TORQUE O MOMENTO DE TORSION

Se ha preguntado ¿Qué hace o como hace para aflojar un tornillo muy apretado ? La respuesta a esta inquietud viene a continuación.

Si no puede aflojar un tornillo muy apretado con una llave de cruz , lo que usted hace por intuición es utilizar una llave con mango mas largo o poner un tubo sobre la llave existente para hacerla mas larga , con la finalidad de que sea mucho mas fácil de aflojar, Lo que esta haciendo es aplicar un tema esencial de este Capitulo “TORQUE O MOMENTO DE UNA FUERZA” (Pag 306 Serway)

La fuerza F tiene mayor tendencia a la rotación alrededor de O cuando aumenta F y cuando aumenta el brazo de momento la componente tiende hacer girar la llave alrededor de O

Considere la llave de tuercas que hace pívot en el eje que pasa por O ( ver figura). La fuerza aplicada F actúa a un ángulo Φ con respecto a la horizontal. Definimos la magnitud del momento de torsión asociado con la fuerza F por la expresión:

Donde r es la distancia entre el punto del pívot y el punto de aplicación de F y d es la distancia perpendicular desde el punto de pívot a la línea de acción de F

Entonces podemos decir que:

El momento de fuerzas, , es la tendencia de una fuerza a hacer rotar un objeto alrededor de algún eje

• El momento de fuerzas es un vector

Algebraicamente,

Donde: • F es la Fuerza• r es el brazo de aplicación

…………( 1 )

La forma sencilla de calcular esta expresión algebraica es como sigue:

)(ˆ)(ˆ)(ˆ xyxzyz yFxFkzFxFjzFyFi

Ejemplo.- Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4i - 5j) N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2i + j) m.

Solución: Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:

Es necesario tener en cuenta los signos para el cálculo del momento de una fuerza, tal como se muestra:

OBSERVACIÓN:

“F” no producirá rotación en la barra respecto al punto “0” ya que su línea de acción pasa por el punto (0).Entonces d = 0 y . 00 FM

Un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación respecto a un punto, si la suma de momentos respecto a ese punto es cero.El caso más común de Equilibrio de Rotación es cuando un cuerpo no experimenta giros.

Como la barra no gira; se puede aplicar la 2da. condición de equilibrio, tomando como centro de momento el punto 0

00 MO sea que:

TgFR MMMM 0000

Como 00 RM

Entonces:

gFT

gFT

MM

MMM

00

000

0

TgF MM 00

MOMENTO DE FUERZAS NETO

Si dos o mas fuerzas actúan sobre un cuerpo rígido (ver figura) cada una tiende a producir rotación alrededor del eje en O. En este ejeplo F2 tiende a hacer rotar el cuerpo en el sentido de giro de las manecillas de un reloj, y F1 tiene a hacerlo rotar en sentido contrario Aquí observamos que F1 tiene un brazo de momento d1 , entonces el torque es positivo + F1.d1 ya que F1 hace que tienda a girar en el sentido contrario alas manecillas del reloj, de manera análoga - F2.d2.Por lo tanto el momento de torsión neto alrededor del eje O es:

TEOREMA DE VARIGNONEl Teorema de Varignon es un teorema descubierto por primera vez por el matemático neerlandés Simon Stevin a principios del siglo XVII, pero que debe su actual forma al matemático francés Pierre Varignon (1654-1722), quien lo enunció en 1724 en su tratado Nouvelle mécanicque, como resultado de un estudio geométrico en el que, en contra de la opinión de los matemáticos franceses de su época, decidió trasladar las ideas expuestas por Newton a la notación y al enfoque que sobre el análisis daba Leibniz

El momento resultante sobre un sistema de fuerzas es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas, si éstas son concurrentes."

