MOMENTOS ESTATICOS

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Es una medida de la tendencia al giro o a la rotacin que tiene una fuerza con respecto a un punto fuera de su lnea de accin.

Vector momento de una fuerza respecto a un punto

Sea Q el plano que define

a) Valor Igual al valor del producto de la intensidad por la distancia que hay del punto a la fuerza.

b) Direccin Perpendicular al plano que determina la fuerza y el punto.

c) Sentido Definido por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.

0

:

= .

OM F

EXPRESIN VECTORIAL DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

RESPECTO DE UN PUNTO

Sea P un punto cualquiera de la lnea de accin de Luego definimos el vector de posicin

Sabemos que:

EXPRESIN CARTESIANA DEL VECTOR MOMENTO DE UNA FUERZA

CON RESPECTO AL ORIGEN DE COORDENADOS

,,

= + +

""

:

:

1

= 1

= 1

1 + 1 = 1

2 + 2 = 2

...........................

...........................

...........................

: = ? ?

= =

=

=

OM F r F

Solucin:

a) Sea P un punto cualquiera de la lnea de accin , tal como , ,

b) Definimos el vector de posicin de L respecto de O .

c) =

EXPRESIONES CARTESIANA DEL VECTOR MOMENTO DE UNA

FUERZA CON RESPECTO A UN PUNTO CUALQUIERA

a) Sea Q el plan o que definen

b) Sea P(x,y,z) un punto cualesquiera de la lnea de accin de la fuerza

= + +

=

1

,,

,,

c) Definamos los vectores de posicin de P y A respecto de O tales como 1

TEOREMA DE VARIGON

El momento resultante de un sistema de fuerza concurrente con respecto a un punto es igual a la suma de los momentos de las fuerzas con respecto a dicho punto

Centro de

Momentos

=

=

1 1 1

= + +

1 = 1+ 1 + 1

1 + = = 1

= + +

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO A UN EJE L

Sea una fuerza cualesquiera y un eje cualesquiera. Es un vector deslizante sobre el eje que viene a ser la proyeccin del momento de la fuerza respecto a un punto cualesquiera del eje sobre el eje considerado.

1 = 1

2 = 2

=

+ + = 1 + 2 + +

. . . . . . . . . . . . . . . .

=0

= 1 + 2 + +

=

=0

=

=0

=0

=

=

= ? ?

Solucin:

a) Definimos un vector unitario sobre el eje tal como:

b) Tomemos 2 puntos cualesquiera, uno sobre la fuerza y otro sobre el eje L.

c) Hallamos el Momento de la fuerza respecto de A

d) Sea el angulo que forma con el eje

Nota:

e) Proyectemos el vector sobre el eje

Consideraciones:

a) Cundo el momento de la fuerza = Momento de la fuerza A?

=

1 =

=

= =

=

=

En

= 1

LM F rxF e e

a

a bP b

a

AM F r F

b) Cundo = 0?

EXPRESIN CARTESIANA DEL MOMENTO DE UNA FUERZA

CON RESPECTO A UN EJE QUE PASA POR EL ORIGEN

DE COORDENADAS

Expresin Cartesiana del Momento de una fuerza con respecto a un eje que pasa por el origen de coordenadas.

e

Solucin:

a) Sea , , , un punto cualesquiera de la lnea de accin (respecto) de

b) Sea O un punto sobre el eje

c) = + +

d) = ? ?= + +

= 0;

= 90; .

:

,,

,,

:

,,

: = ? ?

LM F rxF e e

e

L

MOMENTO DE UNA FUERZA CON RESPECTO

A CADA EJE COORDENADO

a) Si el eje es el eje :

b) Si el eje es el eje :

Si el eje es el eje :

=

=

=

=

=

1 0 0

=

=

=

=

=

=

=

0 1 0

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

L X Y ZM F M F M F M F

: =

=

+

+

APLICACIONES SOBRE MOMENTOS ESTTICOS

1 Determinar el vector momento de una fuerza de 12 kg., cuyo eje de soporte es la recta

=

=

con respecto de , , y luego el momento de dicha fuerza con

respecto al eje, cuyas ecuaciones son:

Solucin:

De la ecuacin de la recta:

El momento de la fuerza F:

: 2 =

+ 1 = 2

= 2 = 2 = 1

2 + 2 + 2 = 3

=

,, ,,

= +

= 2 3

= 2 3

= 1 3

= 8 8 + 4

= + +

= 12 2

3 + 12

2

3 + 12

1

3

= =

0 2 18 8 4

= 16 + 8 16

= + 2

n

,,

,,

= .

:

=

= 2 = 1

2

0

1=

2 0

1=

1

2

0

1=

01

2 =

1

2

01

2 =

0

1=

1

2

0,0, 1

: 1 2 , 1,2 < > 1,2,4

= 1 = 2 = 3

2 + 2 + 2 = 21 =

1

21

= 2 21

= 4 21

=

1 2 08 8 4

1 21

2 21

4 21

=4

21 1 2 02 2 11 2 4

2 Para el sistema de fuerzas que actan sobre el paraleleppedo de lados = ., =

., = ., hallar el momento resultante respecto al punto D.

