Integrantes: Aguilar Adame Jaime

Pérez Ramírez Juan

Romero Rodríguez José Tláloc

Modos de vibrar

EJERCICIO: Determinar los modos de vibrar de la estructura que se muestra en la siguiente figura.

• Considerando la estructura mostrada en la figura. Las matrices de masas y rigideces son:

M1 0 0 0 0

0 m2 0 0 0 M = 0 0 m3 0 0

0 0 0 m4 0

0 0 0 0 m5

5 x 5

K1+K2 -K2 0 0 0

-K2 K2+K3 -K3 0 0 K = 0 -K3 K3+K4 -K4 0

0 0 -K4 K4+K5 -K5

0 0 0 -K5 K5

5 x 5

El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleración de la gravedad).

m1= 400 / 981 = 0.4077472 m2= 350 / 981 = 0.3567788 m3= 300 / 981 = 0.3058104 m4= 250 / 981 = 0.254842 m5= 200 / 981 = 0.2038736

Remplazando los valores de ki

7.60 -3.60 0.0 0.0 0.0

-3.60 6.60 -3.0 0.0 0.0 K= (50) 0.0 -3.00 5.5 -2.5 0.0

0.0 0.0 -2.5 4.5 -2.0

0.0 0.0 0.0 -2.0 2.0

5 x 5

Y la ecuación |K-w2M|= 0, se escribe:

7.6-0.4077 λ -3.60 0.00 0.00 0.00 -3.60 6.6-0.3568 λ -3 0.00 0.00 0.00 -3.00 5.5-0.3058 λ -2.5 0.00 = 0

0.00 0.00 -2.5 4.5-0.2548 λ -2 0.00 0.00 0.00 -2 2-0.2039 λ

5 x 5

Resolviendo el determinante resulta:

Donde λ=ш2/50. El desarrollo del determinante conduce a la siguiente ecuación cubica:

−0.002311 λ5 + 0.1908751962λ4 − 5.48051339λ3 + 64.0350368λ2 − 266.52763λ+ 215.9902198 = 0

Cuyas soluciones son: λ1= 33.5042, λ2=25.8161, λ3=15.6844 , λ4=6.53541 y λ5=1.05415. Como ш2 = 50 λ, recordando

que el periodo es T=2 𝜋/ ш, se obtienen los siguientes resultados:

Ш52 = 1675.21 Ш5= 40.9293293 seg-1 T5= 0.153513029 seg

Ш42 = 1290.805 Ш4= 35.9277748 seg-1 T4= 0.174883787 seg

Ш32 = 784.22 Ш3= 28.0039283 seg-1 T3= 0.224367997 seg

Ш22 = 326.7705 Ш2= 18.0767945 seg-1 T2= 0.347582936 seg

Ш12 = 52.7075 Ш1= 7.25999311 seg-1 T1= 0.865453343 seg

Para calcular los modos de vibración, se remplazan los valores de Ш2 en la expresión. Procedimiento así con Ш1

2, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones.

-302.98 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 -267.71 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 -237.279218 -125 0.00 0.00 0.00 -125 -201.843508 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -241.575319

5 x 5

-146.26 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 -130.56 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 -119.728169 -125 0.00 0.00 0.00 -125 -103.8972414 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -163.1951395

5 x 5

380-52.7075x0.4077 -180.00 0.00 0.00 0.00

Z11 0

-180.00 330-52.7075x0x0.3568 -150 0.00 0.00 Z21 0

0.00 -150.00 275-52.7075x0.3058 -125 0.00 Z31 = 0

0.00 0.00 -125 225-52.7075x0x0.2548 -100 Z41 0

0.00 0.00 0.00 -100 100-52.7075x0.2039 Z51 0

5 x 5

60.27 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 50.19 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 35.185524 -125 0.00 0.00 0.00 -125 25.180744 -100 0.00 0.00 0.00 -100 -59.902458

