Momento de lectura · Teoría de exponentes Recuerda lo aprendido 1. Simplifica la siguiente expresión: N = ; xy x 2 4 y 2 3 y 3 3 x 3 4 · · ≠ 0 aUtiliza el esquema con las propiedades

Momento de lectura

8

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

1 ¿Cómo crees que surgió la Matemática? Comenta.

Antes de la lectura

Lee el siguiente texto e identifica la idea princi-pal.

Durante la lectura

Adaptado de http://ares.cnice.mec.es/matematicasep/colegio/historia.html

Ahmes es el papiro más antiguo que conservamos en el museo. Lo cuidamos

responsablemente porque es parte de nuestra historia.

Tenían 12 meses de 30 días y 5 días adicionales más para completar un

año.

Contiene 87 problemas aritméticos resueltos, un método para calcular el área de un triángulo...

Los babilonios usaban un sistema de numeración sexagesimal. De ellos conservamos nuestro sistema para medir las horas, minutos, segundos y también

los ángulos.

Dedujeron que el mes lunar tenía 29,5302 días, el valor que aceptamos como exacto hoy en día

es de 29,5305. ¡Este patrimonio cultural debemos conocer y

cuidar!

35 000 - 20 000 a.C.

3 500 a.C.

1 850 a.C.

1 000 a.C.

Los primeros indicios matemáticos se encontraron

en África y datan de hace 37 000 años.

Se trata de huesos de animales que servían para hacer recuentos y predecir

los ciclos lunares.

Los mayas y los incas eran grandes astrónomos. Midieron el tiempo e hicieron calendarios.

Los babilonios

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

9

Después de la lectura

1. ¿De qué trata el texto? Explica.

4. ¿Por qué crees que es importante actuar de manera responsable con el legado cultural que dejaron nuestros antepasados? Justifica tu respuesta.

2. Relaciona cada lugar con el año y su respectivo descubrimiento realizado.

Egipto

África

México y Perú

Mesopotamia

1 000 a. C.

3 500 a. C.

1 850 a. C.

35 000 - 20 000 a. C.

Midieron el tiempo e hicieron calendarios.

Predecían los ciclos lunares con huesos de animales.

Usaban un sistema de numeración sexagesimal.

Descubrieron un método para calcular el área de un triángulo.

3. Completa los espacios en blanco con tres matemáticos que conozcas y su descubrimiento que conside-res más importante.

Matemático Descubrimiento

Reflexiona sobre tu proceso de comprensión.

• ¿Tuve dificultades para comprender el texto? • ¿Qué estrategias utilicé para solucionarlas?

Metacomprensión

Responsabilidad

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Autonomía

10

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Lógica proposicional

1. Analiza la situación.

Comunica su comprensión sobre situaciones.

2. Traduce situaciones.

Tres jóvenes harán una pancarta sobre la importancia del respeto a los derechos humanos. Ellos se tratan con mucha consideración y proponen varias frases. Uno de ellos dice lo siguiente: “Si el derecho es para todos, entonces el derecho es universal y si el derecho no es universal, luego, el derecho no es para todos”. Sus demás compañeros quieren saber si lo que Mario dijo es una tautología, contingencia o contra-dicción.

a. ¿De qué trata la situación planteada?

b. Reconoce en el discurso de Mario algunas frases simples.

a. ¿Cómo representarías simbólicamente las frases encontradas en el discurso de Mario?

b. Representa de forma simbólica lo que manisfestó Mario.

Promueve el aprendizaje en equipo.

Los derechos que no se defienden,

se pierden.

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Pide a un compañero(a) que te evalúe.

• ¿Participé activamente y regulé mis acciones en el desarrollo del laboratorio?

• ¿Colaboré con mis compañero(as) y los ayudé a aprender?

Coevaluación

Slideshare: http//es.slideshare.net/DGS998/ejercicios-resueltos-8746541e n t o r n o VIRTUAL

Las páginas web propuestas han sido verificadas. Es importante recordar que muchas de ellas tienen período determinado de vigencia.

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

11

4. Usa estrategias y procedimientos.

5. Argumenta afirmaciones.

¿Qué estrategia utilizarías para saber si lo que dice Mario es una tautología, contingencia o una contradicción?

a. En el problema planteado, ¿se pudo utilizar otro método para saber si era tautología? Justifica tu respuesta.

b. ¿Cuál es la diferencia entre una contingencia y una contradicción? Argumenta.

c. ¿De qué manera se pueden reconocer los conectivos lógicos en una proposición com-puesta?

d. ¿Qué se debe cumplir para que dos proposiciones lógicas sean equivalentes?

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Aplica tus aprendizajes

Lógica proposicional

Recuerda lo aprendido

1. Si: p: Kevin postula a la UNI. q: Ashley postula a la UNMSM. Simboliza el siguiente enunciado: “Kevin postu-

la a la UNI, pero Ashley no postula a la UNMSM. Luego, si Kevin no postula a la UNI, Ashley no postula a la UNMSM.”.

3. Simboliza y responde cuál o cuáles de las si-guientes proposiciones es equivalente a: “A Jorge le gusta y practica bastante Matemática, dado que resuelve los problemas con éxito”:

• Jorge no resuelve los problemas con éxito o le gusta bastante Matemática, y practica bastante Matemática.

