Momneto de Una Fuerza Tarea Fisic

8/14/2019 Momneto de Una Fuerza Tarea Fisic

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Instituto tecnológico de las choapasFacultad de electrónicaFísica I

MOMENTO DE UNA FUERZA – -RESPECTO A UN EJE

Hemos visto que el efecto que producen las fuerzas sobre los cuerpos es de modificarsu condición de movimiento de traslación, de rotación y/o de deformación. En el casode los CUERPOS RÍGIDOS, los efectos se reducen a TRASLACIÓN y/o ROTACIÓN.

Vamos a estudiar a continuación el efecto de ROTACIÓN, el cual se describe y cuantificamediante una magnitud física llamada MOMENTO DE UNA FUERZA o simplemente MOMENTO.

Supongamos un caso muy sencillo: cuando abrimos o cerramos una puerta, lo quehacemos es aplicar una fuerza en un punto de ella (en la cerradura), y el efecto quegenera esta acción, es que la puerta gira sobre las bisagras (eje de rotación).

Z

YX

a)

B

b)

Figura 1

Haciendo un corte transversal de la puerta como se muestra en la figura 1 b), sepuede observar con más detalle lo que sucede: al aplicar la fuerza F , la puerta girasobre el eje que pasa por el punto “B”.

Si la cerradura está máscerca de las bisagras

1

F



(punto “B”, al cualllamaremos CENTRO DE GIRO), tal como se muestraen la figura 2, para

producir el mismo efecto,el módulo de la fuerza´ F , debe ser mayor que

el de F .

B

Figura 2

En otras palabras, mientras más cerca esté la línea de acción de la fuerza, del eje derotación, es decir, MIENTRAS MENOR SEA LA DISTANCIA DESDE LA LÍNEA DE ACCIÓN DE LA FUERZA AL CENTRO DE GIRO, MAYOR DEBE SER EL MÓDULO DE LA FUERZA PARA PRODUCIR EL MISMO EFECTO.

¿Qué ocurriría si la línea de acción de la fuerza pasa por el centro de giro?, es decir,¿podríamos abrir o cerrar la puerta aplicando una fuerza por las bisagras?.

Hay otro aspecto que es de sumo interés que analicemos a continuación. Supongamosun disco que puede girar sobre un eje que pasa por su centro, y apliquemos una fuerza F en un punto “P” del disco figura 3 a):

Z

Y

X

a) b) c)Figura 3

El efecto de la fuerza será hacer girar el disco en sentido antihorario (figura 3 b). Si

ahora aplicamos la misma fuerza en el punto “P´” simétrico a “P”, el efecto serádiferente: el disco girará en sentido horario (figura 3 c). Esto también lo podemosobservar en el ejemplo de la figura 1: es diferente abrir una puerta que cerrarla.

Con base en lo expuesto, podemos concluir que el efecto de giro que producen lasfuerzas en los cuerpos es una magnitud VECTORIAL. Veamos a continuación cómopodemos cuantificar ese efecto de giro:

2

F

F

´ F

P

P

F

P´



Supongamos un cuerpo cualquiera que puede girar o rotar alrededor de un punto “A”(CENTRO DE GIRO). Apliquemos una fuerza en un punto “P” del cuerpo, con la condición deque “P” sea diferente de “A”, tal como se observa en la figura 4 a). En este caso, elcuerpo rotará en sentido antihorario.

a) b)Figura 4

Tracemos ahora un vector CON ORIGEN EN EL CENTRO DE GIRO Y EXTREMO EN EL PUNTO DONDE ESTÁ APLICADA LA FUERZA (figura 4 b). Este vector r recibe el nombre de VECTOR DE POSICIÓN DE LA FUERZA o VECTOR POSICIÓN.

Se define MOMENTO DE UNA FUERZA, COMO EL EFECTO DE GIRO QUE PRODUCE ÉSTA SOBRE UN CUERPO Y QUE SE PUEDE CUANTIFICAR COMO:

F r M ×= Ecuación 1

En palabras, el efecto de giro que produce una fuerza sobre un cuerpo se mide como elproducto vectorial del vector posición ( r ), por la fuerza ( F ), y podemos calcularlomediante el determinante:

F r M ×= =

i

j k

rx r y rz

FX FY FZ

Donde rx, r y, rz y FX, FY, FZ,son las componentes delvector posición y de la

fuerza, respectivamente.

En general, el vector Momento se puede expresar en función de sus componentesrectangulares:

k M jM iM M Z Y X ++= Ecuación 2

3

A

P

A

P

θ

F

r

F



Por definición de producto vectorial de dos vectores, el vector MOMENTO tiene:

* DIRECCIÓN: PERPENDICULAR AL PLANO FORMADO POR r Y F .

* SENTIDO: DADO POR LA REGLA DE LA MANO DERECHA, ESTO ES, CERRANDO LOS DEDOS EN EL SENTIDO DE GIRO, O BIEN TRATANDO DE HACER COLINEAL r CON F , Y EL PULGAR INDICARÁ EL SENTIDO.