= 4

21 10 14

96

21

= 96

21

1

21 +

2

21 +

4

21

= 96

21

192

21

384

21

= . . .

,,

,,

,,

,,

,,

,,

,,

1 =

3 0 24 5 8 5 0

= 16 5 8 5 24 5

1 = 11 1 = 3+ 2

1 = 20 3 6

3 5 =

20 5

5+ 8 5

= 1 + 2 + 3 *

2 =

3 6 0

60

130

40

13

= 240

13

120

13

600

13

2 = 22 2 = 3+ 6

2 = 20 3 2

13 =

60

13

40

13

3 =

0 0 260

130

40

13

=120

13

3 = 33 3 = 2

3 = 20 3 2

13 =

60

13

40

13

= . . .

= 16 5 +240

13 8 5 + 24 5

360

13

*

TEORIA GENERAL SOBRE LOS PARES DE FUERZAS

Par De Fuerzas: Es un sistema constituido por 2 fuerzas paralelas de la misma intensidad, pero de sentidos contrarios.

La resultante de este sistema es cero, en consecuencia no existe traslacin. El efecto que produce un par de fuerzas actuantes sobre un cuerpo es el de rotacin.

Vector Par: Tiene las siguientes caractersticas:

a) Valor Igual al producto de la intensidad de una de las fuerzas por la distancia entre ellos, denominada brazo del par.

b) Direccin Perpendicular al plano que determina.

c) Sentido Definido por la regla del sacacorchos

Nota: El Par es un vector libre

= .

EXPRESIN VECTORIAL DEL PAR

Sea un par como el mostrado, como el vector par es libre tomemos O como cuerpo de reduccin o centro de momentos.

1

2

= 0 + 0

= 1 + 2

2 + = 1 = 1 2

= 1 2 =

=

1

2

=

= 0 + 0

= 1 + 2 +

2 + = 1

= 1 2

= 1 2

NOTA:

Cuando se tiene un par de fuerzas se escoge una de ellas como el vector de fuerza. El vector , ser tal que ligue al par de fuerzas y cuya cabeza de flecha, descansara sobre la fuerza elegida

PROPIEDADES DE LOS PARES DE FUERZAS

1 Todo par de fuerza puede desplazarse en cualquier direccin y sentido en su propio plano, sin modificar sus caractersticas generales.

2 Todo par de fuerza puede rotar en su propio plano

La resultante de este sistema es cero, no existe traslacin.

3 Todo Par de fuerza puede trasladarse de un plano a otro paralelo.

4 Dos o ms pares de fuerza pueden componerse en uno solo cuyo vector sea la resultante de los vectores pares componentes.

Nota:

Ejercicio:

1 Para el sistema mostrado hallar el vector momento respecto a un eje que pasa por el

origen y cuya direccin es: 0.5 0.5 1

2 . 3

Calcularemos primero, el momento resultante, respecto a un punto del eje, en este caso el origen de coordenados.

,, ,,

,,

,, ,,

,,

1 = 11 1 = 6

1 = 15 =

2 = 2 = 2 2 = 6

2 = 10 10 8 = 7.81 6.25

= . .

X

Y

Z

Calculo de

respecto al eje:

4 = 4 = 4 4 = 6

4 = 20 10 = 20

=

0 = 5 = 5 5 5 = 6

5 = 8 10 6

11.66 = 6.86+ 4.12

= .

3 = 30 = 30 46.86 37.5

60.02 = .+ .

= .+ .

= 0.5 0.5 1

2

=

=

=

12

12

1

2

1

= . = 54.38 97.76

= 123.24 1

2

1

2

1

2

= 61.62 + 61.62 + 174.29

TEORA GENERAL SOBRE REDUCCIN DE FUERZAS

Un sistema cualesquiera de " " fuerzas que actan sobre un cuerpo regido puede ser reducido a 3 fuerzas aplicadas en 3 puntos arbitrariamente elegidos con tal que no estn situados en line recta.

:

I. Tomamos un punto cualesquiera de la lnea de accin de la fuerza , tal como el punto 1. Unimos este punto con con y con , definiendo las direcciones: , . descomponemos la fuerza en dichas direcciones. Obteniendo , ,

II. Tomamos sobre la lnea de accin de accin de , un punto cualesquiera tal como 2, y unir con , , , tenemos las direcciones , , . La fuerza se descompondr en dichas direcciones, obteniendo , , . Lo propio sea para , hasta el fin.

:

PRIMER TEOREMA

1

=1

= 2 + 3 + +

1

=1

= 2 + 3 + +

1

=1

= 2 + 3 + +

Finalmente:

Reducido el sistema a 3 fuerzas, el sistema puede ser reducido adems a 2 fuerzas.

