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ÍNDICE
1.-INTRODUCCIÓN.
2.-OBJETIVOS GENERALES.
3.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
4.-LOS POLIEDROS.
5.-CLACES DE POLIEDROS.
6.-POLIEDRO REGULARES
7.-TETAEDRO.
8.-HEXAEDRO.
9.-OCTAEDRO.
10.-DODECAEDRO.
11.-ICOSAEDRO.
12.-POLIEDROS IRREGULARES
13.-PRISMA.
14.-PRISMAS RECTOS.
15.-PRISMAS OBLICUOS.
16.-PIRAMIDES.
17.-PIRAMIDES REGULARES.
18.-PIRAMIDES IRREGULARES.
19.-PROCEDIMIENTOS PARA CRERA UN POLIEDRO
Y UTILIDADES.
20.-CONCLUSIÓN.
21.-BIBLIOGRAFÍA.
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1.- Introducción
En esta investigación intentamos poner de manifiesto la importancia de
los poliedros en la que aparecen en diversos campos que han tenido
interés para el ser humano a lo largo de la historia. Hemos elegido este
tema, ligado en cierto modo en nuestro campo de investigación.
Con el trabajo que aquí presentamos, una versión reducida de otro más
extenso, nos gustaría contribuir en la medida de nuestras posibilidades
acercando las matemáticas a la sociedad.
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2.-OBJETIVOS GENERALES:
* Reconocer los diferentes poliedros y cada uno de sus elementos.
* Aplicar la técnica de construcción en el proceso de enseñanza de los
poliedros.
* Calcular el área y el volumen de los diferentes poliedros.
3.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS
* Definir el concepto de poliedro.
* Identificar los elementos de los diferentes poliedros.
* Construir poliedros con la utilización de diferentes materiales.
* Resolver problemas de aplicación de área de los poliedros.
*Resolver problemas de aplicación de volumen de los diferentes
poliedros.
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4.-LOS POLIEDROS
L os poliedros son elementos geométricos que disponen de caras planas y
que albergan un volumen que no es infinito. Las raíces etimológicas del
término, que se hallan en la lengua griega, refieren a “muchas caras”.
Puede entenderse a un poliedro como
un cuerpo sólido y tridimensional. Cuando todas
sus caras y ángulos son iguales, se lo califica como
un poliedro regular. De lo contrario, será
un poliedro irregular.
Otra clasificación posible está vinculada a la cantidad de caras que
presenta. Un poliedro de seis caras recibe el nombre de hexaedro, un
poliedro de cinco caras se conoce como pentaedro y así sucesivamente,
formando siempre la denominación con el prefijo griego correspondiente
(hexa, penta, tetra, etc.).
Por otra parte, se puede diferenciar entre poliedros cóncavos y poliedros
convexos. Los poliedros cóncavos son aquellos que, al unir dos puntos
situados dentro del cuerpo, el segmento correspondiente sale de la
superficie. En cambio, en los poliedros convexos, los segmentos que
vinculan dos puntos del espacio interior nunca salen del cuerpo
geométrico.
Un ejemplo de poliedro es el cubo, un poliedro regular de cuatro caras
iguales, cuyos ángulos interiores son congruentes entre sí. Esto quiere
decir que los dados construidos de esta manera son poliedros. Las cajas
cuyas caras son cuadrados también ingresan dentro del grupo de los
poliedros.
Otro ejemplo de poliedro son los prismas: en este caso, se trata de
poliedros irregulares. Es importante resaltar que las clasificaciones no
siempre son excluyentes. El prisma es un poliedro irregular (y, por lo
tanto, no es regular) pero, a su vez, es un poliedro convexo.
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5.-CLASES DE POLIEDROS
*POLIEDROS REGULARES.
*POLIEDROS IRREGULARES.
6.-POLIEDROS REGULARES
Sus caras son polígonos regulares iguales y sus ángulos poliedros tienen el
mismo número de caras.
Existen 5 poliedros regulares, que reciben sus nombres de acuerdo con el
número de caras. Ejemplos.
7.-TETRAEDRO: Un tetraedro (del griego τέτταρες "cuatro" y ἕδρα
"asiento") es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de
ser un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de
ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos
equiláteros, iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular.
