Monografia - Mate IV(2da Parte) (1)

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA

CIVIL

ASIGNATURA: Matemática IV

TEMA: Métodos de Integración

SEMESTRE ACADEMICO: 2014 - 01

CICLO: V

DOCENTE: Lic. Ysela Alva Ventura

INTEGRANTES:

Rodríguez Salinas Jorge

Miranda Castro Robin

Obregón Flores Lenin

Mamani Velásquez Juan

CHIMBOTE - 2014

ULADECH- CATOLICA Métodos de Integración

Matemática IV Página 2

INTRODUCCIÓN

En este tema trataremos las diversas maneras de cómo resolver un a integral, con la ayuda

del Teorema Fundamental del Cálculo, desarrollaremos las principales técnicas de

Integración que nos permitirán encontrar las integrales indefinidas de una clase muy

amplia de funciones. En cada uno de los métodos de integración, se presentan ejemplos

que van desde los casos más simples, qué nos permiten llegar de manera gradual hasta los

que tienen un mayor grado de dificultad.

Trataremos los principales métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la

integral buscada a una integral ya conocida, como por ejemplo una de las de la tabla, ó bien

reducirla a una integral más sencilla.



INDICE

ÍNDICE ………………………………………………. 3

METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN…….………………………….. 4

1.-METODOS DE INTEGRACIÓN..…………………………………………. 5

1.1. DEFINICION …………………………………………. 5

1.2CONCEPTO DE INTEGRACIÓN ………………………………. 5

2.-DESCOMPOSICIÓN DEL INTEGRANDO EN FRACCIONES SIMPLES…8

3.-INTEGRACIÓN POR PARTES……………………………………………….10

4.-CAMBIO DE VARIABLE…… ……………………………………………. 12

5.-INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS……………………13



METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN

La metodología usada para hacer este informe monográfico se basa básicamente en la

recopilación de información publicada en la web y la organización según una secuencia

lógica y didáctica del tema desarrollado.

Al ser la teoría matemática amplia y tener varias ópticas bajo diversos especialistas, en

el desarrollo de esta monografía la óptica mas aplicativa, dejando de lado la parte

axiomática y rigurosa que exige este tema como todo los demás informes científicos.



1.-METODOS DE INTEGRACIÓN

Una condición indispensable para poder integrar es dominar la derivación, Otro aspecto a

destacar son las relaciones entre las razones trigonométricas que nos ayudarán a realizar

transformaciones en algunos integrados.

1.1.-DEFINICIÓN:

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales

usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente

combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

1.2.-CONCEPTO DE INTEGRACIÓN

Integrar una función f(x) es encontrar otra función F(x), llamada primitiva, cuya derivada

debe ser la función que queremos integrar: D(F(x)) = f(x). Se trata por tanto de buscar una

función que al derivarla nos de la función de la que partimos, aplicando las reglas de

derivación en sentido inverso. De ahí la necesidad de dominar la derivación.

Aquellas integrales que se puedan resolver aplicando la definición de primitiva se

denominan INTEGRALES INMEDIATAS.

El segundo requisito para dominar la integración es saber distinguir una integral inmediata

de la que no lo es. Veamos algunos ejemplos.

a) ∫2cosx dx = 2 sex b) ∫ex · cosx dx

c) ∫Lx dx d) ∫Lx/x dx= (Lx)2/2

e) ∫2 ex dx = 2.e

x f) ∫e

x · x

2 dx

http://es.wikipedia.org/wiki/Antiderivada

http://es.wikipedia.org/wiki/Integral_indefinida



Si observas con detenimiento estos ejemplos te darás cuenta que las integrales a), d) y e)

son inmediatas, mientras que para las demás no podrás encontrar una primitiva sin aplicar

algún método de integración.

A continuación, presentamos algunos ejemplos más. Fíjate en las pequeñas

transformaciones que se realizan.