SEGUNDO TEOREMA

Un sistema de " " fuerza cualesquiera actuando sobre cuerpo puede quedar reducido a una sola fuerza y a un par, acta antes en un punto arbitrariamente elegido del slido.

Coralario: Una fuerza y un par coplanares pueden componerse en una sola fuerza.

TERCER TEOREMA

:

:

:

Coralario: Una fuerza puede trasladarse de un punto a cualquier otro de un cuerpo, siempre que al mismo tiempo se aplique al cuerpo un par igual al momento de la fuerza dada con respecto al punto al que se le quiere transportar. A este Momento se denomina Par de transporte. Un sistema de " " fuerza cualesquiera actuante en un cuerpo, puede quedar reducido a una sola fuerza y a un par, de ejes colineales. La fuerza seguir denominndose resultante general, el par se denominara: Par Reducido Y el eje comn de ambos vectores se llamara Eje Central

CUARTO TEOREMA

=

.M Pl

Escojamos un punto C de mejor ubicacin en el espacio, donde pretendemos que y , sean colineales

Para que y sean colineales, debe cumplirse que:

Donde es un escalar cualesquiera

Multiplicando escalarmente por :

:

=

= .

. = 2

=

=

=

=

=

=

Con esto queda probado que es colineal con

Probemos la existencia del Punto

:

Multiplicado por

:

:

.

=

0

=

. . = 0

2+ . 0

= 0 ..

2 = 0

=

2

2 +

.

2= 0

+ = 0

= +

PROCESO PARA REDUCIR UN SISTEMA CUALESQUIERA

DE FUERZAS A UN TORSOR

Sea el origen de coordenados el centro de reduccin:

:

= +

=1

+

=1

=

=

=

=

=1

= =

=1

=1

=

2

= + +

2 +

2 + 2 . + +

PASO DEL TORSOR

Se define como la relacin del par reducido sobre la resultante

= +

+ + =

2 +

2 +

2 + + +

2 +

2 +

2 = + +

2

+

2

+

2

= + +

=

=

=

=

=

2

.

=

=

Problema

1 Un sistema de fuerza consiste en 2 fuerzas una cupla actuando en el plano 1 = 5 3 = 10

2 = 2 0 = 4 , 0 = 0 = 3

a) Encontrar el Sistema de fuerzas equivalentes constituidos de una sola fuerza que pase a travs de 0 y una cupla o Par.

b) Encontrar el par reducido.

c) Hallar el paso del torsor, as como la ecuacin del eje central.

a)

,,

,,

,,

,,

,,

1 = 5 3 + 4

5

= +

2 = 2 3 + 3

3 2

2 = +

= + +

b)

1 = 1 1 1 = 4

1 = 3+ 4

1 = 12

2 = 2 2 2 = 3

2 3 +

2 = 3

2 = 2 2 = 3 +

3 = 3 + 4

3 = 2

= 3 + 4 2

= 6 8

= 8 6

= 8 12 32

=

2

= 32 12 12

16 + 1 + 16 4 + + 4

= 8

33 4+ + 4

= .+ .+ .

= 8

33

Punto por donde pasa el Paso del Torsor es:

,

,

, cuando < 1, entonces el es ms

pequeo que , si > 1, entonces el Par Reducido es mayor que la resultante .

2 Se conoce el resultante = , y el par resultante = . Reemplazar el torsor dado por un sistema de 2 fuerzas, de manera que una de ellas actu en el punto , , , y el otro este situada en el plano . Se sabe adems que el torsor pasa por el punto , ,

Si 140 . y = 70 entonces:

=

4 1 48 12 3

= 45 44 + 56

.

2=

45

33

44

33 +

56

33

4533

=

4433

=

5633

45 33

4=

+ 44 33

1=

56 33

4

, ,

0,2,0 0,0,0

= 70 6+ 3 + 2

7

= + +

= 20

: :

:

= 120+ 60 + 40

= 60 + 30 + 20

= + + + +

+ = 60

= 30 Lbs

+ = 20

. 1

. 2

. 3

2 = 2

3 = +

= 0 + 0 = + + + + +

= 2 + 2 +

120+ 60 + 40 = 2 + 2

2 = 120

= 60

2 = 40

= 60 Lbs

= 60

= 20 Lbs

20 = 60

+ 60 = 20

= 80

= 40 Lbs

: :

:

:

3 Para el dispositivo mostrado en la figura

a) Sustituir las fuerzas y el par indicados por un sistema fuerza par en A.

b) Halle un torsor equivalente, especificando el par, reducido, paso del torsor, ecuacin del eje control y un punto por donde pasa dicho torsor.

= 20 + 30+ 60

= 80 40

80 40 = 60

2 + 4 = 3

= 0 = 3 4

= 0 = 3 2