Departamento de Matemática

Trabajo de Diploma Presentado en opción al título de Licenciado en Matemática

MODELOS PARA LA ASIGNACIÓN ÓPTIMA DE RECURSOS HUMANOS EN

PROYECTOS DE REPARACIÓN DE EMBARCACIONES NAVALES

Autora: Joana Samuyenga Visaka

Tutores: Dr. C. Alexander Gorina Sánchez

Lic. Vicente Juan Gainza

Santiago de Cuba Curso 2010-2011

“Año 53 de la Revolución”

“La vida es aquello que te va sucediendo mientras tú te empeñas en hacer otros planes”

John Lennon

Dedicatoria En honor a mi mamá, mi hijo y mis hermanos, por todo el cariño que me han dado y ser la

fuente de mi inspiración en el desarrollo de mi carrera como profesional.

Agradecimientos Doy Gracias al Señor Jesús Cristo por darme la victoria del triunfo de mi carrera y por

hacer todo posible en mi formación profesional, gracias Dios tu eres mi sustento.

Ha sido un gran honor para mí, haber podido contar con la tutoría del Dr. Alexander

Gorina Sánchez, a quien le estoy agradeciendo por su dedicación, entrega y brindarme

los conocimientos necesarios para lograr una investigación rigurosa en poco tiempo.

De igual modo quiero agradecer la ayuda brindada por Lic. Vicente Juan Gainza quien

aporto su experiencia en el tema investigado y su apoyo incondicional.

También agradezco a todos los profesores del departamento de Matemática que de

una u otra forma contribuyeron con mi formación profesional.

A quien le agradezco todo lo que soy, mi mamá Maria Zuze Ndona.

A quien fue mi soporte espiritual, mi amiga Alexandrina Petrus, por bridarme

incondicionalmente su apoyo, amor, cariño y amistad.

Agradezco a mi compañero de aula Yudier Peña Pérez por su apoyo en los estudios

durante los cuatro años de la carrera, por su compañía, amor, por ser más que un

compañero, un hermano que nunca podré olvidar.

También agradezco a mis hermanas y hermanos por su amor y motivación para salir

adelante.

Agradezco a Jorge Osmani Téllez por su amor, cariño y preocupación por mí.

A todos, mi más sincera gratitud ♥

Resumen En el presente trabajo se realiza un estudio para perfeccionar la planificación de recursos

humanos en la empresa ASTOR bajo las condiciones propias de varios proyectos de

reparación de embarcaciones navales. Se formulan Problemas de Programación Lineal en

Enteros (PPLE) que permiten realizar una asignación óptima de los recursos humanos

bajo diferentes criterios y se encuentra su solución con ayuda del software Microsoft Excel

2010. Además, en los mencionados PPLE se introduce un índice dinámico de rendimiento

promedio quincenal (IDRPQ) pronosticado a partir de un modelo ARIMA, aplicando la

Metodología Box-Jenkins y utilizando el software STATISTICA 8.0. Como resultado, se

obtiene la cantidad mínima de asignaciones de recursos humanos necesarios para cada

calificación, así como la cantidad mínima de recursos humanos a asignar diariamente bajo

las restricciones propias del sistema de producción multiproyecto.

Abstract The Present work accomplishes a study to improve the planning of human resource in the

company ASTOR under the conditions of various projects of repairing naval boats. Integer

Linear Programming Problems (ILPP) which permits the optimal assignation of human

resource under different criteria’s are formulated and the solution is obtained using

Microsoft Excel 2010 software. Furthermore, in the mentioned ILPP a predicted yield

fortnightly average dynamic index (YFADI) was introduced from an ARIMA model, applying

the methodology of Box-Jenkins and using STATISTICA 8.0 software. As a result, the

minimum amount of human resource necessary assigned for each calification and the

minimum amount of human resources assigned per day under the restrictions of the

production system of multiproject was achieved.

ÍNDICE

Pág.

INTRODUCCIÓN 1

CAPÍTULO 1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN ÓPTIMA DE RECURSOS HUMANOS EN PROYECTOS DE REPARACIÓN DE EMBARACIONES NAVALES

Introducción al capítulo..................................................................................... 5

1.1 Breve caracterización del proceso de reparación de embarcaciones navales en la empresa ASTOR………………………………………………

5

1.2 Metodología de la Investigación de Operaciones (IO)............................... 7

1.3 Planeación de proyectos mediante los métodos PERT y CPM................. 10

1.4 Elementos de Programación Lineal en Enteros (PLE)……………………. 12

1.5 Modelos y métodos de pronóstico…………………................................... 15

1.5.1 Procesos AR, MA, ARMA y ARIMA……………………………….. 17

1.5.2 Metodología de Box-Jenkins………………………………………. 20 CAPÍTULO 2 MODELACIÓN MATEMÁTICA PARA LA ASIGNACIÓN ÓPTIMA DE

RECURSOS HUMANOS EN PROYECTOS DE REPARACIÓN DE EMBARCACIONES NAVALES

Introducción al capítulo.......................................................................................... 23

2.1 Recolección de datos y definición del problema matemático.................... 23

2.2

Modelos matemáticos propuestos para la asignación óptima de recursos humanos en proyectos de reparación de embarcaciones navales ………………………………………………………………………….

26

2.3 Definición del índice dinámico de rendimiento promedio quincenal (IDRPQ)……….......................................................................................... 33

2.3.1 Pronóstico del IDRPQ mediante la metodología Box-Jenkins…... 35

2.4 Discusión de los resultados de la investigación……………………………. 45

CONCLUSIONES GENERALES 48

RECOMENDACIONES 49

BIBLIOGRAFÍA 50

ANEXOS

Anexo 1: Calificaciones y disponibilidades de los recursos humanos………….. 53

Anexo 2: Cantidad de horas hombre (h/h) planificadas y real ejecutadas para

la calificación ayudante……………………………………………………54

Anexo 3: Formulación del problema ………………………………

1436→1431

1p 55

Anexo 4: Formulación del problema ………………………

1436→1431

1ˆicp 61

1

INTRODUCCIÓN

Las empresas deben ser cada vez más competitivas para poder mantenerse en el mercado

económico actual. Esto obliga a las organizaciones a ofrecer una gran variabilidad de productos, a

satisfacer de forma inmediata las demandas, a reducir los costos, etc.; lo que implica cambios

constantes para lograr los niveles de calidad deseados por los clientes en aras de ser competitivos.

Según plantea E. Z. Rodríguez (2006), en los últimos años existe en varios países una creciente

necesidad en las organizaciones de adaptarse a los cambios constantes del mercado, de aquí la

importancia otorgada a la Organización del Tiempo de Trabajo (OTT). Este mismo investigador

hace referencia a la Asignación de Tareas (AT) como un elemento esencial de la OTT, en la misma

se parte de un conocimiento previo de la cantidad de personal disponible y de la demanda de las

tareas, y se quiere satisfacer de forma óptima dicha demanda, utilizando el personal del que se

dispone y siguiendo ciertas pautas de comportamiento.

Estas pautas surgen por razones económicas, ergonómicas, de calidad, prioridad de las

organizaciones, preferencias del personal, aspectos sociales, disposiciones legales, sistemas de

trabajo, entre otras. Por ejemplo, dichas pautas pueden definir el tiempo que el personal ha de

pasar de forma continua en una tarea, el tiempo mínimo requerido para realizar una tarea, entre

otros muchos más aspectos que son considerados al llevar a cabo la Asignación de Tareas.

Teniendo en cuenta las razones anteriores, en la empresa Astilleros del Oriente Santiago de Cuba

(ASTOR) se han realizado estudios de la OTT que han brindado algunas pautas para realizar una

planificación de la reparación de embarcaciones. Entre estos estudios se destacan los

desarrollados por el Lic. Vicente Juan Gainza, especialista de ASTOR y el trabajo de Diploma de

Valiente, A. (2008).

A pesar de los resultados que han aportado estos estudios, un diagnóstico realizado al proceso de

reparación de embarcaciones en ASTOR, permitió valorar que todavía persisten algunas

insuficiencias con la OTT, siendo la de mayor peso la toma de decisiones subjetivas en algunos

niveles tácticos y operativos de dicho proceso, debido a la limitada utilización de estrategias que

aporten diferentes alternativas de decisión, sustentadas en un soporte científico sólido.

Los elementos anteriores dan cuenta de la necesidad de perfeccionar el proceso de organización

del tiempo de trabajo en los proyectos de reparación de embarcaciones navales de la empresa

ASTOR. Lo anterior constituye el problema científico de la presente investigación y su solución

posibilitaría favorecer el monitoreo y control eficiente de dichos proyectos de reparación, lo que

reviste gran importancia para lograr los niveles de calidad deseados en la mencionada empresa.

2

Ahora bien, para darle un tratamiento adecuado al problema científico de la investigación se

consideró imprescindible profundizar en el proceso de planificación de recursos humanos en los

proyectos de reparación de embarcaciones navales, el cual constituye el objeto de la presente

investigación.

Al profundizar en el estudio del objeto de la investigación declarado, en particular en su dimensión

empírica perteneciente a la empresa ASTOR, pudo constatarse a partir del análisis de diversas

fuentes de datos, la existencia de una sobreplanificación del tiempo de trabajo en varias

actividades. Esta situación está relacionada con la carencia de estrategias que posibiliten realizar

una toma de decisiones adecuada para lograr una AT óptima, de acuerdo a ciertos criterios

alternativos de interés y bajo ciertas restricciones propias del sistema de reparación, como son la

cantidad de personal disponible, la demanda de las tareas, las pautas de comportamiento, entre

otras.

A su vez, al penetrar en el estudio del objeto de la presente investigación, pero desde la cultura

generada por otros investigadores, pudo comprobarse que en el ambiente socioeconómico actual,

altamente competitivo y complejo, el proceso de planificación de recursos humanos en diferentes

proyectos en empresas que aspiran a ser competitivas, no estimula la utilización de los métodos

tradicionales de toma de decisiones, pues estos se han vuelto inoperantes e inadmisibles. Además,

los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan a

situaciones complejas y cambiantes con rapidez, por lo que ha prevalecido significativamente el

empleo de estrategias que aporten soluciones creativas y prácticas, apoyadas en una base

cuantitativa sólida, para lo cual se sustentan esencialmente en las herramientas de la Investigación

de Operaciones (IO).

En esta dirección, varios son los trabajos en los cuales se ha logrado realizar una adecuada

aplicación de la Metodología de la IO para resolver problemas de planificación de recursos

humanos (Fernández, A., 1996; Charles, Bonini, 1999; Gallardo, Anahi, 1996; Mendoza, J. G.,

2002; Wolfus, P., 2008 y Ramos A., 2010). En Algunos trabajos se han aplicado las herramientas

de Programación Lineal en Enteros, logrando realizar una asignación óptima de los recursos

humanos bajo ciertos criterios, incluso brindando un tratamiento adecuado a los ambientes de

incertidumbre (Agirre, I., 2007; García, A. M., 1998; Ramos A., Alonso-Ayuso A., Pérez G., 2008 y

Ramos A., 2010).

Como puede apreciarse en lo expuesto anteriormente, se manifiesta una contradicción que se

expresa entre la complejidad del ambiente socioeconómico actual y la insuficiente aplicación de

3

métodos cuantitativos para la toma de decisiones en la empresa ASTOR. De aquí la necesidad de

solventar esta contradicción a partir de profundizar en el estudio del proceso de asignación de

tareas a los recursos humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones navales de la

empresa ASTOR, el cual se toma como el campo de acción de la investigación.

Debe señalarse que este campo de acción ha sido sistematizado en trabajos como Warner, D. M. y

Prawda, J. (1972), Arthur, J. L. y Ravindran, A. (1981), Bailey, J. (1988), Ozkarahan, I. y Bailey, J.

(1988), Ozkarahan, I. (1989), Isken M. y Hancock, W. (1990), Bastías, S. y Chacón, M. (2001) y,

Rodríguez, E. Z. (2006). No obstante, la aplicación de los aportes de estos trabajos al proceso de

asignación de tareas a recursos humanos en proyectos de reparación de embarcaciones navales

de la empresa ASTOR no es un proceso lineal, más bien se requiere de una contextualización a las

condiciones y exigencias propias de este proceso, que podría exigir una reformulación o

modificación de los modelos existentes.

En este contexto, se concibió como objetivo de la investigación la obtención de modelos

matemáticos para realizar una asignación óptima de los recursos humanos a las tareas de los

proyectos de reparación de embarcaciones navales de la empresa ASTOR, que posibiliten

perfeccionar el proceso de organización del tiempo de trabajo en dichos proyectos.

La utilización de tales modelos matemáticos puede tener un gran impacto económico, por lo que

reviste gran importancia en la actualidad, al enriquecer el soporte científico de las decisiones que

deben tomarse en niveles tácticos y operativos, relacionados con los proyectos de reparación de

embarcaciones en la empresa ASTOR.

Se asume entonces, como hipótesis de la investigación, que si se emplean modelos

matemáticos para realizar el proceso de asignación de tareas a los recursos humanos en los

proyectos de reparación de embarcaciones navales de la empresa ASTOR, que tome en cuenta la

contradicción que se manifiesta entre la complejidad del ambiente socioeconómico actual y la

insuficiente aplicación de métodos cuantitativos para la toma de decisiones en dicha empresa, se

puede perfeccionar el proceso de organización del tiempo de trabajo en los mencionados

proyectos.

4

Una vez definido el camino hipotético que daría solución al problema científico de la presente

investigación, se desarrollaron las siguientes tareas científicas:

1. Caracterizar brevemente el proceso de reparación de embarcaciones navales en la empresa

ASTOR.

2. Caracterizar la metodología de investigación de operaciones y los métodos y modelos

matemáticos de mayor utilidad para los proyectos de reparación de embarcaciones navales.

3. Elaborar modelos para realizar el proceso de asignación de tareas a los recursos humanos en

los proyectos de reparación de embarcaciones navales, que posibiliten perfeccionar el proceso

de organización del tiempo de trabajo en dichos proyectos en la empresa ASTOR y realizar

una ejemplificación con los mismos.

4. Valorar la pertinencia científica de los principales resultados de la investigación.

Teniendo en consideración las tareas científicas anteriores, se estructuró el informe de la

investigación de la siguiente forma:

En el Capítulo 1 se presenta una breve caracterización de la reparación de embarcaciones navales

en la empresa ASTOR, así como de los métodos y modelos matemáticos de mayor utilidad para la

toma de decisiones en los proyectos de reparación de embarcaciones navales.

