Modulo Instruccional de Io. Parte II-A (1)

UNIVERSIDAD TÉCNICA DE BABAHOYO.

I

GUÍA DIDÁCTICA INSTRUCCIONAL.

ING. GILMA TABLADA MARTÍNEZ.

OCTUBRE-2012

FACULTAD DE ADMINISTRACIÓN,

FINANZAS E INFORMÁTICA.

Ing. Gilma Tablada Martínez. Investigación Operativa.

2

Parte II.

Unidad I: Construcción de modelos de PL y solución gráfica de problemas.

Contenidos……………………………………………………………………………………………….…………

3

Logros de aprendizajes de la unidad…………..……………………………………….……….. 3

Orientaciones didácticas de la unidad……………………………………………………………. 4

Prueba de entrada o pre-test……..…………………………………………………………………. 4

Desarrollo de aprendizaje………………………………………………………………………………. 5

Glosario de términos……………………………………………………………………………………… 13

Ejercicios propuestos ……………………..…………………………………………………………….. 14

Actividades evaluativas de la unidad o post-test...…….…………………………………. 16

Actividad de consolidación de la unidad….….……………………………………………….. 18

Examen de autoevaluación de la unidad…..…………………………………………………… 19

ÍNDICE.


3

UNIDAD I: PLANTEAMIENTO DEL MODELO MATEMÁTICO Y SOLUCIÓN GRÁFICA DE PROBLEMAS.

Conocer los orígenes de la Investigación de Operaciones, su metodología, procesos y aplicabilidad real, así como su impacto sobre la economía de una organización.

Formular modelos matemáticos que representen un problema. Plantear un modelo a través de las cinco etapas y pasos sistemáticos

predefinidos. Desarrollar el modelo de programación lineal para un problema dado. Resolver modelos de programación lineal utilizando el método gráfico. Realizar una interpretación económica de las variables, coeficientes de la

función objetivo y términos independientes de las restricciones. Hacer un análisis del comportamiento del modelo según las variaciones de sus

parámetros. Hacer interpretaciones de los resultados obtenidos al aplicar el método gráfico.

Investigación Operativa.

Modelos matemáticos.

Formulación del modelo matemático de Programación Lineal.

Solución gráfica de un problema de Programación Lineal.

Solución óptima única.

Soluciones múltiples.

Soluciones degeneradas:

No existen soluciones.

Soluciones no acotadas.

DESARROLLO PARTE II

LOGROS DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD.

CONTENIDOS.


4

En el Capítulo 1 del texto 1 indicado, (HILLIER & LIEBERMAN), usted puede determinar cuál fue el origen y evolución de esta ciencia. En la Tabla 1.1, Pág. 5 de este texto, el autor presenta algunas aplicaciones de la investigación de operaciones que usted debe leer con atención. En la Sección 1.4, se hace referencia a los paquetes software que se pueden utilizar para resolver problemas de investigación de operaciones. Sin embargo, estos paquetes computacionales sólo agilitan los cálculos matemáticos.

En el Capítulo 2, Pág. 8, de este texto podrá encontrar detalles acerca de la modelación para problemas de PL. En este capítulo el autor muestra las etapas usuales de un estudio de IO. Usted debe estudiarlas y ser capaz de formular el modelo para un problema dado. La importancia de la investigación de operaciones radica en la capacidad de formular correctamente un modelo para que, de forma manual o utilizando los paquetes computacionales, pueda llegar a determinar la solución óptima deseada. Si usted dispone de un computador, utilice el software que viene con el texto, pero recuerde que debe desarrollar las destrezas para formular y resolver modelos matemáticos donde no disponga de un computador.

La Sección 1.1 del texto 3 (TAHA), le presenta un problema de toma de decisiones. La solución requiere la identificación de tres componentes principales, que caracterizan a un modelo. Usted debe ser capaz de plantear el modelo correcto, resolverlo y en base a ello, tomar una decisión. El texto explica en las Secciones 1.2 y 1.3 las diversas técnicas de IO.