* MÓDULO: 222

Z Y X M M M M ++= Ecuación 3 . Obien:

θ sen⋅⋅=×= F r F r M

Donde “r” y “F” son los módulos de r y F , respectivamente y “θ “ es el ángulo entrelos vectores.

Las dimensiones del Momento son: M L2 T -2.

Analicemos un poco más el ejemplode la figura 4. Dibujemos la línea deacción de F , y DESDE EL CENTRO DE GIRO (PUNTO “A”), TRACEMOS UNA PERPENDICULAR HASTA LA LÍNEA DE ACCIÓN DE F .Podemos observar que esa distancia(“b”), es igual a:

b = r s e nθ Ecuación 5

Esta distancia recibe el nombre deBRAZO DE LA FUERZA. Figura 5

Si observamos la ecuación 4, entonces el módulo del Momento lo podemos escribircomo:

M = b F

Ecuación 6

4

A

P

θ

F

r

θ

b



De aquí podemos concluir que el efecto de giro o Momento de una fuerza, no dependedel punto de aplicación de ésta, sino de la menor distancia de su línea de acción alcentro de giro (BRAZO), y del módulo y dirección – sentido de la fuerza.

En efecto, si retomamos el ejemplo de la figura 1, podemos, abrir o cerrar la puertadesde dentro o desde fuera; además, mientras menor sea la distancia desde lacerradura al punto “B” (brazo de la fuerza), mayor debe ser el módulo de la fuerzapara producir el mismo efecto.

Considerando todo lo expuesto hasta ahora, podemos inferir que el Momento serácero si:

* La línea de acción de la fuerza, pasa por el centro de giro, ya que en este caso elbrazo es cero (no existe). Esto es lo mismo que si tratásemos de abrir o cerrar una

puerta empujando por las bisagras.

* F es cero (evidentemente).

Podemos calcular también el módulo del Momento de la siguiente manera: pordefinición, sabemos que:

M = r F sen θ

Descompongamos la fuerza en dos direcciones perpendiculares, como se muestra en la

figura 6:

* Una en la dirección del vectorposición: r F , de módulo Fr = F cosθ , y CUYO MOMENTO RESPECTO A “A” ES CERO (¿Por qué?)

* Otra en dirección PERPENDICULAR alvector posición: P F , de módulo:

Fp = F sen θ

Figura 6

PAR DE FUERZAS

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r F

P F

A

P

θ

F

r



Cuándo utilizamos una llave de cruz para apretar o aflojar una tuerca de lallanta de un automóvil, aplicamos un par de fuerzas como se observa en lafigura, produciéndose un giro ò momento que ahora llamaremos momento par(MP) debido a que lo produce un par de fuerzas.

Figura.

Un par de fuerzas esta compuesto por dos fuerzas paralelas, de igual magnitud y sentido contrario.

F

F

El efecto externo del par de fuerzas sobre el cuerpo en queactúan es producir o tratar de producir el giro de los cuerpos.

Momento del Par de Fuerzas

Tomemos momentos del par con respecto al punto 0.

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Mp = F * 0B Sen 900 - F * 0A Sen 900

Mp = F * 0B - F * 0A ya que Sen 900 = 1Mp = F(0B - 0A) pero (0B – 0A) = dMp = F * d

De lo anterior podemos definir el momento del par de fuerzas como elproducto de una de las fuerzas del par por su brazo de momentos, siendo elbrazo de momentos la distancia perpendicular a la línea de acción, de lasfuerzas (distancia entre el par de fuerzas)

Podemos observar que el momento del par es independiente de laposición del punto o del eje de giro.

Como todo momento, el momento del par de fuerzas es una magnitudvectorial, por lo que sus características son:

a) Magnitud – Cuantificada por el producto F * d.b) Dirección – Perpendicular al plano en que actúa el par.c) Sentido – Positivo si hace al cuerpo en sentido contrario a las manecillas

del relojd) Punto de aplicación – Dado que el momento del par es

independientemente de la posición del eje de giro, su punto de aplicación

se puede poner en cualquier parte del plano.

Lo anterior puede ser representado gráficamente en la siguiente forma.

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Unidades del Momento del par de Fuerzas

Son las mismas del momento de una fuerza

Ejemplos

1)Calcular el momento del par de fuerzas representado en la figura.

Solución Mp = 150 N *1m= 150Nm

2) Calcular el momento resultante de los pares de fuerzas representadosen la figura. Mp = -50Nm

El momento resultante es igual a la suma algebraica de los momentospares de las fuerzas.

MR = Σ Mp

MR =(100N*2m)+(200N*1m)-(150N*3m)= -50Nm

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Dinámica: Estabilidad y Equilibrio.

Un cuerpo en equilibrio estático, si no se le perturba, no sufre aceleración detraslación o de rotación, porque la suma de todas las fuerzas y la suma de

todos los momentos que actúan sobre él son cero.

Equilibrio.- El equilibrio es el estado de reposo de un cuerpo. Un cuerpo está enequilibrio cuando en su centro de gravedad está aplicada una fuerza igual yopuesta a su peso.