• A Jorge le gusta bastante Matemática o practica bastante Matemática, y no resuelve problemas con éxito.

2. Analiza cuántos de los siguientes enunciados son proposiciones.

• ¡Vaya…se salvó!

• La energía no se crea ni se destruye, solo se transforma.

• Salta solo si puedes.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Tablas de verdad Leyes de la lógica proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL

p q p ∧ q p ∨ q p ∆ q p → q p ↔ qV V V V F V V

V F F V V F F

F V F V V V F

F F F F F V V

Ley de idempotencia p ∧ p ≡ p; p ∨ p ≡ p

Ley distributiva p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Ley de identidad p ∨ V ≡ V; p ∨ F ≡ p; p ∧ V ≡ p; p ∧ F ≡ F

Ley del complemento p ∨ ~p ≡ V; p ∧ ~p ≡ F

Ley de la condicional p → q ≡ ~p ∨ q

Ley de absorción p ∨ (p ∧ q) ≡ p; p ∧ (p ∨ q) ≡ p

• Siempre que me equivoco me molesto.

• La mandarina tiene vitamina C, ya que es un cítrico.

L. Área. Pág. 10

Scribd: https://es.scribd.com/document/173171444/Logica-proposicionale n t o r n o VIRTUAL

Recuerda la estrategia de aprendizaje (tabla de doble entrada) y aplícala en algunos ejercicios.

12

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Resuelve problemas de cantidad - Aritmética

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Resolución:

Rpta.:

4. Si “p” es una proposición falsa, ¿cuál es el valor de verdad de la siguiente proposición? s ↔ [ ~ (q ∨ r) ∧ p] ∨ (p → r) → (m ∧ p ∧ q ∧ r).

Resolución:

Rpta.:

5. Determina la cantidad de valores verdaderos que hay en la matriz principal en la siguiente proposición compuesta:

[(p ∧ q) → (p ↔ q)] ∧ [p → (p ∨ q)].

Utiliza la tabla de doble entrada con las opera-ciones lógicas.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

6. Reduce la siguiente expresión:

~(q ∧ ~p) ∧ (~(~p) ∨ ~q).

Expresa la respuesta como una condicional.

Resolución:

Rpta.:

7. Simboliza: “Juan sabe dividir, en consecuencia sabe sumar, ya que, si sabe dividir, multiplica; in-cluso sabe sumar dado que multiplica”. Determi-na, además si la proposición es una tautología o no. Explica tu procedimiento.

8. Si la proposición compuesta:

(q → p) ∨ [~ t → (p ∧ r)] es falsa, indica el valor de verdad de:

~ (q ∨ r) ∨ [~ t ∧ (p ∨ q)].

• A Jorge le gusta y practica bastante Matemá-tica, o no resuelve los problemas con éxito.

13

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IVResolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

9. Simplifica la proposición [(p * q) ∨ q] * p, si se conoce la siguiente tabla de verdad:

Resolución:

Rpta.:

p q p * qV V F

V F V

F V V

F F V

10. Para una proposición cualquiera “p” se define lo si-guiente:

ψ(p) = 1; si p es verdadero.0; si p es falso.

Si se tiene que:

ψ(x) = 1; x: (p ∧ ~r) ↔ (s → w)

ψ(y) = 0; y: w ∨ ~s

Determina los valores de ψ(s ↔ ~w) y ψ(~p ∨ r).

Resolución:

Rpta.:

11. Si la proposición compuesta (~p ∧ r) → (r ∧ ~q) es falsa, determina el valor de verdad de las proposiciones r, p y q, respectivamente.

14

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV Busca soluciones

Nivel 1 Nivel 2

1. Indica la proposición equivalente a:

(q → p) ∧ (q → ~ p).

a. ~ q

b. ~ p

c. p ∧ q

d. p

e. q

2. Analiza el valor de verdad de las siguientes pro-posiciones:

I. ~ (s → ~ q) → ~ p

II. (s → r) ↔ (~ p → ~ q)

III. [q → ~ (~s ∨ r)] → ~p

si se sabe que se cumple la veracidad de la si-guiente proposición:

~ [(p ∧ q) → (~ r → ~ s)].

a. F F V

b. F F F

c. F V F

d. V F F

e. F V V

3. Indica el valor de:

[~q → ~(~p @ q)] Ω (~ p → q),

si se sabe que:

p @ q ≡ ~ [(p → q) → ~p],

p Ω q ≡ [~p → ~ (~p → ~q)].

a. V

b. q → p

c. ~ (p ∧ q)

d. p ↔ q

e. F

1. Analiza los siguientes enunciados:

• El universo no lo puedo medir, pero existe.

• Las piedras no son vegetales, tampoco el barro.

• Resuelve el problema de una vez.

• Existen 10 unidades de medida del volu-men en el mundo.

• La Filosofía surgió en Grecia.

• No es posible que el mar sea azul.

Luego, indica cuántas no son proposiciones simples.

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

2. Analiza la siguiente proposición:

“Si corro entonces me canso, y de todo esto con-cluyo que me canso”. Luego, marca lo correcto.

a. No me canso ni corro.

b. Corro pero no me canso.

c. Me canso o no corro.

d. Me canso y corro.

e. No me canso pero corro.