Las etapas más importantes de un estudio característico de Investigación de Operaciones las presenta el texto 3 (TAHA) en la Pág. 5, Sección 1.4: “El Arte del modelado”.

Pueden profundizar en el tema usando el texto de MATHUR & SOLOW, que también dedica el Capítulo 2 a la construcción de modelos y sus clasificaciones.

Los textos señalados en la guía abordan el método gráfico que optimiza la función objetivo a través de una función de Isoutilidad, definida a partir de la expresión analítica de la FO del problema a resolver. Deben estudiar este método para ser debatido en clases.

1. Responda individualmente las siguientes preguntas.

a. ¿Desarrolle un concepto personal sobre Investigación de Operaciones?

ORIENTACIONES DIDÁCTICAS DE LA UNIDAD.

PRUEBA DE ENTRADA O PRE-TEST.


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b. ¿Qué significa para usted un modelo matemático? c. ¿Cuál es la importancia que tribuye usted a los modelos matemáticos? d. Describa tres campos en donde se puede aplicar la Programación Lineal. e. Presente un problema donde se fundamente la optimización de un objetivo y

se establezcan de forma clara las condiciones bajo las cuáles se desea optimizar.

f.

INVESTICACIÓN OPERATIVA.

La Investigación de Operaciones es una rama muy amplia de la matemática que estudia la distribución óptima de recursos, por lo que también suele llamarse Optimización; consiste de optimizar una función que se llama Función Objetivo (FO) y que debe cumplir con un conjunto de condiciones, llamadas conjunto de restricciones. Tanto el conjunto de restricciones como la función objetivo son funciones lineales por lo que se llama Programación Lineal (PL). La Programación Lineal como rama de la IO surge y se desarrolla a fines de la década de 1940.

“La Investigación de Operaciones (IO) consiste en el estudio de problemas de toma de decisiones, considerando la formulación de un modelo matemático, que permita estudiar el comportamiento del problema a través del análisis de sus parámetros y encontrar la mejor opción posible de solución, bajo el cumplimiento de las condiciones generales del problema”.

Las dos características esenciales, que distinguen a la IO de otras disciplinas o actividades que podrían asimilarse a la anterior definición, son:

i) El planteamiento del modelo matemático. ii) La búsqueda de la mejor solución de los problemas de decisión.

Otras características de la IO, es que generalmente se requiere de la participación de grupos interdisciplinarios y de los computadores en su aplicación, ya que los problemas a resolver son habitualmente muy complejos y con consecuencias sobre

PROBLEMA MODELO

MATEMÁTICO

MEJOR

SOLUCIÓN

DEL MODELO

DESARROLLO DE APRENDIZAJES.


6

distintas partes del sistema y en la resolución de un problema, mediante la IO, requiere habitualmente procesar gran cantidad de datos numéricos.

La metodología de un estudio de IO puede ser resumida a través de las siguientes fases:

a) Formulación del problema: implica definir objetivos y metas, examinar los recursos internos para lograrlos y los aspectos relevantes del entorno, determinar programas de acción alternativos.

b) Desarrollo de un modelo para representar el problema que se está estudiando: “reducir” el problema a una estructura generalmente matemática en la cual se encuentran presentes el o los objetivos y las restricciones explícitas y subyacentes para lograrlos.

Esto puede implicar la formulación de varios modelos y su confrontación con la realidad, hasta hallar el más adecuado.

c) Búsqueda de una solución al problema: hallar la mejor o la óptima solución para el logro del objetivo, en el marco de las restricciones.

d) Poner en práctica la solución: implantar la solución, ya sea a modo de prueba o en forma definitiva.

e) Retroalimentación: establecimiento de controles sobre la solución, prestar atención a los cambios en la situación, a fin de incorporarlos al modelo.

Estas fases no son estrictamente secuenciales, existiendo un límite difuso entre cada una de ellas.

MODELOS MATEMÁTICOS.

Modelo: Es una representación o abstracción de una situación u objetos reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las interrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa y efecto. Para que un modelo sea completo, debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que están investigándose.