∫5x· cos(x²+3) dx = 5/2∫2 x·cos(x²+3) dx = 5/2 sen (x²+ 3)

∫5x/ √1 + x² dx = 5∫x/(1 + x²)½ dx = 5 √(1+ x²)

Es importante prestar atención a las integrales cuyo integrando es racional. El primer

paso será observar la relación entre el grado del numerador y del denominador. Si el del

primero es superior será necesario realizar la división de polinimios y expresar el radicando

como C(x) + R(x)/D(x). El cociente será una integral inmediata y se continuará con la

fracción.

La integral de integrando fraccionario será de tipo logarítmico si en el numerador

encontramos la derivada del denominador, de tipo potencial si el denominador es una

potencia y en el numerador encontramos la derivada de la base o de tipo arcotangente si en

el numerador encontramos la derivada de la expresión que en el denominador está elevada

al cuadrado.

∫2x2/ x

3+ 1 dx = 2 ∫x

2/ x

3+ 1 dx = 2/3 Lx

3+ 1

∫x2/ x

6+ 1 dx = 1/3 arctg x

3

∫2x2/ (x

3+ 1)

5 dx = 2∫x

2/ (x

3+ 1)

5 dx= - 2/15 (x

3+ 1)

4

∫3x3+ x

2-10x + 1/ x

2- x - 2 dx = ∫(3x + 4) dx + ∫9/ x

2- x - 2 dx

Si no se trata de ninguno de estos casos, como la última integral presentada, se observa si el

denominador se puede descomponer. En este caso se aplicara el método de

descomposición del integrando en fracciones simples. En caso contrario, se tratará de una

integral tipo arcotangente o neperiano-arcotangente.



Para resolver una integral tipo arcotangente o neperiano-arcotangente se pueden aplicar

fórmulas que se pueden deducir con facilidad:

∫ 1/ a²+x² dx = 1/a arctg x/a

∫ Df(x)/ a²+ (f(x))² dx = 1/a arctg f(x)/a

∫ 1/ 9 +x² dx = 1/3 arctg x/3

∫ 1/ x²+ x+1 dx = 4∫ 1/ (2x+1)²+3 dx = 2 3 /3arctg 2x+1/ 3

∫ 2x+7/ x²+x+1 dx = ∫ 2x+1/x²+x+1 dx + ∫ 6/ x²+x+1 dx =

Lx2+x+ 1+ 12 3 /3arctg 2x+1/ 3



METODOS DE INTEGRACIÓN

2.- DESCOMPOSICIÓN DEL INTEGRANDO EN FRACCIONES SIMPLES:

Tras descomponer el denominador, podemos encontrarnos diferentes situaciones:

a) p(x)/ q(x) = A/x-a + B/x-b + C/x-c … (factor lineal y simple)

b) p(x)/q(x) = … + P/(x-p)² + Q/(x-p) ( factor lineal doble)

c) p(x)/q(x) = ... + Mx+n/ax² +bx +c + ... ( factor cuadrático)

Este método se utiliza para descomponer la integral en una suma o resta de integrales

inmediatas.

∫ 3x+5/ x³-x²-x+1 dx

1º-> Descomposición en factores del denominador

x³– x²– x + 1 = (x+1) (x-1)²

2º-> Descomposición en fracciones simples del integrando.

3x + 5/ x³-x²-x+1 = A/(x+1) + B/(x-1)2 + C/(x-1)



3º-> Al multiplicar ambos miembros de la igualdad por el denominador descompuesto en

factores, obtenemos:

3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)

4º-> Los valores de A, B y C se obtienen dando los valores de las raíces (por comodidad) y

el cero.