En el Capítulo 2, se formulan los modelos matemáticos para la asignación de los recursos

humanos a tareas de los proyectos de reparación de embarcaciones navales en la empresa

ASTOR. Además, se presenta una ejemplificación con los mismos y se realiza una valoración

sobre los principales resultados de la investigación.

Finalmente, se brindan las conclusiones del trabajo, las recomendaciones para futuras

investigaciones, las referencias bibliográficas y los anexos, posibilitando estos últimos esclarecer o

complementar ciertos análisis realizados en el cuerpo del informe.

5

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA EL PROBLEMA DE ASIGNACIÓN

ÓPTIMA DE RECURSOS HUMANOS EN PROYECTOS DE REPARACIÓN DE

EMBARCACIONES NAVALES

Introducción al capítulo

En el presente capítulo se expone una breve caracterización de la reparación de embarcaciones

navales en la empresa ASTOR. Se presenta la metodología de Investigación de Operaciones y se

sintetizan los principales métodos y modelos matemáticos que posibilitan una asignación óptima de

recursos humanos en proyectos de reparación de embarcaciones navales.

1.1 Breve caracterización del proceso de reparación de embarcaciones navales en la

empresa ASTOR

Se comenzará por precisar que la misión de la Empresa ASTOR es: “Brindar servicios de

construcción y reparación de transporte marítimo, industrial y de suministro de fuerza de trabajo

calificada acorde a los estándares mundiales de calidad en el área del Caribe, satisfaciendo los

requerimientos y necesidades de los clientes” (ASTOR, 2009).

Además, resulta conveniente señalar que la visión de dicha empresa es: “Ser patrón y referencia

obligada para todo el Caribe en la construcción y reparación de embarcaciones navales de

mediano y pequeño porte y en el suministro de fuerza de trabajo hasta el área de Latinoamérica,

caracterizándose por su capacidad de respuesta, calidad, precios atractivos, seguridad y

competitividad de su capital humano” (ASTOR, 2009).

Ahora bien, otro elemento que posibilita comprender el papel que tiene la empresa ASTOR para la

economía del país es su amplio objeto social, del cual se puede mencionar uno de sus

componentes principales: “Realizar la construcción, reconstrucción, remodelación, reparación, y

mantenimiento de buques, embarcaciones y otros artefactos navales, tanto en talleres como a flote

y en travesía, así como brindar servicios propios de la actividad naval … en moneda nacional para

entidades nacionales y, en divisa, a entidades mixtas y extranjeras” (ASTOR, 2009).

6

Por otro lado, es necesario puntualizar que la reparación de embarcaciones navales en la empresa

ASTOR se rige por diferentes tareas1 generales, las mismas se presentan a continuación:

1. Recepción del Buque.

2. Inspección de las instalaciones del varadero para la varada.

3. Varada.

4. Traslado a Zona de Reparación.

5. Limpieza y tratamiento general del casco y todos sus compartimientos.

6. Reparación y Pailería.

7. Terminación.

8. Inspección de instalación del varadero para la Botadura.

9. Botadura.

10. Inspección general.

11. Prueba y entrega.

12. Satisfacción del cliente.

Cada tarea general está dividida en diversas sub-tareas, y a su vez, cada sub-tarea debe ser

ejecutada por ciertos recursos humanos que deben tener una calificación determinada. Estas

tareas generales y sub-tareas conforman el sistema de reparación para cada una de las

embarcaciones navales (o proyecto), que en su conjunto conforman un sistema mayor de

reparación de varias embarcaciones navales (o multiproyecto).

Como puede inferirse, la reparación de embarcaciones navales es una actividad de alta

complejidad y de una gran especialización. El elevado número de tareas que deben ser ejecutadas

en las diferentes posiciones de dichas embarcaciones, de acuerdo a las diferentes calificaciones de

los recursos humanos, exige del control eficiente de estos últimos, así como de los medios técnicos

disponibles y recursos materiales, tomando como base estrategias que posibiliten realizar una

adecuada toma de decisiones.

La empresa ASTOR, por estar insertada en el ambiente socioeconómico actual, altamente

competitivo y complejo, ha incrementado la estimulación salarial como una alternativa para lograr

niveles aceptables de productividad en el proceso de reparación de embarcaciones navales. De

aquí que en el año 2000, introdujo un sistema de pago por resultados, que pretende el ahorro de

tiempo de culminación de los objetos de obra.

1- Una descripción más detallada de las diferentes tareas generales y sub-tareas puede consultarse en el trabajo Valiente, A., Gorina, A. y Gainza, V. J. (2008).

7

Sin embargo, se considera que dicha alternativa por sí sola no brinda una solución eficiente, pues

se necesita que el proceso de asignación de recursos humanos en los proyectos de reparación de

embarcaciones sea llevado a cabo a partir del empleo de estrategias que aporten soluciones

creativas y prácticas, apoyadas en una base cuantitativa sólida, que posibilite el conocimiento

sobre el comportamiento de varios factores que intervienen en del proceso de reparación de

embarcaciones navales. Lo que facilitaría la toma de decisiones para la asignación óptima de los

recursos que intervienen en el proceso productivo, permitiendo una reducción de costos de

producción y una elevación de la rentabilidad del proceso de reparación de embarcaciones

navales.

En tal sentido, se considera imprescindible que se valore en dicha empresa los beneficios que

aportaría la utilización de las herramientas de la Investigación de Operaciones (IO) en la toma de

decisiones para la asignación óptima de los recursos que intervienen en el proceso de reparación

de embarcaciones navales, y en particular su metodología, que ha sido aplicada exitosamente en

problemas de variadas temáticas en diferentes trabajos, entre los que se destacan Ozkarahan, I. y

Bailey, J. (1988), Ozkarahan, I. (1989), Isken M. y Hancock, W. (1990), Bastías, S. y Chacón, M.

(2001) y Rodríguez, E. Z.(2006).

1.2 Metodología de Investigación de Operaciones (IO)

La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una rama de las Matemáticas

consistente en el uso de modelos matemáticos, de la Estadística y de algoritmos con el objetivo de

realizar un proceso de toma de decisiones, es una moderna disciplina científica que se caracteriza

por la aplicación de teoría, métodos y técnicas especiales, para buscar la solución de problemas de

administración, organización y control que se producen en los diversos sistemas que existen en la

naturaleza y los creados por el ser humano, tales como las organizaciones diversas a las que

identifica como sistemas organizados, sistemas físicos, económicos, ecológicos, educacionales, de

servicio social, etc (Sánchez, R. et al, 2009).

La Investigación de Operaciones, hace uso de una metodología para resolver problemas

científicos, tomando en consideración las etapas de un proyecto de Investigación de Operaciones.

Estas etapas, según plantea R. Sánchez et al (2009), son las siguientes:

a) Recolección de datos y definición del problema matemático

En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se

desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las

8

restricciones del sistema. También hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisión,

los límites de tiempo para tomar una decisión y las restricciones para producir una solución

adecuada. Este proceso de definir el problema es muy importante ya que afectará en forma

significativa las conclusiones en estudio, es imposible extraer una respuesta correcta de un

problema equivocado. Una parte bien importante para la formulación de un modelo matemático es

la recolección de datos, pues ellos permitirán la realización del modelo y la exactitud de los

resultados, pues se necesitan muchos datos para lograr un entendimiento exacto del problema y

proporcionar el insumo adecuado para el modelo matemático que se formulará en la siguiente

etapa del estudio.

b) Formulación de un modelo matemático

Una vez que se asegura que la definición del problema matemático ha sido construida de manera

específica y correcta, se continúa con la formulación de un modelo matemático, este modelo debe

ser formulado de tal manera que exprese lo más significativo de dicho problema.

El modelo matemático está basado en ecuaciones y desigualdades establecidas en términos de

variables, las cuales expresan la esencia del problema a resolver y son definidas en función de las

características fundamentales del problema. Después de localizar las variables en función de dicho

problema, se procede a determinar matemáticamente las dos partes que constituyen el modelo:

La medida de efectividad que permite conocer el nivel de logro de los objetivos, generalmente

es una función llamada función objetivo.

Las limitantes del problema, llamadas restricciones, que son un conjunto de igualdades o

desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución del objetivo.

c) Obtención de una solución a partir de los modelos matemáticos, prueba del modelo y de

su solución

Una vez que se tiene el modelo, se procede a obtener una solución matemática empleando las

diversas técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. Resolver un

modelo consiste en encontrar los valores de las variables dependientes, asociadas a las

componentes controlables del sistema con el propósito de optimizar, si es posible, o cuando menos

mejorar la eficiencia o la efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los

objetivos y las restricciones del problema. Se debe tener en cuenta que las soluciones que se

obtienen en este punto del proceso, son matemáticas y se deben interpretar en el mundo real. La

selección del método de solución depende de las características del modelo.

9

El modelo debe probar su validez, antes de ser implantado, observando si los resultados predicen o

no, con cierta aproximación o exactitud, los efectos en relación a las diferentes alternativas de

solución. Para comprobar la solución del modelo, deberá recopilarse la información, con el fin de

hacer las pruebas necesarias y hacer la verificación según los siguientes pasos:

1) Definir científicamente (incluyendo la medida de rendimiento)

2) Llevar a cabo el muestreo (incluyendo el diseño de experimentos)

3) Reducir el número de datos

4) Utilizar los datos en la prueba de hipótesis

5) Evaluar los resultados

Si estos pasos son llevados a cabo recurrentemente cada vez que se obtienen resultados del

modelo y son presentados al grupo de toma de decisiones, se empieza a ejecutar un procedimiento

sistemático de control que depura y ajusta al mismo, con la realidad.

d) Establecimiento de controles sobre la solución del modelo matemático

Una solución establecida como válida para un problema, permanece como tal, siempre y cuando

las condiciones del problema, las variables no controlables, los parámetros, las relaciones, entre

otros, no cambien significativamente. Esta situación se vuelve más factible cuando algunos de los

parámetros fueron estimados aproximadamente. Por lo anterior, es necesario generar información

adicional sobre el comportamiento de la solución debido a cambios en los parámetros del modelo,

usualmente esto se conoce como análisis de sensibilidad. En pocas palabras, esta fase consiste en

determinar los rangos de variación de los parámetros dentro de los cuales no cambia la solución

del problema.

e) Implantación de la solución del modelo matemático

Cuando ya se ha desarrollado el sistema para aplicar el modelo, la última etapa consiste en la

implantación de los resultados probados del mismo. Esto básicamente implicaría la traducción de

estos resultados en instrucciones de operación detallada, emitidas en una forma comprensible a los

individuos que administrarán y operarán al sistema. Al culminar el estudio, es apropiado que el

equipo de investigación de operaciones documente su metodología utilizada con suficiente claridad

para que el trabajo sea reproducible.

Una vez presentada la metodología de la investigación de operaciones, la cual constituye una

lógica investigativa de gran utilidad que puede ser empleada para perfeccionar el proceso de

asignación de tareas a los recursos humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones

10

navales de la empresa ASTOR, resulta conveniente introducir algunos elementos básicos más

específicos relacionados con la planeación de proyectos mediante PERT y CPM, que sientan las

bases para reforzar el mencionado proceso.

1.3 Planeación de proyectos mediante los métodos PERT y CPM

De forma general puede decirse que las empresas, organizaciones, instituciones y los individuos

ejecutan operaciones continuas y emprenden proyectos como un medio para alcanzar sus planes

estratégicos. La empresa ASTOR no escapa a esta realidad, y si bien se tienen resultados

parciales alentadores, todavía se precisa del continuo perfeccionamiento de la planificación, control

y toma de decisiones en los proyectos de reparación de embarcaciones navales.

Ahora bien, para una mejor comprensión de los elementos técnicos que se utilizan en los proyectos

de reparación de embarcaciones navales que se utilizan en la presente investigación, deben

abordarse varios aspectos. Se comenzará por precisar que se entiende por proyecto, a la

combinación de actividades interrelacionadas que deben ejecutarse en un cierto orden antes que el

trabajo completo pueda terminarse. Las actividades que lo componen están interrelacionadas en

una secuencia lógica en el sentido que algunas de ellas no pueden comenzar hasta que otras se

hayan terminado. Una actividad en un proyecto, usualmente se ve como un trabajo que requiere

tiempo y recursos para su terminación.

Cuando la realización de un proyecto envuelve un número limitado de acciones a realizar, en

muchas ocasiones basta para dirigir su realización con la experiencia de su dirigente. Sin embargo,

la creciente complejidad de los proyectos actuales ha demandado métodos de planeación más

sistemáticos y más efectivos con el objetivo de optimizar la eficiencia en el proceso de su

ejecución. La eficiencia en este caso implica efectuar la mayor reducción en el tiempo requerido

para terminar el proyecto mientras se toma en cuenta la factibilidad económica de la utilización de

los recursos disponibles.

Uno de estos métodos de planeación es el denominado PERT 2 (Program Evaluation and Review

Technique), mientras que el otro es el denominado CPM (Critical Path Method). Ambos métodos se

popularizaron muy pronto y actualmente están muy difundidos, utilizándose por muchas empresas

para controlar el desarrollo de obras de diferente envergadura, desarrollo de proyectos de

investigación, control de programas a corto y mediano plazos, etc.

2-Una explicación más detallada sobre el método PERT, puede consultarse en Charles, A., Watson J. (1982).

La diferencia fundamental entre estos dos métodos radica en la manera en que se realizan los

estimados de tiempo para las actividades. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una

de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de probabilidad, mientras

que el CPM parte del supuesto de que los tiempos de las actividades se conocen en forma

determinística y se pueden variar cambiando el nivel de los recursos utilizados.

El método PERT supone que el tiempo de las actividades se distribuye de acuerdo a una

distribución Beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres estimados:

a) Estimado de tiempo más optimista.

b) Estimado de tiempo más pesimista.

c) Estimado de tiempo más probable.

El tiempo más probable o moda ( ) es el tiempo requerido para realizar la actividad bajo

condiciones normales. Los tiempos optimistas o mínimo ( ) y pesimistas o máximo (b )

proporcionan una medida de la incertidumbre inherente a la actividad, incluyendo desperfectos en

el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en la llegada de los materiales y otros factores.

m

a

A partir de la distribución definida, la media (esperada) del tiempo de una actividad puede

estimarse por medio de la fórmula de aproximación:

6

4 bmat

, aquí t denota el tiempo medio.

