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Motivaci´ on Modelo de Negociaci´ on de Nash Modelo B´ asico: Ofertas simult´ aneas Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein Modelos B´ asicos de Negociaci´ on Alvaro J. Riascos Villegas Noviembre de 2015 Modelos de Negociaci´ on Universidad de los Andes y Quantil

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Modelos Basicos de Negociacion

Alvaro J. Riascos Villegas

Noviembre de 2015

Modelos de Negociacion Universidad de los Andes y Quantil

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

1 Motivacion

2 Modelo de Negociacion de Nash

3 Modelo Basico: Ofertas simultaneas

4 Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Modelos de Negociacion Universidad de los Andes y Quantil

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Motivacion

Negociaciones bilaterales en el sector de gas natural enColombia.

Redistribucion de recursos en una caja de Edgeworth.

Los agentes pueden estar de acuerdo sobre la redistribucionesque ninguno de los dos quiere (aquellas que no sonindividualmente racionales para ambos).Cualquier redistribucion de recursos individualmente racionalmejorarıa a ambos pero podrıa ser ineficiente.Cualquier redistribucion de recursos en el nucleo serıaindividualmente racional y eficiente.

La pregunta es, cual de esta multiplicidad de resultadosposibles se puede alcanzar mediante una negociacion.

Es necesario precisar el protocolo de negociacion.

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Modelo de Negociacion de Nash

Definition

Un juego (o problema) de negociacion es una pareja (S , d) donde:

1 S ⊂ R2, no vacio, compacto y convexo. El conjunto dealternativas.

2 d = (d1, d2) ∈ S es el punto de desacuerdo o conflicto.

3 Existe x ∈ S tal que x >> d .

Sea F la coleccion de todos los juegos de negociacion.

La interpreatcion del modelo es que si los dos jugadores nollegan a un arreglo el resultado es el punto de desacuerdo.

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Modelo de Negociacion de Nash : Concepto de solucioon

Definition

Una solucion de un juego de negociacion es una φ : F → S

Vamos imponer algunas restricciones naturales sobre elconcepto de solucion.

1 Simetria.2 Eficiencia.3 Invariante frente a transformaciones afines positivas.4 Independencia de alternativas irrelevantes.

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Modelo de Negociacion de Nash: Propiedades conceptosolucion

Definition

Un juego de negociacion es simetrico si:

1 d1 = d22 (x1, x2) ∈ S entonces (x2, x1) ∈ S

Geometricamente el conjunto S debe ser simetrico conrespecto a la lınea x2 = x1.

Un concepto de solucion φ es simetrico si para todo juego denegociacion simetrico (S , d),(φ1(S , d), φ2(S , d)) = (φ2(S , d), φ1(S , d))

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Modelo de Negociacion de Nash: Propiedades conceptosolucion

Definition

Una alternativa x ∈ S es eficiente si no existe y ∈ S , y 6= x tal quey ≥ x .

Sea PO(S) el conjunto de todas las alterntivas eficientes de S .

Un concepto de solucion φ es eficiente si para todo juego denegociacion (S , d), φ(S , d) ∈ PO(S)

De forma analoga se define POW (S) el conjunto de todas lasalterntivas debilmente eficientes de S y un concepto desolucion debilmente eficiente.

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Modelo de Negociacion de Nash: Propiedades conceptosolucion

Cuando las alternativas representan resultados monetarios, esnatural suponer que el concepto de solucion es indpendientede las unidades.

Adiconalemente el beneficio de la negociacion no debedepender de la cantidad incial de dinero de los jugadores: si sele anade un constante al conjunto de resultados, la solucion sedesplaza en la misma cantidad (esta hipotesis desconoce laactitud frente al riesgo de los jugadores).

Definition

Un concepto de solucion φ es covariante bajo cambio de unidadesy traslaciones si para todo a >> 0, b

φ(aS + b, ad + b) = aφ(S , d) + b (1)

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Modelo de Negociacion de Nash: Propiedades conceptosolucion

La propiedad de covarianza es muy natural cuando lasalternativas se miden en utilidades de jugadores con funcionesde utilidad en forma de utlidad esperada.

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Modelo de Negociacion de Nash: Propiedades conceptosolucion

Definition

Un concepto de solucion φ satisface la propiedad de independenciade alternativas irrelevantes si para todo problema de negociacion(S , d), (T , d) y S ⊂ T :

φ(T , d) ∈ S → φ(T , d) = φ(S , d) (2)

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Ejemplos

Intepretamos S como el conjunto de utilidades (esperadas)posibles de los jugadores.

