ModGeometrico 12-13.ppt [Modo de compatibilidad]webdiis.unizar.es/~SANDRA/MasterIG/ModGeometrico13-14.pdf · • Representación de objetos en 3D ... – Curvas: pp, yuntos, líneas

Modelado GeométricoModelado Geométrico

•• Clasificación de los modelos geométricosClasificación de los modelos geométricos•• Representación de objetos en 3DRepresentación de objetos en 3D

•• Modelos de PuntosModelos de Puntos•• Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies•• Modelos de SólidosModelos de Sólidos

Prof. Sandra Baldassarri

Modelos geométricosModelos geométricos

• Objetivos del modelado– Representación de un objeto real o sintético descrito mediante el– Representación de un objeto real o sintético descrito mediante el

ordenador

Modelado Geométrico


• Objetivos del modelado



• Objetivos del modelado



• Objetivos del modeladoLos modelos representan determinadas características del objetoLos modelos representan determinadas características del objeto en estudio, haciéndolas más fácilmente observables que el objeto real (porque no existe, porque no es directamente observable, etc).

El objetivo de un modelo es obtener información sobre el objeto representado a partir de ese modelo.

– Modelos físicos de objetos tridimensionales: representan las dimensiones relativas y la apariencia del objeto modelado ( difi i h t )(edificios, coches, personas, etc)

– Modelos moleculares: representan la ordenación espacial de los átomos de una molécula con respecto a sus vecinos (no suelen p (representar más propiedades)

– Modelos matemáticos: representan algunos de los aspectos del objeto modelado en términos de ecuaciones y datos numéricosobjeto modelado en términos de ecuaciones y datos numéricos



¿Cómo se crea un objeto?

• Con un programa de CAD: 3DStudio AutoCAD Blender ProEngineer– 3DStudio, AutoCAD, Blender, ProEngineer,…

• A partir de objetos reales• A partir de objetos reales– Explorador laser, digitalizador 3D,…

• Matemáticamente



Representación de un objeto

• No hay un método único

• Depende del objeto y del medio:Interfaz de usuario– Interfaz de usuario

– Representación del ordenador

– Almacenamiento

• La representación más popular: representación poligonalp p p p p g



• Creación y representación de un objeto modelado por ordenadorordenador

Modelado por puntos

Modelado de curvasf M d l d d ólid


y superficies Modelado de sólidos


• Clasificación de los modelos geométricos

1D 2D 3D

Dimensiones del diseño de elementos

Modelos 2D Dibujo lineal Dibujo poligonal

Modelos 3D Jaula de alambre

Superficies Sólidos

ModelosModelos geométricosgeométricos

Primitivas geométricas en 3D– Puntos

N=(a, b, c)

– Puntos

– Segmentos (líneas)

– PolígonosP3

P

P1

(x y z)– Poliedros

– Superficies curvas

P2

d

(x, y, z)

– Objetos Sólidos

– etc. Origen

d

( r(cx, cy, cz)

ModelosModelos geométricosgeométricos

Representación de objetos en 3D

• Modelos de Puntos• Modelos de Puntos– Nubes de puntos

– Mapas de profundidadMapas de profundidad

• Modelos de Curvas y Superficies– Geometría analítica, Teoría de la aproximación, Teoría de la , p ,

interpolación

– Mallas

S bdi i ió– Subdivisión

• Modelos de SólidosModelos de descomposición– Modelos de descomposición

– Modelos constructivos

– Modelos de fronteras

ModelosModelos de de puntospuntos

Nubes de puntos

• Muestras de puntos en 3D no estructuradas• Muestras de puntos en 3D no estructuradas– Adquiridas mediante técnicas de visión por ordenador,…

ModelosModelos de de puntospuntos

Mapas de profundidad

• Conjunto de puntos en 3D que generan un mapa de• Conjunto de puntos en 3D que generan un mapa de profundidad– Adquirido mediante escánerAdquirido mediante escáner

Imagen de puntosen profundidad

Teselación Superficie enprofundidad

Modelos de Curvas y SuperficiesModelos de Curvas y Superficies

Las curvas y superficies permite representar los contornos de forma exactade forma exacta.