[x=1] 3x + 5 = A (x – 1)² + B (x + 1) + C (x + 1)(x – 1)

3(1)+5 = A (1 – 1)² + B (1 + 1) + C (1 + 1)(1 – 1)

8=2B

[B=4]

[x=-1] 3(-1)+5 = A (-1 – 1)² + B (-1 + 1) + C (-1 + 1)(-1 – 1)

2= 4A

[A= 1/2]

[x=0] 3(0)+5 = A (0 – 1)² + B (0 + 1) + C (0 + 1)(0 – 1)

5= A + B – C

5= ½ + 4 –C

[C= -1/2]

5º-> Sustituir y resolver

∫3x+5/x³-x²-x+1 dx =

1/2∫1/(x-1) dx + 4∫1/(x-1)²dx – 1/2 ∫1/x-1 dx =

1/2 Lx+1- 4/x+1 – 1/2 Lx-1



3.- INTEGRACIÓN POR PARTES:

Las integrales que se resuelven aplicando este método son aquellas en cuyo integrando

aparecen:

- Funciones logarítmicas, siempre que no contenga su derivada.

- Arcoseno y arcotangente.

- Producto de funciones que no sean la derivada de una función compuesta.

Para aplicar este método a una parte del integrando se le llama u (logaritmo,

arcoseno,arcotangente..) y al resto dv. A continuación se aplica la siguiente fórmula: ∫u dv

= u·v - ∫ v du . La integral resultante nunca puede ser más complicada que la de partida.

∫x²· e2x

dx = x²· e²/2 - ∫e2x

/2 · 2x dx

u = x² du = 2x dx

dv = e2xdx

v = e²/2

Siempre que en el integrando aparezca una potencia de x, sele llamará u, a no ser que nos

encontremos con un logaritmo, arcoseno o arcotangente.

∫e2x

/2 · 2x dx = ∫e2x

x dx = x· e2x

/2 -∫ e2x

/2 dx =

x· e2x

/2 - 1/4∫2 e2x

dx = x· e2x

/2 - 1/4 e2x

u = x du = dx

dv = e2x

dx v = e2x

/2

∫Lx dx = Lx · x - ∫x · 1/x dx = x Lx - x



u = Lx du = 1/x dx

dv = dx v = x

∫ex · cosx dx = e

x · senx - ∫senx · e

x dx

En este caso se puede llamar x indistintamente a cualquiera de las dos funciones.

u = ex du = e

x dx

dv = cosx dx v = senx

∫senx · ex dx = - e

x · cosx + ∫cosx · e

x dx =

u = ex du = e

x dx

dv = senx dx v = - cosx

∫ex · cosx dx = e

x · senx + e

x · cosx - ∫cosx · e

x dx

2 ∫ex · cosx dx = e

x · senx + e

x · cosx

∫e · cosx dx = 1/2 ex (senx + cosx)



4.- CAMBIO DE VARIABLE:

Este método es el más complicado de identificar. La condición indispensable que debe

cumplirse es en el integrando debe estar la derivada de la función a la que llamaremos t.

Se resulten por este método las integrales de radicando irracional que no sean inmediatas

∫ex/ e

2x +3e

x+2 dx= ∫1/ t²+3t+2 dt =

1/3∫1/(t+1)dt - 1/3∫1/(t+2)dt =

t = ex

dt = ex dt

= 1/3 ∫1/(t-1) dt – 1/3∫1/(t-2) dt = 1/3 L|t-1| - 1/3 L |t+2| =

= 1/3 L|ex -1| - 1/3 L|e

x +2|

∫x 1x dx t2 = x-1

2t dt = dx



5.-INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS:

Para la resolución de este tipo de integrales es importante conocer las relaciones

trigonométricas más usuales

Veamos algunos ejemplos

∫tg3x dx = ∫tg

2x tgx dx = ∫(sec

2x -1)tgx dx = … = tg

2x/2 + L|cosx|

∫tgx /cosx-1 dx = ∫senx/cosx (cosx-1) dx = - ∫1 /t(t-1) dt = ... =

t = cosx

dt = - senx dx

= - L |t-1| + L |t| = - L |cosx - 1| + L |cosx|

∫sen5x sen3x = ∫cos2x – cos8x/2 dx = 1/4 sen2x – 1/16 sen8x

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