INDICE

Teora de Conjuntos

Fidel Vera Obeso

As como en la Geometra las ideas de Punto, Recta y Plano son conceptos bsicos que se admiten sin definicin; las ideas de Conjunto, Elemento y Pertenencia son, tambin, ideas no susceptibles de definicin.

NOCIN DE CONJUNTO

Conjunto:Intuitivamente un conjunto es la reunin, coleccin o agrupacin de objetos reales o ideales, a estos objetos se les denominan elementos miembros del conjunto, y de ellos se dice que pertenecen al conjunto.

Notacin: Para denotar a los conjuntos se usan letras maysculas: A, B, C, X, etc. y para representar a sus elementos se usan letras minsculas: a, b, c, etc.

Relacin de Pertenencia: Si un objeto x es elemento de un conjunto A, se dice que x pertenece al conjunto A que x est en A, y se denota por: x ( A. En caso contrario, x no pertenece a A y se denota por: x ( A.Ejemplo:Si A es el conjunto formado por: 8, -2, 6, {0,1}, 3 y 1; y B es el conjunto constituido por: 0 y 1; escribimos:

A = { 8, -2, 6, { 0, 1 }, 3 , 1 ]; B = { 0, 1 }.

En este caso:

8 ( A...( V )

-2 ( A...( V )

6 ( A...( V )

1 ( A ( 1 ( B...( V )

0 ( A...( V )

3 ( B...( V )

{ 0, 1} ( A...( V )

{ { 0, 1} } ( A...( V )

Se observa, adems, que el conjunto B pertenece al conjunto A.

DIAGRAMAS DE VENN-EULER

Para representar grficamente a los conjuntos se usan los Diagramas de Venn-Euler que son regiones planas limitadas por figuras geomtricas cerradas, como se ilustra a continuacin con los conjuntos A y B del ejemplo dado anteriormente.

7 ( A ( 7 ( B

(V)

9 ( B ( 0 ( B

(V)

{ 0, 1 } ( B ( -2 ( A

(V)

{ 1 } ( B ( { 0, 1 } ( A(V)DETERMINACION DE CONJUNTOSI. POR EXTENSION O EN FORMA TABULARCuando se indica explcitamente cada uno de los elementos del conjunto.Ejemplo:

A = { 2, 3, 5, 7, 11 }

B = { 1, 4, 9, 16, 25 }

C = { a, e, i, o, u }

II.POR COMPRENSION O EN FORMA CONSTRUCTIVACuando los elementos del conjunto son caracterizados mediante una propiedad comn.

Ejemplo:

A = { p / p es un nmero primo ( p ( 12 }

B = { x2 / x ( Z+ ( x ( 5 }

C = { x / x es una vocal }

Esquema general:

Ejemplo:

T = { x / x es un pronombre personal en Ingls }

Nota: Otro diagrama para representar grficamente a los conjuntos es el Diagrama de Lewis Carroll.

CONJUNTOS numericos

Son tpicos en matemtica los siguientes conjuntos numricos:

claseS de CONJUNTOs

CONJUNTO FINITO

Un conjunto es finito cuando posee una cantidad limitada de elementos, es decir el proceso de contar sus elementos termina en algn momento.

Ejemplo:

A = { x / x es un hablante nativo de Quechua }

B = { x / x es un mes del ao }

CONJUNTO INFINITO

Un conjunto es infinito cuando tiene una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos nunca termina.

Ejemplo:

A = { p / p es un nmero primo }

B = { x / x ( R ( 8 ( x ( 9 }

C = { x / x es una estrella de universo }

CONJUNTOs especiales1.CONJUNTO NULO O VACIO

Es aquel conjunto que carece de elementos.Ejemplo:

A = { x / x es el actual Virrey del Per }

B = { x / x ( N ( 7 ( x ( 8 }

Notacin: ( = { } =

EMBED Equation.3 .

A = B = ( = { }.

2.CONJUNTO UNITARIO O SINGLETON

Es el conjunto que tiene un slo elemento.

Ejemplo: A = { x / x ( Z ( 10 ( x ( 12 } = { 11 }

B = { 2, 2, 2, 2, 2, .............} ={ 2 }

3.CONJUNTO UNIVERSAL

Es un conjunto referencial para el estudio de una situacin particular que contiene a todos los conjuntos considerados. No existe un conjunto universal absoluto.

Ejemplo:

A = { 1, 2, 3 }; B = { 2, 4, 6, 8 }

Pueden ser conjuntos universales:

U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, .............}

U = = {x / x ( N }

*Grficamente el conjunto universal se representa generalmente mediante un rectngulo.

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 1

1.Dado el conjuntos A = { a, { a }, ( }. Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

a. { a } ( A

d.( ( A

b. El conjunto ( ( A

e.( = { ( }

c. { a, { a } } ( A

2.Sealar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas.

a. ( = { }.

b. A = { x ( R / x2+1 = 0 } es un conjunto no vaco.

c. B = { x ( R / x3 + 2x = 0 } es unitario.

d. El conjunto A = { -1, 1, 3, 5, ..........} por comprensin es

A = { x / x = 2n - 3, n ( Z+ }.

e. Si W = { x / x ( R, x2 23 = 2 }, entonces 5 ( W.

3.Determinar por extensin los siguientes conjuntos:

a. A = { x ( N / x - 1 ( 5 }

b. C = { x ( Z / - 2 ( x ( 3 }

c. M = { x / x es un pronombre personal en Ingls }

4.Determinar por comprensin los siguientes conjuntos

a. A = { 4, 6, 8, 10 }

b. X = { 3, 5, 7, 9, ..........}

c. Y = { 1, 4, 9, 16, 25, ..............}

CLAVE DE RESPUESTAS1.Son verdaderas a y d.

2.Son verdaderas a, b y c.

3.a.A = { 5, 4, 3, 2, 1, 0 } b. C = { -1, 0, 1, 2, 3 }

c.M = { I am, You are, She is, He is, It is, We are, You are, They are }.

4.a.A = { x / x es par ( 4 ( x ( 10 }

b.X = { x / x es impar ( x ( 3 }

c.Y = { x / x ( Z+ ( x2}

cuantificadores y CONJUNtosUna funcin proposicional P(x), relacionada con una proposicin cuantificacional, se convierte en una proposicin lgica ( V F ) de acuerdo con el valor que asume la variable x.

Por ejemplo, la funcin P(x): x2 - 4 = 0 es una funcin preposicional que se convierte en verdadera si x = 2 x = -2, y es falsa cuando x toma otros valores.

Ahora consideremos un conjunto cualquiera A, por ejemplo :

A = { -2, 1, 2, -3, 0 }

La proposicin:

Existe por lo menos un x ( A, tal que se verifica P(x)

equivalentemente:( x ( A / P(x),

es verdadera, pues existe x = -2 ( A, tal que: x2 4 = 0.