TETRAEDROS EN LA NATURALEZA Y EN LA TÉCNICA:La forma tetraédrica
aparece en la naturaleza en ciertas moléculas de enlace covalente. La más
común de ellas es la molécula de metano (CH4), en la que los cuatro
átomos de hidrógenose sitúan aproximadamente en los cuatro vértices de
un tetraedro regular del que el átomo decarbono es el centro.
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8.-HEXAEDRO:Un hexaedro (del griego ἕξ "seis" y ἕδρα "asiento") es
un poliedro de seis caras. Con este número de caras ha de ser un poliedro
convexo, y sus caras han de ser polígonos de cinco lados o menos. Si las
seis caras del hexaedro son cuadrados congruentes, el hexaedro se
denomina regular (cuerpo frecuentemente conocido como cubo), siendo
entonces uno de los llamados sólidos platónicos.
Solo existen siete tipos de hexaedro.
Prisma rectangular o cuboide
lados de las caras:
4,4,4,4,4,4
8 vértices
12 aristas
Pirámide de base pentagonal
lados de las caras:
5,3,3,3,3,3
6 vértices
10 aristas
lados de
las caras:
5,4,4,3,3,
3
7 vértices
11 aristas
lados de
las caras:
5,5,4,4,3,
3
8 vértices
12 aristas
Doble tetraedro
lados de las caras:
3,3,3,3,3,3
5 vértices
9 aristas
lados de las caras:
4,4,4,4,3,3
7 vértices
11 aristas
Estos cuerpos tiene quiralidad: No
son sobreponibles sin realizar un giro
en el espacio.
lados de las caras: 4,4,3,3,3,3
6 vértices
10 aristas
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9.-OCTAEDRO:Un octaedro (del griego ὀκτώ "ocho" y ἕδρα "asiento" o
"cara") es unpoliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser
unpoliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de
serpolígonos de siete lados o menos. Si las ocho caras del octaedro
sontriángulos equiláteros, iguales entre sí, el octaedro es convexo y se
denomina regular, siendo una figura de los llamados sólidos platónicos.
FORMAS OCTAÉDRICAS OBSERVADAS EN LA
NATURALEZA:En cristalografía, es común encontrar cristales con
estructuras octaédricas. En algunos casos, esta estructura macroscópica es
un reflejo directo de la geometría molecular octaédrica que presentan a
nivel microscópico. Minerales del sistema regular que presentan hábito
cristalino octaédrico son, entre otros, el diamante, la magnetita y
la fluorita.
PROPIEDADES PARTICULARE.
Octaedro regular tiene tres ejes de simetría de orden cuatro, las rectas
que unen vértices opuestos; seis ejes de simetría de orden dos, las rectas
que unen los centros de aristas opuestas y cuatro ejes de simetría de
orden tres, las rectas que unen los baricentros de las caras opuestas;
nueve planos de simetría, tres que contienen cada grupo de aristas
coplanares, y seis perpendiculares a cada par de aristas paralelas; y
un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo tenga un orden de
simetría total de 72: 2x(3x4+6x2+4x3).
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10.-DODECAEDRO: Un dodecaedro (del griego δώδεκα, ‘doce’ y ἕδρα;
‘asiento’, ‘posición’, en geometría ‘cara’) es
un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de
ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro
son pentágonos regulares, iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se
denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos
platónicos. Recientes investigaciones científicas han propuesto que
el espacio dodecaédrico de Poincaré sería la forma del Universo1 2 3 y en el
año 2008 se estimó la orientación óptima del modelo en el cielo.
PROPIEDADES PARTICULARES.
Un dodecaedro regular tiene seis ejes de simetría de orden cinco, las
rectas que unen los centros de caras opuestas; quince ejes de simetría de
orden dos, las rectas que unen los centros de aristas opuestas;
quince planos de simetría, que contienen cada pareja de aristas
opuestas coplanares; y un centro de simetría. Esto hace que este cuerpo
tenga un orden de simetría total de 120: 2x(6x5+15x2).
Los elementos de simetría anteriores definen uno de los grupos de
simetría icosaédricos, el denominado según la notación de Schöenflies.
El dodecaedro tiene también diez ejes de simetría de orden tres: las rectas
que unen cada par de vértices opuestos. Subdividiendo cada cara del
dodecaedro en triángulosse pueden construir domos geodésicos.
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11.-ICOSAEDRO: Un icosaedro es un poliedro de veinte
caras, convexo o cóncavo. Si las veinte caras del icosaedro son triángulos
equiláteros y congruentes, iguales entre sí, el icosaedro es convexo y se
denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos
platónicos. El poliedro conjugado del icosaedro es el dodecaedro.