4. Simplifica la proposición compuesta:

[~(q → p) ∧ (~p ∧ q)] → (q → p).

a. p

b. q

c. ~q ∨ p

d. p ∧ q

e. ~p

3. Indica el valor de verdad de la siguiente propo-sición:

(–3 50 > 3 –8) ∧ 5 3 > 2 ↔ (4 2 > 1 → –2–5 –5–2).

a. Verdadero

b. Falso

c. Contingencia

d. Contradicción

e. No se puede determinar.

Asume el retoExcelencia

UNI 2018 - I

» Sea f(p ; q) = ~ p ∧ ~ (p ∧ ~ q).

Si las proposiciones:

po: 2 + 1 = 6; q0: 1 + 3 = 4,

determina la proposición equivalente a f(p0 ; q0).

a. ~ q0

b. q0 → p0

c. p0

d. q0 ∧ p0

e. q0

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.

Resuelve los siguientes ejercicios de forma individual: Resuelve los siguientes ejercicios de forma grupal:

Reflexiona sobre tu proceso de aprendizaje.

• ¿Qué aprendí? • ¿Cómo lo hice? • ¿Qué dificultades tuve? • ¿Cómo las superé?

Metacognición

15

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Teoría de exponentes


1. Simplifica la siguiente expresión:

N =

x2

4

y2

3

y3

3

x3

4

·

·

; xy ≠ 0

Utiliza el esquema con las propiedades de po-tenciación.

2. Dada la expresión:

a1 = x ; a2 = 3 x x;

a3 = 3 x 3 x x

Determina a1

a2 + a3, si x = 64.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

LEYES DE EXPONENTES

Potenciación

Definición:bn = b · b · b · … · b "n" vecesn , n 2b0 = 1(b ≠ 0)b1 = bLeyes de signos:(+)par = + (+)impar = +(–)par = +(–)impar = –

Propiedades:xm · xn = xm+n

(xm)n = xmn

(xy)n = xn · yn

xy

n = x

n

yn , y ≠ 0

xm

xn = xm–n, x ≠ 0

xy

–n = y

x

n =

yn

xn ; x ≠ 0

y ≠ 0

Radicación

Definición:

bn = r ↔ rn = b

Leyes de signos:

+aimpar = + r

–aimpar = – r

+apar = + r

–apar

Propiedades:Sea a, b ∈ – 0 ∧ m, n ∈ +– 1m n b = mn b

an bn = abn

abn =

an

bn

Si a > 0, se cumple:

a …aa = a

a(a + 1) + a(a + 1) + … = a + 1

L. Área. Pág. 16

Scribd: https://es.scribd.com/document/77237635/TEORIA-DE-EXPONENTES-001e n t o r n o VIRTUAL

Recuerda la estrategia de aprendizaje (esquema vertical) y aplícala en algunos ejercicios.

16

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

foto

copi

ar. D

.L. 8

22

Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio - Álgebra

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV 3. Si 2x = 36, simplifica la siguiente expresión:

M = 2x – 1 + 21 – x

4 · 2–x + 2x .

6. Se sabe que:

xy = 13

; yx = 3.

Determina el valor de:

E = xyx + 1 + 1


4. Determina el valor natural de “x” en la siguiente igualdad:

x x = 4 2

5. Si se cumple que

34x + 2 = 81

8x,

calcula el valor de “x”.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

6 + 6 + 6 + … + 5 × 5 × 5 …

3 22 ×

3 22

3 2–1 × 3 22

17

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Busca soluciones

a. b. c. d. 4 e. –4

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

a. 1 b. –1 c. 2 d. –2 e. 3

a. 2 b. 3 c. 5 d. 6 e. 8

1. Calcula el valor reducido de E.

2. Si se cumple que:xx – 4 = 5; yy2 = 16;


4. Se sabe que xy = 9, determina el valor de:

5. Determina el resultado de operar:

649–2–1 + 814–2–1

PUCP 2018 - I

» Resuelve:

(9)x(x + 1) + 1/2 = 4 3

Luego, indica la suma de soluciones:

a. –1

b.

c. –

d. 1

e. 0

E = 2 × 2 × 2 ... 2 × 147

(74)2 × 215

10 veces

14

74

47

determina el valor de x + y2 .

(–2)3 + 32 + 520514

(–3)2 – 23 + 230546

3 x y · 3 y x

a. 3 b. 3 3 c. d. 1 e. 313

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

6. Si:

4 125 × 4 125 × 4 125 …M – 1 =

calcula N = M + M + M + …

1. Se tiene que:

xx2 = 2, y = 7 1

yy7 .

Determina el valor de x2 + y7.

a. 2 b. c. d. 3 e. 12

13

14

12

12





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

.

