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TVM(x,h). -TVM(x,h). h. f(x+h). h. ] b. ] b. [ a. [ a. x. x+h. x. x+h. Monotonía y curvatura. Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo. f(x). f(x+h). f(x). Función creciente en [a, b]. Función decreciente en [a, b]. f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0. - PowerPoint PPT Presentation
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Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 1
X
Y
Monotonía y curvatura
Monotonía: crecimiento y decrecimiento en un intervalo
[a
]b
x
f(x)
x+h
f(x+h)h
Función creciente en [a, b]
f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0
TVM(x, h) > 0 (x, x+h) y h >0
TVM(x,h)
X
Y
[a
]b
x
hf(x)
Función decreciente en [a, b]
-TVM(x,h)
f(x) < f(x+h), (x, x+h) y h >0
TVM(x, h) < 0 (x, x+h) y h >0
f(x+h)
x+h
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 2Monotonía y curvatura
Derivadas y monotonía
X
Y
[a
]b
Función creciente en [a, b]
X
Y
[a
]b
Función decreciente en [a, b]
x
f '(x) = tg > 0 x [a, b]
x
f '(x) = tg < 0 x [a, b]
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 3
- 4 - 2 2 4X
- 3
- 2
- 1
1
2
3
YSiempre positivo
Monotonía y curvatura
Ejemplo2x
Intervalos de monotonía de y = 1 + x2
y ' = 2(1 - x)(1 + x)
1 + x2
1 + x2
2(1 - x)(1 + x) = 0 x = 1;
-1 1y’ < 0
y’ > 0
y’ < 0
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 4Monotonía y curvatura
Curvatura: convexidad y concavidad
X
Y
[a
]b
X
Y
[a
]b
X
Y
[a
]b
X
Y
[a
]b
Tasa de variación media positiva y creciente:creciente: función convexa Tasa de variación media negativa y creciente:creciente: función convexa
Tasa de variación media positiva y decreciente:decreciente: función cóncava Tasa de variación media negativa y decreciente:decreciente: función cóncava
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 5
X
Y
[a
]b
Monotonía y curvatura
Derivadas y curvatura: convexidad
Las pendientes de las tangentes aumentan f ' es creciente f " > 0 función convexa
X
Y
[a
]b
x1 x2
tg tg f '(x1) < f '(x2)
x1 x2
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 6
X
Y
[a
]b
X
Y
[a
]b
Monotonía y curvatura
Derivadas y curvatura: concavidad
x1 x2
x1 x2
tg tg f '(x1) > f '(x2)
Las pendientes de las tangentes disminuyen f ' es decreciente f " < 0 función cóncava
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 7Monotonía y curvatura
Puntos de inflexión
X
Y
P(a, f(a))
f" < 0
f" > 0
f"(a) = 0
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 8Monotonía y curvatura
Puntos extremos: máximos y mínimos relativos
X
Y
f ' < 0 f ' > 0 f ' < 0a
b
f ' (a) = 0f " (a) > 0
f " (b) < 0f ' (b) = 0
mínimorelativo de
coordenadas (a, f(a))
máximorelativo de
coordenadas (b, f(b))
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 9Monotonía y curvatura
Máximos y mínimos (I)
Costa
•
•
A
B
Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible
3 km.7 km.
10 km.
IMAGEN FINAL
Algoritmo 2001 - Matemáticas ITema: 14 10Monotonía y curvatura
Máximos y mínimos (II)
•
•
A
B
3 km.7 km.
10 km.
•
A'mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =
= ACB
CX 10 - X
3x = 7
10 -x x = 3
¿Se podrían hacer utilizando las derivadas? IMAGEN FINAL