Respectivamente, puede ser determinada la desviación estándar mediante la expresión: 6

ab

Tanto el PERT como el CPM exigen de realizar una planeación del proyecto, es decir, desglosar

el proyecto en actividades, estimar los recursos y el tiempo para cada actividad y describir las

interrelaciones de las actividades. Pero además se necesita de una programación del proyecto

donde se precisan las fechas de inicio y terminación para cada actividad. Esta programación es la

que posibilita controlar la ejecución del proyecto, siendo indispensable para ello disponer de

información sobre el estado actual del mismo y analizar los posibles cambios cuando surgen

dificultades.

Aquí debe puntualizarse que en un proyecto generalmente existe un camino crítico, que está

integrado por un conjunto de actividades críticas que parten del suceso inicio y llegan hasta el

suceso final. Por lo tanto, se dice que las actividades son críticas cuando no tiene tiempo de

11

holgura, lo que reviste gran importancia a la hora de llevar a cabo la planificación de los recursos

humanos, e incluso de su asignación a las diferentes tareas a ejecutar en el proyecto.

Si una actividad del camino crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la misma

cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen cierta holgura; esto es, pueden

empezarse más tarde y permitir que el proyecto como un todo se mantenga en programa.

Todos los aspectos anteriores son de gran interés para poder establecer las condiciones más

generales sobre las cuales se debe sustentar la asignación de recursos humanos a las diferentes

tareas a ejecutar en un proyecto de reparación de embaraciones navales, que por su gran

diversidad, número y requerimientos, exigen de las herramientas que brinda la Programación Lineal

en Enteros para ganar más precisión y rapidez en la toma de decisiones durante este proceso de

asignación.

1.4 Elementos de Programación Lineal en Enteros (PLE)

La Programación Lineal en Enteros se considera como una subclase de la Programación Lineal en

la cual se exige que ciertas variables de decisión tomen valores enteros y otras podrían tomar

valores no enteros. La formulación de problemas de programación lineal en enteros tiene gran

utilidad para realizar una modelación matemática del proceso de asignación de recursos humanos,

a través de ciertas variables de interés y relaciones que se establecen entre dichas variables, que

se expresan a través de restricciones de disponibilidad y demanda.

A continuación se define el Problema de Programación Lineal en Enteros.

Dado el problema de programación lineal

cxxfMinoMax )()(

s. a. 0xb,=Ax/x=S1 ≥

donde A es una matriz de orden mx n , es un vector de orden y c es un vector de n

componentes. Se define un Problema de Programación Lineal en Enteros (PPLE), como:

b m

cxxfMinoMax )()(

s. a. }entero,0x,bAx/x{S2

12

Teniendo en cuenta que la función objetivo y las restricciones son lineales, se puede escribir el

PPLE de la siguiente forma:

∑

n

1jjj xc)Mino(Max

s. a. m,...,1ibxan

1jijji

∑

njenterox j ,...,1,0

o lo que es lo mismo, en forma matricial:

cx)Mino(Max s. a. bAx

entero,0x La formulación de problemas de programación lineal en enteros es de gran utilidad para el estudio

del proceso de asignación de recursos humanos. No obstante, es imprescindible disponer de

diversos métodos para resolver los PPLE que brinden soluciones a los mismos, a continuación se

comentan los utilizados con más frecuencia.

Métodos y algoritmos de Problema Programación Lineal Entera (PPLE)

Para resolver los PPLE podrían emplearse dos grupos de métodos

a) Planos Cortantes los métodos de planos cortantes deben su nombre a la idea geométrica que

los sustenta, la cual consiste en añadir, al problema de optimización continuo bajo estudio,

restricciones adicionales de modo que se reduzca el conjunto de soluciones posibles de dicho

problema, sin eliminar ninguna solución del PPLE, o sea, dar un corte. Dentro de los que se

encuentran: Gomory I, Gomory II y Corte Primal.

b) Enumeración realizan una exploración del conjunto de las soluciones posibles en busca del

óptimo, aprovechando para ello la estructura discreta del conjunto, como son: Branch and

Bound (ramificación y acotación), Enumeración lexicográfica y Enumeración Implícita.

A continuación se describe brevemente el algoritmo enumerativo Branch and Bound, pues desde el

punto de vista computacional está implementado en Excel 2010, por lo que se puede utilizar el

software para determinar automáticamente la solución para un grado considerable de PPLE.

13

Algoritmo Branch and Bound

Este algoritmo genera mediante el proceso de ramificación la separación del conjunto de

soluciones admisibles del problema continuo inicial en subconjuntos tales que: , y

consecuentemente, genera un conjunto de problemas :

S

SjS SP

jj

1

jP P...,jSCXMaxP jj ,1 X/ .

Algoritmo Branch and Bound Paso 1: (Inicio) Resolver el problema continuo (PC). Sea la solución óptima del PC. 0X

Si 0X es entera; es la solución óptima del problema entero. FIN

Si 0X no es entera, Z~

(valor inicial de la cota inferior), ir al Paso 3.

Paso 2: a) Seleccionar un nuevo vértice kV e ir a b). Si no hubiera vértices para analizar,

entonces ir al Paso 5. b) Resolver kP Si Z

kZ

~ ir al Paso 3. (

kZ es el valor de la función objetivo para el problema

kP en kX ) Si Z

kZ

~ tachar kV e ir al Paso 2 a).

Paso 3: a) Sea kX solución óptima del kP .

Si kX es entera: ZCX k ~ (se actualiza la cota inferior), XX k (se guarda la

posible solución óptima) tachar kV e Ir al Paso 2 a).

Si kX no es entera, ir al Paso 4.

b) KS tachar kV . Ir al Paso 2 a).

Paso 4: (Ramificación) Se definen los problemas:

jX [ ]; [ ] + 1, X . Ir al Paso 2kjX jX k

jX kS b) kX : la solución del continuo asociado al problema dado en . kV

kS : conjunto de soluciones posibles. kjX : componente obtenida por el criterio de selección.

Paso 5: (Final)

Si Z~

no hay soluciones posibles.

En otro caso X es la solución óptima.

Tabla 1: Algoritmo Branch and Bound (Garfinkel, R. S. y Nemhauser, G. L. , 1972).

14

Los aspectos antes abordados son imprescindibles para llevar a cabo el proceso de asignación de

recursos humanos a las tareas que deben ser ejecutadas en los proyectos de reparación de

embarcaciones navales. No obstante, se considera que por las características dinámicas de los

parámetros que intervienen en los PPLE que permiten realizar la mencionada asignación de forma

óptima, es necesario el análisis y pronóstico de ciertos parámetros, en aras de disminuir la

incertidumbre propia de este proceso, posibilitándose de esta forma lograr alcanzar soluciones más

adecuadas.

1.5 Modelos y métodos de pronóstico

Existen muchas decisiones importantes que requieren de pronóstico del futuro. Pronosticar es

estimar el futuro utilizando información del presente y del pasado. A pesar de su importancia, en la

empresa ASTOR todavía es limitada la aplicación que se hace de los métodos de pronóstico para

poder tomar decisiones en los proyectos de reparación de embarcaciones navales. De aquí la

necesidad de incrementar en cantidad y diversidad los métodos de pronóstico en dichos proyectos.

En esta dirección, se partirá por reconocer la importancia del estudio de las series de tiempo

económicas, las que frecuentemente se analizan con las técnicas básicas de regresión. Aunque

debe precisarse que dichas técnicas no posibilitan el estudio de los casos en que los valores de la

serie en diferentes instantes de tiempo están autocorrelacionados. Las situaciones más complejas

se producen cuando dependen además de períodos similares del tiempo anterior, con cierta

estacionalidad.

Tal complejidad estimuló que se desarrollaran teorías matemáticas y procedimientos prácticos

generales orientados especialmente al estudio de series temporales. Por ejemplo, la metodología

de Box-Jenkins es válida para el análisis de un conjunto bastante amplio de series y está

fundamentada en una sólida teoría matemática de los modelos ARIMA.

Para lograr una adecuada comprensión de los métodos utilizados y los resultados alcanzados en

el presente estudio, es necesario abordar algunos aspectos esenciales:

Conceptos básicos de series de tiempo

Se llama una serie de tiempo a una sucesión de valores , , ... , , correspondientes a un

fenómeno observado a intervalos fijos de tiempo.

1Z 2Z nZ

Operador de Retardo: Se denota con la letra y se define mediante la relación: B

1-tt ZBZ =

15

Al aplicar sucesivamente el operador se obtiene que: B

2-t1-tt2 Z)BZ(BZB ==

3-t1-t2

t3 Z)ZB(BZB ==

.................................

k-t1-t-1k

tk Z)ZB(BZB ==

y de forma general, para y todo t. k-ttk ZZB = ,...2,1,0k =

Operador diferencia: Este operador se utiliza para expresar relaciones del tipo

-1ttt Z-ZY =

Además, tiene íntimamente relación con el operador . Si se denota a través de la letra W al

operador que satisfaga la siguiente condición:

B

para toda t , 1-ttt Z-ZWZ =

entonces la expresión que relaciona a los operadores W y será la siguiente: B

, o sea, B-1W = tt B)Z-1(WZ =

Llamaremos función de medias a una función del tiempo que proporciona las medias de las

distribuciones marginales para cada instante, esto es: tZ

tZE

Si todas las variables tienen la misma media, se dice que el proceso es estable (o estacionario)

en la media. En otras palabras, las series estacionarias no muestran tendencias.

tZ

Por otro lado, se denomina función de varianza a la función que proporciona las varianzas en

cada instante temporal

)(2tt ZV

El proceso es estable en la varianza si en cualquier instante de tiempo la varianza es constante.

Mientras que se denomina función de autocovarianzas a aquella función que mide la estructura

de dependencia lineal entre las variables, esto es

)Z)(Z(E)Z,Zcov( jtjtttjttj

Se define como función de autocorrelación (ACF) a la estandarización de la función de

autocovarianzas:

16

jttjttj ZZ ),cov(

Se dirá que una serie temporal es estacionaria si son estables la media, la varianza y las

covarianzas, es decir, si para toda t se cumple:

1. μμ t = (constante)

2. 22t σσ = (constante)

3. kkttCovkttCov ),(),( ,2,1k …

Se denomina función de autocorrelación parcial (PACF) a la representación de los coeficientes

de autocorrelación en función del retardo o separación entre observaciones.

Se define como proceso ruido a un proceso Ntet , compuesto de variables no correlacionadas

con media 0 y varianza , esto es: 2

0Z,ZCov

ZVar

0ZE

ktt

2t

t

Si se supone que en un proceso de ruido las variables tienen distribución normal, la incorrelación

garantiza la independencia y se llama al proceso resultante proceso de ruido blanco.

La mayoría de los procesos económicos son no estacionarios y su nivel medio varía con el tiempo.

Sin embargo, es frecuente que el proceso se convierta en estacionario al diferenciarlo.

Se dice que un proceso es integrado de orden h cuando al diferenciarlo (aplicar el operador

diferencia) h veces se obtiene un proceso estacionario.

1.5.1 Procesos AR, MA, ARMA y ARIMA

Los procesos AR constituyen una clase muy importante de los procesos estacionarios. Dichos

procesos imponen una dependencia lineal entre las variables del proceso, similar a la de una

ecuación de regresión.

En este modelo el valor corriente en el proceso es expresado como una suma finita, lineal de una

constante, de los valores previos del proceso y un “golpe” . Denotemos los valores del proceso

equiespaciados en el tiempo t, t-1, t-2, ... por , , , ...

te

tZ 1-tZ 2-tZ

17

El Proceso AR (1)

Se dice que una serie sigue un proceso autorregresivo de primer orden, o un AR(1) si ha sido

generada por:

tZ

ttt eZcZ 1

Donde 11-,c son constantes a determinar y es un proceso de ruido blanco. te

El Proceso AR (2)

La dependencia entre los valores presentes y los pasados que establece un proceso AR (1) puede

generalizarse permitiendo que dependa linealmente no sólo de sino también de . Se

obtiene entonces el proceso autorregresivo de segundo orden o proceso AR (2):

tZ 1-tZ 2tZ

t2-t21-t1t eZZcZ

donde ahora c, , son constantes a determinar y es un proceso de ruido blanco. 1φ 2φ te

El Proceso autorregresivo general AR (p)

Se dice que una serie temporal sigue un proceso autorregresivo de orden p si ha sido generada

por:

tZ

tptpttt eZZZZ ~

.....~~~

2211

Donde tt ZZ~

, siendo la media del proceso y un proceso de ruido blanco.

te

Procesos de medias móviles

Los procesos autorregresivos tienen todas sus autocorrelaciones diferentes de 0, aunque sean muy

pequeñas. En ese sentido se puede decir que estos procesos son de memoria larga. Otro tipo de

procesos deben representar series con memoria corta. Estos son los procesos de media móvil.