2. Si m, n ∈ +, determina el valor de:

a. m b. c. n d. e. mnmn

nm

mm+n · nn + nm+n · mm

m2n · nm + n2m · mn

n – m

A =

3. Si x = 3 2 · 3 2 · 3 2 …, calcula el valor aproxi-

mado de x 18

.

a. 0,2

b. 0,3

c. 0,4

d. 0,5

e. 0,6

18

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

foto

copi

ar. D

.L. 8

22


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Triángulos


TRIÁNGULO

CLASIFICACIÓN

1. En el gráfico, AB = AC = AD, calcula “x”.

2. En un triángulo de lados 3 cm y 4 cm, calcula el máximo valor entero de la longitud del tercer lado.

3. De la escalera apoyada en la pared, calcula “x2”.

L. Área. Pág. 21

y

x

B

C

zA

b

a q

a + b + q = 180°

x + y + z = 360°

z = a + b

Propiedades adicionales

q

a

x

y

a + q = x + y

xy

m n

m + n = x + y

x a

b

q

x = a + b + q m + n = x + y

x

m

n

y

T. acutángulo T. rectángulo T. obtusángulo

Se cumple:

T. escaleno T. isósceles T. equilátero

Lados diferentesa ≠ b ≠ c

a = c → a = qa < 90° b < 90° q < 90°

B

CAa

b

q

C

A B

b

a

a < 90°

b < 90°

a > 90° b < 90° q < 90°

a = b = c

a = b = q = 60°

CA

B

aq

b c a

bCA

B

ca

CA

B

a q qa

bc a

b

B

CA

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

A

D

CB

x

2q

3 m2,8 m

x

Scribd: https://es.scribd.com/document/63405880/libro-triangulose n t o r n o VIRTUAL

Recuerda la estrategia de aprendizaje (organizador gráfico) y aplícala en algunos ejercicios.

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Geometría

19

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

D

EC

90°FJ x

G

H

4. Se tiene un alambre de 10 metros y se quiere construir un triángulo. Calcula el mayor valor en-tero que puede tomar uno de sus lados.

7. En un triángulo PBR (PB = BR) se prolonga BP y PR hasta los puntos A y C, respectivamente, tal que AB = BC. Calcula m PCA, si m RBC = 30°.

8. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) se to-man los puntos E y F sobre AB y BC, respecti-vamente, tal que el triángulo CEF es equilátero. Calcula m FEB, si m ACE = q.

5. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x”. Si CJ y GJ son bisectrices.

6. Del gráfico mostrado, calcula el valor de “x”.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Resolución:

Rpta.:

Rpta.:

2q

2ω

q x

ω

DA

B C

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


20

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Busca soluciones

1. Según el gráfico, calcula "a + b + c + d + e".

2. En el gráfico, ACB es un triángulo equilátero. Si EC = CD, calcula el valor de q

ω .

3. En la figura mostrada, CD = CE, calcula “x”.

a. 245°

b. 265°

c. 270°

d. 295°

e. 280°

1. Del gráfico, la señal de tránsito tiene forma de triángulo equilátero. Determina el valor de “x”.

2. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x”.

3. Se desea construir un columpio utilizando trián-gulos isósceles en los extremos. Si el ángulo dife-rente mide 80°, ¿cuánto miden los otros ángulos?

4. Del gráfico que se muestra, calcula “x”, si ab

= 0,250,5

y AB = BC.

a. 50°

b. 25°

c. 30°

d. 21°

e. 29°

a. 15°

b. 25°

c. 30°

d. 80°

e. 50°

a. 1

b. 0,5

c. 1,5

d. 2

e. 3

a. 30°

b. 70°

c. 60°

d. 25°

e. 40°

a. 24°

b. 28°

c. 32°

d. 50°

e. 38°

a. 30°

b. 45°

c. 60°

d. 75°

e. 53°

UNMSM 2015 - II » En la figura, AB = BC y a – b = 60°. Calcula el

valor de “x”.

a. 30°

b. 20°

c. 60°

d. 45°

e. 50°

C

F

H

20°

x

DE

G

x

m

m

120°

3a2b2a

3b

B

x

bCA

B

xCA

P

130°P Q

R

a

30°

c

de

115°b

C

q

ω BA

E

D

C

x

D

F

40°

E





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

a

ba

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


21

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Líneas notables asociadas al triángulo


1. En un triángulo ABC se traza la altura AQ y la altura BH. Si la medida del ángulo QAC es 30°, calcula la medida del ángulo HBC.

3. En el gráfico, BC es bisectriz del ángulo ABD. Calcula el valor de “x”.

2. En el gráfico, se muestra un portaservilletas. Calcula el valor de “x”.

L. Área. Pág. 25

LÍNEAS NOTABLES

Mediana Bisectriz interior Bisectriz exterior Altura Mediatriz

B

a

Q

a

bb

P

c

cG

A CM

B

m

xI

CA

aa

bb

n

B

E

CA

a

q q

aB

PQ

M C

H

A

B

a

a

b C

O

A b

c

c

L2

L3

L1

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

15 cm

B

a

DC

17 cmx a

A E

100°B

A Cxa

a qq

Scribd: https://es.scribd.com/doc/68379075/LINEAS-NOTABLES-ASOCIADAS-AL-TRIANGULOe n t o r n o VIRTUAL

G: baricentroBG = 2(GM)AG = 2(GQ)CG = 2(GP)

x = 90° + m2

I: incentro

x = 90° – n2

E: Excentro H: Ortocentro

O: Circuncentro

x

Recuerda la estrategia de aprendizaje (diagrama vertical) y aplícala en algunos ejercicios.