As mismo, la proposicin:

Para todo x ( A, se verifica P(x) equivalentemente ( x ( A / P(x), es falsa, pues no todo elemento de A, verifica x2 - 4 = 0, basta tomar x =1( A / 12 - 4 es diferente de 0.

A la frase: Existe un, Para algn Algunos, etc. que denota una parte de un universo, se llama cuantificador existencial y se denota por (; mientras que a la frase: Para todo, Para cada Para cualquier, etc. que denota la totalidad de objetos, se llama cuantificador universal y se denota por (.

1. Negar que existe un x (A, tal que se verifica P(x); equivale a decir que: Ningn x ( A, verifica P(x), que: Todo x, no verifica P(x); simblicamente:

~[( x ( A / P(x)] ( ( x ( A / ~ P(x).

2.Negar que para todo x(A, verifica P(x), equivale a decir que: Para algunos x(A, no se verifica P(x); simblicamente:

~[( x ( A / P(x)] (( x ( A / ~ P(x)

Ejemplo 01:Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo el conjuntoA = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }.

a.( x ( A / x2 - 5x + 6 = 0.

b.( x ( A / x3 + x2 - 2x = 0.

c.( x( A,( y ( A / x + y ( 4

Solucin:

a.Es falsa, pues x2 -4x + 5 = 0 se cumple slo para x = 1, y x = 5 y no para todos los dems elementos de A.

b.Es verdadera, puesto que la ecuacin x3 + x2 - 2x = 0 tiene dos soluciones x = 0, y x = 1 en el conjunto A; bastaba que hubiera una.

c.Es falsa, pues para 5 ( A no existe ningn valor y ( A / 5 + y ( 4.

( x ( A ( y ( A / x + y ( 4

020 + 2 ( 4

131 + 3 ( 4

202 + 0 ( 4

313 + 1 ( 4

404 + 0 ( 4

5No existeNo se cumple

Ejemplo 02: Determinar el valor de verdad y negar las siguientes proposiciones; dado el conjuntoB = { x / x ( Z, x ( 4 }.

a.( x ( B / x 1 < 2.

b.( x ( B, ( y ( B / x2 + y2 ( 8.

c.( x ( B, ( y ( B / x - y = 0.

Solucin:

a.Falsa, pues para x = 3, y para x = 4 no se satisface la inecuacin, burlando el cuantificador (. Por otro lado, su negacin es:

~ [ ( x ( B / x 1 < 2 ] ( ( x ( B / x - 1 ( 2 .(V)

b.Verdadera.

( x ( B, ( y ( B / x2+y2 ( 8

1312 + 32 ( 8

2222 + 22 ( 8

3132 + 12 ( 8

4142 + 12 ( 8

Su negacin es:

~ [ ( x ( B, ( y ( B / x2 + y2 ( 8 ] (

( x ( B, ( y ( B / x2 + y2 < 8....(V)

c.Verdadera.

( x ( B, ( y ( B / x - y = 0

111 - 1 = 0

222 - 2 = 0

333 3 = 0

444 4 = 0

Su negacin es:

~ [( x ( B, ( y ( B / x - y = 0]

( x ( B, ( y ( B / x - y ( 0 ...........(F)

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 2

1.Determinar por extensin el conjunto Z que satisface la proposicin que se da en cada caso.

a. Z = { x / x ( Z , x - 2 < 4 .}.

b.Z = { x / ( x ( Z, ( y ( Z / x2 + y2 < 8 }.

2.

Indicar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas. As mismo, escribir la negacin en cada caso.

a.

x ( R, ( y ( R /( - x ) y = - ( x y ).

b.( r ( Q, ( p ( Z / p > r.

Compare sus respuestas con la clave!

CLAVE DE RESPUESTAS

1.a.Z = { , -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

b.Z = { 0, 1, 2 }.

2.a.V, ( x ( R, y ( R / ( - x ) y - x y.

b.F, ( r ( Q, ( p( Z / p r.

Entre dos conjuntos cualesquiera se pueden establecer las siguientes relaciones:

A.INCLUSIN: (

Se dice que un conjunto A est incluido, contenido es un subconjunto del conjunto B, si todo elemento de A es tambin elemento de B. Se denota por: A ( B.

Es decir:A ( B ( [ ( x ( A / x ( A ( x ( B ].

Se lee :A es subconjunto de B si y slo si todo x de A es tal que si x ( A entonces x B.

Observacin:A partir de la definicin, basta que un slo elemento de A no pertenezca B para asegurar que A no est incluido o contenido en B; en tal caso se denota por: A ( B.

Ejemplo.Si A = { q, s }

B = { p, q, r, s }

( A ( B

Observacin: Si un conjunto tiene n elementos entonces tiene: 2n subconjuntos

Ejemplo.Si B = { a, b }

Los subconjuntos de B son: (, { a }, { b }, { a, b }.

( Numero de subconjuntos de B es: 22 = 4.

Ejemplo. Siendo B = { 3, { 3 }, { 4 }, { { 4 } } }.

Dar el valor de verdad a las siguientes proposiciones :

-{ 3 } ( B

. (V)

-{ 3 } ( B

. (V)

-{ { 3 } } ( B . (V)

-{ { { 4 } } } ( B. (V)

-{ { 4 } } ( B

. (V)

-7 ( B

. (F)

-7 ( B

. (F)

Grficamente se representa:

Ejemplo:Demostrar que la proposicin A ( B, equivale a demostrar que:

Existe al menos un x ( A tal que x ( B.

En efecto, la proposicin: A ( B equivale a decir: No es cierto que A est contenido en B; esto es :

A ( B(~ [ A ( B ]

(~ [( ( A / x ( A ( x ( B ] Definicin(( x ( A / ~ ( x ( A ( x ( B ) Aplicando la negacin

( ( x ( A / x ( A ( x ( B ) ]Ley de p ( q

(( x ( A / [ x ( A ( x ( B ]

Negacin

( A ( B ( ( x ( A / (x ( A ( x ( B )

Propiedades de la Inclusin.La relacin de Inclusin entre conjuntos goza de las siguientes propiedades:

1.1Reflexiva:

A ( A,( conjunto A.

1.2Antisimtrica:Si A ( B y B ( A entonces A = B. (*)

1.3Transitiva:Si A ( B y B ( C entonces A ( C.

1.4( A, ( ( A.

(*) Corresponde a la definicin de Conjuntos Iguales, que se ver mas adelante.

Demostracin de 1.1

Demostrar que: A ( A equivale a demostrar que,

( x ( A / x ( A ( x ( A, la cual es una proposicin siempre verdadera, pues: p ( p es una tautologa como se ilustra a continuacin:

PP(P

VV

FV

( A ( A

Demostracin de 1.3

Si A ( B y B ( C entonces A ( C.

( x ( A / x ( A ( x ( B pues A ( B.

Adems,( x ( B / x ( B ( x ( C pues B ( C.