Igualitarismo (Egalitarismo): d = 0,S simetrico. φE (S)maximiza la funcion de bienestar social de Rawls (lo queimporta es la utilidad de la persona que menos utilidad tieneen la sociedad). Geometricamente es un punto eficiente dePareto en el que todos tienen la misma utilidad. Satisfacetodas las propiedades (incluyendo racionalidad individual)menos inv. a tranformaciones afines.

Utiliarismo: d = 0,S estrictamente convexa.φU(S) maximizala suma de la utilidades. Satisface todas las propiedadesmenos inv. a tranformaciones afines.

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Modelo de Negociacion de Nash: Teorema de Nash

Theorem (Nash)

Existe un unico concepto de solucion N para la familia F quesatisface simetrıa, eficiencia, covarianza frente a transfomracionesafines positivas y que tiene la propiedad de alternativasirrelevantes. La solucion es la que resuelve el siguiente problema:

maxx≥d

(x1 − d1)(x2 − d2) (3)

Notese la interpretacion geometrica de este resultado.

La prueba consiste de tres pasos: (1) La solucion a esteproblema es unica. (2) La solucion satisface los cuatroaxiomas de Nash y (3). Es unica.

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Caracterizacion del hiperplano separador

Theorem (Hiperplano separdaor)

N(S , d) = y si y solamente si: (1). y >> d . (2). y ∈ PO y (3).Exiiste un hiperplano separador que pasa por y tal que el anguloentre la lınea que conecta y con d y el eje x1 y el angulo que formala lınea que define el hiperplano al intersectar el eje x1soniguales.

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Caracterizacion de Shapley

Egalitarismo: En la solucion el beneficio en utilidades relativoal punto de desacuerdo es la misma para ambos jugadores.

Utilitarismo: Los jugadores van a escoger una solucion quemaximice la suma de las utlildades relativo al punto dedesacuerdo.

Theorem (Shapley)

Sea (S , d) be un problema de nogicacion tal que para caday >> d , y ∈ PO existe una unica tangente a S que pasa por y .Entonces existe una unica solucion tal que: (1) Existe c quesatisface x2 − d2 = c(x1 − d1) (Egalitarismo) y (2). x maximiza:y2 − d2 + c(y1 − d1) (Utilitarismo).

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Caracterizacion de Shapley

La region de status quo es el conjunto de puntos d ′ ∈ S talque N(d ,S) = N(d ′,S).

Los axiomas de Nash son independientes: para cada conjuntode tres axiomas, existe un concepto de solucion que satisfacelos tres seleccionados pero no el cuarto axioma.

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Crıticas a la solucion de Nash

Luce y Raifa [1957]

La solucion del juego de la figura A es razonable pero no lo esel de la figura B.

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Crıticas a la solucion de Nash

Kalai y Smorodinsky [1975]

Argumentan que el juego (S2, d2) ofrece oportunidades paraambos mejorar estrictamente (aunque uno de ellos mas que elotro). Luego la solucion deberıa de dominar a la solucion deljuego (S1, d1). Sin embargo, la solucion de Nash es comoaparece en la figura.

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Modelo Basico: Ofertas simultaneas

Un vendedor y un comprador de un bien pueden tener costosvaloraciones que hacen eficiente intercambiar el bien.

Sin embargo, los terminos de intercambio pueden ser uncontinuo de precios y puede ser un problema como repartirseel excedente social del intercambio.

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Modelo Basico: Ofertas simultaneas

Un dolar para dividir.

Dos agentes de forma simultanea e independiente anunciancuantos centavos demandan del dolar: n1, n2 respectivamente.

Si n1 + n2 ≤ 100 el juego se acaba y cada uno recibe lo quedemando (podrıa quedar plata sobre la mesa).

Si n1 + n2 > 100 se juego una segunda etapa donde cadaagente observa la demanda de su adversario. En esta etapacada agente de forma simultanea e independiente anuncia sise mantiene firme en su demanda o si accede a que sucontrincante se lleve lo que demando y el se quede con lademana residual.

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Modelo Basico: Ofertas simultaneas

Si los dos se mantiene firmes se acaba el juego sin negociacion(el dolar se queda sobre la mesa).

Si los dos acceden, cada uno se lleva la demanda residual deladversario (quedando plata sobre la mesa).

Si solo uno accede, ese recibe la demanda residual deladversario y el adversario se lleva lo que demando (no se dejaplata sobre la mesa).

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Modelo Basico: Equilibrio de Nash

El juego de negociacion induce un juego en forma extensiva.