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


22

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV 4. En el gráfico mostrado, calcula el valor de “x”. 6. Del gráfico, calcula BC, si AB = 3 cm y AD = 2 cm.


5. Del gráfico, EF y CD son bisectrices interiores. Calcula el valor de “x”.

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

2x 2x

2xE

D

B

A C

q

q

ωω

G

D

E C J

F110°

I

x

q

q

B

Da

A C2a

q q

B

A C80°

xqq

a a

γγ

bb

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


23

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Busca soluciones


2. Del gráfico, m + n = 220°. Calcula “x”.

3. En el gráfico mostrado, calcula “x + y”.

1. Si el mercado y la librería se encuentran en los puntos medios de los lados del triángulo y las distancias recorridas por Pepe y Coki a la libre-ría y al mercado son 300 m y 270 m respectiva-mente, calcula el recorrido total de Pepe y Coki hasta encontrarse en el punto P.

2. En el dibujo se muestra una repisa, calcula la medida del ángulo agudo que determinan las bisectrices de los ángulos DEC y DCE.

3. De la siguiente escuadra, G es excentro del triángulo EDC. Determina el valor de “x”.

a. 380 m

b. 290 m

c. 340 m

d. 400 m

e. 350 m

UNMSM 2019 - II

» Carla debe colocar clavos sobre los puntos A, B, C y D, sobre una mesa, y tender una cuer-da que una estos puntos de forma tal que ABC sea un triángulo y se cumpla la relación de los ángulos, como se muestra en la figura. Si la longitud de AB es 8 cm, ¿cuál es la longitud mínima entera de DB?

a. 42°

b. 38°

c. 48°

d. 56°

e. 45°

a. 50°

b. 55°

c. 45°

d. 65°

e. 70°

a. 60°

b. 80°

c. 90°

d. 100°

e. 110°

a. 6 cm

b. 7 cm

c. 4 cm

d. 8 cm

e. 5 cm

a. 30°

b. 35°

c. 40°

d. 45°

e. 36°

a. 6°

b. 7°

c. 8°

d. 9°

e. 15°

Casa de AntonioCasa de

Pepe

Casa de Coki

Librería

Mercado

D

C

E

G

C

D E

x

80°

x

ϕ ϕ

70°

q q

m

x

n

qaa

b bϕϕ

q

q

aax

y

bb

ϕq + ϕ

A2a

3a

aCD

B





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

P

30°

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


24

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Razones trigonométricas de ángulos agudosRecuerda lo aprendido

1. Una pequeña granja tiene la forma de un trián-

gulo rectángulo ABC (m B = 90°). Se sabe que

sen A = 45

y la longitud del lado mayor del

contorno de la granja es 100 m. Calcula su pe-

rímetro.

2. A Enrique le heredan un terreno de forma trian-gular con un ángulo de 90°. Él sabe que dos de los lados miden 21 y 35 metros, siendo este últi-mo el mayor lado. Determina el valor de la ex-presión:

E = 2(tg C + csc B) .

3. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, se

cumple que sec A = tg B2

. Calcula:

L. Área. Pág. 28

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS AGUDOS

Triángulo rectángulo

catetos: a y bhipotenusa: cángulos: q y a

Teorema de Pitágoras

c2 = a2 + b2

ca

bq

aB

CA

sen q = ctg q =

cos q = sec q =

tg q = csc q =

ac

ba

bc

cb

ab

ca

R.T. recíprocas

sen q · csc q = 1cos q · sec q = 1 tg q · ctg q = 1

R.T. de ángulos complementarios

Si a + q = 90°, entonces: sen a = cos q tg a = ctg q sec a = csc q

cuyas propiedades son:

N =csc2 A – 2sec B + 1

2 – tg A · sen B · sec B

Scribd: https://es.scribd.com/doc/97858452/RAZONES-TRIGONOMETRICAS-DE-ANGULOS-AGUDOSe n t o r n o VIRTUAL

Recuerda la estrategia de aprendizaje (acróstico) y aplícala en algunos ejercicios.

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Resuelve problemas de forma, movimiento y localización - Trigonometría

25

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

6. Si sen (x + 10°) = cos (x + 40°), calcula el valor de "4x + 10°".

8. En la figura mostrada, se cumple que: AB4

= BC3

.

Calcula el valor de "ctg q – csc f".

7. Si a + b + q = 90°, calcula el valor de:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

4. En un triángulo rectángulo, a es un ángulo agu-

do y se cumple que sen a = 513

. Determina el valor de la siguiente expresión:

H = 24 tg a + 3.