PROBLEMA MODELO

MATEMÁTICO

SOLUCIÓN

ÓPTIMA


7

Modelos Icónicos: Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala distinta.

Modelos analógicos: Incluyen aquellos que tienen una forma real, pero no la misma apariencia física del objeto que se está modelando.

Los modelos simbólicos: Son las representaciones de la realidad y toman la forma de cifras, símbolos y matemáticas.

Modelos matemáticos cuantitativos y cualitativos: Pensamiento relacionado con los problemas de negocios comienza con los modelos cualitativos y llega gradualmente hasta un punto donde pueden usarse modelos cuantitativos.

Modelos estándar y hecho a la medida: Describen las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de operaciones.

Descriptivos y de optimización: El modelo se construye como descripción matemática de una condición del mundo real.

Estáticos y dinámicos: Se usan para una serie especial de condiciones fijas que probablemente no cambiarán significativamente a corto plazo.

Simulación: La simulación es un método que comprende cálculos secuenciales paso a paso, donde pueden reproducirse el funcionamiento de problemas o sistemas de gran escala.

FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Vamos a introducir el concepto de modelación para un PPL a través de un pequeño problema.

Ejemplo de un problema de Programación Lineal.

Suponga que una compañía fabrica dos tipos diferentes de artefactos: manuales y eléctricos. Cada uno de ellos requiere en su fabricación el uso de tres máquinas: A, B y C. Un artefacto manual requiere del empleo de la máquina A durante 2 horas, de 1 hora en la máquina B y de 1 hora en la máquina C. Un artefacto eléctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1 hora en C. Supóngase, además, que el número máximo de horas disponibles por mes para el uso de las 3 máquinas es de 180, 160 y 100 respectivamente. La utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de $4.00 y de $6.00 los eléctricos. ¿Cuántos de cada tipo de ellos se deben producir con el objetivo de maximizar la utilidad mensual?

Los datos del problema se resumen en la siguiente tabla:

Para definir el modelo matemático que resuelve el problema, debemos tener claridad de la problemática, identificar la el objeto de optimización, las limitaciones o

Máquina A Máquina B Máquina C Utilidad/Unidad

Manual 2h 1h 1h $4.00

Eléctrico 1h 2h 1h $6.00

Horas disponibles 180 160 100


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requerimientos en la problemática y las condiciones bajo las cuáles se debe resolver. Para expresar todo esto a través de expresiones matemáticas debemos definir también las variables de decisión:

El objeto de optimización es la Ganancia, que se debe maximizar.

Las limitaciones son:

- Tiempo disponible para la máquina A. - Tiempo disponible para la máquina B. - Tiempo disponible para la máquina C. - Condición de no negatividad para las variables de decisión.

El modelo, en términos generales sería:

Maximizar (

) (

)

Sujeto a:

(

) (

) {

(

) (

) {

(

) (

) {

( ) ( ) *

Necesitamos definir las siguientes variables:

Objetivo:

Es la Ganancia, que debe ser máxima.

De decisión:

Es la cantidad de artefactos manuales a producirse. Es la cantidad de artefactos eléctricos a producirse.

En términos de las variables definidas, conociendo los valores a ganar cuando se vende cada tipo de artefacto, los tiempos requeridos en cada máquina para cada tipo de artefacto y los tiempos disponibles de cada máquina, el modelo nos quedaría así:

Max (Función objetivo)


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Sujeto a:

}

SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL. El método gráfico tiene grandes desventajas para resolver problemas de PL ya que cuando los modelos matemáticos que los representan tienen más de dos variables se dificulta la representación gráfica de los mismos. Consiste de representar en el plano las rectas que delimitan a cada una de las restricciones y determinar cuál es la zona común para todas (absolutamente todas). A esta zona se llama Zona Factible (ZF).

La ZF puede ser cerrada, abierta o puede no existir.

- Zona Factible cerrada: Si la ZF es cerrada para un problema dado, significa que hay solución óptima. Ésta puede ser única o pueden existir múltiples soluciones.