EL proceso de media móvil de orden uno MA (1)

Se define el proceso de media móvil de orden uno, MA (1), añadiendo a un proceso de ruido blanco

una dependencia del valor actual de la serie de la última innovación ocurrida. De esta manera el

proceso será una combinación lineal de las dos últimas innovaciones, esto es:

18

1ttt eeZ~

donde ZZ~

t , siendo la media del proceso y es un proceso de ruido blanco. El proceso

MA (1) puede escribirse con la notación de operadores:

te

tt eB1Z~

El proceso MA (1) es la suma de los dos procesos estacionarios, y y, por tanto, siempre

será estacionario, para cualquier valor del parámetro.

te 1te

El Proceso MA (q)

Generalizando la idea de un MA (1), se obtiene un procesos cuyo valor actual dependa no sólo de

la última innovación sino de las q últimas innovaciones, es decir, se obtiene entonces:

qtqtttt eeeeZ ...~

2211

El proceso MA (q) es siempre estacionario, por ser la suma de procesos estacionarios

Procesos ARMA

Para lograr mayor flexibilidad en los ajustes de las series temporales, es a veces más ventajoso

incluir ambos términos en el modelo. Esto conduce a un modelo mezclado autorregresivo-

promedios móviles:

qtq2t21t1tptp2t21t1t eeeeZ~

Z~

Z~

Z~

Procesos ARIMA

Se llaman series “d—integradas ARMA a aquellas series que después de diferenciarlas “d veces”

se convierten en una serie ARMA. Se utiliza la denominación ARIMA. ( la “I” viene de Integrated

para representar los modelos de este tipo, en forma abreviada ARIMA (p, d, q). Estos son modelos

del tipo:

tq

qtdp

p aBBZBBB )1(~

)1)(1( 11

19

1.5.2 Metodología de Box-Jenkins

La metodología de Box-Jenkins es una metodología para modelar series regulares ARIMA, Este

metodología es realmente un proceso multi-paso e iterativo de análisis y pronóstico de series de

tiempo, y consta esencialmente de cuatro fases:

1. Identificación del modelo.

2. Estimación de parámetros.

3. Chequeo de diagnóstico.

4. Pronóstico.

Identificación: El primer paso consiste en la identificación del proceso que corresponde a la serie

observada. Se deben determinar los tres valores enteros y en el proceso ARIMA que

genera la serie. Para identificar el proceso se observa si la serie es estacionaria, al ser ésta una

condición necesaria. Una serie estacionaria es aquella que tiene la misma media y varianza a lo

largo del proceso. Cuando la serie no es estacionaria hay que transformarla hasta convertirla en

estacionaria, normalmente a través de la diferenciación, que reemplaza cada valor de la serie por

la diferencia entre este valor y el valor anterior, y una transformación logarítmica para estabilizar la

varianza. Una vez que la serie es estacionaria ya se conoce el valor del parámetro d: es el número

de veces que se ha diferenciado la serie para hacerla estacionaria. Normalmente su valor es 0 ó 1.

Finalmente faltan por identificar los parámetros

d,p q )q,d,p(

p y (órdenes de autoregresión y de media

móvil). En procesos no estacionales tanto

q

p como son pequeños: 0, 1 ó 2 como máximo. Las

funciones de autocorrelación (ACF) y de autocorrelación parcial (PACF) de la serie proporcionan

los valores de

q

p y . La función de autocorrelación simplemente proporciona las

autocorrelaciones calculadas a intervalos de 1, 2, etc.; la función de autocorrelación parcial

proporciona los valores de las autocorrelaciones parciales según el intervalo. Las características

observadas en dichas funciones determinan los valores de

q

p y del siguiente modo: q

20

21

Los modelos AR (p) tienen valores de la ACF que disminuyen exponencialmente o

sinusoidalmente (posiblemente alternando valores positivos y negativos) y se observan p

picos en los primeros p valores de la PACF.

Los modelos MA (q) tienen q picos en los primeros q valores de la ACF, y valores que

disminuyen exponencialmente o sinusoidalmente de la PACF.

Las funciones ACF y PACFs de los modelos mixtos (ARMA) es una combinación de ambos

procesos. 

Si la ACF disminuye muy lentamente, se necesita hacer una diferenciación para identificar el

modelo.

Estimación: La segunda etapa consiste en la estimación, donde los parámetros de los modelos

AR y MA se pueden estimar por el método de máxima verosimilitud y se obtienen sus errores

estándar y los residuos del modelo.

Diagnosis: Esta etapa consiste en comprobar que las ACF y PACF de la serie de residuos no

difieren mucho del valor 0: es decir, que los residuos o errores del modelo tiene una media

aproximada igual a 0 y además no están correlacionados. La ausencia de correlación y la media 0

indican que los errores de estimación se pueden asimilar a ruido blanco (de media 0 y varianza

normal) y, por lo tanto, se pueden acotar mediante intervalos de confianza como una serie normal

cualquiera. Por último, es necesario comprobar la significación estadística del error de los

parámetros del modelo con análisis de Box-Ljung. Este estadístico sirve para verificar la hipótesis

nula que un conjunto de autocorrelaciones muéstrales están asociadas con una serie aleatoria;

más precisamente, que la autocorrelación en cada retardo se corresponde con la que podría tener

un ruido blanco para ese retardo.

Pronóstico: La última etapa de la metodología de Box y Jenkins es el pronóstico, lo cual se

analiza con rigor suficiente. La idea esencial es la siguiente:

Dadas “n” observaciones de una realización se pretende predecir la observación “n + t” donde t es

un entero positivo.

En la figura 1 se muestra un diagrama detallado sobre la metodología de box-jenkins.

SI

NO

Ploteo de las ACF y PACF

¿Es la serie estacionaria? Transformación o diferenciación

Identificación del modelo

Estimación de parámetros

Ploteo de serie de residuales y de su ACF y PACF

¿Son los residuales no correlacionados?

Actualizar la serie

Pronóstico y ploteo de la serie pronosticada

Contraste de pronóstico con los valores reales

NO

SI

Ploteo de la serie

Figura 1. Metodología de Box-Jenkins para el análisis de series de tiempo

Una vez establecido el marco teórico contexual en que se desarrolla la presente investigación,

pudo evidenciarse que se manifiesta una contradicción que se expresa entre la complejidad del

ambiente socioeconómico actual y la insuficiente aplicación de métodos cuantitativos para la toma de

decisiones en la empresa ASTOR. De aquí la necesidad de solventar esta contradicción a partir de

profundizar en el estudio y aplicación de modelos matemáticos para realizar el proceso de

asignación de tareas a los recursos humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones

navales.

22

23

CAPÍTULO 2. MODELACIÓN MATEMÁTICA PARA LA ASIGNACIÓN ÓPTIMA DE RECURSOS

HUMANOS EN PROYECTOS DE REPARACIÓN DE EMBARCACIONES

NAVALES

Introducción al capítulo

En el presente capítulo se define el problema matemático que se aborda en la investigación,

también se presentan los datos recopilados para la construcción y la formulación de los modelos

propuestos para la asignación óptima de recursos humanos en proyectos de reparación de

embarcaciones navales tomando como base las herramientas que brinda la programación lineal en

enteros. Se obtiene una clase de PPLE y se introduce en dicha clase el índice dinámico de

rendimiento promedio quincenal (IDRPQ) pronosticado a partir de la metodología Box Jenkins,

lográndose enriquecer las decisiones alternativas que pueden tomarse en niveles tácticos y

operativos de los mencionados proyectos.

2.1 Recolección de datos y definición del problema matemático

En la formulación de un modelo matemático la recolección de datos reviste gran importancia. Esto

se debe en buena medida a que dichos datos posibilitan al investigador lograr una mejor

comprensión del problema, así como proporcionar el insumo para el planteamiento adecuado de

dicho modelo, de forma tal que se garantice una exactitud de los resultados que se obtengan.

Es por ello que en la presente investigación se recolectaron diferentes datos relevantes del sistema

productivo de reparación de embarcaciones en el taller de la empresa ASTOR que se encuentra en

Santiago de Cuba. Debe señalarse que para dicha recolección de datos fue imprescindible el

intercambio directo con algunos especialistas de la empresa, pues de esta forma se pudo

comprender la lógica de los procesos productivos, lográndose conocer sus diferentes etapas y

posiciones.

Además, se precisaron las diferentes calificaciones de los trabajadores, así como las

disponibilidades de cada una de ellas de acuerdo a sus clasificaciones, tal como se muestra en el

anexo 1. Luego, se pudo acceder a la base de datos donde se tiene el registro diario de la cantidad

de horas hombre planificadas y de las reales ejecutadas para cada una de las )/( hbh

calificaciones y posiciones en cualquier objeto de obra, ver anexo 2.

Debe señalarse que además se obtuvieron otros datos del sistema productivo de reparación de

embarcaciones del mencionado taller, no obstante se considera que los principales han sido

presentados anteriormente.

Una vez obtenidos los datos, se realizó un análisis preliminar de los mismos, posibilitándose

identificar algunas insuficiencias relacionadas con la planificación de los recursos humanos, las

mismas pueden resumirse sintéticamente como: la existencia de una sobre-planificación del tiempo

para la ejecución de ciertas tareas, resultado de llevar a cabo una asignación de recursos humanos

basada en decisiones subjetivas.

La existencia de estas insuficiencias son multicausales, no obstante la presente investigación

centra su atención en una de las causas que se considera fundamental, es decir, limitada

utilización de modelos matemáticos que empleen tanto la información de los datos históricos como

las restricciones propias del sistema de reparación de embarcaciones navales en los diferentes

proyectos.

Teniendo en cuenta los aspectos anteriores, fue posible precisar el problema matemático que se

abordaría en la investigación, es decir, la necesidad de minimizar para el caso de múltiples

proyectos de reparación de embarcaciones la cantidad total de asignaciones en un periodo de

tiempo (o equivalentemente el costo de reparación), bajo las restricciones de recursos humanos

limitados y las propias del sistema de reparación, para los cuales se demanda que se ejecute una

cantidad de trabajo especificada en diferentes posiciones de las embarcaciones, tomando como

base la planificación realizada.

Para una mejor comprensión de dicho problema por parte del lector, es necesario que se presenten

varias observaciones. El planteamiento de dicho problema se abstrae del proceso de planificación,

pues ya existen antecedentes en esta dirección en la empresa ASTOR, tal es el caso de Valiente,

A., Gorina, A. y Gainza, V. J. (2008), donde se aplicó el método PERT para el caso de un

proyecto, estimando los tiempos aleatorios promedios de duración de cada actividad mediante una

distribución beta, para lo cual se tomó como base el trabajo Kaufmann, A y Desbazeille, G. (1965).

24

25

En esta misma dirección, debe señalarse además que en la tesis doctoral en elaboración de V. J.

Gainza, ya se tienen resultados parciales sobre el problema que aborda la minimización del tiempo

de ejecución de múltiples proyectos de reparación de embarcaciones. Dicho problema, como bien

plantea Fernández, A. (1996), tiene una complejidad mucho mayor que para el caso de un solo

proyecto.

Debe señalarse que para abordar dicha problemática de múltiples proyectos, se puede considerar

cada proyecto como completamente independiente de los restantes, o bien, tratar los diferentes

proyectos como si ellos fueran cada uno de los elementos de un único proyecto. En cualquiera de

las dos metodologías la base conceptual de asignar recursos humanos es esencialmente la misma

(Meredith y Mantel, 1995).

Ahora bien, el problema precisado para abordar en la presente investigación supone que se ha

obtenido una solución óptima para el problema anterior. Esto tiene sentido, puesto que de ser así,

por lo general siempre existirán tareas que no pertenecen a la ruta crítica, entonces para dichas

tareas es posible disponer de un tiempo de holgura para realizarlas, lo que implica que sea posible

llevar a cabo una nueva asignación de los recursos humanos de forma tal que se utilice la cantidad

mínima de los mismos bajo ciertos criterios.

Una vez realizadas las observaciones que se consideran imprescindibles para una mejor

comprensión del problema matemático que se aborda en la presente investigación, puede

señalarse que existen dos tipos de metodología para direccionar el problema de asignación de

recursos limitados. En primera instancia, se encuentran los métodos heurísticos que son

aproximaciones reales que identifican soluciones factibles. En segunda instancia, están los

métodos de optimización matemática, los cuales encuentran la mejor asignación de recursos a las

actividades pero son limitados al tamaño de los problemas que puedan resolver, en cuanto a la

cantidad de actividades y recursos (Fernández, A., 1996).

En la presente investigación se decidió utilizar la segunda metodología, es decir, los métodos de

optimización matemática. No obstante, se utilizan algunas heurísticas a la hora de formular ciertas

restricciones que se aproximan a pautas del comportamiento que deben de estar presentes en los

proyectos de reparación de embarcaciones en el contexto de la empresa ASTOR.

Una vez presentada la etapa de recolección de los datos y definición del problema matemático se

está en condiciones de presentar la etapa de formulación de modelos matemáticos.

2.2 Modelos matemáticos propuestos para la asignación óptima de recursos humanos en

proyectos de reparación de embarcaciones navales

Como se planteó anteriormente, en el presente epígrafe se presentará la formulación de los

modelos matemáticos propuestos para la asignación óptima de recursos humanos en proyectos de

reparación de embarcaciones navales.

Debe señalarse que la idea intuitiva que se utiliza es formular una clase de problemas de

programación lineal en enteros, donde cada problema de dicha clase modela la asignación de

recursos humanos limitados para cierta calificación fija, en una o más posiciones, de un mismo

objeto de obra o varios.

En otras palabras, una vez realizado el proceso de planificación para uno o varios proyectos, para

cada calificación se detectarán las posiciones a ejecutar que no pertenecen a la ruta crítica (las

cuales disponen de un tiempo de holgura para su ejecución), lo que implica que sea posible llevar a

cabo una nueva asignación de los recursos humanos de forma tal que se utilice la cantidad mínima

de asignaciones.

Al tener una estructura común cada uno de los elementos pertenecientes a la clase de problemas

de programación lineal en enteros mencionada, para presentar dichos elementos basta con

formular un problema genérico de dicha clase, para lo cual se empleará la siguiente notación

. Aquí p indica el PPLE que se necesita resolver, i expresa la calificación y

tt

ip tt denota

el periodo de tiempo para el cual es necesario realizar una asignación óptima de los recursos

humanos.

Una mejor comprensión de dicho problema, exige definir cada una de las variables y parámetros

utilizados.

Definición de parámetros:

I,...,1i : donde i representa la i -ésima calificación de los recursos humanos e I designa la

cantidad total de calificaciones.

J,...,1j : donde representa la -ésima posición en la embarcación y designa la cantidad total

de posiciones.

j j J

K,...,1k : donde representa el objeto de obra -ésimo y k k K la cantidad total de objetos de obra.

26

1t,...,td : para cierta calificación fija donde se detectó que las posiciones a ejecutar no

pertenecen a la ruta crítica y existen recursos humanos limitados para asignarlos a las posiciones a

ejecutar en uno o varios objetos de obra, se produce según la planificación una intersección en el

tiempo para asignar los recursos humanos, entonces t (tiempo real transcurrido desde el primer día

de trabajo de acuerdo a la base de datos disponibles) se selecciona como el mínimo de todos los

tiempos iniciales planificados para las posiciones a ejecutar y t como el mayor de dichos tiempos,

entonces d varía desde el tiempo mínimo t hasta el tiempo máximo 1t .

ijkda : un elemento de la matriz de cuatro dimensiones )1ttxKxJxI(A que toma el valor 1

en el caso que pudiese necesitarse que el recurso humano con calificación i ejecute la posición

del objeto de obra el día , y 0 en caso contrario.

j

k d

idrh : cantidad de recursos humanos disponibles con calificación . i

ijkdt

j

: disponibilidad técnica de los recursos humanos con calificación para ejecutar la posición

del objeto de obra k .

i

ijktp : las horas hombre planificadas a ejecutar para los recursos humanos de calificación i en la

posición del objeto de obra . j k

h : cantidad de horas trabajadas en una jornada laboral (normalmente 8 horas).

ijdn : suma total de posiciones a ejecutar los recursos humanos de calificación i en el día . d

ijdm : suma total de días que la calificación ejecutara en la posición . i j

Definición de las variables:

ijkdx

k

: cantidad de recursos humanos de calificación a asignar en la posición del objeto de

obra en el día (variables enteras).

i j

d

Función objetivo:

J

j

K

k

t

tdijkdxtZMin

1 1

1

)( (1)

La función objetivo minimiza la suma total de asignaciones de recursos humanos.

