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MÓDULO VI - TALLER 1 2DA. EDICIÓN
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Autoras
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Dra. Nurys del Carmen GonzálezDra. Leandra Tapia
Noviembre 2012
MÓDULO 6El espacio tridimensional
Taller 1Poliedros. Área lateral y total
Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L.
Denia
Segunda Edicion, noviembre 2012
CONTENIDO
Centro de Estudios EducativosCEED
CONTENIDO
Módulo 6El espacio tridimensional
Actividad 1
Actividad 2
Actividad 3
Actividad 4
Actividad 5
Actividad 6
Actividad 7
Actividad 8
Actividad 9
Actividad 10
Actividad 11
Actividad 12
Actividad 13
Actividad 14
Actividad 15
Anexo
26
25
24
21
19
18
17
16
15
15Taller 1
28
29
31
33
34
35
36
9
Descripción
Propósitos
Contenidos
Productos del módulo
Bibliografía y otros recursos
Duración
9
9
10
11
11
11
El espacio tridimensional
Poliedros. Área lateral y total
Centro de Estudios EducativosCEED
MÓDULO 6El espacio tridimensional
DESCRIPCIÓN
MÓDULO 5
DIPOMADO EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico9
Centro de Estudios EducativoCEED
Construir el concepto de volumen de un cuerpo.
Identificar, clasificar y construir cuerpos geométricos.
Conocer los sólidos y sus desarrollos planos.
Conceptuar y calcular áreas lateral y total, y volúmenes de los cuerpos estudiados.
Conocer y utilizar unidades cúbicas del Sistema Métrico Decimal.
Estimar volúmenes.
Explicar, argumentar y justificar razonamientos y conclusiones.
Valorar la potencia de la geometría para describir, analizar y entender el mundo que nos rodea.
Conocer y utilizar estrategias de aprendizaje por descubrimiento.
Conocer los principales recursos de apoyo al aprendizaje, como el metro cúbico, para la enseñanza-aprendizaje de contenidos geométricos y de medidas y utilizarlos correctamente.
Diseñar y ejecutar propuestas teórico-prácticas basadas en actividades manipulativo-representativas para el desarrollo de contenidos geométricos.
PROPÓSITOS
El espacio tridimensional
En este taller se analizan las características y propiedades de cuerpos geométricos. Se trabaja cómo
utilizar la visualización, el razonamiento espacial y los modelos geométricos para resolver problemas, las
unidades de medidas de volumen, el Sistema Métrico Decimal. Se aplicarán técnicas apropiadas,
herramientas y fórmulas para determinar medidas de volumen utilizando unidades estándares y no
estándares.
En el desarrollo de este taller los participantes aprenderán a utilizar materiales concretos que apoyen la
construcción de los diferentes contenidos, así como el manejo de las diferentes unidades de medidas de
volumen. También construirán recursos para desarrollar estos contenidos con sus estudiantes. Se
analizarán estrategias adecuadas para la construcción de los contenidos estudiados.
CONTENIDOS
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
10
Eje temático Contenidos
Conocimiento
• Concepto de volumen.
• Cuerpos geométricos. Clasificación.
• Volumen de cuerpos geométricos.
• Área lateral y área total de cuerpos geométricos.
• El metro cúbico.
• Aprendizaje por descubrimiento.
Conceptuales
Comunicación
• Explicación oral y escrita de los procesos seguidos
en las construcciones y mediciones.
• Interpretación y seguimiento de instrucciones
escritas.
• Lectura y análisis de información.
Procedimentales
Resolución de
problemas y
Toma de
decisiones
• Resolución de problemas.
• Utilización de diferentes estrategias en la solución
de problemas.
• Uso de los múltiplos y submúltiplos del metro
cúbico para resolver problema
Razonamiento
matemático
• Medición y estimación de volúmenes utilizando el
metro cúbico, entre otros.
• Construcción de la fórmula para obtener el volumen
de cuerpos geométricos.
• Utilización de informaciones para generar
respuestas.
• Justificación de respuestas.
• Medición de volúmenes utilizando el metro cúbico y
unidades arbitrarias.
Conexiones
• Resolución de situaciones problemáticas de la
matemática y de la vida cotidiana.