Resolución:

Rpta.:

5. En un triángulo rectángulo ABC (A = 90°), se cumple que ctg C + ctg B = 4.

Calcula M = 16sen B · sen C · cos B · cos C.13

A

B

CD 12

fq

Resolución:

Rpta.:

M = + + 8tg (q + a) · tg b .sen (q + a)cos b

tg a ctg (q + b)

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


26

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV


Busca soluciones

1. Si a y b son ángulos complementarios, deter-mina el valor de la siguiente expresión:

2. En un triángulo rectángulo ABC, m C = 90°. De-termina la altura relativa a la hipotenusa (en cm), si AB = 24 cm y se cumple que:

3. En un triángulo rectángulo, el perímetro es 120 cm y la secante de uno de sus ángulos agudos es 2,6. Calcula la longitud de su mediana relativa a la hipotenusa.

a. a b. 2a c. b d. 2b e. 4a

a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6

a. 24 cm

b. 26 cm

c. 30 cm

d. 32 cm

e. 36 cm

1. Ernesto ha comprado un terreno de forma triangular con un ángulo recto. Si sabe que los lados adyacentes a dicho ángulo están en rela-ción de 1 a 2 y la hipotenusa mide 30 m, de-termina cuántos metros mide el menor de los lados de dicho terreno.

2. En un triángulo ABC recto en C, se cumple que tg B = 0,75 y c – a = 3 cm. Calcula su perí-metro (en cm).

3. Si sen a = 23

, donde a es un ángulo agudo,

calcula el valor de:A = 5 tg a – (sec a)2.

4. En el gráfico mostrado, calcula sen b.

5. En una tienda de cómics, el dueño dará un vale por “x” soles a quien diga cuál es el valor “x” en la siguiente ecuación:

tg (x – 30)° · ctg (70 – x)° = 1. Si un joven logra resolver la ecuación y quiere com-

prar un cómic cuyo precio es de 100 soles, ¿cuán-tos soles debe agregar para poder comprarlo?

UNAC 2018 - I

» Con los datos de la figura mostrada, calcula el valor de 1 – cos 2q

1 + cos 2q.

a.

b.

c.

d.

e.

a. 2 6 b. c. d. 6 5 e. 2 63

52

52

a. b. c. d. e. 52

a. 30 b. 36 c. 48 d. 27 e. 40

a. 20 b. 30 c. 50 d. 60 e. 70

12

15

14

13

a.

b.

c.

d.

e.

18

15

25

1213

513

M = + .a2sen a – b2cos basen a + bcos b

asec a + bcsc b csc (90° – a)

sen A · sen B = 16

1 – x2

1 + x2

x2 – 1x2 + 11 + x2

1 – x2

x2

1 + x2

x2

1 – x2

3x + 1

b

x + 1

3x

qq

1

x





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


27

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Número de veces que aparece el valor

de xi

Fi = f1 + f2 + ... + fi

hi % = hi × 100 %hi = fin

Σ fi = nk

i = 1

Σ hi = 1k

i = 1


Introducción a la EstadísticaRecuerda lo aprendido

1. En la facultad de Ingeniería Ambiental de la UNI, que cuenta con 800 estudiantes, se hizo una encuesta a 100 de ellos sobre sus colores favoritos y algunas respuestas fueron: verde, azul, negro y gris. De acuerdo al enunciado, indica la población, la muestra, la variable y el tipo de variable.

2. Identifica el tipo de variable estadística en el grupo mostrado. Luego, ordénalo en la tabla según corresponda. 3. En el curso de Estadística los resultados de un

examen fueron los siguientes:

L. Área. Pág. 33

Resolución:

TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

Frecuencia absoluta (fi)

Frecuencia absoluta acumulada (Fi)

Frecuencia relativa (hi)

Frecuencia relativa porcentual (hi%)

• Mascota favorita

• Edad

• Comida favorita

• Estatura

• Ahorros

• Horas de estudio

• Película favorita

• N.° de hermanos

• Calificaciones

• Coeficiente intelectual

03; 07; 14; 10; 10; 07; 03; 08; 10; 07; 10; 11; 15; 11; 13; 18; 14; 14; 13; 15; 18.

Elabora una tabla de frecuencias absolutas.

8cifras-Youtube: https://www.youtube.com/watch?v=JkAW6EwBEPse n t o r n o VIRTUAL

Recuerda la estrategia de aprendizaje (mapa conceptual) y aplícala en algunos ejercicios.

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre - Estadística y probabilidad

28

Cualitativa Cuantitativa Discreta Continua

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

4. De la tabla anterior, responde a las siguientes preguntas:

5. En la siguiente tabla se muestra la distribución de niños matriculados en diferentes deportes para el verano. Se sabe que cada niño solo se matricula en un solo curso. Completa la tabla de frecuencias mostrada.

6. Del problema anterior:

7. En un colegio a 16 niños se les pregunta cuán-tos hermanos tienen y estos responden lo si-guiente: 1; 1; 0; 2; 2; 2; 1; 0; 4; 2; 1; 3; 3; 1; 2; 1

Elabora la tabla de frecuencias. Luego, responde.

Resolución:

Resolución:

a. ¿Cuántos estudiantes rindieron el examen?

b. ¿Cuál fue la nota que más se repitió?

c. ¿Cuáles fueron la mayor y menor nota, res-pectivamente?