O

F1

F2

F3 F4

Equivalente a:

O

FR

X

X1

X2

X3

X4

FR= Suma vectorial de toda las fuerzas

X= Distancia a la cual se ubica la fuerza que FR

Demostración Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, F1,F2,...,Fi,...,Fn, vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicación un cierto punto A.El momento de cada fuerza Fi con respecto a O será: Mi = rxFi (producto vectorial). Nótese que escribimos r y no r i, ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante R es:

M = rxR donde R = F1 + F2 + Fi + ... + Fn y r

es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos

rxR = rx(F1 + F2 + Fi + ... + Fn)

rxR = rxF1 + rxF2 + rxFi + ... + rxFn) entonces

M = M1 + M2 + Mi + ... + Mn

El equilibrio es estable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, vuelve al puesto que antes tenía, por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está debajo del punto de suspensión.

Ejemplo: El péndulo, la plomada,una campana colgada.

El equilibrio es inestable si el cuerpo, siendo apartado de su posición de equilibrio, se aleja por efecto de la gravedad. En este caso el centro de gravedad está más arriba del punto o eje de suspensión.

Ejemplo: Un bastón sobre su punta.

El equilibrio es indiferente si el cuerpo siendo movido, queda en equilibrio en cualquier posición. En este caso el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión.

Ejemplo: Una rueda en su eje.

CONDICIÓN DE EQUILIBRIO PARA FUERZAS NO CONCURRENTES

Supongamos el caso de un cuerpo que tiene aplicadas fuerzas que pasan todas por un punto. Por ejemplo, un cuadro colgado de una pared.

Para estos casos, se dice que la condición para que el tipo estuviera en equilibrio es que la suma de todas las fuerzas que actúan fuera cero. O sea, que el sistema tuviera resultante nula.Esto se escribe en forma matemática poniendo que ∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0 .Muy bien, pero el asunto de que R fuera cero, sólo garantiza que el cuerpo no se traslade.

Ahora, si las fuerzas no pasan por un mismo punto , puede ser que la resultante sea cero y que el cuerpo no se traslade. pero el cuerpo podría estar girando. mira el dibujo.

CUPLA( O PAR )

En esta figura, la resultante es cero, sin embargo la barra está girando.

Esto es lo que se llama CUPLA ( o par ). Una cupla son 2 fuerzas iguales y de sentido contrario separadas una distancia d. La resultante de estas fuerzas es cero, pero su momento NO. Al actuar una cupla sobre un cuerpo, el objeto gira pero no se traslada.

El responsable de la rotación es el momento de las fuerzas que actúan. Por eso es que cuando las fuerzas no pasan por un mismo punto, hay que agregar una nueva condición de equilibrio. Esta condición es que el momento total que actúa sobre el cuerpo debe ser CERO. La ecuación es ∑ Mo = 0. Se llama ecuación de momentos. Al igualar la suma de los momentos a cero uno garantiza el equilibrio de rotación. Es decir, que la barra no esté girando.

PARA QUE ESTÉ EN EQUILIBRIO UN CUERPO QUE TIENE UN MONTÓN DE FUERZAS APLICADAS QUE NO PASAN POR UN MISMO PUNTO, DEBE CUMPLIRSE QUE : ∑ Fx = 0 Garantiza que no hay traslación en x. ∑ Fy = 0 Garantiza que no hay traslación en y. ∑ Mó = 0 Garantiza que no hay rotación.

ENTONCES:

CONCLUSIÓN

Para resolver los problemas de estática en donde las fuerzas NO pasan por un mismo punto hay que plantear tres ecuaciones.

Estas ecuaciones van a ser dos de proyección ( ∑Fx y ∑Fy ) y una de momentos ( ∑Mó = 0 ). Resolviendo las ecuaciones que me quedan, calculo lo que me piden.

ACLARACIONES:

- Recordar que el sentido positivo para los momentos lo elige uno.- Siempre conviene tomar momentos respecto de un punto que anule alguna incógnita. Generalmente ese punto es el apoyo.- No siempre va a haber que usar las tres ecuaciones para resolver el problema. Depende de lo que pidan. Muchas veces se puede resolver el problema usando sólo la ecuación de momentos.- Para resolver un problema no necesariamente uno está obligado a plantear ∑Fx, ∑Fy . - A veces se pueden tomar dos ecuaciones de momento referidas a puntos distintos. ( Por ejemplo, los 2 apoyos de una barra ).