Este tipo de modelos representan la informaciónEste tipo de modelos representan la información geométrica en términos de:– Curvas: puntos, líneas rectas y curvasp , y

– Superficies: polígonos planos y superficies alabeadas

• Las técnicas matemáticas empleadas son:

- Geometría analítica

- Teoría de la interpolación

- Teoría de la aproximación


p


Geometría Analítica– Cualquier curva se puede describir por un vector de puntos– Cualquier curva se puede describir por un vector de puntos…

pero esto conllevaría mucho almacenamiento y la forma exacta sigue siendo desconocida…

L i líti f t l b l– Las ecuaciones analíticas ofrecen mayor control sobre la curva y sobre su comportamiento.

tatx

02

taty

02

Representación analítica

R t ió l ió d t


Representación como colección de puntos


• Modelado de curvas planas– Representación de curvas en el plano– Representación de curvas en el plano

tatx

02

taty

02

Representación analítica

Representación como colección de puntos



Modelado de curvas planas– Curvas no paramétricas– Curvas no paramétricas

)(xfy

xxy cos3 2

Representación explícitaRepresentación explícita

0),( yxf

1523 cos2 xyexyx y

Representación implícita



Modelado de curvas planas– Curvas paramétricas– Curvas paramétricas

)(txx

Círculo de radio r con centro en el origen de

20

cos

rx

)(

)(

tyy

txx

centro en el origen de

coordenadas

20

sen

ry

Elipse de ejes a y b centrada en el origen de

20cos

b

ax

20sen

cos

y

x coordenadas sen byParábola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x

0

2

2

ay

ax

al eje x 2ayHipérbola centrada en el origen y simétrica respecto al eje x

20tg

sec

ay

ax

j

Representación paramétrica de las cónicas





• Superficies paramétricas

)(

),( wuxx

),(

),(

wuzz

wuyy

10)(

)(),(2

2

uwuwuy

wuwux

10),(

),(

wuwwuz

wuwuy



Superficies cuádricas:– Representación paramétrica de las cuádricas– Representación paramétrica de las cuádricas

20sencosax

20coshcosax 20coshax

0

20cos

b

ax

cos

20sensen

cz

by

Elipsoide

senh

senhsen

cz

by

Hiperboloide de una hoja

senhcos

senhsen

cz

by

Hiperboloide de dos hojas 2

0sen

z

by max

Paraboloide elíptico

2

senh

cosh

z

by

ax

maxmin

cz

by

ax

maxmin

sen

20cos

z

by

ax

maxminsen

20cos

z

ay

ax

maxmin

max

2

02

Paraboloide hiperbólico Cono elíptico Cilindro elíptico

Cilindro parabólico



Superficies bilineales: – Se construye por la paramerización de un cuadrado unidad– Se construye por la paramerización de un cuadrado unidad.

– Cualquier punto del interior de la superficie se obtiene interpolando entre los lados opuestos de ésta:

uwPwuP

wuPwuPvuQ

)1,1()1()0,1(

)1)(1,0()1)(1)(0,0(),(

Expresión paramétrica

),()(),(

wPPuuvuQ

1)1,0()0,0(1),(

ió i i l wPP

Q)1,1()0,1(

),(Expresión matricial



Superficies a trozos

Fragmentos formados por cuatro aristas curvas, donde es preciso conocer:

d d d l é i– coordenadas de los cuatro vértices– dos vectores tangentes en cada vértice– torsión en cada vértice

cos sensen sencos),( Q , 21 , 21

0sencossensen)(Q

sen sencos sencos),(

0 sencos sensen),(

Q

Q

0 coscos cossen),( Q


),(, Q

cossen sensen sencos 22 QQ

ModeladoModelado de de CurvasCurvas y Superficiesy Superficies

Superficies implícitas– Los puntos satisfacen F(x y z) = 0– Los puntos satisfacen F(x,y,z) = 0

Modelo poligonal Modelo implícito

Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación

En las técnicas de interpolación la curva o superficie “pasa” por una serie de puntos dadospor una serie de puntos dados.

