I N G E N I E R I A D E P R O C E S O S

MODELOS MATEMÁTICOS BASADOS EN LA NATURALEZA DE LAS

ECUACIONES

MODELOSMATEMÁTICOS BASADOS EN LA NATURALEZA DE

LAS ECUACIONES

-Modelos determinísticos y probabilísticos- Modelos lineales y no lineales- Modelos de estado estacionario y no estacionario - Modelos de parámetros globalizados y distribuidos

• Las estructuras formales de la matemática son creaciones ideales de la mente humana, pero, bien aplicadas, pueden ser un modelo real del mundo.

• Un modelo constituye una representación abstracta de un cierto aspecto de la realidad.

FUNDAMENTOS

Axiomas

Postulados

Reglas

MODELOS

SIMULACIÓN

MODELO DETERMINÍSTICO

Modelo matemático donde las mismas entradas producirán invariablemente las mismas salidas, no contemplándose la existencia del azar ni el principio de incertidumbre.

Características

• Relacionado con la creación de entornos simulados a través de simuladores para el estudio de situaciones hipotéticas

• Utilidad: para crear sistemas de gestión que permitan disminuir la incertidumbre.

Ejemplo

La planificación de una línea de producción, en cualquier proceso industrial, es posible realizarla con la implementación de un sistema de gestión de procesos que incluya un modelo determinístico en el cual estén cuantificadas las materias primas, la mano de obra, los tiempos de producción y los productos finales asociados a cada proceso.

En los modelos determinísticos, una buena decisión es juzgada de acuerdo a los resultados.

MODELOS PROBABILÍSTICOS

El gerente no está preocupado solamente por los resultados, sino que también con la cantidad de riesgo que cada decisión acarrea. Como un ejemplo de la diferencia entre los modelos probabilísticos versus determinísticos, considere el pasado y el futuro: Nada que hagamos ahora puede cambiar el pasado, pero cualquier cosa que hacemos influencia y cambia el futuro.

• Los modelos probabilísticos están ampliamente basados en aplicaciones estadísticas para la evaluación de eventos incontrolables (o factores), así como también la evaluación del riesgo de sus decisiones.

• El centro de interés se mueve desde un modelo determinístico a uno probabilístico usando técnicas estadísticas subjetivas para estimación, prueba y predicción.

• El modelo permite conocer la distribución de probabilidades

de los valores que toma la variable aleatoria.

• En los modelos probabilísticos, el riesgo significa incertidumbre para la cual la distribución de probabilidad es conocida. Por lo tanto, la evaluación de riesgo significa un estudio para determinar los resultados de las decisiones junto a sus probabilidades.

• La evaluación de riesgo cuantifica la brecha de información entre lo que es conocido y lo que necesita saber para tomar una decisión óptima. Los modelos probabilístico son utilizados para protegerse de la incertidumbre adversa, y de la explotación de la propia incertidumbre.

A diferencia de los procesos de toma de decisiones determinísticas tal como, optimización lineal resuelto mediante sistema de ecuaciones, sistemas paramétricos de ecuaciones y en la toma de decisión bajo pura incertidumbre, las variables son normalmente más numerosas y por lo tanto más difíciles de medir y controlar. Sin embargo, los pasos para resolverlos son los mismos. Estos son:

1.Simplificar2.Construir un modelo de decisión3.Probar el modelo4.Usando el modelo para encontrar soluciones:

• El modelo es una representación simplificada de la situación real• No necesita estar completo o exacto en todas las relaciones• Se concentra en las relaciones fundamentales e ignora las

irrelevantes.• Este es entendido con mayor facilidad que un suceso empírico

(observado), por lo tanto permite que el problema sea resuelto con mayor facilidad y con un mínimo de esfuerzo y pérdida de tiempo.

5.El modelo puede ser usado repetidas veces para problemas similares, y además puede ser ajustado y modificado.

MODELOS LINEALES

Aquellas situaciones que después de haber sido analizadas matemáticamente, se representan por medio de una función lineal. En algunos casos nuestro modelo coincide precisamente con una recta; en otros casos, a pesar de que las variables que nos interesan no pertenecen todas a la misma línea, es posible encontrar una función lineal que mejor se aproxime a nuestro problema, ayudándonos a obtener información valiosa.