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Deportes N.° de niños (fi) hi hi %

Natación 30

Fútbol 40

Básquet

Vóleibol 30

Karate 25

n = 150

a. Calcula la suma de las frecuencias absolutas de los niños que están matriculados en bás-quet y vóleibol.

b. Determina la resta de las frecuencias relativas de los niños matriculados en natación y karate.

c. Calcula el valor de L si:

L = h5 + h1

h4 + f3

a. ¿Cuántos niños tienen, como mínimo 2, hermanos?b. ¿Cuántos niños no tienen hermanos?c. ¿Cuántos niños tienen 2 o 3 hermanos?d. ¿Cuántos niños tienen la máxima cantidad de

hermanos?e. ¿Cuál es el porcentaje de niños que tiene des-

de 1 hasta 3 hermanos?

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


29


Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IVBusca soluciones

1. En una urbanización de Los Olivos se hizo una encuesta a 40 jóvenes para saber qué carrera universitaria estaban estudiando. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

1. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

2. En la siguiente lista, determina el número de variables cuantitativas discretas.

3. Se encuesta a los padres de familia de un salón de cuarto año, preguntándoles el número de hijos que tienen. Los resultados fueron los siguientes:

1; 2; 2; 3; 1; 3; 5; 2; 7; 2; 1; 2; 3; 2; 4; 2; 3; 1; 4; 3; 2; 1; 2; 4

a. F V V

b. V V F

c. F F V

d. V F F

e. V V V

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

a. 10 b. 8 c. 9 d. 11 e. 12

a. 5 b. 3 c. 2 d. 4 e. 1

a. 16 b. 12 c. 13 d. 14 e. 55

a. 4 b. 5 c. 7 d. 8 e. 9

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

UNI 2016 - II

» La siguiente tabla de frecuencias consigna el número de llamadas telefónicas diarias realiza-das y su frecuencia (fi) durante el mes de abril del 2016 desde una institución.

a. 50 %

b. 75 %

c. 45 %

d. 65 %

e. 55 %

I. La población es la cantidad de elementos o per-sonas a la que se va a estudiar alguna variable.

II. Si se encuesta a cierto número de personas sobre cuál es su postre favorito, la variable es de tipo cuantitativo.

III. El número de amigos en Facebook es un tipo de variable cuantitativo.

• Las estaciones del año• El peso de una persona• El número de horas que estás en Facebook• El número de sobrinos que tienes• La edad de una persona• La aceleración de un carro

A. ¿Cuántos padres tienen al menos 3 hijos?

B. ¿Cuántos padres tienen, como mínimo, 5 hijos?

C. ¿Cuántos padres tienen, como máximo, 2 hijos?

E. ¿Cuántos padres tienen un solo hijo?

D. ¿Cuántos padres tienen 6 hijos?

Carrera fi

Arquitectura 5

Ing. Civil 12

Derecho

Medicina 8

Ing. sistemas 6

¿Qué porcentaje representan los jóvenes que estudian Ingenierías?

Número de llamadas fi (días)1 6

2 5

3 5

4 7

5 7

De acuerdo con esta información se concluye que:

a. En un 23,3 % de los días del mes, se realizaron 4 llamadas diarias.

b. En un 76,6 % de los días del mes, se realizaron más de 5 llamadas diarias.

c. En 23 días del mes, se realizaron menos de 3 llamadas diarias.

d. En 7 días del mes, se realizaron 4 llamadas diarias.e. En un 53,5 % de los días del mes, se realizaron

2 llamadas diarias.





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822


30

Método POLYAResolución de problemas

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.Promueve el aprendizaje en equipo.31

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Producto bruto interno (PBI) per cápita

1. Analiza la situación.

Jorge explica el PBI per cápita a sus compañeros diciendo que es un indicador económico que mide la relación existente entre la canti-dad de dinero de un país y su población. Para ello, se divide el PBI de dicho territorio entre su número de habitantes. Ellos averiguaron que en la economía peruana, al 2017, el PBI fue aproximadamente de S/ 210 × 109 con una población de 30 millones de peruanos. In-dica el PBI per cápita del Perú.

2. Comprende el problema. 4. Ejecuta el plan.

5. Verifica y examina.

6. Piensa y responde.

3. Elabora un plan.

a. ¿Tu respuesta es correcta?

b. ¿Existe otro modo de resolver el problema?

c. ¿Se puede utilizar esta estrategia para resol-ver otros problemas?

¿Qué dice el problema? (Datos)

¿Qué conocimiento(s) debes usar?

¿Qué estrategia(s) puedes utilizar?

¿Qué debes hallar?

a. Usar propiedades de exponentes.

b. Hacer un diagrama de árbol.

c. Aplicar el algoritmo de la división.

Autonomía

Material CONCRETOResolución de problemas

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

32

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Triángulos

1. Analiza la situación. 2. Identifica el problema y escribe de qué trata.

5. Escribe la respuesta como una oración completa.

6. Escribe otra forma de resolver el problema.

Material concreto:

EscuadrasPapel

3. Representa la situación problemática mediante el uso de material concreto y muestra el procedimiento.

4. Realiza las operaciones y escribe los resultados.Autonomía

Aplica la ficha de Coevaluación que se encuentra en Corefonet Docentes.Promueve el aprendizaje en equipo.

Susana tiene un triángu-lo de papel que recortó en su clase de Geome-tría y su compañero le comenta que, mediante ese triángulo y haciendo dobleces, se puede de-mostrar que la suma de sus ángulos internos es de 180°. Indica de qué manera se puede realizar dicha demostración.