Para formular las restricciones que a continuación se presentan debe notarse que se hacen para

una calificación fija , donde se supone que hay recursos humanos limitados para la asignación en

diferentes posiciones y objetos de obra.

i

27

Las primeras restricciones del PPLE son las siguientes: d

28

1t,...,td

K

1k

J

1jiijkdijkd drhxa , (2)

Estas restricciones indican que cuando se fija una calificación y un día , al sumar la cantidad

total de recursos humanos asignados en las diferentes posiciones y objetos de obra, no debe

de excederse la disponibilidad de recursos humanos existente para dicha calificación.

i d

j k

Otras restricciones posibles)1tt(xKxJ 3 son las siguientes:

ijkikjdikjd dtxa , J,...,1j , K,...,1k , 1t,...,td (3)

Cada una de las restricciones anteriores indica que cuando se fija una calificación la cantidad de

recursos humanos asignados en la posición del objeto de obra no debe exceder la

disponibilidad técnica de recursos humanos necesarios para ejecutar dicha actividad (ya sea

por recursos materiales, espaciales, tecnológicos, etc.).

i

j k

ijkdt

Otras restricciones posibles de demanda son las que se muestran: KxJ

ijk

1t

tdijkdijkd tpxah

, J,...,1j K,...,1k , (4)

Cada una de estas restricciones indica que cuando se fija una calificación , una posición y un

objeto de obra , al sumar la cantidad total de horas hombre planificadas en los diferentes

i j

tk 1t

días, debe de cumplirse con la demanda planificada en horas hombre.

Existen otras restricciones posibles que permiten una asignación lo más

homogénea permisible en un mismo día para cualquier posición y objeto de obra. La heurística que

se empleó para formular cada una de las restricciones consiste en expresar la relación entre las

variables que intervienen un mismo día para las cuales su respectivo coeficiente es

diferente de cero, de forma tal que cada una de esas variables debe ser menor o igual que el

promedio de las variables que intervienen en dicho día más uno, obteniéndose las restricciones

siguientes:

)1tt(xKxJ

d ijkda

ijkdx

3- Se dice posible en el sentido de la cantidad máxima de restricciones que pueden formularse, puede darse el caso que no todos los

valores sean uno. ijkda

ijdijkdijkdilkdijkdijd nxaxan

, 1t,...,tdJ

1j

K

1k (5)

Debe señalarse que estas restricciones al permitir una asignación lo más homogénea permisible en

el periodo de tiempo 1t,...,td , entonces una vez encontrada una solución óptima para (1), se

humanos necesarios a emplear en dicho periodo de

tiempo, buscando el valor máximo de la suma de los valores de las variables que intervienen en

puede determinar el mínimo de recursos

cada una de estas restricciones.

Análogamente, se formularon otras )1tt(xKxJ restricciones posibles que permiten una

isma heurística que en (5) pero en estos casos las variables son las que intervienen en una

misma posición j perteneciente a cierto objeto de obra k para las cuales su respectivo coeficiente

ijkda es diferente de cero,

asignación lo más homogénea permisible en una mis a posición de cada objeto de obra. Se utilizó

la m

de forma debe ser menor o

igual que el promedio de las variables que intervienen en dichas posiciones más uno, obteniéndose

las restricciones siguientes

m

tal

que cada una de esas variables ijkdx

ijdijkdijkdilkdijkdijd mxaxam

, 1t,...,td

J

1j

K

1k (6)

que la mism

Estas restricciones brindan una pauta de comportamiento que está relacionada con el hecho de

a cantidad de recursos humanos con calificación sean asignados en una misma i ,

posición j durante el periodo de tiempo 1tt , lo que brinda mayor estabilidad al proceso de

asignación.

e las

ariables

na vez explicados cada uno de los componentes del PPLE formulado se presenta el mismo.

Las otras restricciones )1tt(xKxJ posibles son la de no negatividad de cada una d

ijkdx . v

U

29

Formulación del problema de programación lineal en enteros

tt

ip

30

Función Objetivo

XZMin i

J

j

K

k

t

tdijkdx

1 1

1

s.a restric s

cione

K

1k

J

1jijkdijkd xa idrh 1t,...,td

ikjdikjd xa ijkdt J,...,1j K,...,1k 1t,...,td

1t

tdijkdijkd xah ijktp J,...,1j K,...,1k

ilkdijkdijd xan

J

1j

K

1kijkdijkd xa ijdn 1t,...,td

ilkdijkdijd xam

J

1j

K

1kijkdijkd xa ijdm 1t,...,td

ijkdijkd xa 0

x Entero J,...,1j K,...,1k 1t,...,td

ijkd

Tabla 2: Formulación del problema de programación lineal en enteros

tt

ip

Ahora bien, para una mejor comprensión del PPLE formulado anteriormente se brinda una

ejemplificación a partir de los datos obtenidos para la calificación ayudante (AY).

Como puede observarse en la figura 2, la planificación de la asignación de recursos humanos con

calificación ayudante se ubica en las posiciones 167, 168, 169, 71 del objeto de obra 88984, y en

las posiciones 78, 87 del objeto de obra 81215, y para los días desde el 1431 hasta el 1436. Para

cada posición se muestra una disponibilidad de los recursos humanos (la disponibilidad de

técnica y la demanda de horas hombre planificada para ejecutar cada actividad. La formula

recursos humanos para la calificación ayudante es 17), también se muestra la disponibilidad

ción

el problema se muestra en el anexo 3 y la respectiva solución en la tabla 3.

14361431

1p

→d

Figura 2: Representación tabular asociada al problema para la calificación ayudante.

14361431

1p

→

Ob

jeto

s d

e o

bra

po

sici

on

es

Planificación tp1jk drh1 dt1jk

dp dp dh

j=167 X 1,167,1,1431 X 1,167,1,1432 X 1,167,1,1433 96 17 6 dp dp dp dh dh

j=168 X 1,168,1,1432 X 1,168,1,1433 X 1,168,1,1434 X 1,168,1,1434 X 1,168,1,1436 144 17 6 dp dh dh

j=169 X 1,169,1,1433 X 1,169,1,1434 X 1,169,1,1435 24 17 4 dp dp dh

j=71 X 1,71,1,1432 X 1,71,1,1433 X 1,71,1, 1434 48 17 3

k=1

dp dp dh dh

j=78 X 1,78,2,1431 X 1,78,2,1432 X 1,78,2,1433 X 1,78,2,1434 32 17 3 dp dp dp dp dh dh

j=87 X 1,87,2,1431 X 1,87,2,1432 X 1,87,2,1433 X 1,87,2,1434 X 1,87,2,1435 X 1,87,2,1436 128 17 5

Cal

ific

ació

n i=

1

k=2

d=1431 d=1432 d=1433 d=1434 d=1435 d=1436 Días dp: día plan dh: día holgura

Xi,j,k,d: cantidad de recursos humanos con calificación i asignados en la posición j del objeto de obra k en el día d

Días

1431 1432 1433 1434 1435 1436

j=167 X 1,167,1,1431 = 5 X 1,167,1,1432 = 4 X 1,167,1,1433 = 3

j=168 X 1,168,1,1432 = 4 X 1,168,1,1433 =3 X 1,168,1,1434 =3 X 1,168,1,1435 =4 X 1,168,1,1436 =4

j=169

X 1,169,1,1433 =1 X 1,169,1,1434 =0 X 1,169,1,1435 =2

j=71 X 1,71,1,1432 =3 X 1,71,1,1433 =0 X 1,71,1,1434 =3

j=78 X 1, 78,1,1431 =3 X 1,78,1,1432 =0 X 1,78,1,1433 =2 X 1,78,1,1434 =3

Pos

icio

nes

j=87 X 1, 87,1,1431 =4 X 1,87,1,1432 =4 X 1,87,1,1433 =3 X 1,87,1,1434 =1 X 1,87,1,1435 =3 X 1,87,1,1435 =3

Tabla 3: Solución del problema para la calificación ayudante utilizando Excel 2010.

14361431

1p

→

31

Se observa que la cantidad máxima a asignar diariamente de recursos humanos con calificación

ayudante es 15 y el valor de la función objetivo es Z=65.

Ahora bien, si para el problema no se hubiese obtenido solución se pudiera haber

debilitado más las exigencias derivadas de las restricciones (5) y (6) del , es decir, pudiese

prescindirse de las restricciones (5) o (6), o de ambas, lo que posibilitaría que la región de

soluciones admisibles fuese no vacía y en este caso la obtención de un óptimo.

14361431

1p

→

tt

ip

De forma general, para el PPLE sin las restricciones (5) o (6), o sin ambas, se obtiene una solución

menor o igual que para el pero tiene el inconveniente de respectivamente no minimizar la

cantidad total de recursos humanos con calificación a asignarse en el periodo de tiempo

, de no brindar una pauta de comportamiento que está relacionada con la estabilidad

del proceso de asignación en una misma posición

tt

ip

i

1t,...,td

j de cierto objeto de obra , o bien de ninguna

de las anteriores alternativas. Para ilustrar las alternativas antes señaladas se resolvió el problema

prescindiendo de ambos tipos de restricciones, los resultados se muestran en la

tabla 4.

k

1436

1431

1p

→

Días

1431 1432 1433 1434 1435 1436

j=167 X 1,167,1,1431 =6 X 1,167,1,1432 =6 X 1,167,1,1433 =0

j=168 X 1,168,1,1432 =2 X 1,168,1,1433 =6 X 1,168,1,1434 =6 X 1,168,1,1435 =4 X 1,168,1,1436 =0

j=169

X 1,169,1,1433 =3 X 1,169,1,1434 =0 X 1,169,1,1435 =0

j=71 X 1,71,1,1432 =3 X 1,71,1,1433 =3 X 1,71,1,1434 =0

j=78 X 1, 78,1,1431 =3 X 1,78,1,1432 =1 X 1,78,1,1433 =0 X 1,78,1,1434 =0

Po

sici

on

es

j=87 X 1, 87,1,1431 =5 X 1,87,1,1432 =5 X 1,87,1,1433 =5 X 1,87,1,1434 =1 X 1,87,1,1435 =0 X 1,87,1,1435 =0

Tabla 4: Solución del problema prescindiendo de las restricciones generadas

por (5) y (6).

14361431

1p

→

32

Como se pude observar el valor de la función objetivo es 59 y la cantidad máxima de ayudante que

puede asignarse en este periodo es 17, es decir el problema prescindiendo de las

restricciones generadas por (5) y (6) minimiza la cantidad total de recursos humanos de 65 a 59.

Ademásdebe señalarse que el problema sin tener en cuenta los días de holgura

brinda la siguiente solución:

14361431

1p

→

14361431

1p

→

Días 1431 1432 1433 1434

j=167 X 1,167,1,1431 =6 X 1,167,1,1432 =6

j=168 X 1,168,1,1432 =6 X 1,168,1,1433 =6 X 1,168,1,1434 =6

j=169

X 1,169,1,1433 =3

j=71 X 1,71,1,1432 =3 X 1,71,1,1433 =3

j=78 X 1, 78,1,1431 =3 X 1,78,1,1432 =1

Po

sici

on

es

j=87 X 1, 87,1,1431 =5 X 1,87,1,1432 =1 X 1,87,1,1433 =5 X 1,87,1,1434 =5

Tabla 5: Solución problema sin tener en cuenta los días de holgura

14361431

1p

→

Se puede observar que el valor de la función objetivo es Z=59 y cantidad máxima de ayudantes es 17.

Ahora bien, otra alternativa de mejorar la planificación de recursos humanos es la introducción del

índice dinámico de rendimiento promedio quincenal (IDRPQ) al PPLE, el que se abordará en el

siguiente epígrafe.

2.3 Definición del índice dinámico de rendimiento promedio quincenal (IDRPQ)

Ahora bien, al analizar los datos de la empresa pudo observarse la tendencia a la sobre-

planificación de la fuerza laboral, es decir, las tareas programadas en diferentes posiciones para

varias calificaciones de los recursos humanos tenían una planificación en horas hombre mayores

que las que se habían necesitado para ejecutar dichas tareas, por lo que se habían realizado más

asignaciones de los recursos humanos que las necesitadas.

33

A su vez, pudo observarse ligada a la tendencia anterior, que la diferencia entre las horas hombre

planificadas y las ejecutadas tenían un comportamiento dinámico, esto es, que variaba en función

del tiempo.Teniendo en consideración los aspectos anteriores se introduce el índice dinámico de

rendimiento promedio quincenal (IDRPQ) para cada calificación. Para definir este índice se parte

de la idea intuitiva de determinar diariamente el cociente entre las horas hombre reales y las

planificadas para cierta calificación. Luego, para realizar una estimación de dicho índice para una

quincena se determina la media a partir del índice dinámico de rendimiento diario para los días

laborales.

Por lo tanto, el IDRPQ en una quincena t para cierta calificación i se expresa como

S

s s

sti p

r

SC

1

1)(

Donde

sr : representa las horas / hombres ( / ) real ejecutadas en un día h hb s .

sp : representa las horas / hombres ( / ) planificadas en un día h hb s .

S : representa la cantidad total de días trabajados quincenalmente.

Es preciso señalar que si las horas hombre reales son menores que las horas hombre

planificadas (rendimiento positivo), si es

1)(C ti

1)(C ti

C

las horas hombre reales son iguales que las

horas hombre planificadas (rendimiento esperado), las horas hombre reales son mayores

que las horas hombre planificadas (rendimiento negativo).