Un cuerpo puede estar en equilibrio de dos modos: 1°, si está suspendido 2°, sidescansa en una base. Los tipos de equilibrios en los cuales pueden encontrarseson:

a. Equilibrio estable.- Cuando al separar el cuerpo de su posición deequilibrio, vuelve a recuperarla por sí mismo.

b. Equilibrio inestable.- Cuando al separar el cuerpo de su posición deequilibrio, la pierde definitivamente.

c. Equilibrio indiferente.- Cuando al separar el cuerpo de su posición deequilibrio cualquier posición que adquiera, sigue conservando el que antestenía.

Daremos los ejemplos siguientes:

1. Una pelota colgada libremente de un hilo está en equilibrio estableporque si se desplaza hacia un lado, rápidamente regresará a su posicióninicial. Otros ejemplos: El péndulo y una campana colgada.

2. Por otro lado, un lápiz parado sobre su punta está en equilibrioinestable; si su centro de gravedad está directamente arriba de supunta, la fuerza y el momento netos sobre él serán cero, pero si se

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desplaza aunque sea un poco, digamos por alguna corriente de aire o unavibración, habrá un momento sobre él y continuará cayendo en direccióndel desplazamiento original. Otro ejemplo: un bastón sobre su punta

3. Un cuerpo en equilibrio indiferente es una esfera que descansa sobre

una mesa horizontal; si se desplaza ligeramente hacia un ladopermanecerá en su posición nueva. Otro ejemplo: una rueda.

Un ladrillo que yace sobre su cara más amplia es más estable que si yace sobresu extremo, porque se necesitará más esfuerzo para hacerlo voltear. En el casoextremo del lápiz, la base es prácticamente un punto y la menor perturbaciónlo hará caer. En general, mientras más grande sea la base y más abajo esté elcentro de gravedad, será más estable el objeto.

Cuerpo rígido.Se define como un cuerpo ideal no deformable cuando se somete a fuerzasexternas. Con esta definición se elimina la posibilidad de que el objeto tengamovimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchassituaciones en las cuales la deformación del objeto es despreciable.El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimiento detraslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estudiar enforma separada esos dos movimientos.

EQUILIBRIO DE UN CUERPO RÍGIDO.

Para que un cuerpo rígido tenga equilibrio estático se debe cumplir que:• La sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo sean iguales a

cero, no existe aceleración lineal.

• La sumatorias de los torques que actúen sobre el cuerpo sean iguales acero, no existe aceleración angular

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Explicaremos que se llama torque:

TORQUE DE UNA FUERZA.

Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo

tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedadde la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física quellamamos torque o momento de la fuerza.Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puedeproducir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una regla,fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra en lafigura 6.1, la cual pueda tener rotación, y describamos el efecto que una fuerzade la misma magnitud actúa en distintos puntos sobre la regla fija en O .

• La fuerza F1 aplicada en el punto a produce en torno a O una rotación en

sentido antihorario (utilizando la regla de la mano derecha podemosdecir que el momento o torque de la fuerza es +),

• la fuerza F2 aplicada en el punto b produce una rotación horaria(utilizando la regla de la mano derecha, decimos que el torque es -) y conmayor rapidez de rotación que en a ,}

• la fuerza F3 aplicada en b , pero en la dirección de la línea de acción quepasa por O , no produce rotación (se puede decir que F3 ‘empuja’ a laregla sobre O , pero no la mueve),

• F4 que actúa inclinada en el punto b produce un torque negativo pero con

menor rapidez de rotación que la que produce F2;• F5 y F6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el

plano de la figura respectivamente, no producen rotación.

Con lo anteriormente descrito la cantidad que produce rotación en un cuerporígido relacionada con la fuerza, que es lo que definimos como el torque de lafuerza.

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El torque es una magnitud vectorial, calculándose por el producto vectorialentre la fuerza y el vector distancia ( brazo de la palanca) donde se aplica lafuerza, su dirección es siempre perpendicular al plano de los vectores r y F ,La unidad de medida del torque en el SI es el Nm (Newton - metro)

Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerzade gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producidopor su peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si

todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad . Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o¿por qué es imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas depie apoyado con los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una cargapesada con una mano, extiendes y levantas el otro brazo? Para responder aesto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro degravedad y su aplicación al equilibrio estático

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BIBLIOGRAFÍA .

Beer, Ferdinand y Johnston, E. Russell. MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Ed. Mc.Graw Hill. 4ta. Edición.

Nara, Harry R. MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Volumen I: Estática. EditorialLumusa, México 1977.

Serway, Raymond A. Física. Cuarta edición. Editorial McGraw-Hill, México 1996.

Glosario

Estático: Perteneciente o relativo a la estática. || Que permanece en unmismo estado, sin mudanza en él. || Dicho de una persona: Que se quedaparada de asombro o de emoción.

Torque: Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, elcuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La

propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitudfísica que llamamos torque o momento de la fuerza.

Torno: Armazón giratoria compuesta de varios tableros verticales queconcurren en un eje, y de un suelo y un techo circulares, la cual se ajustaal hueco de una pared y sirve para pasar objetos de una parte a otra,

Vector: Agente que transporta algo de un lugar a otro

Traslación: Acción y efecto de trasladar de lugar a alguien o algo

Rotación: Acción y efecto de rotar girar

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