(

LV

)

+ Gd(s)

(

FzF

)

(5)

G(s) =

(

G11 G12

G21 G22

)

27

Donde

G11 =1.183 ∗ 10−17

s6− 5.297 ∗ 10−16

s5 + 0.5465s

4 + 20.86s3 + 235.7s

2 + 701.4s + 143.1

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(6)

G12 =1.037 ∗ 10−17

s6 + 4.753 ∗ 10−16

s5− 0.4791s

4− 19.53s

3− 230.5s

2− 698.2s− 142.6

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(7)

G21 =5.916 ∗ 10−18

s6 + 0.3737s

5 + 12.23s4 + 133.7s

3 + 568.7s2 + 856.1s + 162.2

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(8)

G22 =−5.186 ∗ 10−18

s6− 0.4263s

5− 13.49s

4− 142.2s

3− 587.1s

2− 861.9s− 162.6

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(9)

Gd(s) =

(

Gd11 Gd

12

Gd21 Gd

22

)

Donde

Gd11 =

−7.3 ∗ 10−19s6− 7.161 ∗ 10−17

s5 + 0.03372s

4 + 5.708s3 + 99.49s

2 + 339.4s + 69.89

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(10)

Gd12 =

−2.776 ∗ 10−17s3− 6.119 ∗ 10−16

s2 + 1.282s + 13.25

s3 + 19.22s2 + 66.98s + 13.81(11)

Gd21 =

3.65 ∗ 10−19s6 + 0.3737s

5 + 10.61s4 + 96.85s

3 + 349.7s2 + 448.5s + 82.75

s6 + 38.43s5 + 503.2s4 + 2602s3 + 5017s2 + 1850s + 190.8(12)

28

Gd22 =

1.388 ∗ 10−17s3 + 2.667 ∗ 10−16

s2 + 4.05s + 14.38

s3 + 19.22s2 + 66.98s + 13.81(13)

La respuesta a entrada paso en lazo abierto del sistema descrito previamente(ver Fig.7.2) es de primer orden con constante de tiempo τ = 4.5. La respuestamostrada en la Fig.7.2 demuestra que la matriz G(s), puede ser aproximada aun sistema de primer orden de la forma G(s) = 1

τps+1G(0), este metodo es cono-

cido como “steping technique”[33]. Para realizar esta aproximacion del sistemaes necesario conocer la matriz de ganancias en estado estacionario G(0), i.e.:

GLV (0) =

[

0.750 −0.7480.850 −0.853

]

Figure 14: Respuesta entrada paso del modelo simplificado de la columna de tresplatos.

Dado que las magnitudes de los elementos de la matriz GLV (0) son menoresque uno, se hace necesario scalar la matriz de forma que se puedan evitar proble-mas con respecto a las restricciones de entrada, ademas escalar la matriz permiteque el analisis del modelo y el diseno del controlador sea mas simple. Entonces,la matriz escalada resultante es [31]:

29

Λ = GLV (0) =

[

75.0 −74.885.0 −85.3

]

Por lo tanto, la reduccion total de primer orden del modelo 2 × 2 de lacolumna de destilacion es:

GLV (s) =1

45s + 1

[

75.0 −74.885.0 −85.3

]

Notese, que la constante de tiempo tambien debe ser escalada (i.e. τp =45[min]).

7.3 Configuracion de control y matriz de ganancia RGA

La matriz de ganancia RGA permite cuantificar el grado de interaccion en sis-temas MIMO, por lo tanto permite escoger de manera optima el lazo de controlque contenga menos interacciones y por tanto sea mas viable para propositosde control[29]. Especıficamente, las ganancias relativas (i.e. los elementos dela matriz RGA) λij expresan como la ganancia GLV

ij cambia a medida que sereducen los grados de libertad.

Λ =

(

λ11 λ12

λ21 λ22

)

=

(

λ11 1− λ11

1− λ11 λ11

)

(14)

Donde

λ11 =1

1− G12G21

G11G22

(15)

Usando las expresiones de ganancia en estado estable del modelo LV enla seccion7.2, es posible realizar algunas aproximaciones que permiten tenerconocimiento del la ganancia relativa λ11 de varias configuraciones de control,i.e.,[32]

λ11(GLV ) =1

1− G12G21

G11G22

= 35.95 (16)

λ11(GLD) ≈ 1− λ11(GDV ) ≈1

1 + D(1−yd)BxB

≈ 0.50 (17)

30

λ11(GDV ) ≈1

1 + D(1−xD)BxB

≈ 0.45 (18)

Se observa que los elementos de la matriz RGA de la configuracion LV sonlos mas grandes, cuando los dos productos de destilado tienen que ser de altapureza. Por otro lado, para la configuacion DV los valores de los elementos-RGA son menores que 1, el lazo de control LD tiene su λ11 tambien con valoresmenores que 1. Adicionalmente, para el caso de lazo de control DB se sabe queD + B = F , lo cual implica que D y B no pueden ser ajustadas independiente-mente, lo cual lleva a una configuracion de control imposible con sus elementosiguales a infinito[33]. En sıntesis, los elementos de la matriz RGA para cadaconfiguracion de control demuestran que la mejor opcion de control es el lazoLV , pues los demas lazos de control tienen ganancias relativas menores que unolo cual implica que la accion de control debera ser muy grande en magnitud parallevar al sistema al punto de referencia deseado. Por lo tanto, el lazo de controlescogido es el lazo LV [31]. Particularmente, la columna de destilacion es dificilde controlar debido a su alto grado de acoplamiento entre lazos, pero por otrolado el elemento-RGA de la configuracion LV es tan solo un aproximacion yaque, si se aumenta el numero de etapas teoricas y se realiza el mismo analisis elvalor de dicho elemento λ11 decrecerıa de 35.94 a 1.94[31].

