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Modelos matematicos de sistemas continuos
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Contenido
Introduccion Descripcion de sistemas continuos Ejemplo de modelado y simulación Descripcion de entrada-salida de sistemas
continuos Simulacion de modelos continuos
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INTRODUCCION
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Modelos matemáticos
Se expresan mediante ecuaciones matematicas
Permiten el trabajo cuantitativo analizando datos formulando leyes
Tipicamente representan modelos simplificados Modelos que pueden producir resultados falsos
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Tipos de sistemas
• Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo• Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo
• Tiempo-continuo. Los estados del sistema cambian en cualquier momento.• Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo.
• Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas• Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes
estocástico
determinístico
estático dinámico
tiempo-discreto
tiempo-continuo
sim
ulac
ión
de M
onte
carl
o
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Sistemas dinamicos continuos y discretos De tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas
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Formalismos de modelos matematicos De tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas
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Vars./Time Continuous Discrete
Continuous [1] DESS (Differential equation System Specification)Partial Differential EquationsOrdinary Differential EquationsBond GraphsModelicaElectrical circuits
[2] DTSSDifference EquationsFinite Element MethodFinite DifferencesNumerical methods (in general, any computing method for the continuous counterparts], like Runge-Kutta, Euler, DASSL and others.
Discrete [3] DEVS (Discrete Event System Specification)DEVS FormalismTimed Petri NetsTimed Finite State MachinesEvent Graphs
[4] AutomataFinite State MachinesFinite State AutomataPetri NetsBoolean LogicMarkov Chains
Modelos DESS En el formalismo DESS (differential equation
System Specification model) el modelo matemático de un sistema dinámico es:
un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las características dinámicas del sistema.
las cuales se obtienen aplicando leyes físicas.
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Modelos DESS
Modelo mecanico Modelo electrico
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DESCRIPCION DE SISTEMAS DINAMICOS CONTINUOS
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Sistemas dinamicos continuos
Normalmente estamos interesados en los sistemas dinamicos continuos:
Dinamico: ocurren cambios en el periodo de tiempo de interes
Tiempo continuo: los cambios ocurren continuamente Variables continuas: los cambios pueden tomar cualquier
valor Deterministico: se asume que es posible modelar el
sistema como si fuera completamente conocido
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Descripcion interna de sistemas continuos
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Inputs, u Outputs, y States, x
Su yx
y = S[u]SISO, MIMOStatic or dynamic
Descripcion en variables de estado
Descripcion de sistemas LTI
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x Ax Bu
y Cx Du
Matrices constantes
Demostrar que el sistema dinamico modelado mediante las matrices ABCD es un sistema lineal
00x x
Trayectoria del estado
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Origin of the state space
(0, 0, 0)
t = 0t = 1
t = 2
t = 3
t = 4
State variable 1(x1)
State variable 2x2
State variable 3x3
State vectors at different times
Statetrajectory
Respuesta de un sistema lineal
Dado el modelo del sistema, nuestro interes esta en determinar
tanto la trayectoria del estado, como la respuesta de entrada-salida del sistema.
El calculo de esta respuesta involucra la solucion de una ecuacion diferencial.
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Ejemplo: respuesta de un sistema escalar ¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar?
22
Conocido el estado inicial
dx tax y Cx
dt
0 0x t x
Respuesta de un sistema escalar
¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar?
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La solucion involucra un proceso de integracion
dx tax y Cx
dt
0
0
t
t
x t x t ax d
Respuesta de un sistema escalar
¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar?
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Trayectoria del estado
dx tax y Cx
dt
0
0
t
t
x t x t ax d
La salida es una combinacion (lineal) de los estados
Representacion en bloques de un sistema lineal Ejercicio:
Haga un diagrama del sistema lineal descrito por las ecuaciones,
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x Ax Bu
y Cx Du
00x x
Representacion en bloques
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x Ax Bu
y Cx Du
00x x
Integracion
Condicion inicial
EJEMPLO DE MODELADO Y SIMULACIÓN
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Ejemplo de modelado
Se propone entonces:
Discutir el modelado del amortiguador de un automovil.
