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8/18/2019 Monografia Derivada direccional
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FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE
INGENIERÍA CIVIL
CENTRO ULADECH – PIURA
“DERIVADAS DIRECCIONALES Y VECTOR
GRADIENTE”
“DIRECTIONAL DERIVATIVES AND THE GRADIENT
VECTOR”
AUTOR: JUAREZ ALQUIZAR, José Isaías
Email.: [email protected]
Direcci! "os#al: A$. %& 'e Oc#u(re )o#e *2&
+,icla-i#o +as#illa "iura
PIURA – PERÚ
2016
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INTRODUCCIN
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación
geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la
pendiente de la tangente a
la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación
a campos dependientes
de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función
h(x, !, "ue
representa la altura de los puntos de una monta#a. Si nos
situamos en un punto de la
ladera, $"ué significa la %pendiente% de la monta#a& 'a no
una, sino infinitas
pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los
puntos situados a la
misma altura "ue en el "ue estamos, o en cual"uier dirección
intermedia.
a cosa es a)n más complicada para campos escalares, dependientes
de las tres
coordenadas, a "ue en ese caso ni si"uiera podemos imaginar "ué
significa una
pendiente.
*or ello, la extensión del concepto de derivada a campos
escalares debe hacerse de una
forma espec+fica. *odemos definir una derivada a lo largo de una
dirección
determinada, pero nada más.
*ara maximiar el aprendiaje del concepto de derivada direccional
desde un punto de vista constructivo, será necesario hacerlo a
través de la manipulación del -*raph, un
excelente programa "ue facilita la visualiación de las
superficies, de las curvas
coordenadas en cada dirección de las rectas tangentes cuas
pendientes vienen
determinadas por las derivadas direccionales, as+ como del plano
tangente generado
por todas ellas.
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2 Definición
-efinimos la derivada direccional de un campo escalar en un
punto seg)n una
dirección marcada por el vector unitario , de la siguiente
manera:
• Consideramos el desplaamiento pe"ue#o desde en la dirección
marcada
por
• Calculamos el incremento en la función / entre el punto
inicial el final
• a derivada direccional se define como el l+mite del cociente
entre el
incremento de / la distancia recorrida, cuando la distancia
recorrida tiende
a cero.
a idea es "ue el cociente entre los incrementos nos da la
0pendiente media1 en una
dirección, su l+mite nos da la 0pendiente de la tangente1 a la
función en dicha
dirección. 2n un campo bidimensional, "ue se puede representar
mediante una
elevación, como la altura de una monta#a, esta interpretación
posee significado
geométrico. 2n tres dimensiones la interpretación geométrica no
es aplicable, pero la
idea algebraica es la misma.
3 Derivadas parciales
3n caso particular importante de derivada direccional lo dan las
derivadas parciales.Supongamos "ue "ueremos calcular la derivada
direccional en la dirección marcada
por . a aplicación del l+mite nos da
pero, si consideramos como función de las tres coordenadas , ,
moverse en la
dirección de e"uivale a variar la coordenada , manteniendo las
otras dos
constantes, esto es
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esto es, resulta la derivada ordinaria de la función con
respecto a , tratando a
como constantes. 2sta es la interpretación habitual de derivada
parcial.
4emos, no obstante, "ue las derivadas parciales pueden
entenderse como las derivadas
direccionales seg)n las direcciones paralelas a los ejes
coordenados.
4 Ejemplo
Como ejemplo sencillo consideremos el campo escalar
a derivada direccional de este campo en un punto seg)n la
dirección marcada
por es
-esarrollando el producto "ueda:
5a "ue es un vector dividido por su módulo, lo "ue da el
unitario en su
dirección.
4 Conclusiones
2ste trabajo está dirigido a facilitar el aprendiaje del
concepto de derivada direccional
desde un punto de vista constructivo, a través de la
manipulación del programa
-*raph, "ue facilita la visualiación de las superficies, de las
curvas coordenadas en
cada dirección, de las rectas tangentes cuas pendientes vienen
determinadas por las
derivadas direccionales, as+ como del plano tangente generado
por todas ellas.
2ntendemos "ue la interacción con todos estos fenómenos, audan
al alumno a
asimilar esta generaliación de la derivada de funciones reales
de una variable a
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enri"uecer su visión tridimensional, as+ como a integrarla como
una herramienta más,
en sus raonamientos.
5 Referencias bibliográficas
6 7adrigal 7uga, 8., *roecto -escartes 3n enfo"ue interactivo en
el aprendiaje de las
matemáticas. 8ornadas 0as matemáticas sus aplicaciones: un reto
en la ense#ana
actual1. 2nero 99, 4alencia. *rograma -escartes
http:;;
