UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL

FACULTAD REGIONAL TUCUMAN

Estabilidad

Monografía Nª02

DOCENTE: Ing. David Aguirre

ALUMNO: Pérez Gerardo Darío

COMISION: 2M1

AÑO: 2012

*Par de fuerzas

Par de fuerzas, es un sistema formado por dos fuerzas de la misma intensidad o módulo, pero de sentido contrario, que actúan sobre dos rectas de acción paralelas.

Al aplicar un par de fuerzas a un cuerpo se produce una rotación o una torsión. La magnitud de la rotación depende del valor de las fuerzas que forman el par y de la distancia entre ambas, llamada brazo del par.

Un par de fuerzas queda caracterizado por su momento. El momento de un par de fuerzas, M, es una magnitud vectorial que tiene por módulo el producto de cualquiera de las fuerzas por la distancia (perpendicular) entre ellas “d”. Esto es,

* Teorema de varignon

El teorema de Varignon es visto, gracias al empleo del cálculo vectorial, como una obviedad. Sin embargo, en su época tuvo una relevancia fundamental, ya que las fuerzas no eran vistas como vectores con un módulo, dirección y sentidos dados, sino como entelequias tremendamente abstractas cuyo tratamiento se veía complicado por una difícil e ineficaz semántica y simbología (que la notación de Leibniz vino a solventar), y por el empleo de técnicas geométricas muy ingeniosas pero difíciles de tratar.

Su enunciado, según la terminología actual, vendría a ser:

El momento resultante sobre un sistema de fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las fuerzas aplicadas.

Demostración

Sea un sistema de n fuerzas concurrentes, , vectores en un espacio euclídeo, que tiene como punto de aplicación un cierto punto A. El momento de cada fuerza con respecto a será: (producto vectorial). Nótese que escribimos y no , ya que todas las fuerzas se aplican en el mismo punto. El momento de la resultante es: donde

y es nuevamente el vector posición común. Aplicando la propiedad del producto vectorial, tenemos

Entonces

Luego, efectivamente "el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de las fuerzas aplicadas si estas son concurrentes",

Fuerzas paralelas

Si sobre un cuerpo rígido actúan dos o más fuerzas cuyas líneas de acción son paralelas, la resultanteTendrá un valor igual a la suma de ellas con su línea de acción también paralela a las fuerzas, pero supunto de aplicación debe ser determinado con exactitud para que produzca el mismo efecto que lascomponentes. En los siguientes ejemplos se determinará en forma gráfica en punto de aplicación de laresultante de dos fuerzas paralelas con igual y diferente sentido:

En la figura se tiene una barra de 90 cm de longitud, soportando una fuerza de 20 N y otra de 30 N. Laresultante evidentemente es la suma de las dos fuerzas, o sea 50 N, pues actúan en forma paralela y conel mismo sentido. Para encontrar el punto donde debe actuar la resultante, se produce de la siguienteforma, tal como se ve en la figura: se traza una paralela de F2 sobre F1 en el mismo sentido, después

una paralela de F1 a partir del origen de F2 pero en sentido contrario. Se traza una línea uniendo losextremos de F1 y F2 de tal forma que en punto preciso en que la línea corta la barra, se tendrá el origen

o punto de aplicación de la resultante a 54 cm. de F1.

Polígono funicular :

es un procedimiento gráfico para el cálculo de reacciones y fuerza resultante a partir de un conjunto de fuerzas coplanares. El nombre procede del latín funiculum 'cordel, cuerda pequeña' y se refiere al hecho que el polígono funicular de un sistema de fuerzas sería precisamente la forma que adoptaría un cordel sometido a dicho sistema de fuerzas. Es decir una catenaria.

Un sistema de tres fuerzas y dos polígonos funiculares diferentes abcd en negro y a'b'c'd' en rojo, para dicho sistema de fuerzas. Su construcción se aclara en la

siguiente sección.

- Procedimiento:

Dado un sistema finito de fuerzas de n coplanares el polígono funicular consta de n+1 lados. Para encontrarlos se dibuja un diagrama de fuerzas para encontrar la fuerza resultante. Y se siguen los siguientes pasos:

1. Se selecciona un punto arbitrario del diagrama de fuerzas llamado polo O.2. Se trazan los llamados radios polares que unen los extremos de las fuerzas

con el punto O, al existir n fuerzas existirán n+1 extremos y por tanto el mismo número de radios polares.

3. Se toma el primero de los radios polares y se dibuja una semirrecta paralela al mismo que se interseque con la recta de acción de la primera fuerza.

4. Se consideran el segundo, tercero, ..., n-ésimo radio polar y se dibujan segmentos paralelos entre las rectas de acción de las fuerzas originales, uno a continuación de otro.

5. Se toma en (n+1)-ésimo radio polar y se dibuja una semirecta empezando desde el extremo del último segmento dibujado.

Así los n+1 radios polares del diagrama de fuerzas constituyen una línea polígonal continua, que es precisamente el polígono funicular asociado a la elección del polo O. Nótese que si se toma un polo diferente O' y se repite el procedimiento de 5 pasos anterior se obtiene un polígono funicular diferente, pero que es igualmente válido para calcular el punto de paso de la resultante.

- Cálculo de la resultante

Nótese que dado un sistema de fuerzas coplanares con puntos de aplicación diferentes , se llamará fuerza resultante a una fuerza:

Cuya recta de acción pasa por el punto adecuado. Para determinar la recta de paso , o equivalentemente un punto de paso, de dicha recta se usa el polígono funicular. Más concretamente se dibuja un polígono funcicular cualquiera para el sistema de fuerzas y se prologan las dos semirectas extremas de dicho polígono funicular obteniéndose un punto de corte. La existencia de dicho punto de corte está garantizada siempre y cuando la resultante sea diferente de cero. Ese punto de corte es pertenece a la recta de acción de la fuerza resultante y por tanto queda resuelto el problema de situar la fuerza resultante en el lugar adecuado.

- Cálculo de reacciones

Dado un sistema isostático en equilibrio en el que actúan sólo dos reacciones RA y RB, de las que se conocen los puntos de aplicación PA y PB de las mismas y la dirección de una de ellas. Puede usarse el método del polígono funicular para encontrar gráficamente el valor de dichas reacciones. Para ello se aplica la propiedad evidente de que un sistema de tres fuerzas en equilibrio deben ser concurrentes en un punto y a continuación se siguen estos pasos:

1. Se calcula mediante el polígono funicular la recta de acción de la resultante FR, tal como se explicó en el apartado anterior.

2. Se busca la recta de acción de la reacción de dirección conocida (supongamos sin pérdida de generalidad que esta es la que se llamó RA), y se busca se intersección Pin con la recta de acción de la resultante.

3. Se une el punto de paso de la otra reacción (es decir, RB) con el punto encontrado anteriormente y se traza una recta, es decir, se busca la recta que pasa por Pin y PB. Esta recta tendrá la dirección de la reacción RB.

4. Conocidos ahora las direcciones de RA, RB y FR basta construir un triángulo orientado de lados paralelos a las tres direcciones anteriores. A partir de las longitudes de los lados del triángulo pueden deducirse trivialmente el valor de las sumas de las reacciones.