Por la propiedad transitiva de la Condicional:

[(p ( q) ( (q ( r )] ( [p ( r].

En consecuencia, ( x ( A / x ( A ( x ( C.

Es decir A ( B

Demostracin de 1.4

( ( A, ( A.

Recuerde que la proposicin p ( q es falsa slo si p es verdadera y q es falsa. Luego,

( ( A ( ( x ( ( / ( x ( ( ) ( ( x ( A), esta ultima proposicin es verdadera puesto que el antecedente ( x ( ( ) es falso, por que el conjunto vaco carece de elementos.

Conjuntos Comparables.

Los conjuntos A y B son comparables si: A ( B B ( A.

Si A ( B B ( A se dice que A y B son no comparables.

B.IGUALDAD DE CONJUNTOS: =

Los conjuntos A y B son iguales si y slo si tienen exactamente los mismos elementos.

Se denota por: A = B ( [(A ( B) ( (B ( A)].

En caso contrario se escribe: A ( B.

Nota:La definicin establece la necesidad de demostrar la doble inclusin a fin de demostrar la igualdad de dos conjuntos.

Ejemplo.Establecer si los siguientes conjuntos son iguales:

A = { 1, -2, 6 },

B = { 1, -2, 6, 1, 6 }.

Se verifica que A = B pues todo elemento de B es tambin elemento de A, B ( A; y todo elemento de A es elemento de B, A ( B.

Observacin.Del ejemplo se concluye que un conjunto no vara si sus elementos repetidos se escriben una sola vez, en este caso { 1, -2, 6, 1, 6 } = { 1, -2, 6 }.

Propiedades de la Igualdad

2.1Reflexiva:

A = A, ( A.

2.2Simtrica:

A = B ( B = A.

2.3Transitiva:A = B ( B = C ( A = C.

Demostracin de 2.2 Debemos demostrar que B = A, es decir. B ( A y A ( B.

Por hiptesis A = B y por definicin:

A = B ( ( A ( B ) ( ( B ( A )

( ( B ( A ) ( ( A ( B )

Prop. Conmutativa de (

( B = A.

( A = B ( B = A.

C.SUBCONJUNTO PROPIO.

Se dice que el conjunto A es un subconjunto propio del conjunto B, si A ( B ( A ( B.

En otras palabras, A es subconjunto propio de B, si A ( B ( B tiene uno ms elementos que no pertenecen a A. Grficamente,

Ejemplo. Dados los conjuntos:

A = { x / x ( Z ( x + 3 = x2 9 }

B = { -3, 4 }.

De A:x + 3 = x2 - 9

x2 x 12 = 0

x -4

x 3

( x 4 )( x + 3 ) = 0

x = -3 4

A = B

D.CONJUNTOS DIFERENTES: (

Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no posee el otro.

Se define :

Ejemplo. Dados:

A = { x / ( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0 }

B = { 0, 1, 2, 3, 4 }

De A:( x 1 )( x 2 )( x 3 ) x = 0

x = 0; 1; 2; 3

A B.

E.CONJUNTOS DISJUNTOS

Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos cuando no poseen elementos comunes

Simblicamente :

Ejemplo. Siendo:A = {2,3,4} yB = {5,6,7}.( A y B son disjuntos

Grficamente :

`

F.CONJUNTOS EQUIPOTENTES O COORDINABLES.

Para hablar de estos conjuntos de alguna forma, el proceso de contar sus elementos siempre termina.

Dos conjuntos son equipotentes o coordinables cuando el nmero de sus elementos son iguales.

Ejemplo. Siendo:

A = { 10, 11, 12 }

B = { m, n, p }

( A y B son equipotentes.

Simblicamente:

DIAGRAMAS LINEALES

Son representaciones graficas que sirven para indicar relaciones de inclusin entre conjuntos

Si :A ( B(

Si:A = B(AB

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 3

1.Si A = { 2, 4, 6, 0, }, indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.

a.{ 2 } ( A b.{ x / ( x2 5 )( x 2 ) = 0; x ( Z+ } ( A

b.4 ( Ac.A ( Re.{ 6 } ( A

f.

( Ag.( ( Ah.( ( A

i.{ ( } ( A

2.Dados los conjuntos A = { x / x ( N, 2 ( x ( 9 }, B = { 2, 4, 6, 8 }

C = { 3, 5, 7 }, D = { 2, 4 }, E = { 1, 3 }. Determinar en cada caso, cul de estos conjuntos puede ser el conjunto X tal que:

a.X ( A y X ( B

b.X ( A y X ( E

c.X ( B y X ( E

d.X ( A y X ( E

e.X ( C y X ( D.

Sugerencia: Apyese con un diagrama.

3.Representar grficamente las siguientes relaciones:

a.A ( Bb.B ( Ac.A = B

d.A y B son comparables.

4.Hallar todos los subconjuntos de A, si:

a.A = { 2, -3, 4 }b.A = { { ( } }c.A = (

Cuntos subconjuntos tiene A en cada caso?

5.Demostrar las siguientes propiedades:

a.Si A ( B y B ( A, entonces A = B.

b.A = A, ( A.

c.Si A = B y B = C, entonces A = C.

d.Si H ( M ( M ( N, entonces H ( N.

e.Si A ( (, entonces A = (.

CLAVE DE RESPUESTAS

1.Son verdaderas: a, d, e, f, h, i.

2.X puede ser igual al conjunto que se indica en cada caso

a.D Bb.Slo Bc.Slo C

d.Ningunoe.D

Grficamente:

3.a.

b.

c.

d.

e.

Entre conjuntos se pueden realizar las siguientes operaciones: Unin, Interseccin y Diferencia.

1.UNIN DE CONJUNTOS

La Unin de los conjuntos A y B es otro conjunto, denotado por A B formado por todos los elementos que pertenecen a A, a B a ambos.

Para representar grficamente A B, se tendr presente las relaciones entre los conjuntos dados en cada caso particular.

Observacin.De la definicin se deduce que A ( (A B) y B ( (A B).

Ejemplo.Si A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }, B = { 3, 4, 5, 6 },

C = { 2, 3, 6, 8, 10 }. Hallar (a) A B (b) B C. Representar grficamente cada caso.

Solucin.

A B = { x / x A ( x B } = { 2, 3, 4, 5, 6, 7 }

B C = { x / x B ( x ( C} = { 3, 4, 5, 6, 2, 8, 10 }Se observa que B ( A, y que B y C son no comparables con algn elemento comn, luego se tiene:

Ejemplo.Sea A = {x ( R / x2 1 = 0}, B = {x ( R / x2 + 3 = 0} y M = R. Hallar (a) A B(b) M B (c) A M

Solucin.

A = {-1, 1 }, B = (, M = R;luego:A B = A ( = { x / x ( A ( x ( ( } pero no existe x ( (.

Entonces:

a.A B = {-1, 1}, es decir A ( = A, ( A.

b.M B = R

c.A M = { x / x ( A ( x ( M } } = R.