- Zona Factible abierta: Si la ZF es abierta el problema tiene solución óptima cuando la FO se desea minimizar. Un problema de maximización no tendría solución.

(Conjunto de restricciones)


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- No existe ZF. El problema de PL no tiene solución óptima.

TEOREMA DEL PUNTO ESQUINA O VÉRTICE.

Teniendo en cuenta el resultado anterior, se calculan todos los puntos esquinas de la ZF, se evalúa la FO para esos puntos y se toma el punto en que la FO tenga el mayor valor.

Para el modelo del ejemplo 1.1:

Si para un problema de PL, existe la ZF y es cerrada, entonces la solución óptima del problema se obtiene en un vértice o punto esquina de esa ZF.


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Max

Sujeto a: (1) (2) (3) (4) (5) Las rectas que delimitan las restricciones (4) y (5) son los ejes X e Y, o sea que se trabajará en el primer cuadrante del plano cartesiano. Las rectas que delimitan la ZF son: (1) (2) (3) La zona factible encontrada tiene 5 vértices, que son A, B, C, D y E

Las coordenadas del punto C se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que forman las rectas (2) y (3).

}

Las coordenadas del punto D se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que forman las rectas (1) y (3).

}

Resolviendo ambos sistemas se obtienen los siguientes resultados:

para el punto C.

para el punto D.

Al evaluar la FO en los vértices de la ZF se obtienen los siguientes resultados:

De los resultados anteriores el mayor es $520.00 y es la solución óptima. Esta solución se obtiene fabricando 40 artefactos manuales y 60 eléctricos.

Vértices o puntos esquina de ZF.

Coordenadas FO:

A (0, 0) G(A) = 4(0) + 6(0) = 0

B (0, 80) G(B) = 4(0) + 6(80) = 480

C (40, 60) G(C) = 4(40) + 6(60) = 520

D (80, 20) G(D) = 4(80) + 6(20) = 440

E (90, 0) G(E) = 4(90) + 6(0) = 360


12

La ZF del ejemplo anterior es cerrada. Ilustremos de forma gráfica, lo explicado anteriormente:

En los textos indicados en esta guía, se desarrolla el método gráfico que calcula la solución óptima a través de la FO, definiendo una función de Isoutilidad a partir de la FO del problema a resolver. Deben estudiar este método para ser debatido en clases

Para profundizar en la identificación de la región o zona factible para un problema dado revise el texto KRAJEWSKI & RITZMAN, en la página 641. Allí se exponen las diferentes opciones para cada tipo de restricción posible en un MMPL.

Solución óptima única.

Cuando el máximo o el mínimo se alcanza sólo en un punto esquina o vértice de la región factible. El ejemplo de la fabricación de artefactos manuales y eléctricos, resuelto anteriormente tiene solución óptima única.

Soluciones degeneradas:

- No existen soluciones. Si no existe ZF, entonces no hay soluciones posibles para el problema. No existe, si quiera un punto que satisfaga las condiciones del problema.

- Soluciones no acotadas.

Si el problema es de maximizar y la ZF asociada al problema es abierta, se dice que el problema tiene soluciones no acotadas. En este no existen soluciones óptimas para el problema.

- Soluciones múltiples.

Cuando en dos puntos esquinas se alcanza el máximo o mínimo de la FO hay soluciones múltiples. También se alcanzan la solución óptima en los puntos sobre el segmento que une a dichos puntos.

(1) (3)


13

Ejemplo:

Suponga que el siguiente gráfico corresponde a la ZF de un problema de PL, y se alcanza el máximo en los puntos C y D, entonces también la FO es máxima en los puntos del segmento CD.

Encuentre en los textos referidos en la bibliografía de la guía, diccionarios u otras fuentes el significado de los términos que a continuación se relacionan.

Investigación operativa. Modelo matemático. Variables de decisión. Parámetros del modelo. Función objetivo. Restricción. Linealidad. No negatividad. Variables de decisión. Optimalidad. Factibilidad. Zona factible. Zona factible acotada. Zona factible no acotada. Isoutilidad.

GLOSARIO DE TÉRMINOS.