• Análisis de los contenidos del curso en que enseña.
• Diseño de actividades para sus estudiantes.
Apreciación de la
matemática
• Escucha y sigue orientaciones verbales del
profesor.
• Respeto de los turnos de compañeros y
compañeras
• Valoración de los aportes de la matemática a
nuestra vida cotidiana.
• Valoración y disfrute de relacionar lo que aprende
con su trabajo como docente.
Actitudinales
Diseño de actividades para sus estudiantes.
Construcción de modelos de desarrollo plano de prismas.
Construcción de un metro cúbico.
Construcción de modelos de cuerpos geométricos.
PRODUCTOSDEL MÓDULO
BIBLIOGRAFÍA BASICA
DIPOMADO EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico11
Centro de Estudios EducativoCEED
DURACION
24 horas
SEEC. (1995). Nivel Básico. Serie Innova 2000, 5.
Libros de texto de los grados en que enseñan los docentes.
Guías de los talleres.
Modelos de cuerpos geométricos.
Metro cúbico.
Cinta métrica.
ACTIVIDADES
Taller 1. Poliedros. Área lateral y total.
Taller 2.Conos, cilindros y esferas. Volumen.Unidades cúbicas.
Taller 3. Volumen de cuerpos geométricos.
Simbologías
Trabajo Individual
Trabajo en Pareja
Trabajo en Grupo
Puesta en Común
TALLER 1
Centro de Estudios EducativosCEED
Poliedros. Área lateral y total
ACTIVIDAD 1
Taller 1
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
15
Poliedros. Área lateral y total
Cuerpos geométricos
Observe a su alrededor, identifique objetos que tengan la forma de cuerpos geométricos.
Observe las fotografías siguientes, ¿qué cuerpo geométrico representa cada una?
ACTIVIDAD 2
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
16
De los cuerpos identificados en la actividad anterior, ¿cuáles tienen sus lados con forma de
polígonos?
¿Qué nombre reciben estos cuerpos?
Dibujen uno de ellos y escriban su nombre.
Los poliedros
Un poliedro es un cuerpo geométrico limitado por polígonos llamados caras.
Se llama arista a cada de los segmentos de recta que unen dos caras de un
poliedro.
Se denomina vértice a cada punto común a tres o más aristas de un poliedro.
Caralateral
Altura
Base
Base
Vétice
Arista
ACTIVIDAD 2
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
17
¿Cuál es el origen de la palabra poliedro?
Los poliedros toman su nombre de acuerdo a la cantidad de caras que tienen.
¿Cómo se denomina un poliedro de seis caras?
¿Qué es un pentaedro?
¿Qué es un dodecaedro?
¿Cuál es la menor cantidad de caras que puede tener un poliedro?
Poliedro regular
ACTIVIDAD 3
Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro
Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos congruentes entre sí.
Hay cinco poliedros regulares:
Identifica cuáles de estos poliedros se encuentran en la caja de cuerpos geométricos.
ACTIVIDAD 4
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
18
Prismas
Observe el cuadro siguiente,
¿Son poliedros? Justifique su respuesta.
¿Cuántas caras tiene cada uno?
¿Cuáles son prismas?
¿En qué se parecen los poliedros que son prismas de los que no son prismas?
¿En qué se diferencian?
Éstos tres sólidos SON Prisma
Éstos dos sólidos NO SON prismas
Tome la hoja de patrones dados, recorte el patrón dado y construya un prisma.
Imagínese que conversa por teléfono con un amigo, ¿cómo le describiría lo que es un prisma?
Escríbalo.
ACTIVIDAD 5
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
19
Nombre de los Prismas
Observen uno de los prismas de la caja de materiales.
Señalen sus bases.
¿Son los polígonos de ambas bases?
¿Cómo están dispuestas las bases?
Los prismas también se clasifican según el tipo de polígono que sea su base, según sea el
polígono de su base (regular o irregular) y según el tipo de paralelogramo que tengan en sus
caras laterales.
Nombre de los prismas
Prisma triangular
Según el polígono que forma cada una de sus bases. Completen la tabla:
ACTIVIDAD 5
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
20
Tipos de prismas
Prisma recto Prisma oblicuo
Un prisma es regular si sus bases son polígonos regulares.