2.INTERSECCIN DE CONJUNTOS

La Interseccin de los conjuntos A y B es el conjunto denotado con A ( B formado por los elementos comunes a ambos conjuntos. Es decir,

Grficamente.

Nota:( A ( B ) ( A y ( A ( B ) ( B

Conjuntos Disjuntos: A y B son disjuntos si A ( B = (.

Ejemplo.Siendo A = { 2, 4, a }, B = { a, b, c, d }, C = { b, c }. Hallar

a.A ( B,b.B ( Cc.A ( C

Representar grficamente cada caso.

Solucin.

A ( B = { x / { x / x ( A ( x ( B } ={ a }

B ( C = { x / x ( B ( x ( C }={ b, c }

A ( C = { x / x ( A ( x ( C }=(

Tenemos:

``

a.A ( B,

b.B ( C

c.A ( C

Nota.Si X ( Y, entonces X ( Y = X.

3.DIFERENCIA DE CONJUNTOS

La Diferencia de los conjuntos A y B, en ese orden, denotado por A B, es el conjunto formado por todos los elementos de A que no pertenecen a B. Es decir,

Se lee : A diferencia B A menos B

Grficamente:

A partir de la definicin se deduce que:

a.A B ( B Ab. A A = (c.A B = A ( B

Complemento de un Conjunto.

El complemento del conjunto A respecto al conjunto universal U, es el conjunto A formado por todos los elementos de U que no estn en A. Es decir,

En otras palabras, el complemento de A es el conjunto formado por los x ( A, esto es:

A = U A. Grficamente:

Otras notaciones:C A A.

Observaciones

:a.A A = U

b.A ( A = (

Ejemplo.Demostrar que A B = A ( B.

Solucin.

A - B = A ( B equivale a demostrar que:

( I ) ( A B )(( A ( B ) y ( II ) ( A ( B)((A B ).

Demostracin de ( I ):

[( A B ) ( ( A ( B )] ( x ( ( A B ) / x ( ( A B ) ( x ( ( A ( B )

Pero x ( (A B)((x ( A) ( ( x ( B) Def. de diferencia

( x ( A ) ( ( x ( B ) Def. de B

x ( ( A ( B ) Def. de interseccin

Se ha demostrado que si un elemento cualquiera x, tal que x ( ( A B ) implica que x ( ( A ( B ).

Por definicin de inclusin, se concluye que :

( A B ) ( ( A ( B ).

Demostracin de ( II ):

[(A ( B) ( (A B)] ( x ((A ( B)/x((A (B)(x((A B).Pero x ( (A ( B) ( (x ( A) ( (x ( B) Def. Interseccin

( ( x ( A ) ( ( x ( B ) Def. de B

( x ( ( A B ) Def. Diferencia

Luego,x ( ( A ( B ) ( x ( ( A - B ).

De ( I ) y ( II ) se concluye la demostracin.

Ejemplo. Hallar A, si A = { x / x Z, x es impar }.

Solucin:A = { x / x U ( x ( A }

Siendo:U = Z

A = { x / x Z, x es par .}

4.DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOS.

La Diferencia Simtrica de los conjuntos A y B, denotado por A ( B, es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen solamente a A solamente a B, es decir:

Grficamente:

Ejemplo.Si A = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {1, 4, 6, 7, 9 } y C = { 1, 9 }. Hallar:

a.A ( Bb.B ( Cc.A ( C

Solucin.

a.A ( B = ( A B ) ( B A ), donde:

A B = { x / x ( A ( x ( B } = { 2, 3, 5 }

B A = { x / x ( B ( x ( A } = { 1, 9 }

EntoncesA ( B = { 2, 3, 5, 1, 9 }.

b. B ( C = ( B C ) U ( = B C;

es decir: B ( C = {x /x ( B ( x ( C }={4, 6, 7}

C B = {x / x ( C ( x ( B} = x ( ( pues C ( B.

Luego, B ( C = ( B C ) (= B C,

es decir: B ( C = { 4, 6, 7 }.

b. Anlogamente, siendo A y C conjuntos disjuntos:

A ( C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 9 }

Grficamente,

a. A ( B

Observaciones:

1.Si C ( B entonces B C es el complemento de C con respecto a B.

2.Si A y B son conjuntos disjuntos entoncesA ( B = A ( B.

3.A ( B = ( A ( B ) - ( A ( B).

EJEMPLOS DE APLICACIN

A continuacin se presentan algunos ejercicios resueltos sobre uso de las definiciones y operaciones con conjuntos.

1.La proposicin x ( ( A ( B) es equivalente a:

a.( x ( A ) ( ( x ( B )

b.( x ( A ) ( ( x ( B )

c.x ( (A - B )

d.( x ( A ) ( ( x ( B )

Solucin.

x ( (A ( B)( [(x ( A) ( (x ( B)]Def. de Intersec.

( [( x ( A ) ( ( x ( B )] Def. de B

( [ x ( ( A- B )] Def. de diferencia.

Luego, las expresiones equivalentes a x ( (A ( B) son (c) y( d).

2.A cul de las expresiones corresponde la regin sombreada?

a.[B ( A ( C )] [( A ( C ) B ]

b.[B ( A ( C )] [( A ( C ) B ]

c.[B ( ( A ( C )] [( A ( B ) ( C]

Solucin.

Distinguimos la reunin de dos regiones sombreadas:

-La superficie formada por elementos que solo estn en B y no en A C; esto se expresa por: B ( A U C ).

-La inferior formada por los elementos que estn en la interseccin de A con C pero que no pertenecen a B; esto es:(A ( B) B.

Luego la expresin dada es (b) correspondiente a la regin sombreada.

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 4

1.Dados los conjuntos: A = ,B = ,

C = ,D ={3, 4, 5}, E = {3, 5}.

Hallar:

a.

b.

c.

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

d.

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

2.Qu condiciones deben cumplir los conjuntos Ay B para que se verifiquen las siguientes relaciones?

a.AB =

b.AB = B

c.AB = U

d.A

EMBED Equation.DSMT4 = U

e.A B = A

f.A B = B

g.A B = B A

h.

i.

1. Si

Hallar:

a.

b.

c.

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Las definiciones de las operaciones con conjuntos, son:

1) A ( B

(( x ( A / x ( A ( x ( B

2) A = B

(A ( B ( B ( A

3) A ( B

={ x / x ( A ( x ( B }

4) A ( B

={ x / x ( A ( x ( B }

5) A B

={ x / x ( A ( x ( B } A B = A ( B

6) A ( B

=( A B ) ( ( B A )

7) A

={ x / x ( U ( x ( A} A = { x / x ( A }

A continuacin se presentan las Propiedades de las Operaciones con conjuntos, bajo el ttulo de Leyes Bsicas del lgebra de Conjuntos. Se demuestran algunas de ellas.