Cálculo de dimensiones fundamentales
Radio externo
Radio interno
Ángulo
El ángulo que forman los vectores que van del centro a dos vértices
adyacentes es constante y vale.
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12.-POLIEDROS IRREGULARES
Son aquellos que no tienen sus caras como polígonas regulares ni sus
ángulos poliedros iguales.
13.-PRISMA: tienen 2 caras basales congruentes y paralelas, por lo tanto
sus caras laterales corresponden a paralelogramos.
Hay dos tipos de prisma. Ejemplos
14.-PRISMA RECTOS:En geometría, un prisma es un poliedro con una
base poligonal de n lados, una copia de traslación (no en el mismo plano
que la primera), y otras n caras (todas necesariamente deben
ser paralelogramos) que une los lados correspondientes de las dos bases.
Todas las secciones transversales paralelas a las caras de la base son
iguales. Los prismas se nombran para su base, por lo que un prisma de
Familia de prismas uniformes y rectos
Simetría 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
[2n,2]
[n,2]
[2n,2+]
Imagen
Como poliedros esféricos
Imagen
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15.-PRISMA OBLICUOS: Sus aristas laterales no son perpendiculares a las
Bases. PRISMA PENTAGONAL OBLICUO
Área lateral= perímetro de la base X altura del prisma
Área total= área lateral + 2 x área de la base
PRISMA HEXAGONAL OBLICUO
Área lateral=perímetro de la base X altura del prisma
Área total= área lateral + 2 X área de la base
PRISMA CUADRANGULAR OBLICUO
Área lateral=perímetro de la base X altura del prisma
Área total=área lateral+2 X área de la base
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16.-PIRÁMIDES
Una pirámide es un poliedro limitado por una base, que es un polígono con una cara; y por
caras, que son triángulos coincidentes en un punto denominado ápice.
17.-PIRÁMIDE REGULAR: La pirámide regular es un cuerpo geométrico limitado por un
polígono regular, llamado base, y por tantos triángulos como lados tenga la base.
Se nombran diciendo PIRÁMIDE y el nombre del polígono de la base. (Ejemplo: Pirámide
cuadrangular).
Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando
las siguientes formulas:
(Es decir, es área lateral es igual al perímetro del polígono de la base multiplicado por la
altura de una cara lateral ( a ) de la pirámide y dividido entre 2)
ÁREA TOTAL
(Es decir, el área total es igual al área lateral mas el área del polígonos de la base)
VOLUMEN
(Es decir, el volumen es igual al área del polígono de la base multiplicado por la altura ( h ) de
la pirámide y dividido entre 3)
AL = P · a / 2
AT = AL + Ab
V = Ab · h / 3
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18.-PIRÁMIDE IRREGULAR:
La mayoría de las pirámides que son estudiadas en la preparatoria son pirámides regulares.
Estas pirámides tienen las siguientes características:
1) La base es un polígono regular.
2) Todas las orillas laterales son congruentes.
3) Todas las caras laterales son triángulos isósceles congruentes.
4) La altitud converge en la base a su centro.
La altitud de una cara lateral de una pirámide regular es la altura de inclinación. En una
pirámide irregular, la altura de inclinación no está definida.
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16.- PROCEDIMIENTOS PARA CREAR POLIEDROS Y
UTILIDADES
POLIEDROS
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S
POLIEDROS REGULARES
TETRAEDRO
HEXAEDRO
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OCTAEDRO
DODECAEDRO
18
POLIEDROS IRREGULARES
PRISMAS
PRISMAS RECTOS
PRISMA OBLICUOS
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PIRÁMIDES
PIRÁMIDE REGULAR
PIRÁMIDE IRREGULAR
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POLÍGONOS
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17.-CONCLUSION
La conclusión a la que llegamos es que los
poliedros son parte de nuestra vida diaria no solo en edificaciones sino
también en todo
lo que
nos rodea
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18.-BIBLIOGRAFIA
PAGINAS DE AYUDA
http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/111213_poli
edros.elp/tipos_de_poliedros.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Poliedro
http://www.vitutor.com/geo/esp/f_2.html
https://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20070822162354AAt
HEXp
http://worldmath.wordpress.com/clasificacion-de-los-poliedros/