1)( ti

Debe señalarse que dicho índice se definió quincenalmente por conveniencia respecto a la

necesidad de disponer de un periodo de tiempo relativamente corto para su pronóstico, y por ende,

poder autorregular el proceso de forma más sistemática a la hora de la toma de decisiones.

Además, porque dos quincenas equivalen a un mes, lo que facilita ciertos análisis relacionados con

algunos aspectos de estacionalidad de las series temporales. Además, debe señalarse que si se

está en la quincena de producción podría pronosticarse el índice dinámico de rendimiento en la

quincena y se denota como . Estos aspectos se precisarán aun más en el próximo

subepígrafe.

*t

1* t )t(iC

34

Ahora bien, una vez definido el índice dinámico de rendimiento promedio quincenal, su pronóstico

puede ser introducido en las restricciones del problema expresadas en (4) y definido

anteriormente, obteniéndose las nuevas restricciones siguientes:

tt

ip

ikj1tt

tdikjdikjd

)t(iTxa

C

)t(h

J,...,1j K,...,1k (7)

El problema cuando se sustituyen las restricciones expresadas en (4) por las restricciones

expresadas en (7) se denota como el problema .

tt

ip

tt

ip

ic

Debe señalarse que la relación entre los días de producción t y las quincenas se determina a

partir de la expresión

t

11-*

S

tt , aquí los corchetes indican la operación parte entera.

2.3.1 Pronóstico del IDRPQ mediante la metodología Box-Jenkins

En la presente investigación se concibió que el IDRPQ debe pronosticarse cada 15 días, porque

como se comentó anteriormente, es un periodo de tiempo plausible para tomar decisiones y facilita

el análisis de posibles características estacionales por su correspondencia con los meses del año

(dos quincenas son equivalentes a un mes).

En tal sentido, se consideró apropiado utilizar un modelo ARIMA, por disponer de más de 50

observaciones para las quincenas y por posibilitar realizar con exactitud de muy buena a

excelente los pronósticos para un periodo de tiempo corto, según se concluye en Charles, A.,

Watson J., (1982) cuando se comparan diferentes métodos de análisis de series de tiempo.

Además, se utilizó la metodología Box-Jenkins porque posibilita modelar series ARIMA, a través de

un proceso multi-paso e iterativo de análisis y pronóstico de series de tiempo, que consta

esencialmente de cuatro fases: identificación del modelo, estimación de parámetros, chequeo de

diagnóstico y pronóstico (Mugica, M., 2003).

t

35

Por lo tanto, una vez pronosticado el IDRPQ se introduce en el posibilitando encontrar

mejores soluciones para la asignación de los recursos humanos para la calificación i en el periodo

de tiempo .

tt

ip

ic

tt

A continuación se muestra, para la calificación ayudante, una ejemplificación del análisis realizado

para pronosticar el IDRPQ de acuerdo a lo explicado y utilizando el software STATISTICA 8.0.

Identificación del modelo ARIMA

Según la metodología Box-Jenkins, lo primero que se hace es observar la serie y tratar de

identificar el posible modelo ARIMA que sigue. Si la serie no es estacionaria, se decide qué

transformaciones hay que aplicar para convertir la serie observada en una serie estacionaria y,

después, determinar un modelo ARMA para la serie estacionaria.

A continuación se muestra en el gráfico 1 la serie del IDRPQ para la dicha calificación.

Gráfico 1: Comportamiento de la serie del IDRPQ.

Si se observa el gráfico 1, es posible que no se detecte una tendencia evidente en la serie, y si se

adiciona la media de los valores de la serie al grafo, se puede intuir que la variabilidad es contante,

lo que indica que la serie es estable en la media y la varianza. Por lo tanto, se puede comenzar

36

pensando que la serie es estacionaria, en el caso de que no lo sea en la varianza, más adelante en

el análisis que se realizará se tendrán evidencias al respecto.

Corresponde según la metodología hacer ahora el cálculo y ploteo de las funciones de

autocorrelación y autocorrelación parcial para los 144 casos de la muestra, tal como se presenta en

las figuras 3 y 4 respectivamente.

Figura 3: Función de autocorrelación del IDRPQde 144 quincenas de la calificación ayudante.

37

Figura 4: Función de autocorrelación parcial del IDRPQ de 144 quincenas de la calificación ayudante.

En ambas figuras se muestra el valor de la autocorrelación para cada retardo h (desde uno hasta

quince), sus errores estándar y, con la línea de puntos el intervalo de confianza, fuera del mismo

puede considerarse que la autocorrelación es significativamente diferente de cero.

En el caso de la ACF, se muestra en cada retardo h el valor del estadístico de Box-Ljung y su

significación. Este estadístico sirve para verificar la hipótesis nula que un conjunto de auto

correlaciones muéstrales están asociadas con una serie aleatoria; más precisamente, que la

autocorrelación en cada retardo se corresponde con la que podría tener un ruido blanco para ese

retardo (Gardeazábal, J. y Iglesias, M. C., 2000).

En la figura 5 para cualquier valor de h aparece un coeficiente de autocorrelación significativamente

diferente al que tuviera un ruido blanco, como puede observarse todos los valores son

significativos, de aquí que pueda rechazarse la hipótesis nula. Por lo tanto, la serie tiene

información que debe ser utilizada para el análisis. Por otra parte, puede observarse que la ACF

declina aproximadamente sinusoidalmente hasta anularse, mientras que la PACF muestra dos

espigas significativas. Se intuye, por tanto, que se trata de un modelo autorregresivo de orden 2,

esto es un modelo ARIMA (2, 0, 0).

38

Figura 5: Función de autocorrelación del índice dinámico de rendimiento promedio

quincenal para 140 quincenas (calificación ayudante).

Figura 6: Función de autocorrelación parcial del índice dinámico de

Rendimiento promedio quincenal para140 quincenas (calificación ayudante).

39

Debe señalarse que para estimar el modelo se utilizó sólo una parte de los datos, dígase los140

primeros, es deseable tener alguna medida de si estos 140 primeros casos reflejan suficientemente

bien las autocorrelaciones de la serie original. Ello puede lograrse repitiendo los correlogramas con

los 140 primeros casos.

Repitiendo el mismo análisis del ploteo de las funciones de autocorrelación para la muestra de140

primeras observaciones se observa que los correlogramas de las figuras 5 y 6 son bastante

similares a las de las figuras 3 y 4.

Estimación

Una vez identificado el modelo, se pasa a la segunda etapa de la metodología de Box-Jenkins, que

consiste en la estimación de los parámetros del modelo ARIMA (2,0,0). Se estimarán los

parámetros del modelo mediante el método de máxima verosimilitud, utilizando el software

STATISTICA 8.0, tal como se muestra en la figura 7.

Figura 7: Estimación de los parámetros del modelo ARIMA (2, 0, 0) mediante

el software STATISTICA 8.0.

La información que más interesa para el análisis de la serie en la figura 9 está dada por los valores

estimados de los dos parámetros del modelo autorregresivo ARIMA (2,0,0) y la constante asociada

(en todos los casos son significativos), así como los respectivos errores estándares.

Diagnosis

Esta tercera etapa de la metodología de Box-Jenkins consiste en comprobar que los residuos no

tienen estructura y siguen un proceso de ruido blanco.Si los residuos no contienen estructura, se

acepta el modelo como válido y ese modelo se utiliza para la predicción. En el caso contrario, se

incorporarán estos al modelo y se repiten entonces las etapas anteriores hasta obtener el modelo 40

adecuado.El diagnóstico complementario abarca ante todo, el análisis de las autocorrelaciones de

los residuales.

Como puede observarse en la figura 10, todas las autocorrelaciones quedan dentro de la banda de

confianza alrededor de cero, y por tanto no resultan significativas. El test de Box-Ljung en cada

valor de h informa que no hay razones para sospechar que dichas autocorrelaciones difieren de las

correspondientes a un ruido blanco. Por lo tanto, se puede seguir con la etapa de predicción.

Figura 8: Función de autocorrelación para los residuales

Predicción

Una vez que se tiene el modelo identificado y después de pasar satisfactoriamente la diagnosis, ya

se puede llevar a cabo el pronóstico de la serie.En esta dirección, como parte de la ejemplificación,

se van a predecir las últimas cuatro quincenas que no fueron seleccionadas en la muestra de 140,

pues por cuestiones de tiempo para obtener los resultados de la presente investigación, era

imposible esperar obtener nuevas observaciones para contrastar el modelo.

A continuación se muestran los resultados del pronóstico utilizando el software STATISTICA 8.0.

41

º

Tabla 6: Resultado del pronóstico para el IDRPQ

Aquí se muestran los valores pronosticados del IDRPQ para las quincenas 141 a la 144, así como

sus correspondientes intervalos de confianza, errores estándares, valores observados para las

cuatro quincenas y los respectivos residuales.

Ahora bien, como una misma serie de tiempo puede ajustarse adecuadamente a más de un

modelo ARIMA, se probaron otros modelos, lográndose obtener de todos estos un nuevo modelo,

el modelo ARIMA (1,0,1). Este último modelo, si bien tiene pocos parámetros, lo cual constituye

una cualidad deseable del modelo (principio de parsimonia), posibilita hacer mejores pronósticos

del IDRPQ.

Así, para el análisis del modelo ARIMA (1,0,1), se procedió de forma análoga que para el caso del

modelo ARIMA (2,0,0). Por lo tanto, siguiendo la metodología de Box-Jenkins, se pasó al análisis

de la estimación de los parámetros de este modelo alternativo. A continuación se muestran los

resultados de la estimación de sus parámetros.

Figura 9: Resultado ARIMA

42

La información que más interesa para el análisis de la serie en la figura 9 está dada por los valores

estimados para los parámetros del modelo ARIMA (1,0,1) y la constante asociada (en todos los

casos son significativos), así como los respectivos errores estándares.

A continuación se muestra en la figura 10 la función de autocorrelación de los residuales,

indispensable para llevara cabo la etapa de diagnosis.

Figura 10: Función de autocorrelación para los residuales

Se observa en la figura 10 que todas las autocorrelaciones quedan dentro de la banda de confianza

alrededor de cero, de aquí que no resulten significativas. Por lo tanto, las autocorrelaciones tienen

una correspondencia con un proceso de ruido blanco.

Como los residuales tienen una correspondencia con el proceso de ruido blanco se puede pasar a

la etapa de pronóstico. A continuación se muestra en la tabla 7 el resultado del pronóstico con el

modelo ARMA (1,1).

43

Tabla 7: Resultado del pronóstico para el modelo ARMA (1,1)

Ahora bien, para la evaluación de los pronósticos se contrastaron los resultados de los modelos

ARIMA (2, 0, 0) y ARIMA (1, 0, 1) mediante la determinación del segundo Coeficiente de

Desigualdad de Theil que se expresa como sigue:

∑ ′

∑ ′′=

=

=

n

1i

2

n

1i

2ii

2

yn1

)y-y(n1

U

donde: -1t

-1tt

y

y-yy =′

y′mientras que es el porcentaje de cambio real y es el porcentaje de cambio pronosticado. y′

Este coeficiente de Theil no está acotada en el extremo superior. Así, cuando el coeficiente vale

cero las predicciones son perfectas, si vale la unidad todas las predicciones ( y′ ) valen cero y

cuando el índice es mayor que uno el modelo predice peor que si pronosticara valores nulos.

A continuación se muestra el coeficiente de desigualdad de Theil para cada modelo.

Modelo Coeficiente de Desigualdad de TheilU2

ARMA (2,0) U2=0,0337085

ARMA (1,1) U2=0,0209485

Tabla 8: Coeficiente de Desigualdad de TheilU2.

Como se puede observar en la figura 15 el Coeficiente de Desigualdad de Theil U2 del modelo

ARMA (1,1) se acerca más a cero que del modelo ARMA (2,0), lo que implica que el modelo ARMA

44

(1,1) ajusta más que el modelo ARMA (2,0) para los valores predichos. Por lo tanto, para el

pronóstico del IDRPQ se utilizó el modelo ARMA (1,1).

Una vez realizado el pronóstico con el modelo elegido, se está en condiciones de formular el

problema , el que se muestra en el anexo 4 y la solución obtenida se presenta a

continuación.

6314→1314

11cp

Días

1431 1432 1433 1434 1435 1436

j=167 X1,167,1,1431 =2 X 1,167,1,1432 = 2 X 1,167,1,1433 = 2

j=168

X 1,168,1,1432 = 2 X 1,168,1,1433 =2 X 1,168,1,1434 =1 X1,168,1,1435 =1 X 1,168,1,1436 =2

j=169

X 1,169,1,1433 =1 X 1,169,1,1434 =0 X 1,169,1,1435 =1

j=71

X 1,71,1,1432 =2 X 1,71,1,1433 =1 X 1,71,1,1434 =0

j=78 X1, 78,1,1431 =1 X 1,78,1,1432 =1 X 1,78,1,1433 =0 X 1,78,1,1434 =0

X 1, 87,1,1431 =2

Po

sici

on

es

j=87

X 1,87,1,1432 =0 X 1,87,1,1433 =2 X 1,87,1,1434 =1 X 1,87,1,1435 =2 X 1,87,1,1435 =0

Tabla 9: Solución del problema para la calificación ayudante utilizando

Microsoft Excel 2010.

6314→1314

11c

p

Se observa que la función objetivo es 28 y la cantidad total de recursos humanos con calificación

ayudante a asignar es en periodo es 8. 14361431

2.4 Discusión de los resultados de la investigación

De forma general, los PPLE obtenidos pueden ser utilizados como base para la toma de decisiones

en la empresa ASTOR en aras de disponer de varias alternativas de decisión con un soporte

científico sólido para la asignación de los recursos humanos.

El problema obtenido para la asignación de recursos humanos puede emplearse tanto

para el caso que se tienen en cuenta los días de holguras como para el caso contrario. Dicho

tt

ip

45

problema es más general que el aportado por Ozkarahan, I. y Bailey, J. (1988) y utilizado

posteriormente en Bastías, S. y Chacón, M. (2001). Esto se debe a la introducción de dos tipos de

restricciones, las expresadas en (5) y (6), que permiten determinar mediante una heurística la

cantidad mínima de recursos humanos necesarios a emplear en un periodo de tiempo, y además

posibilitan brindar una pauta de comportamiento que ofrece mayor estabilidad al proceso de

asignación.