EJEMPLOUna barra de longitud 2 m y 100 Kg de peso está sostenida por una soga que forma un ángulo alfa de 30˚ como indica la figura. Calcular la tensión de la cuerda y el valor de las reacciones en el apoyo A. Suponer que el peso de la barra está aplicado en el centro de la misma.

Bueno, primero hago un esquema de la barra poniendo todas las fuerzas que actúan:

Puse el par de ejes x – y . El sentido de giro lo tomé positivo en sentido de las agujas del reloj .

Planteo las tres condiciones de equilibrio : ∑Fx = 0 , ∑Fy = 0 , ∑Mó = 0 . El centro de momentos ( punto O ) puede ser cualquier punto. En general conviene elegirlo de manera que anule alguna incógnita. En este caso me conviene tomar el punto A.

∑Fx = 0 Rh – Tc . cos = 0∑Fy = 0 Rv + Tc . sen - P = 0 ∑MA = 0 P . L/2 - Tc . sen . L = 0

Reemplazando por los datos:

Rh – Tc . cos 30 = 0Rv + Tc . sen 30 – 100 kgf = 0

100 kgf . 2m / 2 - Tc . sen 30 . 2 m = 0

De la última ecuación despejo TC :TC = 100 kgf

T

Reemplazando TC en las otras ecuaciones calculo las reacciones horizontal y vertical en el punto A :

RHA = 86,6 kgfRVA = 50 kgf

CUPLA O PAR DE FUERZAS

Un par de fuerzas es un sistema de dos fuerzas paralelas, de igual intensidad y de sentidos contrarios, que produce un movimiento de rotación.

Aunque la resultante de las fuerzas del par es nula (R = F1 – F2 = 0), sin embargo, los momentos de cada fuerza del par, con respecto al punto E, suman su capacidad de producir un giro, por ello el efecto de un par de fuerzas es producir una rotación.

El volante de un carro es una aplicación práctica de un par de fuerzas. También lo son las regaderas que se usan en los jardines para regar el césped.

El valor del momento de un par de fuerzas es igual al producto de una de las fuerzas por la distancia que las separa: M = Fd. La distancia que separa las fuerzas recibe el nombre de brazo del par

Ejemplo: Calcula el valor del momento de una par de fuerzas cuya intensidad es 5N si el brazo del par es 2m.

Solución: M = Fd = 5N2m = 10Nm

Ejercicios. Calcula el valor del momento de los siguientes pares de fuerzas.

1) 8N separadas 8m. 2) 5N separadas 10m.3) 6N separadas 3m. 4) 12N separadas 4m.5) 10N separadas 6m. 6) 20N separadas 5m.7) 9N separadas 6m. 8) 7N separadas 3m.

SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS Y EN EL MISMO SENTIDO.

La resultante (R) de dos fuerzas paralelas (F1 y F2) que actúan en el mismo sentido tiene las siguientes características:Su intensidad es la suma de las intensidades de las componentes.Su dirección y sentido son los mismos que los de los componentes.Su punto de aplicación se encuentra en la línea que une los puntos de aplicación de las componentes y más cerca de la fuerza mayor. Se cumple la siguiente relación: F1d1 = F2d2

Ejemplo: Dos fuerzas paralelas que actúan en el mismo sentido, F1 = 12N y F2 = 9N, están separadas por una distancia de 14cm. Calcula la fuerza resultante y su punto de aplicación.

Solución:

1) La intensidad de la resultante es la suma de las intensidades de las componentes: R = F1 + F2 = 12N + 9N = 21N en le mismo sentido que las componentes

2) El punto de aplicación debe cumplir la ecuación: F1d1 = F2d2. (1)

Los dos brazos deben cumplir la ecuación: d1 + d2 = 14cm d2 = 14 – d1

Sustituyendo en la ecuación (1), tenemos:F1d1 = F2d2 = 12Nd1 = 9N(14 – d1) 12d1 = 126 – 9d112d1 + 9d1 = 126 d1 = 6 cm

Respuesta: La resultante tiene una intensidad de 21N en el sentido de las componentes, y su punto de aplicación dista 6cm de la fuerza mayor.