5 x 5

246.78 -180.00 0.00 0.00 0.00

-180.00 213.41 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 175.0735811 -125 0.00 0.00 0.00 -125 141.7388766 -100 0.00 0.00 0.00 -100 33.37149505

5 x 5

358.51 -180.00 0.00 0.00 0.00 -180.00 311.19 -150 0.00 0.00 0.00 -150.00 258.8820465 -125 0.00 0.00 0.00 -125 211.570129 -100 0.00 0.00 0.00 -100 89.25294075

5 x 5

z11 1.0 Z21 1.9917 Z1 = Z31 = 2.9320 Z41 3.6822 Z51 4.1254

z12 1.0 Z22 1.3709 Z2 = Z32 = 0.7506 Z42 -0.5938 Z52 -1.7798

z13 1.0 Z23 0.3345 Z3 = Z33 = -1.088 Z43 -0.7072 Z53 1.1821

z14 1.0 Z24 -1.8125 Z4= Z34 = -0.4935

Z44 1.4476 Z54 -0.8870

z15 1.0 Z25 -1.6838 Z5 = Z35 = 1.8044 Z45 -1.4058 Z55 0.5830

MÉTODO DE NEWMARK

MÉTODO DE HOLZER

924.4679843 -599.944222 198.7040123-401.2331182 198.7111038

F 683.061366 -1006.296232

1.987111038V 200 -483.061366 523.2348661

0.581804278

0.00709145∆X 1 -2.683674255 3.488232441 -3.209864946-1.683674255 1.804558185 -1.40530676

1043.588426 -799.1755359 461.6504812

1675.208

X 1

-481.5072763 317.6682596F 693.1702345 -1055.251385

3.176682596V 200 -493.1702345 562.0811502

1.331997418

-143.982222∆X 1 -2.739834636 3.747207668 -3.85205821

-1.739834636 2.007373032 -1.844685178601.7513322 -119.231858 -327.145141

1700

X 1F 652.3955148 -863.8661699

411.4706551 -190.2806771 -71.04881913-1.522245417 -0.710488191

V 200 -452.3955148

-0.292416132 -1.002904323

256.096322∆X 1 -2.513308415 2.743137701

0.203873598

1600

X 1 -1.513308415 1.229829285

0.407747197 0.356778797 0.305810398 0.254841998

125 100 RESIDUO

(ton/cm)M

-194.6944771 476.0364484 -233.4617199

w^2 SUPUESTO

K200 180 150

242.5770713 -233.4593772F 526.2507645 -374.1333587

-2.334593772V 200 -326.2507645 47.88259416

-0.887264155

0.00234271∆X 1 -1.812504247 0.319217294 1.94061657-0.812504247 -0.493286953 1.447329617

-181.3813812 479.6450369 -256.7182575

1290.63

X 1

238.004254 -241.6407829F 530.0713558 -386.6942285

-2.416407829V 200 -330.0713558 56.62287275

-0.968617733

15.0774746∆X 1 -1.833729754 0.377485818 1.904034032

-0.833729754 -0.456243936 1.447790096-294.5867901 403.4528302 -15.33647706

1300

X 1F 489.2966361 -259.9648157

-29.33182039 265.2549697 -138.19786052.122039758 -1.381978605

V 200 -289.2966361

1.319290755 -0.06268785

-122.861383∆X 1 -1.607203534 -0.195545469

0.203873598

1200

X 1 -0.607203534 -0.802749003

0.407747197 0.356778797 0.305810398 0.254841998

125 100 RESIDUO

(ton/cm)M

w^2 SUPUESTO

K200 180 150

(௧ ି� ௦ మ

(௧ ି� ௦ మ

Nota: El modo de vibrar 1 fue calculado a través del método de Newmark y los siguientes fueron calculados a través del método de Hollzer.

ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL z11 1.0 Z21 1.9917 Z1 = Z31 = 2.9320 Z41 3.6822 Z51 4.1254

z12 1.0 Z22 1.3709 Z2 = Z32 = 0.7506 Z42 -0.5938 Z52 -1.7798

z13 1.0 Z23 0.3345 Z3 = Z33 = -1.088 Z43 -0.7072 Z53 1.1821

z14 1.0 Z24 -1.8125 Z4= Z34 = -0.4935

Z44 1.4476 Z54 -0.8870

z15 1.0 Z25 -1.6838 Z5 = Z35 = 1.8044 Z45 -1.4058 Z55 0.5830

Ш52 = 1675.21 T5= 0.153513029 seg

Ш42 = 1290.805 T4= 0.174883787 seg

Ш32 = 784.22 T3= 0.224367997 seg

Ш22 = 326.7705 T2= 0.347582936 seg

Ш12 = 52.7075 T1= 0.865453343 seg

El valor de cada masa es igual a Wi/g (g es la aceleración de la gravedad).

m1= 400 / 981 = 0.4077472 m2= 350 / 981 = 0.3567788 m3= 300 / 981 = 0.3058104 m4= 250 / 981 = 0.254842 m5= 200 / 981 = 0.2038736

Los modos ortonormales se calculan:

m1* = Z1T M Z1 = 11.3768645

m2* = Z2T M Z2 = 1.96102379

m3* = Z3T M Z3 = 1.2220330

m4* = Z4T M Z4 = 1.41217907

m5* = Z5T M Z5 = 2.98785913

Dividiendo cada vector Zj por la correspondiente por la correspondiente remplazamos los modos por sus correspondientes formas ortonormales

obteniendo:

0.71409924 0.97895864

Z2 = 0.53600289 -0.3597632 -1.27095382

0.90961517 0.30259377

Z3 = -0.9842213 -0.63974384 1.06934559

0.84150193 -0.68372032

Z4 = -0.4152812 1.21815819 -0.74641221

0.57850535 -0.97408731

Z5 = 1.04385505 -0.81326282 0.33726862

0.29647543 0.59049011 Z1 = 0.86926596 1.09168183 1.22307974

Los coeficientes de participación se calculan con la ec. 3.49 que arroja:

 

P1= 1.124952

P2= 0.45356221

P3= 0.2328447

P4= 0.13044996

P5= 0.06907861

 

Con apego a lo expuesto en la sección 6.1.2, en la zona I para construcciones del grupo A se toma c = 0.16 x 1.5 = 0.24; los demás datos para determinar el espectro de diseño se encuentran en la tabla 6.2 y son:

Ta = 0.2Tb = 1.35r= 1

Ciñéndonos a lo indicado en 6.1.2 se puede encontrar que T1, T2, T3 están comprendidos entre Ta y Tb por tanto las coordenadas espectrales de aceleración y los factores de reducción por comportamiento asísmico quedan

T5= 0.153513029 seg T4= 0.174883787 seg T3= 0.224367997 seg T2= 0.347582936 seg T1= 0.865453343 seg

a1, a2, a3 = 0.240 Q´1, Q´2 , Q´3 = Q = 4 A1= A2 = A3 = 58.86 cm /seg2

El periodo T4 y T5 es menor que Ta, entonces 𝑎4 = ( 1+ 3𝑇4𝑇𝑎 )( 𝑐4 )

a4 = 0.21732 𝑄4 = 1+ (𝑄− 1)( 𝑇4𝑇𝑎 )

Q´3=3.622 A4= 58.86 cm/seg2

𝑎5 = ( 1+ 3𝑇5𝑇𝑎 )( 𝑐4 )

a5 = 0.19814 𝑄5 = 1+ (𝑄− 1)( 𝑇5𝑇𝑎 )

Q´5= 3.3025 A5 = 58.86 cm/seg2

Aplicando la ec 7.1 hallamos los siguientes desplazamientos máximos de las masas U j, y máximos desplazamientos de entrepiso ∂Uj, como contribución de cada nodo j:

0.29647543

0.372452197

0.3724522

U1 = 58.86 X 1.124952001 0.590490114 = 0.741813041 ; δu1 = 0.36936084

0.86926596 1.092029841 0.3502168

52.7075 1.091681828

1.37144348 0.27941364

1.223079738

1.536514293 0.16507081

0.714099237

0.058340862 0.05834086

U2 = 58.86 X 0.453562208 0.978958643 = 0.079979488 ; δu2 = 0.02163863

0.536002887 0.043790651 -0.03618884

326.7705 -0.359763195

-0.029392126 -0.07318278

-1.270953821

-0.103835067 -0.07444294

0.909615165

0.015896679 0.01589668

U3 = 58.86 X 0.232844704 0.302593773

= 0.00528821

; δu3 = -0.01060847

-0.9842213 -0.017200516 -0.02248873

784.22 -0.639743845

-0.011180335 0.00602018

1.069345587

0.018688171 0.02986851

0.841501927

0.005005629

0.00500563

U4 = 58.86 X 0.130449956 -0.683720316

= -0.004067074 -0.0090727

-0.415281201 -0.002470278 ; δu4 = 0.0015968

1290.805 1.21815819

0.007246149 0.00971643

-0.746412209

-0.004439993 -0.01168614

0.578505349

0.001403658

0.00140366

U5 = 58.86 X 0.069078611 -0.974087307

= -0.00236348 -0.00376714

1.043855052 0.002532761 ; δu5 = 0.00489624

1675.7521 -0.81326282

-0.001973263 -0.00450602

0.337268619

0.000818333

0.0027916

Las unidades son cm. La cortante Vij, en el entrepiso i, debido al modo j, se calcula multiplicando el desplazamiento del entrepiso ∂ij, por la rigidez respectiva ki, que k1=200, k2= 180. K3=150, k4 = 125, k5= 100 (en t/cm) encontramos.

V11 = 200 x 0.3725 = 74.4904394 t

v21 = 180 x 0.3694 = 66.4849519 t

V31 = 150 x 0.3502 = 52.5325201 t V41 = 125 x 0.2794 = 34.9267048 t V51 = 100 x 0.1651 = 16.5070813 t

V12 = 200 x 0.0583 = 11.6681725 t v22 = 180 x 0.0216 = 3.89495266 t V32 = 150 x -0.0362 = -5.42832555 t V42 = 125 x -0.0732 = -9.14784723 t V52 = 100 x -0.0744 = -7.44429405 t

V13 = 200 x 0.0159 = 3.17933577 t v23 = 180 x -0.0106 = -1.90952439 t V33 = 150 x -0.0225 = -3.37330886 t V43 = 125 x 0.006 = 0.75252256 t V53 = 100 x 0.0299 = 2.98685058 t

V14 = 200 x 0.005 = 1.00112583 t v24 = 180 x -0.0091 = -1.63308651 t V34 = 150 x 0.0016 = 0.23951935 t V44 = 125 x 0.0097 = 1.21455334 t V54 = 100 x -0.0117 = -1.16861418 t

V15 = 200 x 0.0014 = 0.2807317 t v25 = 180 x -0.0038 = -0.67808496 t V35 = 150 x 0.0049 = 0.73443624 t V45 = 125 x -0.0045 = -0.56325306 t V55 = 100 x 0.0028 = 0.2791596 t

Las diferencias entre los periodos naturales de dos modos cualesquiera son mayores que 10 por ciento, por tant es adecuado estimar la respuesta combinada de todos los modos con la fórmula 7.3 Para las cortantes Vi, y los desplazamientos relativos ∂i, en cada entrepiso i, obtenemos:

V1 = 75.472916 t

V2 = 66.6497752 t

V3 = 52.9254983 t V4 = 36.1374667 t V5 = 18.3920122 t

δ1 = 0.37736458 cm

δ2 = 0.37027653 cm δ3 = 0.35283666 cm δ4 = 0.28909973 cm δ5 = 0.18392012 cm

Las estimaciones de los desplazamientos totales ui, con este criterio son:

U1 = 0.37736458 cm

U2 = 0.74614569 cm

U3 = 1.09304857 cm U4 = 1.37182452 cm U5 = 1.5401388 cm

Cabe puntualizar que las diferencias U2-U1=0.7461-0.3773=0.3688 cm, U3 - U2=1.0930-0.7461=0.3469 cm, U4-U3=1.3718-1.093= 0.2788 cm y U5-U4 = 1.5401-1.3718 = 0.1683 cm, no producen las estimaciones correctas de δ2 δ3 δ4 y δ5 son mayores (0.3702, 0.3528, 0.2890 y 0.1839 cm, respectivamente). Es inadecuado estimar δ2 δ3 δ4 y δ5 como estas diferencias, ya que el criterio expresado por la regla 7.3 requiere que en primer lugar se calcule la respuesta de interés (en este caso los desplazamientos relativos) para cada modo y luego se combinen tales resultados como la raíz cuadrada de la suma de sus cuadrados. Aun que en este ejemplo las diferencias son pequeñas, podrían ser mayores en otras situaciones. Se percibe de inmediato que la participación del modo fundamental en las respuestas sísmicas es mucho mayor que las de los segundo, tercero, cuarto y quinto modos. Esto se podía anticipar calculando las masas efectivas de los cuadrados de los coeficientes de participación: Ƿ1

2 = (1.124952)2= 1.265517 cm Ƿ2

2 = (0.453562)2= 0.20571868 cm Ƿ3

2 = (0.232844)2= 0.05421666 cm Ƿ4

2 = (0.130449)2= 0.01701719 cm Ƿ5

2 = (0.069078)2= 0.00477185 cm La suma de las masas efectivas es σ𝑃𝑗2 = 1.547241 𝑐𝑚, que a salvo por errores pequeños de precisión de las operaciones, es igual a σ𝑚𝑛 = 0.4077472+ 0.3567788+ 0.3058104+ 0.254842+ 0.2038736 =1.529052, lo cual confirma que con los cinco modos hemos incluido la totalidad de las fuerzas de inercia; además, así se satisfacen los requisitos de las NTDS en el sentido de incluir cuando menos tres modos y todos aquellos que tengan periodos mayores que 0.4 segundos.

En general se obtienen tantos modos como pisos y es deseable determinar que fracción de las masas total constituye cada masa efectiva de los modos incluidos en el análisis, como criterio adicional para decidir si es necesario añadir modos superiores. En el ejemplo que nos ocupa, las fracciones son de 0.89, 0.08, 0.03 para los modos 1,2,3 respectivamente, indicando que el modo fundamental involucra casi 90 porciento de la masa total mientras el tercer modo afecta sólo el 3 porciento de dicha masa. Debemos comprobar que el cortante basal no sea menor que Vmin = Q8aWo/Q, siendo en este caso W0 = 1500 ton y, para el modo fundamental, a = 0.24 y Q = 4; entonces Vmin = 0.8 (0.24 X 1500)/4 = 72 ton. Como hemos obtenido que en la base V = 75.47 t, mayor que Vmín no es necesario modificar Vmin ninguno de los demás resultados del análisis modal. Los desplazamientos totales y de entrepiso tienen que multiplicarse por Q = 4, lo cual lleva finalmente a: U1 = 0.37736458 cm x 4 = 1.50945832 cm U2 = 0.74614569 cm x 4 = 2.98458278 cm U3 = 1.09304857 cm x 4 = 4.37219427 cm U4 = 1.37182452 cm x 4 = 5.48729808 cm U5 = 1.5401388 cm x 4 = 6.1605552 cm

δ1 = 0.37736458 cm x 4 = 1.50945832 cm δ2 = 0.37027653 cm x 4 = 1.48110612 cm δ3 = 0.35283666 cm x 4 = 1.41134662 cm δ4 = 0.28909973 cm x 4 = 1.15639894 cm δ5 = 0.18392012 cm x 4 = 0.73568049 cm