En el caso de que el problema no tenga soluciones, se puede prescindir de una de las

restricciones expresadas en (5) y (6), o de ambas simultáneamente, en aras de ampliar la región de

admisibilidad y encontrar una solución óptima.

tt

ip

El IDRPQ definido puede ser utilizado para analizar el comportamiento del rendimiento quincenal

histórico para cualquier calificación, lo que facilita tomar decisiones en la empresa basadas en

dicho comportamiento. Su análisis puede ser llevado a cabo mediante varios métodos, en particular

se considera apropiado el empleo de los modelos ARIMA, por poder representar una gran gama de

comportamientos de este índice, así como por la exactitud que puede obtenerse para los

pronósticos a partir de la utilización de la metodología Box-Jenkins.

Una vez pronosticado el IDRPQ puede ser introducido en el problema , obteniéndose una

nueva generalización de dicho problema, es decir, el . Este último problema, posibilita

tomar decisiones en función de los valores pronosticados para

tt

ip

tt

ip

ic

iC y puede ser utilizado tanto para

las actividades que se encuentran en la ruta crítica como las que no. Si 1Ci

t

ip

(rendimiento

positivo), el problema puede ofrecer mejores soluciones que el . Si

tt

ip

ic

t

1Ci

(rendimiento esperado), coinciden ambas soluciones de los problemas anteriores. Mientras que si

(rendimiento negativo), el problema puede ofrecer peores soluciones que el

. El primer caso se traduce en una posible disminución de la cantidad de asignaciones y

de recursos humanos para la calificación i , y el último, en un posible aumento de ambos.

1)(C ti

tt

ip

t

i

t

pic

46

47

En general, la obtención de mejores soluciones para los problemas planteados es equivalente a

una disminución de los costos de reparación de embarcaciones navales en la empresa ASTOR, lo

que brinda pautas importantes para que dicha empresa pueda ser competitiva en el mercado

económico actual.

La ejemplificación realizada para los datos reales disponibles, brindan evidencias favorables

respecto a la validez de los modelos obtenidos y, por ende, se corrobora parcialmente que si se

emplean modelos matemáticos para realizar el proceso de asignación de tareas a los recursos

humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones navales de la empresa ASTOR, se

puede perfeccionar el proceso de organización del tiempo de trabajo en dichos proyectos, tal como

se previó en el camino hipotético de la presente investigación.

No obstante, se precisa que es necesario en futuras investigaciones completar los pasos de la

metodología de investigación de operaciones utilizada, lo que le daría más solidez científica a los

aportes de la presente investigación, sentando las bases para su aplicación en la empresa ASTOR

y su generalización a otros contextos empresariales.

CONCLUSIONES GENERALES

1. El marco teórico contexual evidenció que se expresa una contradicción entre la complejidad del

ambiente socioeconómico actual y la insuficiente aplicación de métodos cuantitativos para la toma

de decisiones en la empresa ASTOR. De aquí la necesidad de solventar esta contradicción a

partir de emplear modelos matemáticos para perfeccionar el proceso de asignación de tareas a

los recursos humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones navales, lo que se

condujo en el camino hipotético de la investigación.

2. Desde el punto de vista teórico, los PPLE elaborados,

y , generalizan el

conocido “problema de asignación de enfermeras”, y pueden ser utilizados como base para la

toma de decisiones en la empresa ASTOR, en aras de disponer de varias alternativas de

decisión con un soporte científico sólido para la asignación de los recursos humanos.

tt

ip

tt

ip

ic

3. El puede emplearse tanto para el caso que se tienen en cuenta los días de holguras

como para el caso contrario. La introducción de dos nuevas restricciones a este problema

permite determinar de forma heurística la cantidad mínima de recursos humanos necesarios a

emplear en un periodo de tiempo y una pauta de comportamiento que ofrece mayor estabilidad

al proceso de asignación.

tt

ip

4. El generaliza al problema y, por sus características puede ser utilizado

para las actividades que se encuentran en la ruta crítica. Dicho problema posibilita tomar

decisiones en función de los valores pronosticados para el índice dinámico de rendimiento

promedio quincenal definido, que se traduce en una posible disminución, estabilidad o

incremento de la cantidad de asignaciones. Como parte de la ejemplificación para la calificación

ayudante, se pronosticó dicho índice a partir de la metodología Box-Jenkins, obteniéndose un

modelo ARIMA (1, 0, 1).

tt

ip

ic

tt

ip

5. La ejemplificación realizada para los datos reales disponibles, brinda evidencias favorables

respecto a la validez de los modelos obtenidos y, por ende, se corrobora parcialmente que si se

emplean modelos matemáticos para realizar el proceso de asignación de tareas a los recursos

humanos en los proyectos de reparación de embarcaciones navales de la empresa ASTOR, se

puede perfeccionar el proceso de organización del tiempo de trabajo en dichos proyectos, tal

como se previó en el camino hipotético de la presente investigación.

48

49

RECOMENDACIONES

1. Establecer en futuras investigaciones los controles sobre la solución de los modelos

matemáticos obtenidos, es decir, determinar los rangos de variación de los parámetros dentro

de los cuales no cambia la solución del problema.

2. Aplicar las soluciones de los modelos matemáticos a la toma de decisiones en la empresa

ASTOR una vez que se haya sensibilizado a los ejecutivos y al personal de la empresa ASTOR

sobre la necesidad de aplicación de los mismos para que dicha empresa pueda ser competitiva

en el mercado económico actual.

3. En futuras investigaciones completar los pasos de la metodología de investigación de

operaciones utilizada, lo que le daría más solidez científica a los aportes de la presente

investigación, sentando las bases para su aplicación en la empresa ASTOR y su generalización

a otros contextos empresariales.

50

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ANEXO 1: CALIFICACIONES Y DISPONIBILIDADES DE LOS RECURSOS HUMANOS

En la siguiente tabla se presenta las diferentes codificaciones de cada calificación de los recursos

hunamos, así como las disponibilidades de los mismos.

53

Codificación Nombre de calificación Cantidad disponible AY Ayudante 17 SNB Soldador naval B 6 SHA Soldador naval A 12 CRB Carpintero B 4 CRA Carpintero A 1 MNB Mecánico naval B 5 MNA Mecánico naval A 5 MTA Mecánico de taller A 4 MR Mecánico de refrigeración 1 ENB Electricista naval A 5 ENA Electricista naval B 2 MINB Montador instalador naval B 12 MINA Montador instalador naval A 8 EM Electricista de mantenimiento 2 Buzo Buzo 2 MD Marinero de dique 1 Pañolero Pañolero 1 MN Motorista naval 1 OPM Operario de equipo de izaje 1 OGC Operario de equipo portuario 2 OGA Operario general de astillero 5 CBA Operario a conservador de buque 9

ANEXO 2: CANTIDAD DE HORAS HOMBRE (H/H) PLANIFICADAS Y REAL EJECUTADAS

PARA LA CALIFICACIÓN AYUDANTE

En la presente tabla se presenta una muestra de la base de datos donde se tiene el registro diario

de la cantidad de horas hombre planificadas y de las reales ejecutadas para cada una de )/( hbh

las calificaciones y posiciones en cualquier objeto de obra.

orden etapa posición calificación día mes año plan real

89104 53 01 AY 4 1 2010 8 4

88984 28 84 AY 4 1 2010 8 4

88984 281 75 AY 4 1 2010 16 2

88984 28 84 AY 5 1 2010 8 2

88984 281 85 AY 5 1 2010 21 8

88984 281 85 AY 5 1 2010 21 8

81214 51 157 AY 5 1 2010 45 4

81214 51 157 AY 6 1 2010 45 8

89103 53 01 AY 9 1 2010 16 4

81214 51 157 AY 8 1 2010 45 8

81214 51 157 AY 9 1 2010 45 5

81215 281 151 AY 11 1 2010 45 8

81215 281 332 AY 11 1 2010 5 4

81215 281 336 AY 11 1 2010 5 4

81215 281 151 AY 12 1 2010 45 8

81215 281 340 AY 12 1 2010 5 4

81215 281 344 AY 12 1 2010 5 4

81215 281 151 AY 13 1 2010 45 8

81215 29 152 AY 14 1 2010 24 8

81215 281 151 AY 14 1 2010 45 8

81215 28 183 AY 14 1 2010 5 4

88984 281 85 AY 15 1 2010 21 8

88984 28 86 AY 15 1 2010 21 8

88984 28 86 AY 15 1 2010 21 8

88984 29 88 AY 15 1 2010 36 8

81214 281 50 AY 4 1 2010 170 8

81214 281 248 AY 4 1 2010 106 8

81214 281 50 AY 5 1 2010 170 8

81214 281 248 AY 5 1 2010 106 8

81214 281 50 AY 6 1 2010 170 8

81214 281 248 AY 6 1 2010 106 8

81214 281 50 AY 7 1 2010 170 8

81214 281 248 AY 7 1 2010 106 8

54

ANEXO 3: FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

14361431

1p

→ Definición de parámetros:

1i , 6,...,1j , 2,1k , 1436,...,1431d = 17drh1 , 8h ,

6dt 17,16,1 , 6dt 1,168,1 , 4dt 1,691,1 = , 3dt 1,71,1 = , 3dt 2,78,1 = , 4dt 2,87,1 = ,

96tp 17,16,1 , 441tp 1,816,1 , 42tp 1,916,1 = , 48tp 1,71,1 = , 32tp 78,2,1 = , 128tp 2,87,1 = ,

3n 14317,16,1 = , 3n 1431,87,1 = , 3n ,143187,1 = , 5n 7,143216,1 = 5n 8,143216,1 = 5n ,143217,1 = ,

5n 78,1432,1 , 5n ,143287,1 , 6n 7,143316,1 = , 6n 8,143316,1 = 6n 9,143316,1 = , 6n 71,1433,1 = ,

6n 78,1433,1 , 6n ,143387,1 , 5n ,1434168,1 = , 5n ,1434169,1 = , 5n ,143471,1 = , 5n ,143478,1 = ,

5n ,143487,1 , 3n ,1435168,1 , 3n ,1435169,1 = , 3n ,143587,1 = , 2n ,1436168,1 = , 2n ,143687,1 = ,

3,m 7,143116,1 3,m 7,143216,1 3,m 7,143316,1 = 5m 8,143216,1 = 5m 8,143316,1 = 5m 8,143416,1 =

5m 8,143516,1 5m 8,143616,1 3,m 9,143316,1 = 3,m 9,143416,1 = 3,m 9,143516,1 = 3m ,143271,1 =

3m ,143371,1 = 3m ,143471,1 4m ,143178,1 = 4m ,143278,1 = 4m ,143378,1 = 4m ,143478,1 =

6m ,143187,1 6m ,143287,1 6m ,143387,1 = 6m ,143487,1 = 6m ,143587,1 = 6m ,143687,1 =

Definición de las variables:

ijkdx

k

: Cantidad de recursos humanos de calificación i a asignar en la posición del objeto de

obra en el día (variables enteras).

j

d

donde , 1i = 169168,,16787,78,71,j = , 2,1k = , 4361431,...,1d =

Los elementos de la matriz ijkda )1ttxKxJxI(A - que tienen valor 1 son los

siguientes:

1,167,1,1431a , 2,167,1,1431a , 3,167,1,1431a , 2,168,1,1431a , 3,168,1,1431a , 4,168,1,1431a ,

5,168,1,1431a , 6,168,1,1431a , 3,169,1,1431a , 4,169,1,1431a , 5,169,1,1431a , ,71,1,14321a ,

,71,1,14331a , ,71,1,14341a , ,78,2,14311a , ,78,2,14321a , ,78,2,14331a , ,78,2,14341a ,

,87,2,14311a , ,87,2,14321a , ,87,2,14331a , ,87,2,14341a , ,87,2,14351a , ,87,2,14361a

y los restantes tienen valor cero.

55

Ahora bien, el problema es el siguiente:

5045

1p

XZMin 1,167,1,1431x 2,167,1,1431x+ 3,167,1,1431x+ 2,168,1,1431x

3,168,1,1431x+ 4,168,1,1431x+ 5,168,1,1431x+ 6,168,1,1431x+

3,169,1,1431x+ 4,169,1,1431x+ 5,169,1,1431x+ ,71,1,14321x+

,71,1,14331x+ ,71,1,14341x+ ,78,2,14311x+ ,78,2,14321x+

,78,2,14331x+ ,78,1,14341x+ ,87,2,14311x+ ,87,2,14321x+

,87,2,14331x+ ,87,2,14341x+ ,87,2,14351x+ ,87,2,14361x+

s.a

1,167,1,1431x ,78,2,14311x+

,87,2,14311x+ 17≤

2,167,1,1431x ,1432,168,1,1x+ ,71,1,14321x+ ,78,2,14321x+

,87,2,14321x+

17≤

3,167,1,1431x 3,168,1,1431x+ 3,169,1,1431x+ ,71,1,14331x+ ,78,2,14331x+

,87,2,14331x+

17≤

4,168,1,1431x 4,169,1,1431x+ ,71,1,14341x+ ,78,1,14341x+

,87,2,14341x+

17≤

5,168,1,1431x 5,169,1,1431x+

,87,2,14351x+ 17≤

6,168,1,1431x ,87,2,14361x+

17≤

1,167,1,1431x 6≤

2,167,1,1431x 6≤

3,167,1,1431x 6≤

2,168,1,1431x 6≤

3,168,1,1431x 6≤

4,168,1,1431x 6≤

5,168,1,1431x 6≤

56

6,168,1,1431x 6≤

3,169,1,1431x 4≤

4,169,1,1431x 4≤

5,169,1,1431x 4≤

,71,1,14321x 3≤

,71,1,14331x 3≤

,71,1,14341x 3≤

,78,2,14311x 3≤

,78,2,14321x 3≤

,78,2,14331x 3≤

,78,1,14341x 3≤

,87,2,14311x 5≤

,87,2,14321x 5≤

,87,2,14331x 5≤

,87,2,14341x 5≤

,87,2,14351x 5≤

,87,2,14361x 5≤

1,167,1,1431x(8 2,167,1,1431x+ 3,167,1,1431x 96≥

,1432,168,1,1x(8 3,168,1,1431x+

4,168,1,1431x+ 5,168,1,1431x+ )x 6,168,1,1431+

441≥

3,169,1,1431x(8 4,169,1,1431x+ )x 5,169,1,1431 42≥

,71,1,14321x(8 ,71,1,14331x+ )x ,71,1,14341+ 48≥

,78,2,14311x(8 ,78,2,14321x+ ,78,2,14331x+ )x ,78,1,14341+ 32≥

,87,2,14311x(8 ,87,2,14321x+ ,87,2,14331x+ ,87,2,14341x+ ,87,2,14351x+ )x ,87,2,14361+ 128≥