7.4 Analisis de valores singulares de la columna de desti-

lacion en lazo abierto

La funcion de transferencia G(s) puede ser descompuesta en sus valores singu-lares, mediante la “singular value decomposition”, i.e.,

G = UΣV T (19)

Donde, Σ es la matriz que contiene las ganancias principales del sistemao valores singulares, U representa las direcciones de salida de la planta y Vrepresenta las direcciones de entrada de la planta. En sistemas de mutipleentrada-multiple salida (i.e. MIMO) como la columna de destilacion, es nece-sario tener en cuenta que las senales de entrada y de salida son vectores, por locual la ganancia en lazo abierto de la planta depende de las direcciones de dichosvectores, como se puede observar en la ecuacion (20). Por lo tanto en sistemasMIMO, existen grados de libertad adicionales que dependen de la direccion dela senal de entrada[29].

31

‖G(ω)‖2 =‖y(ω)‖2‖d(ω)‖2

(20)

Los elementos de la diagonal de la matriz Σ son los valores singulares maximoy mınimo. El valor singular maximo hace referencia a la maxima ganancia paracualquier direccion del vector de entrada, y la menor ganancia para cualquierdireccion de la senal de entrada hace referencia al valor singular mınimo. Losvalores singulares de la columna bajo estudio son mostrados a continuacion[29]y se obtienen mediante la funcion “SVD” implementada en Matlab:

G =

[

0.625 −0.7810.781 0.625

] [

197.2 00 1.39

] [

0.707 −0.708−0.708 −0.707

]H

(21)

Para el primer vector de entrada v1 (i.e. el primer vector columna de V H)es posible observar que la ganancia es 197.2 cuando se incrementa una de lasentradas y la otra se disminuye las misma cantidad. De igual forma, para elsegundo vector de entrada v2 es posible observar que si se aumentan las dosentradas en la misma cantidad, como resultado se obtiene un ganancia de 1.39.Esto ocurre debido a que las entradas L y V se contrarrestan, ya que estanrelacionadas la una con la otra. En general el proceso de destilacion es “ill-conditioned”, i.e. algunas combinaciones de la entrada tienen una gran efectoen las salidas mientras que otras combinaciones tienen un efecto muy pequeno enlas salidas. Esto es cuantificado por medio del numero de condicion de la planta;la razon entre el valor singular maximo y mınimo. El numero de condicion (i.e.condition number) de la columna de destilacion es 197.2/1.39 = 141.7. Elnumero de condicion es una medida de la controlabilidad del sistema, y en par-ticular se asume que un numero de condicon grande significa que el sistema esaltamente sensible a incertidumbre.

En sıntesis, la descomposicion de valores singulares permite encontrar quelas variables manipuladas de la columna de destilacion, es decir las composi-ciones de los productos son muy sensibles a cambios en la entrada de lıquidode reflujo L. De forma similar, un aumento en la entrada de reflujo de vaporV tiene un gran efecto en la composicion de producto de cima pero en sentidocontrario de la que resulta de aumentar L, por ello se dice que las salidas secontrarrestan. Cuando las entradas L y V son aumentadas simultaneamente elcambio en las composiciones es mınimo, por lo tanto la accion de control deberaser demasiado grande para hacer que los dos productos de destilado tengan unaalta concentracion [29].

32

8 CONTROL DE COMPOSICION

El control de composicion en una columna de destilacion simple consiste encontrolar las composiciones de cima y de fondos, teniendo como objetivo decontrol obtener la maxima composicion posible en el producto destilado de cima.En esta seccion se presenta el proceso de diseno de un controlador Kinv basadoen modelo y un controlador H∞ para el lazo de control de composicion LV .

8.1 Controlador Kinv

En una columna de destilacion los lazos de control estan fuertemente acopladosentre sı. Debido al alto grado de acoplamiento entre dichos lazos de control,se hace necesario disenar un controlador que desacople en este caso el lazo decontrol de composiccion de cima del lazo de control de composicion de base.Esto se logra por medio de un controlador con red de desacoplo que permitaobtener la funcion de transferencia en lazo cerrado con los elementos fuera desu diagonal iguales a cero y ası eliminar interacciones del flujo de reflujo conla composicion de base, e interacciones del reflujo de vapor con la composicionde cima. En esta seccion se muestra el proceso de diseno de un controladordescentralizado 2× 2 Kinv que logra este tipo de desacoplamiento dinamico.

El controlador Kinv es un tipo de controlador basado en modelo, el cuales disenado a partir de la funcion de transferencia de la planta, explıcitamenteKinv(s) = l(s)G−1(s). Donde l(s) = k/s es la ganancia del controlador la cualposee un integrador puro que garantiza error en estado estacionario igual a ceroy una constante que determina la constante de tiempo del sistema en lazo cer-rado, y G−1(s) es la inversa de la funcion de transferencia de la planta en lazoabierto[29]. Generalmente, en este tipo de problemas como el de la columna dedestilacion se disena un controlador Kinv ya que la funcion G−1(s) contenidaen la expresion que describe el controlador elimina los polos que puedan existiren el semiplano derecho del plano y por tanto elimina posibles problemas de in-estabilidad, adicionalmente es un controlador que permite utilizar de forma masexplicita el modelo del proceso. Por otro, lado posee ciertas desventajas talescomo la sensibilidad ante incertidumbres en la entrada y una muy importantees que no se modela rechazo ante perturbaciones.

En sıntesis, este controlador basado en modelo invierte el modelo de la plantay agrega un integrador puro; esta es la parte esencial de la teorıa propuesta porMorari en 1989, denominada Internal Model Control.

A partir del modelo lineal de primer orden obtenido en la seccion 7.2, esposible disenar un controlador descentralizado Kinv para el lazo de control 2×2de composicion[28], mostrado en la Fig.15.

Se habla de control descentralizado cuando un proceso lineal con dos en-tradas y dos salidas (2×2), esta controlado por una ley de control en funcion de

33

Figure 15: Controlador Kinv[28].

la senal de error, tal como se presenta en la Fig.15. En general, puede estable-cerse una relacion entre la entrada U(s) y el error E(s), de la siguiente forma:

U(s) = K(s)E(s)

U(s) = K(s)(r(s)− y(s))[

u1(s)u2(s)

]

=

[

k11(s) k12(s)k21(s) k22(s)

] [

r1(s)− y1(s)r2(s)− y2(s)

]

Donde r(s) es la senal de referencia, y(s) es la salida de la planta controladay K(s) es la matriz de funciones de transferencia del controlador.