Existen diferentes técnicas:Existen diferentes técnicas:

• Interpolación lineal

• Polinomio de LagrangePolinomio de Lagrange

• Curvas y superficies cúbicas paramétricas:– Hermite

– Spline Cúbico



Interpolación lineal

)(

Polinomio de Lagrange

)(

)()()()()(1

1ii

iiii xx

xxxfxfxfxf

Polinomio de Lagrange

n n

jxxyxf )(

i

ijj ji

in xxyxf

0 0

)(



Polinomio de Lagrange– Problemas al aumentar el número de puntos– Problemas al aumentar el número de puntos

– Interpolación lineal vs Polinomio de Lagrange


Teoría de la interpolaciónTeoría de la interpolaciónTeoría de la interpolación

• Cúbicas paramétricas

3

3

0

)(i

iitatP

0i



• Las curvas de Hermite se representan por polinomios cúbicos a trozos con continuidad en la posición y en lacúbicos a trozos, con continuidad en la posición y en la derivada. Se conocen los puntos y los valores de las derivadas en los extremos.

Catmull-RomCatmull Rom

Hermite



Hay que tener en cuenta:

• Continuidad geométrica• Continuidad geométrica

C ti id d ét i• Continuidad paramétrica



Los splines cúbicos se representan por polinomios cúbicos a trozos con continuidad en la derivada segundaa trozos, con continuidad en la derivada segunda.

Diseño de curvas con splines pcúbicos.

a) los 4 puntos entrados por el usuariousuario

b) el spline cúbico global que los interpola

) l i t tc) los mismos cuatro puntos interpolados por un spline cúbico local

d) se muestran las dos curvas superpuestas y se observa la mayor continuidad (suavidad)

)


de la curva b)


Matrices de interpolación

• Hermite• Hermite

• Spline



Las técnicas de interpolación de superficies que se suelende superficies que se suelen utilizar son las cúbicas paramétricas (a trozos):

–Hermite

–Spline Cúbico


Teoría de la aproximaciónTeoría de la aproximación

• Las curvas se “aproximan” por medio de una serie de puntos de controlpuntos de control

Bézier

B-splineB-spline



• Curvas de Bèzier

Curva generada por los seispuntos b0...b5.

Conjunto formado por cuatro curvas de Bézier, cada una definida mediante cuatro puntos.

Los puntos de conexión son b3


Los puntos de conexión son b3, b6, b9.


• Splines Cúbicos– Los splines cúbicos se diferencian de las curvas de Bézier en– Los splines cúbicos se diferencian de las curvas de Bézier en

que tienen continuidad C2 y en que los puntos de los extremos no pertenecen a la curva

P1P3 P5

P2P4

C1 C2 C3 C4

4

1

1)(i

ii tBtP , 21 ttt

E ió d li úbi


Ecuación de un spline cúbicoDos fragmentos de

un spline cúbico




• Control local en curvas B-spline



• Curvas NURBs: Non Uniform Rational Bsplines– Estas curvas son muy populares en los programas de CAD– Estas curvas son muy populares en los programas de CAD

– Su representación incluye todas las curvas Bézier y B-splines



• Modelado de Superficies



• Superficies de Bézier

n m

i j

jminji wKuJBwuQ0 0

,,, )()(),(



• Propiedades de las superficies de Bezier– Interpolan los 4 puntos de las esquinas– Interpolan los 4 puntos de las esquinas

– Clausura convexa

– Control local



• Propiedades de las superficies de Bezier– Continuidad entre parches– Continuidad entre parches


TeoríaTeoría de la de la aproximaciónaproximación

• Superficies B-spline a trozos (parches)

ModeladoModelado de superficiesde superficies

Mallas poligonales

• Conjunto de polígonos conectados (usualmente• Conjunto de polígonos conectados (usualmente triángulos)