D

C


14

Solución óptima. Solución múltiple. Solución degenerada.

1. Encuentre las zonas factibles determinadas por las siguientes inecuaciones con

variables no negativas, si existen, diga si son cerradas o abiertas y diga cuáles son sus puntos esquinas:

a.

b.

c.

2. Se considera la región del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:

}

a. Dibujar la región del plano que la definen.

b. Calcular sus vértices.

c. Hallar el punto vértice de esa región en el que la función ( )

alcanza el valor mínimo y calcular dicho valor.

3. Representar gráficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:

}

a. Hallar el máximo y el mínimo de ( ) , sujeto a las restricciones

representadas por las inecuaciones anteriores.

EJERCICIOS PROPUESTOS.


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4. Encuentre gráficamente la región del plano definida por las inecuaciones:

}

a. ¿Para qué valores de la región (ZF) es máxima la función ?

b. ¿Para qué valores de la región (ZF) es mínima la función ?

5. Sandra y Carlos producen alfombras y chales hechos a mano. Enrollan el estambre, lo tiñen y lo tejen. Un chal requiere 1 hora de enrollado, 1 hora de teñido y 1 hora de tejido. Una alfombra requiere 2 horas de enrollado, 1 hora de teñido y 4 horas de tejido. Juntos, invierten, cuando más 8 horas de enrollado, 6 horas de teñido y 14 horas de tejido. a. Complete la siguiente tabla:

b. Use la tabla para escribir un sistema de desigualdades que describa la situación.

c. Trace la gráfica de la región factible de este sistema de desigualdades.

6. Word Oil Company puede comprar dos tipos de petróleo crudo: crudo ligero a un costo de $25.00 por barril, y petróleo pesado a un costo de $22.00 por barril. Cada barril de petróleo crudo, ya refinado produce tres productos: gasolina, turbosina y queroseno. La siguiente tabla indica las cantidades en barriles de gasolina, turbosina y queroseno producidos por barril de cada tipo de petróleo crudo:

La refinería se ha comprometido a entregar 1 260 000 barriles de gasolina, 900 000

barriles de turbosina y 300 000 barriles de queroseno. Formule un modelo para

determinar la cantidad de cada tipo de petróleo crudo por comprar para minimizar

el costo total al tiempo que se satisfaga la demanda apropiada. Defina todas las

variables de decisión.

7. Un fabricante hace dos juguetes, camiones de carga y camiones de bomberos.

Ambos se procesan en cuatro departamentos diferentes y cada uno tiene una

capacidad limitada. El departamento de láminas metálicas puede procesar por lo

menos 1 ½ veces tantos camiones de carga como camiones de bomberos. El

departamento de ensamble de camiones de carga puede armar cuando más 6 700

Enrollado. Teñido. Tejido.

Chales. 1 h

Alfombras. 4 h

Disponibilidad. 8 h

Gasolina Turbosina Queroseno

Crudo ligero 0.45 0.18 0.30

Crudo pesado 0.35 0.36 0.20


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camiones de carga por semana, mientras que el departamento de ensamble de

camiones de bomberos puede armar cuando más 5 500 camiones de bomberos por

semana. El departamento de pintura, que da el acabado a ambos tipos de juguetes,

tiene una capacidad máxima de 12 000 semanales. Si la ganancia es de $8.50 en un

camión de carga y de $12.10 en un camión de bomberos, ¿cuántos de cada tipo

debe producir la empresa para maximizar la ganancia?

Estos ejercicios serán enviados al finalizar la unidad al correo gmail del docente indicado al inicio de la guía. La fecha tope de entrega será precisada oportunamente.

1. Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones con variables no negativas:

}

a. Dibujarlo. b. Hallar sus vértices. c. Razonar si es posible maximizar en él la función ( ) . d. En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se

alcanza.

2. Se considera el recinto plano de la siguiente figura en el que están incluidos los tres lados y los tres vértices de la figura triangular que forman las rectas asociadas a las desigualdades. a. Hallar las inecuaciones que definen el recinto.

b. Maximizar la función sujeta a las restricciones del recinto.