Proponer un modelo matematico
Construir el modelo en Simulink
Verificar el comportamiento del modelo
Un modelo matematico del sistema
M
K B
x
f t El modelo matemático del sistema puede ser descrito por:
)(tfkxxcxm
Parametros:
m = 0.25, c = 0.5, k = 1
Analisis de las ecuaciones
Forma estandar
Frecuencia natural
Razon de amortig.
Gananacia estatica
)(1
tfk
xxkc
mkx
5.02
kc
n
0.2mk
n
11 k
K
El modelo en simulink
xm m1
s1
s1x x
c
k
xc
kx
f(t)input
+-
-x
x
x x(t)output
El proposito del diagrama de simulation es resolver la ODE del modelo matematico propuesto
Verificacion de los resultados de simulacion El amortiguamiento es menor que uno (0.5)
Se espera que el sistema sea sub-amortiguado Se espera sobrepulso
La ganancia estatica es uno
Se espera que la magnitud de la salida sea igual a la magnitud de la entrada.
¿Los resultados de simulación se ajustan a las expectativas?
Ejercicio
Construya el modelo en Simulink. Verifique el modelo.
Plantee preguntas sobre el caso
Consulte como el Toolbox SimMechanics modela el sistema masa-resorte-amortiguador
DESCRIPCION DE ENTRADA-SALIDA DE SISTEMAS CONTINUOS
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Descripcion de entrada-salida de sistemas LTI La relacion entrada/salida de un sistema lineal
invariante en el tiempo de dimension finita dinámico, operando sobre señales de tiempo continuo es
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Una ecuación diferencial ordinaria
)()()()(')( )(010 tubtubtyatyatya m
mnn
n
Descripcion de entrada-salida de sistemas LTI La relacion entrada/salida de un sistema LTI de
dimension finita tambien se da en terminos del operador diferencial
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y(t) = G(p) u(t)
:pu t u tt
Operador diferencial
¡no confundir con la variable compleja s!
Respuesta de los sistemas LTI
La relacion entrada/salida se puede obtener mediante distintas representaciones:
La respuesta al impulso
La función de transferencia
La respuesta de frecuencia
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g(t)
G(s)
G(iw)
La función de transferencia
La función de transferencia G(s) es la respuesta estacionaria del sistema lineal
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Y (s)= G(s)U (s)
Donde s es la variable de Laplace, yY(s), U(s) las transformadas de Laplace de la salida y la entrada
es una función compleja
La respuesta de frecuencia
Es la respuesta estacionaria de un sistema lineal ante una señal de entrada sinusoidal
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siny t G i t
La respuesta al impulso
La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso g(t)
40
0
y t g u t d
Para condiciones iniciales nulas
Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODE Considere un sistema lineal invariante en el
tiempo, descrito por la siguiente ecuación diferencial
donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada del sistema.
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)()()()(')( )(010 tubtubtyatyatya m
mnn
n
Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODE Para obtener la función de transferencia del
sistema:
se toma la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación diferencial,
considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero
42
)()()()( 010 sUbsbsYasasa mm
nnn
La funcion de transferencia
Entonces, la función de transferencia está dada por
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nnn
mm
asasa
bsb
sUsY
sG
10
0
)()(
)(
La funcion de transferencia es un recurso matematico util para representar sistemas
lineales, invariantes en el tiempo, con condiciones iniciales nulas
Polos y ceros de la funcion de transferencia
Se definen los ceros de G(s) como las raíces del numerador de G(s) y los polos de G(s) como las raíces del denominador
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nnn
mm
asasa
bsb
sUsY
sG
10
0
)()(
)(
¡Para la representacion en variables de estado de sistemas
los polos y ceros no estan definidos!
Equivalencia de las representaciones
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Conexión entre la respuesta al impulso, la función de transferencia, y la respuesta en frecuencia
Fourier
Laplace
Teorema de Bode
Equivalencia de las representaciones
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Ejercicio
Investigue como Matlab representa un sistema dinámico en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m
Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback
Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class
Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems.
University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics.
School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.
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