Ejercicios. Calcula la resultante de las siguientes fuerzas paralelas que actúan en el mismo sentido.

1) 8N y 12N separadas 8cm.2) 25N y 15N separadas 10cm.3) 4N y 6N separadas 8cm.4) 10N y 14N separadas 6cm. 5) 20N y 30N separadas 15cm. 6) 3N y 9N separadas 6cm.

SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS DE SENTIDO CONTRARIO.

La resultante (R) de dos fuerzas paralelas (F1 y F2) que actúan en sentidos contrarios tiene las siguientes características: Su intensidad es la diferencia de las intensidades de las componentes.Su dirección y sentido son los mismos que los de la componente mayor.Su punto de aplicación se encuentra en la prolongación de la línea que une los puntos de aplicación de las componentes, pero del lado de la fuerza mayor. Se cumple también relación:

F1d1 = F2d2

Ejemplo: Dos fuerzas paralelas actúan en sentidos contrarios: F1 = 12N hacia arriba y F2 = 20N hacia abajo. Están separadas por una distancia de 10cm. Calcula la fuerza resultante y su punto de aplicación. Solución:

1) La intensidad de la resultante es la diferencia de las intensidades de las componentes:

R = F2 – F1 = 20N – 12N = 8N

hacia abajo (sentido de la mayor).2) El punto de aplicación debe cumplir la ecuación: F1d1 = F2d2 (1) Los dos brazos deben cumplir la ecuación:

d1 – d2 = 10cm d1 = 10 + d2Sustituyendo en la ecuación (1), tenemos:

F1d1 = F2d2 = 12N(10 + d2) = 20Nd2 120 + 12d2 = 20d2

120 = 20d2 – 12d2 d2 = 15 cmRespuesta: La resultante tiene una intensidad de 8N hacia abajo, y su punto de aplicación está a 6cm de la fuerza mayor (en la prolongación de la línea que une las componentes).

Ejercicios. Calcula la resultante de las siguientes fuerzas paralelas que actúan en sentidos contrarios.

1) 6N y 4N separadas 6cm.2) 5N y 10N separadas 15cm. 3) 7N y 9N separadas 8cm.4) 12N y 14N separadas 4cm. 5) 2N y 5N separadas 6cm. 6) 6N y 9N separadas 3cm

CENTRO DE GRAVEDAD

Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad o centroide es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.

En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo.

OBSERVEMOS A LA FIGURA PADRE HIJA

CARACTERISTICAS

•Es el centro de simetría de masas•Es el punto donde se considera concentrada la masa del cuerpo•Es la intersección de los 3 planos: sagital, frontal y horizontal•En el hombre está alrededor del 60 % de la altura, en posición anatómica, y va variando cuando realizamos un movimiento a partir de dicha posición•El centro de gravedad en el hombre ,en posición anatómica, cae entre los 2 pies, en la parte anterior de estos, por esa razón el cuerpo tiende a irse hacia adelante, y para que el cuerpo no se caiga, los músculos gemelos y los espinales se contraen isométricamente, por esta razón a estos músculos se los denomina "antigravitatorios

Cálculo del CG, de un cuerpo

El objeto mostrado se divide en muchas partes Pequeñas, cada porción con sus respectivas coordenadas

Observamos 5 pequeñas porciones de las múltiples que existen con sus (Xi , Yi), entonces el cálculo de su (XG , YG), Será:

XgMi

iMiXi

YgMi

iMiYi

Una tabla de longitud 6.0 m y masa M = 90 kg está sobre dos caballetes Separados por D = 1.5 m, situados a distancias iguales del centro de la tabla El niño Tito trata de pararse en el extremo derecho del mismo. Cual será la masa Del niño para que no caiga, sabiendo que el C:g del sistema es D/2

Aplicación

Paso 1: Identificar las masas que participan y las ubicaciones respectivamente En este caso M masa de la tabla y m la masa del niño ubicados en el eje Horizontal con X= 0 y = l/2 respectivamente

Paso 2: la ordenada del CG es 0

La abcisa X cg se iguala a D/2,

FIN