ModeladoModelado de Superficiesde Superficies

Mallas poligonales

• Conjunto de polígonos que representan una superficie• Conjunto de polígonos que representan una superficie 2D definiendo un objeto 3D


Mallas poligonales– Representación del modelo– Representación del modelo

Modelado de SuperficiesModelado de Superficies

Mallas poligonales– Representación del modelo– Representación del modelo

IMAGE SYNTHESIS GROUP


Mallas poligonales– Los vértices son compartidos por varios polígonos– Los vértices son compartidos por varios polígonos

– Hay técnicas de optimización al utilizar las mallasHay técnicas de optimización al utilizar las mallas • tiras (triangle - strips)

• abánicos (triangle - fans)


Mallas poligonales– Permite trabajar con diferente resolución– Permite trabajar con diferente resolución

48 polígonos 120 polígonos 300 polígonos 1000 polígonos

IMAGE SYNTHESIS GROUP


Superficies de Subdivisión– Superficie formada por una malla + regla de subdivisión– Superficie formada por una malla + regla de subdivisión


Superficies de Subdivisión– Malla + Regla de subdivisión– Malla + Regla de subdivisión

• Define una superficie suave como una secuencia limitada de refinamientos


Superficies de Subdivisión– La subdivisión debe tener en cuenta propiedades como la– La subdivisión debe tener en cuenta propiedades como la

suavidad de la malla


Superficies de Subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión– Hay diferentes métodos de subdivisión

• Diferentes reglas para refinar la topología

• Diferentes reglas para posicionar los vértices





Técnicas constructivas de superficiesTécnicas constructivas de superficies

Aplicando de forma combinada los diferentes métodos que se acaban de ver pueden obtenerse superficiesse acaban de ver, pueden obtenerse superficies aplicando variadas técnicas constructivas.

• A continuación, se va a estudiar algunas de estas técnicas constructivas de superficies, de las que se p qverán ejemplos.



• Superficies regladas y desarrollables

wuPwuPwuQ )1,()1)(0,(),( Expresión paramétrica

)1(

)0,(1),(

uP

uPwwwuQ Expresión matricial

)1,(uP



• Superficies regladas y desarrollables



Superficie de revolución

Superficie de barridoSuperficie esculpida


Superficie de barrido


• Superficies de revolución:

Rotación de una curva alrededor de un ejeRotación de una curva alrededor de un eje


TécnicasTécnicas constructivasconstructivas de superficiesde superficies

• Barrido a lo largo de una trayectoria

Construcción de un toro porConstrucción de un toro por rotación de un círculo


• Superficies de barrido:

Desplazamiento de una curva a lo largo de una trayectoriaDesplazamiento de una curva a lo largo de una trayectoria



• Superficie fileteada entre cilindro y esfera


Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridas superficies: técnicas híbridas

Metaballs o Superficies implícitas:

• Describen los objetos por medio de superficies que son• Describen los objetos por medio de superficies que son contornos (isosuperficies), a través de un campo escalar en 3D. La función de campo determina el valor en cadaen 3D. La función de campo determina el valor en cada punto del espacio en base a alguna primitiva geométrica, generalmente puntos, segmentos o polígonos.


Modelado de Modelado de superficies: técnicas híbridassuperficies: técnicas híbridas

La superficie implícita es la suma de funciones base


Superficies implícitas:– Blobby models:– Blobby models:

• Modelado de un dragón con diferente número de blobs


Superficies implícitas:– Blobby models: Modelado de una cara (Muraki 1991)– Blobby models: Modelado de una cara (Muraki, 1991)


• Ejemplo metaballs:Dada una función de campo D(r) = 1/r2 y varios puntos de controlDada una función de campo D(r) = 1/r y varios puntos de control en el espacio 3D, siendo r la distancia de un punto en el espacio al punto de control, se dibuja una superficie a partir del punto de control teniendo en cuenta si hay interacción entre varios puntoscontrol, teniendo en cuenta si hay interacción entre varios puntos.