En definitiva, en este tipo de diseno es necesario que la matriz de funciones detransferencia Q(s) = G(s)K(s) del sistema en lazo abierto sea diagonal [28], i.e.,

Q(s) =

(

q1(s) 00 q2(s)

)

El controlador se disena de tal forma que la matriz de funciones de trans-

ferencia en lazo cerrado G(s)K(s)1+G(s)K(s) sea una matriz diagonal. Esto se logra

forzando a la funcion de transferencia en lazo abierto a ser una matriz diagonalQ(s) = G(s)K(s), a partir de este supuesto se puede despejar matricialmenteel controlador K(s) obteniendo una expresion para el controlador, que en estecaso se denomina K inverso.K(s) = Q(s)G(s)−1

K(s) = Q(s)G(s)−1

34

[

k11(s) k12(s)k21(s) k22(s)

]

=1

|G(s)|

[

g22(s)q1(s) −g12(s)q2(s)−g21(s)q1(s) g11(s)q2(s)

]

Una de las especificaciones de diseno necesarias es que el error en estado esta-cionario sea igual a cero ess = 0 asegurando ası que el sistema en lazo cerradono presente error, para ello las funciones de transferencia q1(s) y q2(s) debenincorporar integradores; adicionalmente, en este tipo de controlador se anadenretardos puros para eliminar los retardos que existen en el modelo, i.e.,

qi(s) =ki

se−τis, τi ≥ 0

Teniendo estas especificaciones de diseno para las funciones de transferenciaen lazo cerrado qi(s) es posible encontrar una expresion para la funcion de trans-

ferencia en lazo cerrado, hi(s) = qi(s)1+qi(s)

, la cual permite garantizar estabilidad

proponiendo algunas especificaciones de estabilidad relativa tales como el mar-gen de fase y margen de ganancia sobre qi(s), dado que qi(s) contiene terminosexponenciales, es relativamente facil obtener relaciones para su magnitud y suargumento, mostrados a continuacion:[28]

Am = |qi(jω)| =π

2kiτi

, ωgm =π

2τi

φm = ∠qi(jω) = 90o − kiτi, ωfm = ki

Es posible hallar una expresion que relaciona los dos margenes[28]

φm = 90o −90o

kiτi

Si la funcion qi(s) no contiene ningun retardo se obtiene margen de fase de−90o y margen de ganancia infinito, para este caso en especıfico es se asumeretardo igual a cero, margen de ganancia de 3dB y margen de fase de 60o para elsistema en lazo abierto. Computando estos valores en las ecuaciones anteriores yasumiendo k1 = 0.7min−1, el cual es el valor especıfico de ganancia que permiteque la constante de tiempo en lazo cerrado sea 1.5min [32]. A partir de estosvalores es posible obtener los siguientes resultados:

k2 = 0.52min−1, τ1 = 1.43min, τ2 = 1.94min

Finalmente, es posible encontrar la matriz de transferencia del controlador K(s),la cual es mostrada a continuacion:

k11 =2.427e7s4 + 1.295e6s3 + 25893s2 + 230.2s + 0.7672

1.158e4s4 + 463s3 + 6.17s2 + 0.02744s

k12 =−1.422e7s4 − 758160s3 − 1.516e4s2 − 134.8s + 0.4493

1.158e4s4 + 463s3 + 6.17s2 + 0.02744s

35

k21 =2.396e7s4 + 1.278e6s3 + 2.556e4s2 + 227.2s + 0.7574

1.158e4s4 + 463s3 + 6.17s2 + 0.02744s

k22 =−1.445e7s4 − 770445s3 − 1.541e4s2 − 137s + 0.4566

1.158e4s4 + 463s3 + 6.17s2 + 0.02744s

En la Fig.16 se muestra la respuesta del sistema en lazo cerrado. En estafigura es posible observar que con una composicion de alimentacion de zF =0.5[mol] se podrıa llegar a tener idealmente un nivel de pureza del 0.99[mol] enel producto de la cima y 1− 0.99 = 0.01[mol] en la base.

Figure 16: Respuesta del sistema con control de composicion Kinv.

Hasta este punto el controlador responde de forma deseada a los requer-imientos del lazo de control, pero es necesario realizar pruebas de estabilidadrobusta frente a cambios en la entrada, debido a que la columna de destilaciones altamente no lineal y las entradas de este lazo de control LV poseen incer-tidumbre en su medicion.

Sin tener en cuenta la incertudumbre a la entrada, se grafica la respuestapaso de la planta con controlador Kinv mostrada en la Fig. 17 , de forma talque se pueda conocer el desempeno nominal del sistema en lazo cerrado concontrolador Kinv.

La respuesta obtenida brinda suficiente informacion para aseverar que eldesempeno nominal es alcanzado con ese controlador implementado. Ahora esnecesario, evaluar los valores singulares de la funcion de sensibilidad y sensibili-dad complementaria para asegurar que no hay problemas de robustez en el lazocerrado con el control de composicion. Ademas, es necesario conocer el margende fase y el margen de ganancia de la funcion de sensibilidad complementaria,

36

Figure 17: Respuesta paso del sistema controlado.

para poder concluir si el sistema es estable.

Debido a que el controlador es kinv, se puede obtener facilmente una ex-presion para la ganancia de lazo abierto L = GKinv = KinvG = 0.7

sI, esto

sabiendo que K(s) = ksG−1 con k = 0.7. De este modo, las sensibilidades

pueden ser expresadas de la siguiente forma:

S =1

1 + GkinvI=

1

1 + 0.7s

I=

s

s + 0.7I

T =0.7s

I

1 + 0.7s

I=

0.7

s + 0.7I =

1

1.43s + 1I

La funcion de sensibilidad S es la funcion de transferencia que relaciona lasperturbaciones con las salidas del sistema, y la funcion de sensibilidad comple-mentaria T es la funcion de transferencia que relaciona las senales de referenciacon las salidas del sistema.