LEYES BSICAS DEL LGEBRA DE CONJUNTOS

1. Idempotencia

1 a) A ( A = A

1 b) A ( A = A

2. Conmutativa

2 a) A ( B = B ( A

2 b) A ( B = B ( A

3. Asociativa

3 a) A ( ( B ( C ) = ( A ( B ) ( C

3 b) A ( ( B ( C ) = ( A ( B ) ( C

4. Distributiva

4 a) A ( ( B ( C ) = ( A ( B ) ( ( A ( C )

4 b) A ( ( B ( C ) = ( A ( B ) ( ( A ( C )

5 a) A ( ( = A

5 a) A ( ( = A

6 a) A ( U = A

6 b) A ( U = A

7 a) A ( A = U

7 b) A ( A = (8 a) ( A ) = A

8 b) U = ( , ( = U

5. Leyes de D' Morgan9 a) ( A ( B )' = A' ( B'

9 b) ( A ( B )' = A' ( B'

6. Leyes de Absorcin10 a) A ( ( A ( B ) = A

10 b) A ( ( A ( B ) = A

A continuacin se demuestran: 2 (a), 4 (b), 8 (a) y 9 (b).

Demostracin (2a)

A ( B = B ( A.

Recuerde que dos conjuntos son iguales si y slo si se verifica la doble inclusin:

(I) ( A ( B ) ( ( B ( A )y(II) ( B ( A ) ( ( A ( B )

Entonces debe demostrarse (I) y (II); recurriendo a la definicin de Inclusin.

(I) (A ( B) ( (B ( A) ( ( x ( (A ( B) / x ( (A ( B) ( x ( (B(A)

Pero, x ( ( A ( B) ( ( x ( A ) ( ( x ( B ) Def. Unin

( ( x ( B ) ( ( x ( A ) Conmut. de (

( x ( ( B ( A ) Def. Unin

Luego, x ( ( A ( B ) ( x ( ( B ( A).

Con lo que queda demostrado: (A ( B) ( (B ( A) Def. Inclusin

II) ( B ( A) ( ( A ( B) ( ( x (B ( A)/ x ( (B ( A) ( x ( (A ( B)

Pero, x ( ( B ( A ) ( ( x ( B ) ( ( x ( A ) Def. Unin

( ( x ( A ) ( ( x ( B ) Conmut. de (( x ( ( A ( B ) Def. Unin

( x ( ( B ( A) ( x ( ( A ( B) , esto es ( B ( A ) ( ( A ( B ) por

definicin de Inclusin.

De (I) y (II) se sigue: A ( B = B ( A.

Demostracin (4b) A ( ( B ( C ) = ( A ( B ) ( ( A ( C ) Equivale a demostrar:(I) A ( ( B ( C ) ( ( A ( B ) ( ( A ( C ) y

(II) ( A ( B ) ( ( A ( C ) ( A ( ( B ( C ).(I) ( x ( A ( ( B ( C ) / x ( A ( ( B ( C) ( x ( ( A ( B) ( (A (C)

Pero x ( A ( ( B ( C ) ( x ( A ( ( x ( B ( C ) Def. Intersec ( x ( A ( [ x ( B ( x ( C] Def. Unin ( ( x ( A ( x ( B ) ( ( x ( A ( x ( C ) Propiedad distributiva de ( con respecto a (:

[p ( ( q ( r ) ( ( p ( q ) ( ( p ( r )].

( ( x ( A ( B ) ( ( x ( A ( C ) Def. Intersec ( x ( [ ( A ( B ) ( ( A ( C ) ] Def. Unin

Entonces x ( A ( ( B ( C ) ( x ( [ ( A ( B ) ( ( A ( C ) ]

[ A ( ( B ( C) ] ( [ ( A ( B ) (( A ( C )] Def. de .

Anlogamente se demuestra (II). En efecto,

( x ( ( A ( B ) ( ( A ( C ) / x ( ( A ( B) ( ( A ( C )

( x ( (A ( B ) ( x (( A ( C) Def. de Interseccin

( [ x ( A ( x ( B ] ( [ x ( A ( x ( C ]

(p ( q) ( (p ( r)( p ( ( q ( r) ( x ( A ( ( x ( B ( x ( C )

Def. de Unin

( x ( A ( x ( ( B ( C )

Def. de Interseccin

( x ( A ( ( B ( C )

Luego x ( ( A ( B ) ( ( A ( C ) ( x ( A ( ( B ( C )

Def. de Inclusin

( ( A ( B ) ( ( A ( C ) ( A ( ( B ( C).

De (I) y (II) se concluye que:

A ( ( B ( C ) = (A ( B) ( (A (C).

Demostracin (8a) ( A ) = A.

Debe demostrarse que :( I ) ( A ) ( A y( II ) A ( ( A ).

(I) ( x ( ( A ) / x ( ( A ) ( x ( A Def. Complemento ( ( [ x ( A]Negacin de

( ( [ x ( A ]Def. Complemento ( ( [(( x ( A ) ]Negacin de ( ( ( x ( A pues: ((( p) ( p

Luego ( A ) ( A por definicin de Inclusin.

(II) ( x ( A / x ( A ( ( [(( x ( A ) ] Doble Negacin ( ( [ x ( A] Negacin de

( ( [ x ( A ]Def. Complemento ( x ( A

Negacin de ( ( x ( ( A ) Def. Complemento( A ( ( A ) por definicin de Inclusin.

De (I) y (II) se sigue la igualdad.

Demostracin (9b) ( A (B )' = A' ( B'.

Debe demostrarse:

(I)( A(B ) ( A(B

y

(II)A(B ( ( A(B )

Para I

( x ( ( A(B ) / x ( ( A(B ) ( x ( A(B Def. Complemento( ( [ x ( (A(B)] Negacin de

( ( [x ( A ( x ( B] Def. InterseccinRecuerda que: ( (p ( q) ( (p ( (q.

( ( ( x ( A ) ( ( ( x ( B )

( ( x ( A ) ( ( x ( B )Negacin de (

( ( x ( A ) ( ( x ( B )Def. Complemento

( x ( ( A ( B )

Def. UninLuego, x ( ( A(B ) ( x ( ( A ( B )

( ( A(B ) ( A(BPor Def. de InclusinPara II

( x ( (A ( B) / x ( (A ( B) ( (x ( A) ( (x ( B) Def. Unin( ( x ( A ) ( ( x ( B ) Def. Complemento( ( ( x ( A ) ( ( ( x ( B ) Negacin de (( ( [ (x ( A) ( (x ( B) ]

Por que ( (p ( (q ) ( ( (p ( q)

( ( [ x ( A ( B ]

Def. Interseccin( x ( A ( B

Negacin de (( x ( ( A ( B )

Def. ComplementoLuego, x ( ( A ( B ) ( x ( ( A ( B ), lo cual demuestra que:( A ( B ) ( ( A ( B ).De ( I ) y ( II )( A ( B ) = A ( B.