33

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Taller de práctica 1Li

bro

de A

ctiv

idad

es -

Mat

emát

ica

IV


2. Determina el valor de la siguiente expresión:

M = 4

24

168

+ (2–1 + 3–1 + 6–1) + 1.

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

a. 105°b. 108°

c. 112°d. 115°

e. 54°

a. 1 b. –1 c. 3 d. –3 e. 5

a. 10 b. 15 c. 12 d. 16 e. 145. Si se sabe que sen x = 3 7

, donde "x" es agudo,

determina el valor de la siguiente expresión:

P = 7 cos x + 3 ctg x .

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

1. Determina el valor de “x” en el gráfico mostrado.

2. En la siguiente figura, se cumple que BM = MN = NC. Determina el valor de E = (tg α + tg β + tg θ)ctg α.

3. La siguiente tabla muestra las edades de 40 per-sonas.

» Si 0,3 × 3 3 se puede expresar mediante 6 m ,

determina el valor de 9 3 m.

1. Si “p” es verdadera, “q” es falsa y “r” es verdadera, determina el valor de las siguientes proposiciones:

a. V F Vb. F F F

c. F V Fd. F F V

e. V V V

I. (p → q) ∧ r II. ~p ↔ (q ∨ r)III. (p ∆ q) → (∼q ∆ r)

a.

b.

c.

d.

e. 103

112

1211

310

116

Edad fi hi Hi

12 8

13 0,1

14 0,6

15

16 0,25

¿Cuántas personas tienen más de 14 años?

3. Calcula el valor de "x" en:

a. 10°b. 18° c. 40°d. 20° e. 50°

2x

3x

4x

5x3x

x

4. En el gráfico, se traza la mediana DF del triangu-lo ADE. Si AB = 5 cm, determina el valor de AE (en cm).

a. 8 b. 5 c. 16d. 15e. 10

B

C

D

EA Fθ

θ

A

72°

x

αθθ α

ββ

B

ED

C

A

M N CθβαB





Metacognición

Nivel 1 Nivel 2

φ φ

Autoevaluación

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Libr

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

34

Decidiendo estudiar inglés

Jorge es un estudiante egresado del colegio y está por postular a la universidad a la carrera de Economía y, a la vez, está deci-diendo estudiar también el curso de inglés en otra institución, para lo cual piensa: “Me matricularé en Inglés, si y solo si, con-sigo una vacante en Economía y no estudio en el turno tarde”.

Las noticias son proposiciones construidas para ser creíbles, y se van transmitiendo de persona a persona habitualmente de forma oral, sin que existan datos para comprobar su veracidad. Se sabe que, el primero de abril, Juan comparte con dos amigos un rumor; el dos de abril, cada uno de estos amigos comparte el mismo rumor a dos compañeros más, y así sucesivamente.

Propagación de la noticia

1

1. Simboliza lo que piensa Jorge.

1. ¿Cuántas personas se enteraron de la noticia en el día 10? Considera que la noticia siempre se compartió una sola vez con personas.

2. ¿Cuántas personas sabían de la noticia hasta el día 5?

2. Evalúa la proposición que obtuviste en la pre-gunta anterior.

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Promueve el aprendizaje autónomo.

35

© E

dici

ones

Cor

efo

S. A

. C. P

rohi

bido

rep

rodu

cir.

D. L

. 822

Lirb

o de

Act

ivid

ades

- M

atem

átic

a IV

En el gráfico se observa un parque que tiene la forma de un triángulo rectángulo, recto en el vértice donde se encuentra el poste de luz. Los rayos de luz que salen del foco del poste lle-gan al vértice A y C formando los ángulos α y β, respectiva-mente. Se sabe que la altura del poste es de 4 m, AB = 3 m y BC = 4 m.

En cierta ocasión, el hospital público “San José” realizó la cam-paña en contra del sobrepeso, por lo cual toma el peso de un grupo de niños.Los resultados fueron los siguientes (en kg):

18 16 20 22 18 22 20 22 24 1822 24 18 22 18 20 24 18 22 1824 18 20 18 16 22 22 20 18 2022 20 22 18 24 20 18 24 22 1818 18 20 22 18 22 24 18 20 18

Un parque muy especial Campaña de salud

1. Determina la medida de AC y la distancia del foco del poste a los vértices C y A.

1. Elabora la tabla de distribución de frecuencias con los datos mostrados.

2. Si se considera con sobrepeso a aquellos niños que pesan más de 21 kg, ¿cuántos niños y qué porcentaje representan los niños con esta carac-terística?

2. Del gráfico anterior, calcula el valor de la expre-sión M = 9(tg2 α + tg2 β + tg2 θ).

Resolución:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Resolución:

Rpta.:

Poste de Luz (P)

B

α β

CA

Aplica la Evaluación (heteroevaluación) que se encuentra en la Guía del docente y en Corefonet Docentes.

θ

Como prevenir la obesidad

Documents

Momento de lectura · Teoría de exponentes Recuerda lo aprendido 1. Simplifica la siguiente expresión: N = ; xy x 2 4 y 2 3 y 3 3 x 3 4 · · ≠ 0 aUtiliza el esquema con las propiedades