Teniendo estas expresiones para las sensibilidades, se procede a graficar losvalores singulares de dichas funciones de transferencia mostradas en la Fig.18.

Los valores de ganancia maxima y mınima para las funciones de sensibilidady sensibilidad complementaria, son una medida de la robustez del sistema. Encontrol realimentado el requerimiento para asegurar estabilidad robusta es queel valor de ganancia maximo de las sensibilidades sea menor que uno[29].

37

Figure 18: Valores singulares de las sensibilidades.

Los valores singulares de las sensibilidades son menores que uno para todoel rango de frecuencia (ver Fig.18), por lo tanto no hay picos que indiquen queel sistema tenga problemas de robustez. Para culminar el analisis de estabilidades necesario graficar los diagramas de Bode de la sensibilidad complementariala cual brinda la informacion necesaria del sistema en lazo cerrado, mostradaen la Fig.19.

Figure 19: Diagrama de bode de T(s).

De el diagrama de bode de la sensibilidad complementaria puede concluirseque el sistema tiene un excelente margen de estabilidad relativa, ya que el mar-

38

gen de fase es de 90o y el margen de ganancia ∞. En general el sistema en lazocerrado mostrado en la Fig.17 demuestra que el sistema se establece rapidamentey que tiene buen seguimiento de la senal de referencia (i.e. tracking); el sistemaes robustamente estable como puede observarse en la Fig.18.

Especıficamente, se sabe que para una planta estable como es el caso de lareduccion 2 × 2 de la columna de destilacion, el criterio de estabilidad robustabasado en los picos maximos de las funciones de sensibilidad y sensibilidad com-plementaria se satisfacen (ver Fig.18), el cual establece que el pico maximo dedichas funciones de transferencia debe ser menor que uno en todo el rango defrecuencias.

Debido a la no linealidad de la columna de destilacion, los flujos de lıquido deentrada pueden llegar a ser asumidos como perturbaciones, por esto es necesarioestimar un error relativo en la ganancia de entrada[29], el cual se define en laecuaciones (22),(23). Donde u′i es el cambio actual en la entrada manipuladay ui es el cambio realizado por el controlador. Este cambio puede restringirsede forma tal que se pueda asegurar estabilidad robusta ası, |εi| ≺

1σ(T ) . En

este problema en particular se asume un error aceptable del 10%, con el cual setendrıan las ganancias de entrada mostradas en la ecuacion (24)

u′1 = (1 + ε1)u1 (22)

u′2 = (1 + ε2)u2 (23)

u′1 = (1 + 0.1)u1 = 1.1u1 (24)

u′2 = (1− 0.1)u2 = 0.9u2

Con el fin de verificar que no hayan polos en el semiplano derecho, es nece-sario probar la ecuacion (25) ya que la funcion de sensibilidad con incertidumbrede ganancia a la entrada es una funcion de trasnferencia que contiene los polosy los ceros del lazo cerrado. Ademas, los polos de lazo cerrado son la soluciona la ecuacion (25). Para poder hablar de incertidumbre de ganancia a la en-trada, es necesario definir una nueva funcion de sensibilidad L′(s) mostrada enla ecuacion (26)

det(I + L′(s)) = 0 (25)

L′(s) =0.7

s

[

1 + ε1 0o 1 + ε2

]

(26)

Dadas estas especificaciones, la ecuacion (25) puede ser resuelta, dando comoresultado que los polos de lazo cerrado para el sistema con perturbacion a laentrada son: s1 = −0.7(1 + ε1) y s2 = −0.7(1 + ε2), de acuerdo a esta solucion

39

encontrada, puede asegurarse que para el lazo cerrado con el controlador Kinv

hay estabilidad robusta, siempre y cuando las ganancias 1 + εi se mantenganpositivas, teniendo finalmente estabilidad robusta con respecto a los errores enla ganancia de entrada, ya que estos pueden ser hasta de 100% y aun ası laganancia de entrada 1 + εi seguirıa siendo positiva.

La incertidumbre modelada en el sistema de control de la columna de desti-lacion es de ±20%, ya que este es el valor tıpico para aplicaciones industriales.Por otro lado, el retardo sera de 1min[29]. A partir de estas dos constanteses posible caracterizar la funcion de transferencia de incertidumbre de entradacomo una matriz diagonal, con retardo de 1min y error de ganancia de ±20%.Esta incertidumbre puede modelarse como una incertidumbre multiplicativa, taly como es mostrado en la Fig.20.

Figure 20: Incertidumbre multiplicativa de entrada[3].

La incertidumbre de entrada es mostrada en la ecuacion (27), teniendo encuenta que ki ∈ [0.8 1.2] y θi ∈ [0.0 1.0]. La matriz ∆ mostrada en la ecuacion(28) sera definida de tal forma que |∆i| ≤ 1. Por otro lado, la funcion de pesode incertidumbre es mostrada en la ecuacion (29). La funcion de transferencianominal es igual a Wui

= 1 para k = 1 y θi = 0.

Wu =

[

k1e−θ1s 0o k2e

−θ2s

]

(27)

∆ =

[

∆1 0o ∆2

]

(28)

W∆ =

[

W∆10

o W∆2

]

Habiendo definido completamente todos los parametros de incertidumbremultiplicativa, es posible expresar la funcion de incertidumbre de entrada enterminos de la incertidumbre multiplicativa y la funcion de transferencia nomi-nal. Estas restricciones son mostradas a continuacion.

Wui= (1 + W∆i

)Wui

40

∣

∣Wui(jω)−Wui

(jω)∣

∣

∣

∣Wui

∣

∣

≺∣

∣W∆i(jω)

∣

∣

Encontrar W∆ies equivalente a determinar una cota superior de la respuesta

en frecuencia de la incertidumbre relativa. En la Fig.21 es mostrada la funcionW∆i

escogida como cota superior de la respuesta en frecuencia de |Wui− 1|.

Figure 21: Aproximacion de la funcion de peso W∆i.