1,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- ,87,2,14311x- 3≤

57

,78,2,14311x2 ,78,2,14311x- ,87,2,14311x- 3≤

,87,1,14311x2 1,167,2,1431x- ,78,2,14311x- 3≤

2,167,1,1431x4 ,1432,168,1,1x-

,71,1,14321x- ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

2,168,1,14314x 2,167,1,1431x-

,71,1,14321x- ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,71,1,14321x4 2,167,1,1431x-

,1432,168,1,1x- ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,78,2,14321x4 2,167,1,1431x-

2,168,1,1431- x ,71,1,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,87,2,14321x4 2,167,1,1431x-

,1432,168,1,1x- ,71,1,14321x- ,78,2,14321x- 5≤

3,167,1,1431x5 3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x- 6≤

3,168,1,1431x5 3,167,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x- 6≤

3,169,1,1431x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x- 6≤

,71,1,14331x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x-,78,2,14331x- ,87,2,14331x- 6≤

,78,2,14331x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,87,2,14331x- 6≤

,87,2,14331x5 3,167,1,1431x- 3,168,1,1431x- 3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- 6≤

4,168,1,1431x4

4,169,1,1431x-

,71,1,14341x- ,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

4,169,1,1431x4 4,168,1,1431x-

,71,1,14341x- ,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

,71,1,14341x4 4,168,1,1431x-4,169,1,1431x- ,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

,78,1,14341x4 4,168,1,1431x- 4,169,1,1431x- ,71,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

58

59

,87,2,14341x4 4,168,1,1431x-4,169,1,1431x- ,71,1,14341x- ,78,1,14341x- 5≤

5,168,1,1431x2 5,169,1,1431x- ,87,2,14351x- 3≤

5,169,1,1431x2 5,168,1,1431x- ,87,2,14351x- 3≤

,87,2,14351x2 5,168,1,1431x- 5,169,1,1431x- 3≤

6,168,1,1431x ,87,2,14361x- 2≤

,87,2,14361x 6,168,1,1431x- 2≤

1,167,1,1431x2 2,167,1,1431x-3,167,1,1431x- 1,167,1,1431x2 3≤

2,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- 3,167,1,1431x- 3≤

3,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- 2,167,1,1431x- 3≤

,1432,168,1,1x4 3,168,1,1431x- 4,168,1,1431x- 5,168,1,1431x-

6,168,1,1431x- 5≤

3,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x- 4,168,1,1431x- 5,168,1,1431x- 6,168,1,1431x- 5≤

4,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x-3,168,1,1431x- 5,168,1,1431x- 6,168,1,1431x- 5≤

5,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x-3,168,1,1431x- 4,168,1,1431x-

6,168,1,1431x- 5≤

6,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x-3,168,1,1431x- 4,168,1,1431x- 5,168,1,1431x- 5≤

3,169,1,1431x2 4,169,1,1431x-5,169,1,1431x- 3≤

4,169,1,1431x2 3,169,1,1431x-5,169,1,1431x- 3≤

5,169,1,1431x2 3,169,1,1431x- 4,169,1,1431x- 3≤

,71,1,14321x2 ,71,1,14331x- ,71,1,14341x- 3≤

,71,1,14331x2 ,71,1,14321x- ,71,1,14341x- 3≤

60

,

enteros, ,

,71,1,14341x2 ,71,1,14321x- ,71,1,14331x- 3≤

,78,2,14311x3 ,78,2,14321x- ,78,2,14331x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,2,14321x3 ,78,2,14311x- ,78,2,14331x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,2,14331x3 ,78,2,14311x- ,78,2,14321x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,1,14341x3 ,78,2,14311x-

,78,2,14321x- ,78,2,14331x- 4≤

,87,2,14311x5 ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14321x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14331x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14341x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14351x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14361x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,1431x- 5 6≤

ijkdx

0≥J,...,1j K,...,1k , 1t,...,td

ANEXO 4: Formulación del problema

1436→1431

11cp

Definición de parámetros:

1i , 6,...,1j , 2,1k , 1436,...,1431d = 17drh 1 , 8h ,

6dt 17,16,1 , 6dt 1,168,1 , 4dt 1,691,1 = , 3dt 1,71,1 = , 3dt 2,78,1 = , 4dt 2,87,1 = ,

96tp 17,16,1 , 441tp 1,816,1 , 42tp 1,916,1 = , 48tp 1,71,1 = , 32tp 78,2,1 = , 128tp 2,87,1 = ,

3n 14317,16,1 = , 3n 1431,87,1 = , 3n ,143187,1 = , 5n 7,143216,1 = 5n 8,143216,1 = 5n ,143217,1 = ,

5n 78,1432,1 , 5n ,143287,1 , 6n 7,143316,1 = , 6n 8,143316,1 = 6n 9,143316,1 = , 6n 71,1433,1 = ,

6n 78,1433,1 , 6n ,143387,1 , 5n ,1434168,1 = , 5n ,1434169,1 = , 5n ,143471,1 = , 5n ,143478,1 = ,

5n ,143487,1 , 3n ,1435168,1 , 3n ,1435169,1 = , 3n ,143587,1 = , 2n ,1436168,1 = , 2n ,143687,1 = ,

3,m 7,143116,1 3,m 7,143216,1 3,m 7,143316,1 = 5m 8,143216,1 = 5m 8,143316,1 = 5m 8,143416,1 =

5m 8,143516,1 5m 8,143616,1 3,m 9,143316,1 = 3,m 9,143416,1 = 3,m 9,143516,1 = 3m ,143271,1 =

3m ,143371,1 = 3m ,143471,1 4m ,143178,1 = 4m ,143278,1 = 4m ,143378,1 = 4m ,143478,1 =

6m ,143187,1 6m ,143287,1 6m ,143387,1 = 6m ,143487,1 = 6m ,143587,1 = 6m ,143687,1 =

Definición de las variables:

ijkdxk

: Cantidad de recursos humanos de calificación a asignar en la posición del objeto de

obra en el día (variables enteras).

i j

d

donde , 1i = 169168,,16787,78,71,j = , 2,1k = , 4361431,...,1d =

Los elementos de la matriz ijkda )1ttxKxJxI(A - que tienen valor 1 son los

siguientes:

1,167,1,1431a 2,167,1,1431a 3,167,1,1431a 2,168,1,1431a 3,168,1,1431a 4,168,1,1431a

5,168,1,1431a 6,168,1,1431a 3,169,1,1431a 4,169,1,1431a 5,169,1,1431a ,71,1,14321a

,71,1,14331a ,71,1,14341a ,78,2,14311a ,78,2,14321a ,78,2,14331a ,78,2,14341a

,87,2,14311a ,87,2,14321a ,87,2,14331a ,87,2,14341a ,87,2,14351a ,87,2,14361a

y los restantes tienen valor cero.

61

Ahora bien, el problema es el siguiente:

1436→1431

11cp

( ) == XZMin 1,167,1,1431x 2,167,1,1431x+ 3,167,1,1431x+ ,1432,168,1,1x+

3,168,1,1431x+ 4,168,1,1431x+ 5,168,1,1431x+ 6,168,1,1431x+

3,169,1,1431x+ 4,169,1,1431x+ 5,169,1,1431x+ ,71,1,14321x+

,71,1,14331x+ ,71,1,14341x+ ,78,2,14311x+ ,78,2,14321x+

,78,2,14331x+ ,78,1,14341x+ ,87,2,14311x+ ,87,2,14321x+

,87,2,14331x+ ,87,2,14341x+ ,87,2,14351x+ ,87,2,14361x+

s.a

1,167,1,1431x ,78,2,14311x+ ,87,2,14311x+ 17≤

2,167,1,1431x ,1432,168,1,1x+

,71,1,14321x+ ,78,2,14321x+ ,87,2,14321x+ 17≤

3,167,1,1431x 3,168,1,1431x+

3,169,1,1431x+ ,71,1,14331x+ ,78,2,14331x+ ,87,2,14331x+

17≤

4,168,1,1431x+

4,169,1,1431x+

,71,1,14341x+ ,78,1,14341x+ ,87,2,14341x+ 17≤

5,168,1,1431x 5,169,1,1431x+

,87,2,14351x+ 17≤

6,168,1,1431x ,87,2,14361x+ 17≤

1,167,1,1431x 6≤

2,167,1,1431x 6≤

3,167,1,1431x 6≤

2,168,1,1431x 6≤

3,168,1,1431x 6≤

4,168,1,1431x 6≤

5,168,1,1431x 6≤

6,168,1,1431x 6≤

62

3,169,1,1431x 4≤

4,169,1,1431x 4≤

5,169,1,1431x 4≤

,71,1,14321x 3≤

,71,1,14331x 3≤

,71,1,14341x 3≤

,78,2,14311x 3≤

,78,2,14321x 3≤

,78,2,14331x 3≤

,78,1,14341x 3≤

,87,2,14311x 5≤

,87,2,14321x 5≤

,87,2,14331x 5≤

,87,2,14341x 5≤

,87,2,14351x 5≤

,87,2,14361x 5≤

1,167,1,1431x(439,0

8 2,167,1,1431x+

)x 3,167,1,1431+ 96≥

,1432,168,1,1x(439,0

8 3,168,1,1431x+

4,168,1,1431x+

5,168,1,1431x+ 6,168,1,1431x+

)44≥ 1

3,169,1,1431x(439,0

8 4,169,1,1431x+

)x 5,169,1,1431+

42≥

,71,1,14321x(439,0

8

,71,1,14331x+ )x ,71,1,14341+ 48≥

63

,78,2,14311x(439,0

8 ,78,2,14321x+

,78,2,14331x+ )x ,78,1,14341+ 32≥

,87,2,14311x(439,0

8

,87,2,14321x+ ,87,2,14331x+ ,87,2,14341x+ ,87,2,14351x+ )x ,87,2,14361+ 128≥

1,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- ,87,2,14311x- 3≤

,78,2,14311x2 ,78,2,14311x- ,87,2,14311x- 3≤

,87,1,14311x2 1,167,2,1431x- ,78,2,14311x- 3≤

2,167,1,1431x4

2,168,1,1431- x ,71,1,14321x- ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

2,168,1,14314 x 2,167,1,1431x-

,71,1,14321x- ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,71,1,14321x4 2,167,1,1431x-

2,168,1,1431- x ,78,2,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,78,2,14321x4 2,167,1,1431x- 2,168,1,1431- x ,71,1,14321x- ,87,2,14321x- 5≤

,87,2,14321x4 2,167,1,1431x-

2,168,1,1431- x ,71,1,14321x- ,78,2,14321x- 5≤

3,167,1,1431x5 3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x-

6≤

3,168,1,1431x5 3,167,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x-

6≤

3,169,1,1431x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

,71,1,14331x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x-

6≤

,71,1,14331x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,78,2,14331x- ,87,2,14331x-

6≤

,78,2,14331x5 3,167,1,1431x-

3,168,1,1431x-

3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,87,2,14331x-

6≤

,87,2,14331x5 3,167,1,1431x- 3,168,1,1431x- 3,169,1,1431x- ,71,1,14331x- ,78,2,14331x- 6≤

64

65

4,168,1,1431x4

4,169,1,1431x-

,71,1,14341x- ,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

4,169,1,1431x4

4,168,1,1431x-

,71,1,14341x- ,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

,71,1,14341x4 4,168,1,1431x-

4,169,1,1431x-

,78,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

,78,1,14341x4 4,168,1,1431x-

4,169,1,1431x-

,71,1,14341x- ,87,2,14341x- 5≤

,87,2,14341x4 4,168,1,1431x- 4,169,1,1431x-

,71,1,14341x- ,78,1,14341x- 5≤

5,168,1,1431x2 5,169,1,1431x- ,87,2,14351x- 3≤

5,169,1,1431x2 5,168,1,1431x- ,87,2,14351x- 3≤

,87,2,14351x2 5,168,1,1431x- 5,169,1,1431x- 3≤

6,168,1,1431x ,87,2,14361x- 2≤

,87,2,14361x 6,168,1,1431x- 2≤

1,167,1,1431x2

2,167,1,1431x-

3,167,1,1431x-

1,167,1,14312x 3≤

2,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- 3,167,1,1431x-

3≤

3,167,1,1431x2 1,167,1,1431x- 2,167,1,1431x-

3≤

,1432,168,1,1x4 3,168,1,1431x- 4,168,1,1431x-

5,168,1,1431x-

6,168,1,1431x- 5≤

3,168,1,1431x4

,1432,168,1,1x- 4,168,1,1431x-

5,168,1,1431x-

6,168,1,1431x- 5≤

4,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x- 3,168,1,1431x-

5,168,1,1431x-

6,168,1,1431x- 5≤

5,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x- 3,168,1,1431x-

4,168,1,1431x- 6,168,1,1431x- 5≤

6,168,1,1431x4 ,1432,168,1,1x- 3,168,1,1431x-

4,168,1,1431x- 5,168,1,1431x- 5≤

66

3,169,1,1431x2 4,169,1,1431x-

5,169,1,1431x- 3≤

4,169,1,1431x2

3,169,1,1431x- 5,169,1,1431x- 3≤

5,169,1,1431x2 3,169,1,1431x- 4,169,1,1431x-

3≤

,71,1,14321x2 ,71,1,14331x- ,71,1,14341x- 3≤

,71,1,14331x2 ,71,1,14321x- ,71,1,14341x- 3≤

,71,1,14341x2

,71,1,14321x-

,71,1,14331x- 3≤

,78,2,14311x3 ,78,2,14321x- ,78,2,14331x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,2,14321x3 ,78,2,14311x- ,78,2,14331x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,2,14331x3 ,78,2,14311x-

,78,2,14321x- ,78,1,14341x- 4≤

,78,1,14341x3 ,78,2,14311x-

,78,2,14321x- ,78,2,14331x- 4≤

,87,2,14311x5 ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14321x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14331x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14341x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14351x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14351x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14361x- 6≤

,87,2,14361x5 ,87,2,14311x- ,87,2,14321x- ,87,2,14331x- ,87,2,14341x- ,87,2,14351x- 6≤

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enteros, J,...,1j , K,...,1k , 1t,...,td