• Nuestro modelo lineal se puede determinar de manera gráfica o bien, por medio de una ecuación.

• Existen ocasiones en que a una de nuestras variables le pedimos que cumpla varias condiciones a la vez, entonces surge un conjunto de ecuaciones donde el punto de intersección de dichas ecuaciones representa la solución de nuestro problema.

EJEMPLO DE MODELO LINEAL

Supone que observamos como un hombre y una mujer se despiden y empiezan a alejarse uno del otro. A continuación mostramos una lista de las distancias que han recorrido cada uno de ellos en el mismo tiempo.

Hombre Mujer

2 m 1 m

4 m 2 m

10 m 4.85 m

13 m 6.75 m

18.5 m 9 m

20 m 10 m

27 m 13.4 m

La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una recta. Para determinar la ecuación de dicha recta, haremos el siguiente análisis. * Representaremos por medio de y la distancia recorrida por el hombre y por medio de la x la distancia recorrida por la mujer. *Escogeremos dos parejas de datos de la lista, por ejemplo (1,2) y (2,4) * sustituiremos cada una de estas parejas en la ecuación y=mx+b y resolveremos el sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes m y b.

• Solución: Nuestro modelo está representado, analíticamente,

por medio de la recta y=2x

Su solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo

• Observaciones: Notemos que, a pesar de que existen puntos que

no satisfacen la ecuación (por ejemplo (9,18.5) ), hay una mayoría de puntos que si satisfacen la ecuación.

Podemos predecir que, si ambas personas siguen avanzando de manera similar, la mujer no va a poder haber caminado 56 metros, mientras que el hombre hubiera caminado únicamente 50.

FUNCIÓN LINEAL

Decimos que una función es lineal si se puede expresar de la forma:

f(x)= mx+b Donde m y b son constantes.

La gráfica de una función lineal es una recta que tiene pendiente m e intersecta al eje y en el punto (0, b).

A continuación se muestran tres funciones lineales con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones lineales.

Para determinar la ecuación de una recta es necesario encontrar los valores de m y b. Para ello podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, utilizando dos parejas ordenadas distintas que pertenecen a la recta que estamos buscando.

MODELO ESTÁTICO

• Determinan una respuesta para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo.• Los modelos estáticos representan objetos. En

ellos se interpreta la realidad en un instante concreto, como resultado de procesos que no intervienen en la modelización. Estos modelos involucran la aplicación de una única ecuación.

• E = m c^2 (materia en energía)• Costo para cantidad de camas reservadas (en un

hospital)• Un mapa topográfico representa el relieve en un

momento determinado; los procesos geológicos que lo generaron no se modelan, sólo se modela el resultado

• El Modelo de Inventarios de Producción y consumo, es un ejemplo de modelo matemático estático.• Otro ejemplo es la programación lineal, en la que

las restricciones se fijan en términos de los requerimientos de tiempo de los productos individuales y de las horas disponibles por turno a corto plazo. Un modelo estático data por resultado la mejor solución basada en esa condición “estática”.

MODELO DINÁMICO

• Está sujeto al factor tiempo, ya que desempeña un papel esencial en la secuencia de decisiones. Sin importar cuales hayan sido el resultado de la decisión anterior, el modelo matemático nos permite encontrar la decisiones óptimas para los períodos que queden todavía en el futuro.• Los modelos dinámicos representan procesos que

relacionan objetos entre sí. Simulan los mecanismos de cambio y puede estudiarse la sucesión temporal 

DESCOMPOSICIÓN DE UN MODELO DINÁMICO

• Un modelo se compone de partes e interrelaciones

• las partes representan los elementos o unidades funcionales• las relaciones definen las transiciones entre las partes y los

cambios de estado

• La calidad y utilidad de un modelo depende de varios factores:

• una buena identificación de las partes o elementos importantes• una buena definición de los mismos en el lenguaje del modelo• una adecuada descripción de las relaciones entre las partes• la posibilidad de comprobar los resultados mediante

verificación experimental

• La simulación de un incendio forestal o la simulación de la difusión de un contaminante

La evolución de una población P puede describirse mediante modelos dinámicos simples: 

Modelo exponencial:

N(t+1) = N(t) · exp[b(N) - d(N)]

donde N(t) es la población en el tiempo t

las tasas de nacimientos b y defunciones d pueden depender o no del tamaño de la población N