Un prisma es irregular si sus bases son polígonos irregulares.
Un prisma es recto si sus caras laterales son rectángulos o cuadrados.
Un prisma es oblicuo de sus caras laterales son romboides o rombos.
Según el tipo de paralelogramo que forme sus caras laterales:
Según el polígono de su base son regular e irregular.
Tipos de prismas
Prisma regular Prisma irregular
ACTIVIDAD 6
21DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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Caras, vértices y aristas
Observen los prismas construidos, luego completen la tabla siguiente:
Tipo de prisma 1-Lados
polígono base
2-Número de vértices
3-Número de caras
4-Número de aristas
Triangular
Rectangular
Pentagonal
Hexagonal
…
Base de n lados
¿Observan algún patrón en estos números? Le ayudaremos a encontrarlo:
Observe el polígono de base de cada prisma y la columna de los vértices. El número de
vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?
Tipo de prisma 1-Lados
polígono base 2-Número de
vértices ¿Cómo se obtiene 2 a
partir de 1?
Triangular 3 6 2 x 3 = 6 vértices
Rectangular 4 2 x 4 = 8
Pentagonal
Hexagonal
…
Base de n lados
ACTIVIDAD 6
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
22
De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántos vértices tendrá el prisma?
¿Y si tiene 20?
¿Y si tiene n lados?
Escriban la regla que permite obtener el número de vértices de un prisma conociendo el tipo
de prisma.
Observe el polígono de base de cada prisma y la columna número de caras, el número de
vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?
Tipo de prisma 1-Lados
polígono base 3-Número de
caras ¿Cómo se obtiene
3 a partir de 1?
Triangular
Rectangular
Pentagonal
Hexagonal
…
Base de n lados
De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas caras tendrá el prisma?
¿Y si tiene 20?
¿Y si tiene n lados?
Escriban la regla que permite obtener el número de caras de un prisma conociendo el tipo de
prisma.
ACTIVIDAD 6
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
23
Observe el polígono de base de cada prisma y la columna del número de aristas, el número
de vértices, ¿qué es respecto de los lados del polígono de la base?.
Tipo de prisma
1-Lados polígono base
4-Número de aristas
¿Cómo se obtiene 4 a partir de 1?
Triangular 3 9
Rectangular 4 12
Pentagonal 5 15
Hexagonal 6 18
…
Base de lado n n 3n
De lo anterior, si el polígono de la base tiene 12 lados, ¿cuántas aristas tendrá el prisma?
¿Y si tiene 20?
¿Y si tiene n lados?
Escriban la regla que permite obtener el número de aristas de un prisma conociendo el tipo
de prisma.
Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene
un prisma según el número de lados que tenga la base.
ACTIVIDAD 7
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
24
Suponga que construye un prisma que tenga una base como ésta:
Sin construir el prisma, ¿cómo puede averiguar saber cuántas caras, vértices y aristas tiene?
Julia ha hecho un prisma que tiene 24 aristas. Descríbalo.
Responda cada pregunta. Justifique sus respuestas.
Un prisma:
¿Puede un prisma tener cuatro caras?
¿Puede un prisma tener cinco caras?
¿Puede un prisma tener seis caras?
¿Puede un prisma tener siete caras?
¿Puede un prisma tener ocho caras?
¿Cuál es el menor número de caras que puede tener un prisma?
Aplicación
ACTIVIDAD 8
Área lateral y área total
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativoCEED
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Resuelvan la situación siguiente:
Se desea empacar regalos para obsequiar a las madres de los estudiantes del 7º
de la escuela Enriquillo. Para el empaque se necesitan cajas como la siguiente,
¿Qué cantidad de cartón se necesita para construir una caja igual que esta?.
3 cm
7 cm
5 cm
En una caja de este tamaño, ¿qué tipo de regalo se podrá empacar?
¿Qué pueden hacer para averiguarlo?
¿Cómo resulta más sencillo averiguarlo?