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 5

I.Utiliza convenientemente las definiciones de las operaciones con conjuntos para resolver los problemas que se plantean a continuacin.

1.Cul es la expresin equivalente a: x ( [A(A(B )]?

a.x ( A ( x ( B

b.x ( A

c.( x ( A ) ( ( x ( B )

2.Cul es la expresin equivalente a: x ( [A((B C)]?

a.x ( A ( ( x ( B ( x ( C )

b.x ( ( A ( B ) ( x ( ( A B )

c.x ( ( A ( B ) ( ( x ( C )

d.x ( A ( x ( B ( x ( C

3.Cules de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas?

a.A ( B ( A B = B b.A ( B = B ( A

c.A ( B ( B ( A = ( A ( B )

d.A ( B ( A ( B

II.Desarrollar:

1. Dados los conjuntos A, B, C y D, efectuar las operaciones indicadas y representar grficamente los resultados, siendo:

A = { x / x = , n ( }

B = { x / x2 7x = 0 }

C = { x / ( x 2 )( x2 9 )( x 4 ) = 0 }

a.( B A ) C

b.( B C ) - A

c.( B ( C ) ( A

d.A ( C

Nota. U = .

2.Con los conjuntos A y B se define una nueva operacin (, tal que :

A ( B = ( A B ) ( B.

Si A = { 5, 4, 7, 6, 2 },B = { 1, 3, 5, 7, 9 }.

Hallar:

a.A ( Bb.B ( A

c.( B ( A ) ( BII. Repetir el siguiente diagrama y sombrear la regin que se solicita en cada caso.

a.A ( ( B C )

b.A ( B ( C )

c.( A ( B ) C

d.( A ( C ) ( A

III.Hallar la expresin que representa la siguiente regin sombreada.

IV. Qu relacin conjuntista representa la regin sombreada?.

a)

b)

c)

d)

e)

V. Deducir del siguiente diagrama las operaciones que se han realizado para obtener la regin sombreada.

a)

b)

c)

d)

e)

Definicin. El Conjunto Potencia de un conjunto A, denotado por P (A), es el conjunto formado por todos los subconjuntos de A. Es decir,

Nota.

1) X ( P (A) ( X ( A.

2) A ( P (A) , ( ( P (A); pues: A ( A , ( ( A.

Ejemplo 1. Si A = { 1, 2 , 3 } , entonces { 1 } ( A , { 2 } ( A, etc.

Entonces:

P (A) = { ( , { 1 } , { 2 } , { 3 } , { 1, 2 } , { 1, 3 } , { 2, 3 } , A }.

Ejemplo 2. P (() = { ( }.

Ejemplo 3. A = { x / x 4 = 0 } ( P (A) = { ( , A }.

Ejemplo 4. Dado el siguiente conjunto:

A = { (, { ( }, { { ( } }, { { { ( } } } }

Determinar el valor de verdad de cada proposicin.

( ( A

......... ( V )

( ( A

......... ( V )

{ { ( } } ( A

......... ( V )

{ { ( } } ( A

......... ( V )

{ { ( } } ( P (A)

......... ( V )

{ { { ( } } } ( P (A) ......... ( V ) { { { { ( } } } } ( P (A)

......... ( V )Propiedades del P (A):

1) A ( B ( P (A) ( P (B).

2) A = B ( P (A) = P (B).

3) [P (A) ( P (B) ] ( P (A (B).

4) P (A ( B) = P (A) ( P (B).

Demostracin de ( 1): A ( B ( P (A) ( P (B).( ) Si A ( B ( P (A) ( P (B).

En efecto, sea X ( P (A) ( X ( ADef. de P (A)

( X ( BProp. Transitiva de

la Inclusin.

( X ( P (B) Definicin de P (B)

Luego, X ( P (A) ( X ( P (B)

( P (A) ( P (B).

()P (A) ( P (B) ( A ( B

Sea x ( A ( { x } ( A Subconjunto de A( { x } ( P (A) Def. P (A)

( { x } ( P (B) pues P (A) ( P (B)

( { x } ( B Def. P (B)

( x ( B

Sub conjunto de B

( A ( B por definicin de Inclusin.

Demostracin de (3) [ P (A) ( P (B) ] ( P (A ( B).

Sea X( P(A) (P(B) ( X(P(A) ( X (P(B) Def. Unin

( ( X ( A ) ( ( X ( B )Def. Conj. Pot.

( X ( ( A ( B ) ( X ( P (A ( B)

Luego P (A) ( P (B) ( P (A ( B)ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 5

1) Hallar el Conjunto Potencia de C, siendo C = { ( , c , { ( } }.

2) En qu caso se cumple que: A ( P (A) ?

3) Siendo A = { a , ( } y B = { { ( } , { a } } , hallar:

a. P (A) ( P (B)

b. P (A ( B)

4) Demostrar que:

a. A = B ( P (A) = P (B)

b. P (A ( B) = P (A) ( P (B).

CLAVE DE RESPUESTAS

1) P (C) = { ( , { ( } ,{ c }, { { ( } } , { (,c } , { (,{ ( } } , { c, { ( } } , C}

2) Si A = ( A = {(}

3) P (A) ( P (B) = (

P (A) = {(,{a},{(},{{(}},{{a}},{a,(},{a,{(}},{a,{a}},{(,{(}},{(,{{a}},{{(}},{a}},{a,(,{(}},{a,{(},{a}},{(,{(},{a}},{a,(,{a}},A(B}

Naturalmente que la idea del nmero de elementos de un conjunto finito cualesquiera, es primitiva por lo que se admite como la cantidad de elementos que hay en un conjunto. Se denota por,

n( A ) = card (A).

Nota.( A ) tambin se llama nmero cardinal del conjunto A.

Ejemplo.Si A = {a,b,c} y B = {1,-3,5,{3},2}, entonces

n(A)= 3, n(B)= 5, n[P(A)] = 23 = 8, n[P(B)]=5 = 32.

Propiedades:

1) Si A y B son conjuntos finitos disjuntos, entonces:

Obviamente que si A ( B = ( , entonces n ( A ( B ) = 0.

A ( B es la parte sombreada del grfico, entonces:

n(A ( B) = n( A ) + n( B ).2)Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, expresamos:

A = ( A B ) ( ( A ( B ),

Con ( A B ) ( ( A ( B ) = (.

Entonces por (1):

3)Si A y B son conjuntos finitos arbitrarios, no necesariamente disjuntos, entonces:

En efecto, en el grfico dado observamos que:

A ( B = [(A B) ((A ( B)] ( (B A); es decir

A ( B es la unin de tres conjuntos disjuntos entre s.

Luego:

n(A ( B)= n[(A B) ( (A ( B)]+ n(B A)

por (1)

= n(A B) + n(A ( B)+ n (B A)

por (1)

= [n(A) n(A ( B)]+ n(A ( B)+ n(B) n(A ( B)

por (2)

( n( A ( B ) = n(A) + n(B) n(A(B).

