MÓDULO 16

Raíces de un polinomio

Objetivo. El estudiante determinará las raíces reales de un polinomio mediante

la división sintética.

El principal uso que se le da a la división sintética, es en la búsqueda de los

ceros o raíces de un polinomio. En esta lección nos dedicaremos al cómo

encontrar estas raíces.

Ceros de un Polinomio

Un número real a es llamado un cero o raíz del polinomio )(xp si se tiene

0)(ap Esto significa que el grafo del polinomio corta al eje X en el punto del

plano )0,(a

Ejemplo

El polinomio 1)( 2xxp tiene dos raíces que son 1x y 1x

Al dividir el polinomio )(xp por el polinomio de la forma axxg )( se tiene

que el residuo es )(ap

)()()()( apxqaxxp

Por lo tanto si a es un cero del polinomio )(xp se tiene que ax es un factor

del polinomio, es decir

))(()( axxqxp

Este resultado es conocido como el Teorema del Factor.

El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio de grado n

tiene a lo más n raíces reales. La demostración de este teorema se sale del

alcance de este curso, porque requiere de otro tipo de consideraciones

matemáticas más avanzadas, sin embargo es importante considerarlo y

aceptarlo aún sin demostración.

Multiplicidad de una raíz

Decimos que la raíz a del polinomio )(xp es de multiplicidad k si:

)()()( xqaxxp k Con 0)(aq

Ejemplo

Obtener un polinomio de grado 3 que tenga como ceros a 1, -1, 2

Solución

Si el polinomio es )(xp entonces se tiene

22)2)(1)(1()( 23 xxxxxxxp

AUTOEVALUACIÓN

Efectúa las divisiones sintéticas para obtener el cociente y el residuo

1) 123 34 xxxxp y 3xxg

2) 13 xxxp y 2xxg

3) 14 xxxp y 1xxg

Obtener polinomios de menor grado que tengan las raíces que se indican

4) 1, -2

5) 0, -1, 1 con multiplicidad 2

6) ¿Qué condiciones debe tener un polinomio para que el 0 sea una raíz?

SOLUCIONES

1) Cociente 642173)( 23 xxxxq Residuo 191)(xr

2) Cociente 52)( 2 xxxq Residuo 11)(xr

3) Cociente xxxxq 23)( Residuo 1)(xr

4) 1)2)(1()( 2 xxxxxP

5) xxxxxxxxP 2342)1)(1()(

6) Para que un polinomio tenga una raíz en 0 es necesario y suficiente que

no tenga término constante