Como resultado de esta aproximacion, se obtiene que W∆ies de la forma

mostrada en la ecuacion (29), la funcion de transferencia ∆i es escogida deforma tal, que su magnitud sea igual a 0.2, representando ası un error del 20%,la funcion de transferencia correspondiente es mostrada en la ecuacion (30)

W∆i=

2.3s3 + 16s2 = 27.67s + 5

s3 + 9s2 + 21.2s + 22.6(29)

∆i =1

0.11s + 0.22(30)

El lazo de control LV con el controlador de desacople y la incertudumbreparametrica modelada previamente, se simulo y los resultados se muestran enla Fig.22, que representa la respuesta del sistema con un error del 20% y en laFig.23 se presenta la respuesta ante un error de entrada de 50%.

De estas graficas se puede concluir que el controlador no provee desempenorobusto ante errores en la entrada, pues la respuesta que se puede observar enla Fig.23 es una respuesta no deseada, ya que tiene picos y aunque se estabilizanuevamente despues de 1.5min , la respuesta puede llegar a ser aun peor en in-stantes de tiempo en los cuales el flujo de lıquido cambie abruptamente, ademasesta clase de respuesta no tiene ningun sentido fisico ya que la composicion deldestilado debe ser igual en todo instante de tiempo para que el compuesto final

41

Figure 22: Control de composicion con error de entrada de 20%.

tenga efectivamente el nivel de pureza deseado. Esto era de esperarse, debidoa que las columnas de destilacion son muy sensibles ante la incertudumbre deparametros de entrada y el controlador Kinv no es la mejor opcion para obtenerrechazo ante perturbaciones.

Figure 23: Control de composicion con error de entrada de 50%.

8.2 Controlador H∞

El proceso de diseno H∞ consiste basicamente en realizar la optimizacion dela norma infinito de ciertos criterios de desempreno, especıficamente consisteen maximizar la estabilidad robusta del sistema en lazo cerrado para el tipode incertidumbre modelada, donde la restriccion de la optimizacion es obtenerque el sistema realimentado sea internamente estable. En particular, este tipo

42

de optimizacion se resuelve encontrando un posible controlador tal que el sis-tema en lazo cerrado sea robustamente estable; los objetivos de desempeno seincluyen en la funcion de costo de optimizacion.

El problema de diseno se reduce a encontrar un controlador K, tal que elsistema en lazo cerrado sea internamente estable y minimize:

• ‖S‖∞

, para obtener buen seguimiento de senal de referencia y rechazoante perturbaciones.

• ‖KS‖∞

, para obtener atenuacion de la senal de ruido de medicion.

La especificacion de diseno en cuanto a estabilidad robusta es garantizarestabilidad en lazo cerrado para todo k1 ≥ 0.8, k2 ≤ 1.2 y θ1 ≥ 0, θ2 ≤ 1min.En cuanto a las especificaciones en el dominio del tiempo, son dadas en terminosde la respuesta a entrada paso [3], i.e.,

• y1(t) ≥ 0.9 ∀t ≥ 30min

• y1(t) ≤ 1.1∀t

• 0.99 ≤ y1(∞) ≤ 1.01

• y2(t) ≤ 0.5∀t

• −0.01 ≤ y1(∞) ≤ 0.01

Donde y1 es la salida correspondiente al seguimiento de la senal de referenciay y2 es la salida correspondiente a la medida de interaccion entre los dos canales.En cuanto a las especificaciones en el dominio de la frecuencia [29]:

• σ(KyS)(jω) ≤ 316

• σ(GKy)(jω) ≤ 1, ω ≥ 150

En este caso en particular los objetivos de la funcion de costo son obtenerbuen seguimiento de senal de referencia y limitar la energıa de la senal de control,este problema es comunmente conocido como problema de sensibilidad mixta,ya que las funciones objetivo de la funcion de costo son S y KS, i.e.,

minK

∥

∥

∥

∥

(I + GK)−1

K(I + GK)−1

∥

∥

∥

∥

∞

(31)

Con las funciones de costo establecidas en la ec.(31) es necesario incluir fun-ciones de transferencia de peso para acotar la respuesta en frecuencia de dichasespecificaciones. Ası, la funcion de costo se resuelve minimizando los errores deseguimiento de senal y de energıa de senal de control (ver Fig.24). En general,estas funciones de peso Wu y Wp son incluidas para reflejar los trade-offs entrelas caracterısticas de las senales penalizada.

43

Finalmente, la tecnica H∞ loop shaping aumenta la planta con funciones depeso apropiadas tal que la respuesta en frecuencia del sistema en lazo abierto esmodelada para alcanzar las especificaciones de desempeno y por ultimo se real-iza la sıntesis de un controlador que provea estabilidad robusta durante todo elrango de operacion.

El controlador H∞ con dos grados de libertad es de la forma [KyKr], dondeKy es la realimentacion de las salidas de interes xD y xB , y Kr es la alimentacionprevia (e.g., feedforward) de la senal de referencia r. El diagrama del controladorcon dos grados de libertad es mostrado en la Fig.24 [3].

Figure 24: Sistema en lazo cerrado con controlador 2DOF [3].

La matriz M es el modelo de las dinamicas deseadas del sistema en lazocerrado desde la senal de referencia hacia las salidas. La matriz M es diagonal(Ec.32), con funciones de transferencia escogidas tal que la respuesta sea sobreamortiguada, con tiempo de establecimiento igual a 30min [3].

M =

[ 16s2+9.6s+1 0

0 16s2+9.6s+1

]

(32)

Dado que el controlador 2DOF debe proveer estabilidad robusta y de-sempeno robusto para el sistema de lazo cerrado, dichas especificaciones sonexpresadas en terminos del controlador y de la planta con modelo de incer-tidumbre parametrica, como se indica en la Ec.33

!

ep

eu

"

=

!