Nota .- Ud. puede tomar A ( B = (A B) ( B y demostrar lo mismo.

4) Si A, B y C son conjuntos finitos tales que: A ( B ( C ( ( entonces:

Basta tomar: (A ( B ( C) = A ( (B ( C) y aplicar (1) y (3).

Para fines prcticos es conveniente representar A ( B en un diagrama de Venn compuesto por zonas disjuntas como se ilustra a continuacin:

Donde: a = n( A B )

b = n( A ( B )

c = n( B A )

Ejemplo 1. De un grupo de 100 alumnos: 49 no hablan Ingls, 53 no hablan Francs y 27 no hablan Ingls ni Francs.Cuntos alumnos hablan uno de los idiomas?

Solucin:

Hablan Ingls = I

Hablan Francs = F

n( I ) = 49 ( n( I ) = 51,

n( F ) = 53 ( n( F ) = 47.

Grficamente:

Por dato:

c + 27 = 49 ( c = 22,

a + 27 = 53 ( a = 26.

Luego:

a + c = 48.

ILUSTRACIN RESUMEN

EJERCICIOS GRUPO 71) Los conjuntos A, B y C, tienen k, 3k y ( k-1) elementos, respectivamente.

A y B tienen k/2 elementos comunes; A y C tienen k/4, y B y C tienen 2.

Si existe un nico elemento comn a los tres conjuntos. Hallar el nmero de elementos de:

[ ( A ( B ) ( A ( B) ] C.

2) En una encuesta realizada a 150 personas sobre sus preferencias de tres productos A, B y C, se encontr el siguiente resultado:

82 consumen el producto A.

54 consumen el producto B.

50 slo consumen el producto A.

30 slo consumen el producto B.

El nmero de personas que consumen slo B y C es la mitad de las personas que consumen slo A y C.

El nmero de personas que consumen slo A y B es el triple de las personas que consumen los tres productos.

El nmero de personas que no consumen los productos mencionados son tantos como los que consumen slo C.

Determinar:

a) El nmero de personas que consumen slo dos de los productos.

b) El nmero de personas que no consumen A, B ni C.

c) El nmero de personas que por lo menos consumen uno de los productos.

3) Un club consta de 78 personas; de ellas 50 juegan ftbol , 32 bsquet y 23 vley. Seis figuran en los tres deportes y 10 no practican deporte alguno. Entonces:

a) Cuntas personas practican slo un deporte?

b) Cuntas personas practican slo dos deportes?

c) Cuntas personas practican al menos dos deportes?

d) Cuntas personas practican como mximo dos deportes?

4) En un Congreso Internacional de Medicina, se debati el problema de la Eutanasia, plantendose una mocin:

115 europeos votaron a favor de la mocin,

75 cardilogos votaron en contra,

60 europeos votaron en contra,

80 cardilogos votaron a favor.

Si el nmero de cardilogos europeos excede en 30 al nmero de americanos de otras especialidades y no hubo abstenciones. Cuntos mdicos participaron en el congreso?

5) Se hizo una encuesta a 160 alumnos del CEPUNS sobre la preferencia de 4 carreras profesionales: Ingeniera de Sistemas (S), Enfermera (E), Comunicacin Social (C) y Biologa en Acuicultura (B), obtenindose los siguientes datos:

Ninguno de los que prefieren (C) simpatizan con (B).

22 slo con (S)

20 slo con (E)

20 slo con (C)

20 con (S) y (B) pero no con (E)

6 slo con (C) y (E)

4 con (S) y (C)

24 con (B) y (E)

28 slo (B).

Cuntos prefieren slo (S) y (E), si a todos por lo menos les gusta una carrera profesional?

6) De 700 postulantes que se presentaron a la UNS o a la UNT, 400 lo hicieron a la UNT, igual nmero a la UNS, ingresando la mitad del total de postulantes. Los no ingresantes se presentaron a la UNMSM, de stos 90 no se presentaron a la UNS y 1800 no se presentaron a la UNT. Cuntos postulantes ingresaron a la UNT y a la UNS?.

7) Suponga que los brevetes slo se consiguen legalmente, los que tienen brevete profesional saben mecnica mientras que los que tienen brevete particular slo estn autorizados a manejar automviles y as lo hacen.

Si tienen los siguientes datos referente a un grupo de personas:

21 no tienen brevete profesional o no manejan camiones.

13 saben encender un vehculo pero no tienen brevete.

8 saben manejar vehculos pero no tienen brevete.

2 saben mecnica y manejan camiones. El mismo nmero sabe manejar vehculos pero no maneja camiones ni tiene brevete.

11 no tienen brevete pofesional y no manejan camiones.

3 tienen brevete particular.

Adems, tngase en cuenta que los que saben mecnica tienen brevete profesional.

Se pregunta lo siguiente:

a) Cuntos son en total?.

b) Cuntos no tienen brevete?.

c) Cuntos cometen infraccin de manejar vehculos sin tener brevete?.

d) Cuntos saben encender un vehculo pero no manejarlos?.

8) En un avin hay 9 jvenes, 5 nios peruanos, 9 hombres, 7 jvenes extranjeros, 14 peruanos, 6 peruanos varones, y 7 mujeres extranjeras.

a) Cul es el nmero de personas del avin?

b) Cuntos son solamente peruanos?

Estudie la informacin destacando los conceptos bsicos, notaciones y formas existentes para la determinacin de conjuntos.

OBJETIVO N 01

Determinar y representar conjuntos.

ACTIVIDAD N 01

Hombres que no hablan Ingls

Hombres que hablan Ingls

No hablan Ingls

Hablan Ingls

DIAGRAMA DE LEWIS CARROLL

Se observa que :

Conjunto = EMBED Equation.3

(1

(0

B

(8

(-2

(6

(1

(3

({0,1}

A

IMPORTANTE

Compruebe su aprendizaje, resolviendo los siguientes

MUJERES

HOMBRES

Si sus respuestas no coinciden con la clave, intente nuevamente resolver el problema cuya respuesta es errnea.

ACTIVIDAD N 02

A

n(A ( B) = n( A ) + n( B ), si A ( B = (

Infrmese sobre las propiedades del nmero cardinal de conjuntos y sus aplicaciones que se ofrecen en el siguiente texto.

OBJETIVO N 06

Resolver problemas diversos relativos al Nmero Cardinal de Conjuntos.

ACTIVIDAD N 01

OBJETIVO N 03

Demostrar las leyes del lgebra de conjuntos.

ACTIVIDAD N 01

ACTIVIDAD N 02

Analice la siguiente informacin sobre las propiedades de las operaciones con conjuntos y las demostraciones realizadas.

Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje.

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para reafirmar su aprendizaje, compare sus resultados con la clave.

OBJETIVO N 02

Establecer la relacin entre conjuntos y demostrar las propiedades de Inclusin e Igualdad de conjuntos.