ACTIVIDAD 9
Una de las formas que puede resolverse el problema anterior es como sigue: se puede calcular el
área de cada cara de la caja o prisma. Así, para calcular la cantidad de cartón necesario para
construir la caja se puede seguir el procedimiento siguiente:
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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26
3 cm 7 cm
5 cm
Puede obtenerse calculando el área de cada cara que lo forma. Cada una de las seis caras que lo
forman es un rectángulo. Por tanto,
3 cm 7 cm
5 cm
7 cm
3 cm
5 cm
Área = 5 cm x 7 cm= 35
cm2
5 cm
7 cm
3 cm
7 cm
Área = 3 cm x 7 cm = 21
Área = 3 cm x 5 cm = 15
cm2
7 cm
3 cm
5 cm
Área de la superficie del prisma
Calculamos el área de cada cara por separado:
ACTIVIDAD 9
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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27
Recuerden que son seis caras y que las caras opuestas tienen igual superficie. Por tanto, el área
total será:
2 2 2 2 2 2 2Área Total: 35 cm + 35cm + 21cm + 21 cm + 15 cm + 15cm = 142 cm
O lo que es lo mismo:
2 2 2 2 Área Total: 2x35 cm + 2x 21cm + 2x15 cm = 142 cm
2De este resultado se desprende que el área total es 142 cm y la misma incluye las áreas de
las caras laterales más las dos caras de las bases.
Otra forma de averígualo es como sigue:
¿Qué polígono forman las caras laterales de un prisma cuando éste se desarrolla?
El área lateral es el área del rectángulo de la derecha. La base es este rectángulo es el perímetro
de la base del prisma, ¿por qué?
La altura del rectángulo que forman las caras laterales es la altura del prisma.
Por lo tanto el área lateral es:
A Lateral = Pb× h, entonces,
P = 3 cm + 3cm + 5 cm + 5 cm
P= 16 cm
A Lateral
= 16 cm×7 cm
A Lateral= 112 cm2
3 cm
7 cm
5 cm
7cm
5cm
3cm
3 5 3 5
ACTIVIDAD 9
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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28
El área total se obtiene sumando al área lateral el área de las dos bases del prisma. Como el
prisma es cuadrangular se tiene:
Como son dos polígonos iguales entonces el área total es:
3 cm × 5 cm = 15 cm2,
ÁreaTotal= A Lateral
+ 2(3 cm × 5 cm)
ÁreaTotal = 112 cm2 + 30 cm2
ÁreaTotal = 142 cm2
área lateral de un prisma es el perímetro de la base por la altura del prisma:
El área total de un prisma esel área lateral más dos veces el área de la base:
A Lateral = PBase× altura
ATotal = A Lateral + 2 ABase
ACTIVIDAD 10
Aplicación
Calculen el área total del prisma siguiente si la arista AB mide 8
pulgadas, la arista BB´ mide 15 pulgadas y la arista BC mide 3 pulgadas.
A’
A
D’ C’
B’
C
B
ACTIVIDAD 10
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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29
Calculen el área lateral y el área total de los prismas siguientes:
4 cm 14 cm
6 cm
a-
24 cm
6 cm
4 .13 cm
b- 5 cm
10 cm
6 cm
c-
ACTIVIDAD 11
Pirámides
Observe los objetos y monumentos de las fotografías siguientes,
¿qué forma tienen?:
ACTIVIDAD 11
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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30
¿Qué es la base de una pirámide?
¿Qué forma tienen las caras laterales?
Los elementos notables de las pirámides son:
apotema
vértice
arista lateral
cara lateral
arista básica
base
altu
ra
Qué clase de triángulos son las caras laterales de una pirámide regular?, ¿por qué?
Observen una de las pirámides de la caja de materiales. Tiene ____ vértices, esto es, hay ____
puntos donde se juntan las caras.
¿Cuántas aristas tiene? Tiene _____ aristas, esto es, hay ____ bordes. En cada borde o arista se
juntan dos caras.
La pirámide observada se llama _________ porque tiene un _________________ en su base,
tiene _____ triángulos como caras laterales.
ACTIVIDAD 11
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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31
¿Podría construir un sólido que sea a la vez una pirámide y un prisma? ¿Por qué si o por qué no?
Compare las pirámides con los prismas. ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian?