Wp(SGKr −M) −WpTWn

Wu(I + KyG)−1Kr −WuKySWn

" !

r

n

"

∞

≤ 1 (33)

Ası, las funciones de transferencia de peso de desempeno Wp y de accion decontrol Wu, al igual que el filtro de atenuacion de ruido Wn, son mostradas acontinuacion:

44

Wp =

[

0.55(9.5s+3)9.5s+10−4 0.3

0.3 0.55(9.5s+3)9.5s+10−4

]

(34)

La funcion de transferencia Wp es escogida de tal forma que se asemeje almodelo M en el rango de frecuencias bajas (ver Fig.25).

Figure 25: Respuesta en Frecuencia de Wp.

Wu =

[

0.87(s+1)0.01s+1 0

0 0.87(s+1)0.01s+1

]

(35)

La funcion de peso de la accion de control permite reducir la magnitud de laaccion de control en el rango de frecuencia especificado, ω ≥ 150 (ver Fig.26).

Figure 26: Respuesta en Frecuencia de Wu

Wn =

[

10−2ss+1 0

0 10−2ss+1

]

(36)

La funcion de peso del ruido permite atenuar la senal de ruido de medicionen el rango de frecuencias altas en un factor de 104 (ver Fig.27).

El control H∞ disenado por medio de “loop shaping” requiere el uso de unprefiltro W1 y un postfiltro W2, de forma tal que la funcion de transferenciade lazo abierto W1GW2 tenga respuesta en frecuencia de acuerdo a las especi-ficaciones anteriormente mencionadas (ver Ec.37). La ganancia del prefiltro es

45

Figure 27: Respuesta en Frecuencia de Wn.

fijada de forma tal que asegura un error en estado estacionario suficientementepequeno, al igual que un factor de roll-off de mas de 20dB/decada en el rangode frecuencias altas [3]. El postfiltro se hace igual a la matriz identidad W2 = Ipor simplicidad.

W1 =

[

1.7(1.1s+1)10s

0

0 1.7(1.1s+1)10s

]

(37)

La ganancia en frecuencias bajas de los valores singulares de la planta mod-ificada (lınea punteada de la Fig.28), es mayor que la ganancia de la plantaoriginal con lo cual se asegura error en estado estacionario casi nulo. Adicional-mente, el factor de roll-off es mayor para frecuencias medias, obteniendo mayorrechazo ante perturbaciones (ver Fig.28).

Figure 28: Valores singulares de planta.

El controlador H∞ obtenido es de orden 10 [3]. El controlador disenadoprovee estabilidad robusta para las perturbaciones con norma menor a 1

0.6814 .Adicionalmente, provee desempeno robusto para perturbaciones con norma menora 1

32.89 . En sıntesis, el controlador provee un margen deseado de estabilidad ro-busta, pero un margen de desempeno robusto bastante reducido.

46

Los valores singulares del sistema en lazo cerrado con el controlador disenado,son menores a uno en todo el rango de frecuencias bajas. Aunque el canalcorrespondiente a la composicion de cima posee un pico, en general tiene unabuena respuesta en el rango de frecuencias deseado (ver Fig.29). Por lo tanto, elcontrolador asegura error en estado estacionario igual a cero en los dos canales.

Figure 29: Valores singulares del sistema en lazo cerrado.

La respuesta en frecuencia del sistema ante ruido en los dos canales de-muestra que dicha senal es atenuada por un factor de 104, tal como se habıaespecifıcado previamente (ver Fig.30).

Figure 30: Respuesta en frecuencia ante ruidos.

Los valores singulares del sistema en lazo abierto son menores a uno enel rango de frecuencia deseado, con lo cual la especificacion de respuesta enfrecuencia antes mencionada es cumplida satisfactoriamente por el controladordisenado (ver Fig.31).

Los valores singulares del sistema en lazo cerrado son menores que 200dB,garantizando que no se presenta saturacion en las entradas del sistema, segunlas especificaciones del dominio de frecuencia mencionadas previamente (verFig.32).

La respuesta transitoria con perturbaciones del canal uno (i.e., xD), muestrala respuesta a entrada paso (ver Fig.33). La respuesta demuestra que se obtieneerror en estado estacionario igual a cero en presencia de perturbaciones y untiempo de asentamiento de 30min, tal como se habıa especifıcado anteriormente.En general, es una respuesta deseada sin sobrepasos de la senal de referencia.

47

Figure 31: Valores singulares de GKy.

Figure 32: Valores singulares de KyS.

Figure 33: Respuesta transiente del canal xD.

De la respuesta transitoria del canal dos xB , es posible observar que se es-tablece rapidamente al igual que el canal uno. Ademas tiene error en estadoestacionario igual a cero, pero experimenta un sobre paso en la senal de refer-encia. El sobrepaso de esta respuesta, se debe a que la composicion de fondo esmuy sensible ante perturbaciones (ver Fig.34).

A continuacion se muestra la simulacion del sistema no lineal en lazo cerrado,con el controlador H∞ presentado previamente. La simulacion se realiza conperturbaciones: en el flujo de alimentacion; en la composicion de alimentacion;en el set point de composicion xD [3].

48

Figure 34: Respuesta transiente del canal xB.

Figure 35: Simulacion no lineal de composicion de cima.

Figure 36: Simulacion no lineal de composicion de base.

De las figuras Fig.35 y Fig.36, puede concluirse que aun en presencia dediversas perturbaciones el sistema en lazo cerrado se establece rapidamente yposee buen seguimiento del setpoint de composicion. Por otro lado, cambios enel flujo y composicion de alimentacion no afectan el balance estequiometrico de

49

la columna de destilacion, lo cual corrobora que el proceso de diseno de controlrobusto realizado en este trabajo es apropiado al igual que el modelo de incer-tidumbre utilizado.

50

9 CONCLUSIONES

Para propositos academicos la reduccion del modelo realizada es algo deseado,pues permite entender las dinamicas de la columna de destilacion y realizaranalisis que permiten dilucidar muchas mas tecnicas de control que pueden lle-gar a funcionar mejor en columnas de destilacion. Para propositos industriales,es necesario aplicar tecnicas de control diferentes a sıntesis H∞ y µ, ya que unode los requerimientos mas importantes en la operacion de una columna de desti-lacion es un mınimo gasto energetico aun obteniendo un alto nivel de pureza enel destilado. Especıficamente, las tecnicas de control usadas por autores comoSkogestad y Petkov son insuficientes, debido a que requieren de amplias simpli-ficaciones de las dinamicas de la columna, las cuales dejan totalmente de ladoel gasto energetico.