3. Una empresa manufacturera elabora dos componentes: 1 y 2 para vender a

compañías de refrigeración. Los componentes son procesados en dos máquinas A y B. La máquina A está disponible por 120 horas y la máquina B está disponible por

ACTIVIDADES EVALUATIVAS.


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110 horas. No más de 200 unidades de componente 2 podrán ser vendidos, pero hasta 1000 unidades del componente 1 pueden ser vendidas. De hecho la empresa tiene ya órdenes de 600 unidades de componente 1 que deben ser satisfechas. Los beneficios de cada unidad de los componentes 1 y 2 son de $8.00 y $6.00 respectivamente. Elabore un modelo lineal para maximizar los ingresos, si los tiempos en minutos necesarios para elaborar cada componente en cada máquina son:

Componente Máquina A Máquina B

1 6 4

2 4 5

4. Un fabricante de cemento produce cuando menos 3.2 millones de barriles de cemento anualmente. El Organismo de Protección Ambiental le comunica que su operación emite 2.5 libras de polvo por cada barril producido. Este organismo ha determinado que las emisiones anuales deben reducirse a 1.8 millones de libras. Para lograr esto, el fabricante planea reemplazar los actuales recolectores por dos tipos de precipitadores electrónicos. Uno de ellos reduce las emisiones a 0.5 libras por barril y cuesta $0.16 por barril. El otro reduce a 0.3 libras de polvo por barril y cuesta $0.20 por barril. El fabricante no quiere gastar más de 0.8 millones de dólares en los precipitadores. Necesita saber cuántos barriles debe producir con cada tipo de precipitador. Sea la cantidad de barriles producidos con el primer tipo de precipitador y la cantidad de barriles de cemento producidos con el segundo tipo.

5. News Magazine publica una edición estadounidense y otra canadiense cada semana. Se tienen 30 000 subscriptores en Estados Unidos y 20 000 en Canadá. Otras copias se venden en los quioscos de periódicos. Los costos de correo y envío promedian $80.00 por 1 000 copias en Estados Unidos y $60.00 por 1 000 en Canadá. Las encuestas muestran que pueden venderse no más de 120 000 copias de cada edición, incluidas las subscripciones y que el número de copias de edición canadiense no debe exceder de 2 veces el número de copias de la edición estadounidense. El editor puede gastar cuando más $8 400.00 al mes en correo y embarque. Si la ganancia es de $200.00 por cada 1 000 copias de la edición canadiense y de $150.00 por cada 1 000 copias de la edición estadounidense, ¿cuántas copias de cada versión deben imprimirse para obtener una ganancia máxima? ¿Cuál es la ganancia máxima?

6. El anuncio de un fondo de inversión establece que todo dinero se invierte en bonos con calificación A, AA y AAA. No se invierte más del 30% del total en los bonos A y AA y se invierte cuando menos el 50% en AA y AAA. Los bonos A, AA y AAA producen rendimiento del 8%, 7% y 6% anual, respectivamente. Plantee el modelo matemático que permita determinar los porcentajes de la inversión total que se deben comprometer en cada tipo de bono para que el fondo maximice su rendimiento anual.


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1. Comparta con 2 compañeros las respuestas de las preguntas de entrada de la

unidad.

2. ¿Describa tres ejemplos de: Funciones Objetivos, Variables de decisión y restricciones?

3. ¿Qué significa para usted la función objetivo de un modelo en términos administrativos?

4. ¿Qué entiende usted por modelo matemático de programación Lineal?

5. Escriba dos diferencias entre cada tipo de modelo.

6. Escriba un ejemplo de cada modelo estudiado.

7. Únase con el compañero, según el criterio que indique el maestro y resuelva las siguientes cuestiones: a. Propongan un nuevo esquema y/o algoritmo de solución de problemas

lineales, tal como se presenta en sección 1.3 del texto MATHUR & SOLOW. Las propuestas serán presentadas y debatidas en el curso.

b. Proponga un esquema para la construcción de modelos para problemas de PL. c. Hagan un análisis del caso de Carmac Company, ejercicio 2.9, página 53 del

texto MATHUR & SOLOW. Usando el esquema definido por ustedes, planteen el modelo matemático correspondiente.

d. Compare el modelo construido en el inciso anterior (c), con el que se plantea en el texto 4 de esta guía, ejercicio 4.15, página 164.