Para cada n = 0, ..,100 hay un equilibrio donde el primerjugador recibe n y el segundo jugador recibe 100− n:

Estrategia jugador 1: Demandar n y mantenerse firma en casode tener que volver a jugar.Estrategia jugador 2: Demandar 100− n y mantenerse firma encaso de tener que volver a jugar.

Es facil mostrar que es Nash y es eficiente.

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Modelo Basico: Equilibrio de Nash

Ejercicio: Mostrar que tambien es un equilibrio de Nash lasiguiente modificacion de las estrategias de arriba. El jugador1 hace lo mismo y el jugador 2 demanda 100− n o mas de100− n y accede en la segunda etapa.

El resultado es robusto a variaciones del protocolo (veaseKreps, A Course in Microeconomic Theory, paginas 553-554).

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Modelo Basico: Equilibrio de EPS

El equilibrio de Nash mencionado anteriormente no es EPS:Cada n1 y n2, con n1 + n2 > 100 ofertados por los dosjugadores, definen un subjuego apartir del cual los jugadoresdebe decir de forma simultanea si estan firmes o acceden a laspretensiones del adversario. Considere el subjuego quecomienza en n1 = 75 y n2 = 75 (este no es el equilibrio peroes una posible forma de jugar el juego). En este caso aquicomienza un subjuego. Ahora el equilibrio propuesto inducemantenerse firme en las demandas (que tiene resultado ceropara ambos). Sin embargo cada uno de los jugadores tendrıaun incentivo unilateral a desviarse y ganar 25.

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Modelo Basico: Equilibrio de EPS

Ejercicio (Equilibrio EPS): Considere esta variacion de laestrategias (para cada n = 0, 1, ..,100): En caso de tener quejugar la segunda ronda, 1 accede en caso de haber demandadomas que n en la primera etapa. En caso de que 2 deba volvera jugar, accede si 2 ha demandado mas que 100− n en laprimera ronda y 1 ha demandado n o menos en la primeraetapa.

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MotivacionModelo de Negociacion de Nash

Modelo Basico: Ofertas simultaneasModelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Jugador 1 propone como dividir el dolar (sin dejar plata sobrela mesa).

Jugador 2 Acepta de forma inmediata o en menos de untiempo predeterminado (e.g., un minuto) debe hacer unacontraoferta de como dividir el dolar.

El juego continua indefinidamente.

Si el juego termina en la etapa k y el pago para un jugador esn, su utilidad es δkn donde δ ∈ (0, 1).

Este juego tiene un unico EPS.

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Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Theorem

Considere las siguientes estrategias. Para el jugador que debeofertar como dividir el dolar, el se queda con 100

1+δ . Para eladversario, aceptar esta oferta o cualquiera mejor y rechazarcualquier peor.

Demostracion.

Mostramos que estas estrategias son un EPS. Supongamos que esel turno de quien debe hacer una oferta. Si demanda 100

1+δ va a seraceptada por su adversario. No hay razon para demandar menos. Sidemanda mas el rival, usando la estrategia de equilibrio, demanda1001+δ que debe ser aceptada quedando el que primero oferto con

δ 1001+δ (no hay incentivos unilaterales a desviarse en la primera y

solo la primera ocasion, en que hay oportunidad).

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Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Demostracion.

Ahora supongamos que es el turno de quien debe aceptar orechazar y contraofertar. Si acepta (como indica la estrategia)recibe δ 100

1+δ y si rechaza y a partir de ese momento se sigue

jugando el equilibrio va demandar 1001+δ que debe ser aceptado por

su rival. En valor presente es δ 1001+δ . Luego no hay incentivo a

desviarse.

Demostrar que es unico es mas difıcil.

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Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

Robustez: El modelo se extiende de forma natural a problemasde negociacion. Vaase proposicion 2, pagina 561 de Kreps.

Kreps, pagina 562, explora cinco variaciones del problema deRubinstein.

1 Si el jugador tiene una opcion de salida, practicamente nadacambia.

2 Los agentes tienes diferentes factores de descuento. El maspaciente se queda con una mayor proporcion.

3 En vez de descuento, costo de rechazar una oferta.

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Modelo de Ofertas Alternantes de Rubinstein

En estas variaciones ası como en todas las versionesanteriores, el juego se acaba despues de la primera ronda. ELjugador 1 oferta y 2 acepta.

La racionalidad del juego de ofertas alternantes es que el queoferta le pasa el peso de la decision de esperar al adversario.Para evitarlo este acepta.