ACTIVIDAD N 01

Analice el siguiente texto remarcando las definiciones, ilustraciones y propiedades de la Inclusin e Igualdad de conjuntos.

B

A

ACTIVIDAD N 02

A

B

A

B

A

A = B

B

A

C

(5

(3

(2

Analice los ejemplos que se desarrollan a continuacin haciendo hincapi en el uso correcto de la simbolizacin e identificacin de elementos de un conjunto.

Resuelva los siguientes ejercicios para evaluar su aprendizaje.

ACTIVIDAD N 02

Es el nmero de elementos de un conjuntos

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

EMBED Equation.DSMT4

Cardinal de un conjunto

X ( P(A) ( X ( A

Conjunto potencia

de A

Se denota por P(A)

Se define por

{X/X(A}

( EMBED Equation.DSMT4 P(A)

Si X = (, EMBED Equation.DSMT4 P(A) = {(}

EMBED Equation.DSMT4 = A-B = { x / x ( A ( x ( B }

EMBED Equation.DSMT4 = B-A = { x / x ( B ( x ( A }

A ( B = { x / x ( A ( x ( B }

A ( B = ( A B ) ( ( B A )

A EMBED Equation.3 B = { x / x ( A EMBED Equation.3 x ( B}

Operaciones con conjuntos

Tiene 21=2 subconjuntos

Sus subconjuntos son

{ A, conjunto ( }

Es unitario

EMBED Equation.DSMT4 es slo un smbolo

Dado el conjunto

A = {{(}}

Es verdadero

Su negacin es (F):

( x ( B, tq y ( B / x2 + y2 < 8.

x2 + y2 ( 8 es la funcin proposicin

EMBED Equation.DSMT4 : es el Cuantificador Existencial

EMBED Equation.DSMT4 : es el Cuantificador Universal

La proposicin

( x ( B, ( y ( B / x2 + y2 ( 8. donde

B = { x / x ( Z, x ( 4 }.

POR EXTENSIN ES:

{-1, 0, 1, 2, 3}

TIENE COMO CUNJUNTO UNIVERSAL A Z

ES FINITO

NO ES VACO

NO ES UNITARIO

El conjunto

B = { x ( Z / - 2 ( x ( 3 }.

est por comprensin

Analice los ejemplos que se desarrollan a continuacin haciendo hincapi en el uso correcto de la simbolizacin e identificacin de elementos de un conjunto.

ACTIVIDAD N 02

ACTIVIDAD N 03

(9

(1

E

B

D

(6

PROPIEDAD

N ( Z ( Q ( R ( C

B

A

A B ( n( A ) =n( B )

B

A

(7

(6

(5

(4

(3

(2

A y B son disjuntos ( ( x / x ( A ( x ( B

A ( B ( A ( B ( B ( A

B

A

(4

(-3

U

B

A

U

A ( H

H

A

A ( B

U

B

A

.q

( p

( s

A

( r

B

(4

(2

A

Infrmese sobre las operaciones entre conjuntos: definicin, notacin, representacin e ilustracin grfica, leyendo el siguiente texto.

OBJETIVO N 03

Efectuar operaciones con conjuntos e interpretar grficamente los resultados.

ACTIVIDAD N 01

A EMBED Equation.3 B = { x / x ( A EMBED Equation.3 x ( B}; EMBED Equation.3 = Smbolo de la disyuncin

A

B

U

A

B

U

A

B

U

A ( B = { x / x ( A ( x ( B }

( 2

( 7

A ( B

B

( 7

( 6

( 4

( 5

( 3

( 4

( 2

( 2

B ( C

(3

( 6

( 5

( 8

( 10

U

B

A

U

B

A

U

B

A

A

B

U

B

C

U

A

B

U

4

(4

(2

(b

(c

(d

(4

(6

(a

(d

(2

(4

(a

(b

(c

A B = { x / x ( A ( x ( B }

A

B

A

B

A

B

A - B

U

U

U

A = { x / x ( U ( x ( A }

A

A

A ( B = ( A B ) ( ( B A )

A

B

U

A ( B

B

A

A

B

A

B

ACTIVIDAD N 02

Analice los ejercicios resueltos sobre operaciones con conjuntos y su interpretacin grafica.

B

A

C

ACTIVIDAD N 02

Resuelva los siguientes ejercicios para autoevaluar su aprendizaje.

A EMBED Equation.DSMT4 P(A)

Tiene 2n elementos, n es el nmero de letras de A

EMBED CorelDRAW.Graphic.11

EMBED CorelDRAW.Graphic.11

C

B

A

U

C

B

A

Morgan

(A EMBED Equation.DSMT4 B) = A EMBED Equation.DSMT4 B

(A EMBED Equation.DSMT4 B) = A EMBED Equation.DSMT4 B

Asociativa

A EMBED Equation.DSMT4 (B EMBED Equation.DSMT4 C) = (A EMBED Equation.DSMT4 B) EMBED Equation.DSMT4 C

A EMBED Equation.DSMT4 (B EMBED Equation.DSMT4 C ) = (A EMBED Equation.DSMT4 B) EMBED Equation.DSMT4 C

Conmutativa

A EMBED Equation.DSMT4 B = B EMBED Equation.DSMT4 A

A EMBED Equation.DSMT4 B = B EMBED Equation.DSMT4 A

Absorcin

A EMBED Equation.DSMT4 (A EMBED Equation.DSMT4 B) = A

A EMBED Equation.DSMT4 ( A EMBED Equation.DSMT4 B) = A

A EMBED Equation.DSMT4 (A EMBED Equation.DSMT4 B) = A EMBED Equation.DSMT4 B

A EMBED Equation.DSMT4 ( A EMBED Equation.DSMT4 B) = A EMBED Equation.DSMT4 B

Distributiva

A EMBED Equation.DSMT4 (B EMBED Equation.DSMT4 C) =(A EMBED Equation.DSMT4 B) EMBED Equation.DSMT4 (A EMBED Equation.DSMT4 C)

Leyes del lgebra de conjuntos

EMBED Equation.DSMT4

Demuestre a continuacin las leyes del lgebra que se mencionan

OBJETIVO N 03

Hallar el Conjunto Potencia de un Conjunto cualquiera y demostrar sus propiedades.

ACTIVIDAD N 01

Estudie la siguiente informacin que se ofrece sobre el Conjunto potencia y sus propiedades.

P ( A ) = { X / X ( A }

B

U

A

B

U

A B

B A

A ( B

n(A B) = n(A) + n(A(B)

n(A) = n(A B) + n(A ( B)

A

B

U

A B

B A

A ( B

n(A ( B) = n(A) + n(B) n(A(B)

n(A ( B ( C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A(B) n(A(C) n(B(C) + n(A ( B ( C).

A

B

U

a

c

b

I

F

U

a

c

b

Hablan un solo idioma

PAGE

41Universidad Nacional del Santa

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