En cuanto al controlador descentralizado Kinv , el lazo de control imple-mentado provee estabilidad robusta con respecto a errores en la ganancia deentrada, el sistema se mantiene estable aun cuando la incertidumbre de ganan-cia es del 100% debido a que la incertidumbre ocurre unicamente en la entradade la planta. Se observaron excelentes margenes de estabilidad relativa (i.e.,margen de fase, margen de ganancia), por tanto el sistema es robustamenteestable para grandes errores en las senales de entrada. Por otro lado, grandeserrores de ganancia de entrada dan malos resultados en cuanto a desempeno desalida, por lo tanto la especificacion de desempeno robusto no puede ser sat-isfecha con un controlador Kinv. Estos problemas eran de esperarse, debido aque la planta tenia elementos muy grandes en la matriz RGA. En general, ellazo de control LV es una alternativa acertada para controlar la composicionde productos destilados, ya que tras el analisis de valores singulares del sistemafue posible observar que pequenos cambios en la entrada (i.e., flujos de vapor yde lıquido) conllevan a cambios significativos en las composiciones de cima y debase.

En general el controlador H∞ satisface las especificaciones en el dominio deltiempo, y las especificaciones en el dominio de la frecuencia. Ademas, proveeestabilidad robusta, al igual que desempeno robusto en el rango de operacion dela columna de destilacion bajo estudio. La simulacion del sistema no lineal enlazo cerrado demuestra que las composiciones de cima y de base se mantienenen el rango deseado, aun en presencia de varias perturbaciones. Por lo tanto,se observa buen seguimiento de senal de referencia al igual que rechazo anteperturbaciones del sistema en lazo cerrado. Los resultados de la simulacion nolineal confirman la validez del modelo de incertidumbre utilizado. Finalmente,queda demostrado que se obtiene buen desempeno usando la configuracion decontrol LV .

En sıntesis, es posible acotar que las tecnicas de control clasico no cumplenlos requerimientos de control de la columna de destilacion, ya que lo que real-mente sucede en la columna de destilacion es que hay dos objetivos de control,

51

uno es obtener la maxima composicion posible en los productos, y la otra es queel requerimiento energetico de la columna sea el mınimo posible. Este problemade control dual, requiere estrategias de control optimo o de sistemas conmutadosque puedan controlar el sistema de acuerdo al intervalo de operacion en el cualse encuentre.

Como trabajo futuro, se pretende implementar el controlador disenado enla columna de destilacion de la Universidad Nacional con el fin de validar elmodelo y el proceso de diseno del controlador presentado en este trabajo. Porultimo, en cuanto al modelo dinamico de la columna de destilacion, es nece-sario incluir en el modelo coeficientes de actividad de wilson y los balances deenergıa teniendo en cuenta el teorema de minimas perdidas termodinamicas enlas secciones de la columna de destilacion contınua, esto con el fin de especificarel problema de control de minimizacion del gasto energetico.

52

References

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55

A ECUACIONES DIFERENCIALES Y

ALGEBRAICAS DEL MODELO

DINAMICO DE LA COLUMNA DE

DESTILACION

El numero total de platos modelados es NT = 8 con i = 1, 2, ..., NT , con-tando desde la cima de la columna hasta la base, con el plato de alimentacionubicado en i = NF = 5. Por lo tanto, i = 1 se refiere a la etapa del condensadory i = NT a la etapa del rehervidor. La concentracion en el lıquido del com-ponente mas volatil es denotada como xA

i . La concentracion en el lıquido delcomponente menos volatil es determinada por medio de xB

i = 1− xAi . Las con-

centraciones molares de vapor son denotadas como Yi para i = 1, 2, ..., NT . Losflujos de vapor y de lıquido abandonando el plato son denotados como Vi y Li,respectivamente. El flujo molar de vapor que abandona la etapa de rehervidores denotado como VNT

y el producto de fondos es nombrado como B. Igual-mente, L1 se refiere al reflujo de lıquido que abandona la etapa de condensadory D se refiere al flujo de destilado. El flujo de alimentacion es denotado comoF . Se asume que la alimentacion entra como lıquido saturado, esta condiciones garantizada por medio de la temperatura de alimentacion TFeed.

Volumenes Molares: Los volumenes molares del lıquido presentes en cadaplato son calculados como una combinacion lineal de lo volumenes molares decomponentes puros denotados con el ındice k [2], i.e.,

vm := xAvmA + (1− xA)vm

B (38)

con volumen molar de componente puro vmk :

vmk :=

1

ak

ebk(1 + e1− T

ck dk) (39)

donde ak, bk, ck y dk son las constantes para los componentes k = A,B,mostrados en [2].

Presion: Se asume que la presione Pi en el rehervidor, condensador y platosteoricos es constante, al igual que la retencion de lıquido en los platos. Por lotanto, para determinar la presion en todos los platos, se asume que la presion delcondensador es conocida, i.e., P1 = PTOP , de tal forma que la presion en cadaetapa es calculada bajo la suposicion de que la caıda de presion es constante enla zona de rectificacion al igual que en la zona de despojamiento, i.e.,

Pi = Pi+1 + ∆Pi i = NT , NT − 1, ..., 1 (40)

Presiones parciales: Las presiones parciales P sk de los componentes puros

son determinadas por medio de la ecuacion de Antoine, con los coeficientes AK ,BK y CK mostrados en [1]:

56

P sk := e

(Ak−Bk

T+CK)

k = A,B. (41)

Temperaturas: La temperatura de los platos Ti es implicitamente definidabajo la suposicion de que la suma de las presiones parciales es igual a la presiontotal de cada etapa [36], i.e.,

Pl = P sAxA − P s

B(1− xA) i = 1, 2, ..., NT (42)

Las temperaturas son obtenidas por medio de la ecuacion diferencial−algebraicaque surge de derivar implıcitamente la ecuacion 42 [36]:

Ti = −(P s

A − P sB)xi

∂P sA

Tixi +

∂P sB

Tl(1− xi)

(43)

Composiciones de vapor VLE: las composiciones de equilibrio y∗ sonobtenidas a traves de la relacion de equilibrio lıquido−vapor (VLE)[1], i.e.,

y∗Ai =αxA

i

1 + (α− 1)xAα =

P sA

P sB

(44)

Composicion de vapor de Murphree: Para caracterizar la desviaciondel equilibrio de la composicion de vapor, se usa la eficiencia de Murphree poretapa. Esta eficiencia permite calcular la composicion real de vapor yi de formadinamica con respecto a cambios en la composicion de lıquido, por medio de lacombinacion lineal de la composicion de vapor ideal en el plato y la composicionde vapor ascendente del plato siguiente [36], i.e.,

yi = αk

P sA

Pi

xi + (1− αi)yi−1 i = 1, ..., NT (45)

donde k = enriquecimiento, despojamiento., y y1 =P s

A

P1x1. La concen-

tracion del lıquido de destilado D denotada como xD es igual a la composicionde vapor en la cima de la columna y1, ya que el condensador es total.

Balance de materia: Las ecuaciones diferenciales que determinan el cam-bio en los “holdups” molares ni en los platos son dadas por el balance de materiade i = 1, 2, ..., NF , ..., NT [36]:

Para el plato de alimentacion

˙nNF= LNF+1

− LNF+ VNF−1

− VNF+ FNF

(46)

En un plato de equilibrio

ni = Li+1 − Li + Vi−1 − Vi (47)

En el condensador

n1 = V1 − L2 −D (48)

57

En el rehervidor˙nNT

= LNT−1− VNT

−B (49)

Donde F es el flujo molar de alimentacion, que puede ser determinado atraves del flujo volumetrico Fvol, la concentracion de alimentacion zF y la tem-peratura TF , por medio de la ecuacion 38:

FV ol = vm(zF , TF )F (50)

En general, el flujo molar (i.e. [mol/sec]) no puede ser medido directa-mente, debido a que depende de la condicion termodinamica de los caudales,por lo tanto se hace necesario encontrar el flujo volumetrico de dichos caudales,a traves de los volumenes molares dados por vm.

Adicionalmente, el flujo molar de reflujo L1 debe ser determinado a travesde la ecuacion 38 y el flujo volumetrico de lıquido de reflujo LV ol quien es unparametro de entrada, i.e.,

LV ol = vm(x1, Tc)L1 (51)

donde x1 es la composicion en el condensador y TC es la temperatura del con-densador.

Balance de componentes: Las ecuaciones diferenciales que determinan elcambio en la composicion xi en los platos son dadas por el balance de compo-nentes de i = 1, 2, ..., NF , ..., NT [36]:

El balance de componentes en el rehervidor requiere:

˙xNTnNT

= LNT−1xNT−1

− VNTyNT

−BxNT(52)

En el plato de alimentacion

nixi,A = Li+1xi+1,A − Lixi,A + Vi−1yi−1,A − Viyi,A + FixF,i,A (53)

En un plato de equilibrio

nNTxNT ,A = LNT

xNT ,A − LNT−1xNT−1,A + VNT−1yNT ,A (54)

En el condensador

n1x1,A = L2x2,A − (L1 + D)x1,A (55)

Enthalpıas de componentes puros: Los flujos de lıquido y de vaporposeen cierta energıa por mol, esto es determinado a traves de las entalpıas decomponente puro, i.e.[2]:

hL := xAhLA + (1− xA)hL

B (56)

58

hV := yAhVA + (1− yA)hV

B (57)

Donde, las entalpıas de componente puro hLk y hV

k son determinadas a travesde [1]:

hLk := C(h1,A(T − T0) + h2,A(T − T0)

2 + h3,A(T − T0)3) (58)

con T0 = 273.15K y C = 4.186J/mol, de igual forma, las entalpıas de vaporde componente puro son calculadas a traves de las entalpıas de lıquido mostradasen 58:

hVk := hL

k + λ (59)

λ = RT ck

√

1−P

P ck ( T

T ck

)−3

(a− bT

T ck

+ c(T

T ck

)7) + Ωk(d− eT

T ck

+ f(T

T ck

)7) (60)

Donde λ es el calor latente de vaporizacion de cada componente. Los co-eficientes mostrados en las ecuaciones 58 y 60 se muestran con mas detalle en [2].

Balances de energıa: Con las entalpıas de lıquido y vapor conocidas atraves de las ecuaciones 56, 57, se puede formular el balance de energıa en cadauno de los platos teoricos. Especıficamente, los balances de energıa por platopermiten calcular de forma implıcita los flujo molares de vapor. Para los platosi = 2, ..., NF − 1, NF + 1, ..., NT los balances Las ecuaciones diferenciales quedeterminan el cambio en los “holdups” molares ni en los platos son dadas porel balance de materia de i = 1, 2, ..., NF , ..., NT [36]:de energıa son[36]:

Para un plato de equilibrio

nihLi + ni(

∂hLi

∂xi

xi +∂hL

i

∂Ti

Ti) = Vi−1hVi−1 − Vih

Vi

+ Li+1hLi+1 − Lih

Li (61)

para el plato de alimentacion:

˙nNFhL

NF+ nNF

(∂hL

NF

∂xNF

xNF+

∂hLNF

∂TNF

TNF) = VNF−1h

VNF−1

− VNFhV

NF+ LNF +1h

LNF +1 − FhL

F (62)

para la etapa de condensador:

59

n1hL1 + n1(

∂hL1

∂x1x1 +

∂hL1

∂T1T1) = V1h

V1 − V2h

V2 + RhL

R − L1hLD (63)

para la etapa de rehervidor:

nNThL

NT+ nNT

(∂hL

NT

∂xNT

xNT+

∂hLNT

∂TNT

TNT) = QR

− VNThV

NT+ LNT−1h

LNT−1 −BhL

NT(64)

60