Vértices, caras y aristas
ACTIVIDAD 12
Observen las pirámides de la caja de materiales, luego completen la tabla siguiente mostrando la
relación entre el número de lados de la base, los vértices, las caras y las aristas de la pirámide:
Tipo de pirámide
Lados polígono base
Número de vértices
Número de caras
Número de aristas
Triangular
Rectangular
Pentagonal
Hexagonal
…
Base de n lados
ACTIVIDAD 12
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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32
Observen el patrón que se genera y respondan:
De lo anterior, si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántos vértices tendrá la pirámide?
¿Y si tiene 17?
¿Y si tiene n lados?
Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas caras tendrá la pirámide?
¿Y si tiene 17?
¿Y si tiene n lados?
Si el polígono de la base tiene 10 lados, ¿cuántas aristas tendrá la pirámide?
¿Y si tiene 17?
¿Y si tiene n lados?
Escriba la regla general que establece el número de vértices, caras y aristas que tiene una
pirámide según el número de lados que tenga su base.
José dice que ha hecho una pirámide con 13 aristas, pero que se le ha olvidado en su casa. ¿Le
crees? ¿Por qué si o por qué no?
La figura anterior muestra una pirámide regular y su desarrollo. Como puede observar, todas las
caras laterales son triángulos isósceles iguales.
¿Cuáles son las áreas que debemos calcular?
Si b es la base de cada cara lateral y a su apotema (altura de cada triángulo), entonces el área de
cada cara es , que es el área del triángulo.
¿Cómo puede calcular el área de los 5 triángulos que forman la superficie lateral de la pirámide?
Puede observar que el área de los 5 triángulos que conforman la superficie lateral de la
pirámide. Observe que 5b es el perímetro de la base de la pirámide. Por tanto, el área de la
superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema:
ACTIVIDAD 13
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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33
Área total de una pirámide
Observen las ilustraciones siguientes, ¿qué representan?.
A=2abx
2
5 ab x
2
ap
ACTIVIDAD 13
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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34
El área lateral de la pirámide es: A Lateral =2apx
B = área de la base
El área total de la pirámide es: ATotal = Bap+
x
2
Aplicación
ACTIVIDAD 14
Halle el área lateral y el área total de una pirámide cuya base es un cuadrado de 3 pies de lado si
su apotema mide 8 pies.
Halla el área lateral y el área total de las pirámides siguientes:
12 cm
7 cm
15 cm
7 cm
7 cm
18 cm
7 cm
La base de una pirámide regular es un pentágono de 14cm de lado. Si la apotema del polígono
base es 9.6cm y la altura de la pirámide 32cm, ¿cuál es su área total? El área total de una 2 2pirámide hexagonal es 520cm . Si la base tiene un área de 81cm , ¿cuál es su área lateral?.
ACTIVIDAD 15
Tarea
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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35
1.Traer el metro cuadrado que construyeron en el módulo 3. Lo necesitarán para una actividad del Taller 2
2. Construir un cubo de 1 dm de lado y un cubo de 1 cm de lado.
3. Clasifique los siguientes prismas de acuerdo a sus bases:
3. Busquen en el libro de texto del grado cómo trabaja los temas anteriores. Analicen:
Cuáles de estos temas se trabajan.
Cuáles actividades proponen.
Después de trabajado este taller, ¿cuáles actividades agregarían?
Realice todos los ejercicios planteados. ¿Pudo resolverlos?
¿Qué estrategia puede utilizar para resolverlos?
Una de las estrategias que puede utilizar es ingresando al foro propuesto en el blog del
diplomado. Puede ingresar y realizar sus consultas en:
Blog del Diplomado: http://www.matematicaparadocentes.blogspot.com/
Correo electrónico del módulo: [email protected]
Todos los que ingresen y consulten al foro recibirán 10 puntos
extras en la evaluación del módulo
A N E X O
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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36
Las gráficas siguientes muestran el desarrollo de varios prismas. Haz estos dibujos en una cartulina,
recórtalos y construye los prismas. Las líneas de trazos indican las pestañas para pegar.
A N E X O
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
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A N E X O
DIPLOMADO EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
Segundo Ciclo del Nivel Básico
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Segundo Ciclo del Nivel Básico
Centro de Estudios EducativosCEED
Impreso en Santo Domingo, Reública Dominicana
Por Printcorp Servicios Gráficos Corporativos, S.R.L.
825 Ejemplares