Modelado de superficies: técnicas híbridasModelado de superficies: técnicas híbridas

• Ejemplo:


Modelado de superficies: técnicas híbridasModelado de superficies: técnicas híbridas

• Ejemplo:La estructura muscular fue creada usando el plug-in MetareyesLa estructura muscular fue creada usando el plug-in Metareyes. Para construir la malla sólida se crearon cientos de esferas definidas por superficies implícitas.


Comparación entre representacionesComparación entre representaciones


Modelado de sólidosModelado de sólidos

• ¿Por qué se necesitan modelos sólidos?

Algunos métodos de adquisición generan sólidos: TACAlgunos métodos de adquisición generan sólidos: TAC




Algunas aplicaciones requieren trabajar con sólidos:Algunas aplicaciones requieren trabajar con sólidos: aplicaciones CAD/CAM




Algunos algoritmos requieren sólidos: trazado de rayosAlgunos algoritmos requieren sólidos: trazado de rayos con refracción



• Este tipo de modelos representan la información geométrica externa y la estructura internageométrica externa y la estructura interna.

• A diferencia de los modelos de superficies permiten• A diferencia de los modelos de superficies, permiten distinguir entre interior, exterior y superficie de un objeto.

• Permiten calcular diferentes propiedades de los objetos:– Volumen

– Masa

– Transparencia (medios participativos)

– …



Las técnicas de representación empleadas son:

- Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto.

- Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. j p

- Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan.



Características de un modelo:

Dominio: define los objetos que se pueden representar Dominio: define los objetos que se pueden representar Validez: sólo debe permitir representar objetos válidos No ambigüedad: no deben quedar dudas sobre quéNo ambigüedad: no deben quedar dudas sobre qué

está representado Unicidad: tiene que haber sólo una manera de

representar el objeto Lenguajes de descripción: uso de un lenguaje

adecuado para describir los objetosadecuado para describir los objetos Compacto: ahorro de espacio para almacenamiento Clausura: conjunto cerrado de operaciones Clausura: conjunto cerrado de operaciones Facilidad de uso Eficacia en la aplicación


Eficacia en la aplicación


• Sólido:

Objeto físico que divide el espacio en dos regiones: unaObjeto físico que divide el espacio en dos regiones: una exterior y otra exterior, separadas por el contorno del objeto. El contorno puede ser una superficie cerrada oobjeto. El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas.



• Sólido:

El contorno puede ser una superficie cerrada o un grupoEl contorno puede ser una superficie cerrada o un grupo de superficies abiertas interconetadas, pero podrían generarse objetos no válidos…generarse objetos no válidos…



• Operaciones booleanas entre sólidos:

¿Qué objetos se generan?¿Qué objetos se generan?



• Operaciones booleanas regularizadas:

Garantizan la validez de los objetos generadosGarantizan la validez de los objetos generados



Las técnicas de representación empleadas son:

- Modelos de descomposición: Descripción de un sólido como un conjunto de células elementales cuya yuxtaposición llena todo el espacio ocupado por el objeto.

- Modelos constructivos: Representación de un objeto como combinación de otros objetos elementales, siendo cada uno de ellos una particularización de un determinado objeto primitivo. j p

- Modelos de fronteras: Representación de un objeto por medio de sus caras, donde cada una de ellas se describe mediante la superficie en que está contenida y la curva o curvas que la limitan.


Modelos de descomposiciónModelos de descomposición

• Un objeto se modela como la suma de celdas o particiones del espacio

Descomposiciones Descomposición jerárquica del

particiones del espacio

Descomposiciones celulares

Descomposición jerárquica del espacio

General Voxels Bintrees BSP Octrees



• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva:exhaustiva:

Las células son pequeños cubos contenidos (total o parcialmente) en el sólido. Estos cubos son del mismoparcialmente) en el sólido. Estos cubos son del mismo tamaño y orientación (subdivisión regular del espacio).