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN.


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1. Una compañía fabrica 2 productos: Beta y Zeta. Cada producto debe pasar por 2

operaciones de procesamiento. Todos los materiales se introducen al inicio del proceso 1. La tabla siguiente muestra las horas requeridas para producir una unidad de cada producto.

No hay inventarios de trabajo en proceso. La compañía puede producir exclusivamente, cualquiera de los 2 productos o varias combinaciones bajo las siguientes restricciones:

- La escasez de mano de obra ha limitado la producción de Beta a 400 unidades por día.

- No hay restricciones de horario en el programa anterior. Suponga que todas las relaciones entre capacidad y producción son lineales.

Si el objetivo es maximizar el margen total de contribuciones, escoja una de las opciones planteadas para cada caso:

a) ¿Cuál es la FO para los datos presentados? (1) Zeta + 2 Beta = $9.95 (2) $4.00 Zeta + 3($5.25) Zeta = Margen total de contribución. (3) $4.00 Zeta + $5.25 Zeta = Margen total de contribución. (4) 2($4.00) Zeta + 3($5.25) Zeta = Margen total de contribución.

b) ¿Cuál es la restricción por producción para el proceso 1? (1) Zeta + Beta ≤ 1 000 (2) Zeta + 2 Beta ≤ 1 000 (3) Zeta + Beta ≥ 1 000 (4) Zeta + 2 Beta ≥ 1 000

c) ¿Cuál es la restricción por producción para el proceso 2? (1) Zeta + Beta ≤ 1 275 (2) Zeta + 3 Beta ≤ 1 275 (3) Zeta + Beta ≥ 1 275 (4) Zeta + 3 Beta ≥ 1 275

d) ¿Cuál es la restricción por mano de obra para la producción de Beta? (1) Beta ≤ 400 (2) Beta ≥ 400 (3) Beta ≥ 1 275

Proceso 1 Proceso 2

Contribución x unidad

Zeta 1 hora 1 hora $4.00

Beta 2 horas 3 horas $5.00

Total de horas x día 1 000 horas 1275 horas

EXAMEN DE AUTOEVALUACIÓN.


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2. Plantee el modelo para el ejercicio anterior y resuélvalo gráficamente.

3. Cada semana, Florida Citrus, Inc. usa una máquina durante 150 horas para destilar jugo de naranja y de toronja en concentrados almacenados en dos tanques separados de 1000 galones antes de congelarlos. La máquina puede procesar 25 galones de jugo de naranja por hora, pero sólo 20 galones de jugo de toronja. Cada galón de jugo de naranja cuesta $1.50 y pierde 30% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de naranja se vende después en $6.00 por galón. Cada galón de jugo de toronja cuesta $2.00 y pierde 25% de contenido de agua al destilarse en concentrado. El concentrado de jugo de toronja se vende luego en $8.00 por galón. Formule un modelo de programación lineal para determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables: JN → Número de galones de jugo de naranja por utilizar esta semana. JT → Número de galones de jugo de toronja por utilizar esta semana.

4. Como variante del ejercicio 45, formule un modelo de programación lineal para

determinar un plan de producción que maximice la ganancia para la siguiente semana usando las variables: CN → Número de galones de concentrado de naranja por utilizar esta semana. CT → Número de galones de concentrado de toronja por utilizar esta semana.

5. Como variante del ejercicio 45, formule un modelo de programación lineal para

determinar un plan de producción que maximice la ganancia de la siguiente semana usando las variables: TN → Número de horas de tiempo de máquina a usarse esta semana para destilar jugo de naranja. TT → Número de horas de tiempo de máquina a usarse esta semana para destilar jugo de toronja.

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