Objeto representado por una lista de cubos regulares


• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva:exhaustiva:

Las operaciones de comparación de objetos son triviales



• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels)exhaustiva (voxels)

Representación en isosuperficiesRepresentación en isosuperficies



• Modelo de descomposición mediante enumeración exhaustiva (voxels)exhaustiva (voxels)



• Modelo de descomposición celular

Las células que constituyen el sólido son elementosLas células que constituyen el sólido son elementos básicos de forma y tamaño variable

Celda básica cuadrática



• Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursivasubdivisión recursiva

• Modelo quadtree/octree: estructura jerárquica con subdivisión recursiva del espacio en cuadrados/cubossubdivisión recursiva del espacio en cuadrados/cubos de tamaño menor, dependiendo de la ocupación o no de ese elemento.



• Operaciones con modelos de subdivisión recursiva



• Modelos de descomposición jerárquica del espacio o de subdivisión recursivasubdivisión recursiva

• Descomposición del espacio binario: en cada paso se subdivide la escena en dos secciones con un plano quesubdivide la escena en dos secciones con un plano que puede estar en cualquier posición y orientación.

Bintree BSP

(Binary Space Partition)


(Binary Space Partition)


• BSP: La posición y orientación de los planos puede hacerse adaptándose a la distribución espacial de loshacerse adaptándose a la distribución espacial de los objetos, de modo que se puede reducir la profundidad en la representación del árbol. Los árboles BSP son útiles para identificar las superficies visibles.


Modelos constructivosModelos constructivos

CSG: Geometría Sólido ConstructivaUno de los esquemas más populares debido a su facilidad de usoUno de los esquemas más populares debido a su facilidad de uso

y para verificar la validez

• Primitivas sólidas (instanciación)– Cubo, pirámide, esfera, …

• Transformaciones geométricas



• CSG: Geometría Sólido Constructiva

Las operaciones pueden ser transformaciones u operaciones booleanas (unión intersección diferencia)operaciones booleanas (unión, intersección, diferencia).

AB AB A – B B – A


• Ejemplos de árboles CSG




Modelos de fronterasModelos de fronteras

• Modelo B-rep o representación de contornos:

Objeto encerrado por un conjunto de caras las cualesObjeto encerrado por un conjunto de caras, las cuales pertenecen a superficies cerradas y orientables (normal)

• Superficie externa

- geometríageometría

- topología



• Representación por medio de caras, aristas, vértices, puntospuntos…

vértices coordenadas caras vértices

v x y z f v v v vv1

v2

v3

x1 y1 z1

x2 y2 z2

x3 y3 z3

f1

f2

f3

v1 v2 v3 v4

v6 v2 v1 v5

v7 v3 v2 v6

v4

v5

v6

x4 y4 z4

x5 y5 z5

x6 y6 z6

f4

f5

f6

v8 v4 v3 v7

v5 v1 v4 v8

v8 v7 v6 v5


v7

v8

x7 y7 z7

x8 y8 z8


• Operaciones para modelos de fronteras

BoutAAoutBBA

AoutBBA

BinAAinBBA

BoutAAoutBBA

AoutBBA

Clasificación por pertenencia



• Operaciones para modelos de fronteras:

Operadores de Euler: aseguran la validez topológica delOperadores de Euler: aseguran la validez topológica del modelo de contorno se usan operadores especiales para crear y manipular las entidades topológicascrear y manipular las entidades topológicas

)(2 GBLVEF

F: cara

)(

E: arista

V: vértice

L j lL: agujeros en las caras

B: número de componentes separados del objeto

G: agujeros a través del objeto


G: agujeros a través del objeto


• Representación facetada:

Aproximación por facetas planas de la representación deAproximación por facetas planas de la representación de objetos curvos en un modelo B-rep

Ventajas:

• Facilidad para agregar nuevos tipos de superficies• Facilidad para agregar nuevos tipos de superficies

• Facilidad para calcular intersecciones entre caras (planas)(planas)

Desventajas:Desventajas:

• Es necesario gran cantidad de datos para mantener la exactitud deseada del modelo


exactitud deseada del modelo


• Taxonomía de las representaciones 3D




sandra

Nota adhesiva

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