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Movimiento en El Plano. Parabolico y de Proyectiles
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8/18/2019 Movimiento en El Plano. Parabolico y de
Proyectiles
1/5
Un cuerpo
atiquieie
un movlmlento
semlparabóhco,
cuando
se
lanza
horlzontalmente
desde
clerta
altura
cerca
a Ia
superflcle
de
Ia
Tlerra.
jr:¡:r-irl
.:l:I
'1.
1
,'
':
"'ra
En
-este
apartado
describiremos
el movimiento
de
un
cuerpo
cerca
de la'superficie
terrestre,
cuando
es
sometido
a la
acción
de'la
acele-
racién
de la
gravedad
(g).
Examinaremos
por
ejemplo
Ia
trayectoria
seguida
por
un
objeto
que
es
lanzado
con
cierta
velócidad
horizontal
descie
determinada
altura
o
el
movimiento
de
un
proyectil
al
cual
se
le da
una velocidad
inicial
y
se
lanza
formando
un
angulo de
incli-
nación
respecto
a la superficie
de la
Tierra.
Movimiento
serniparabólico
Descripclén
del movimlento
si
una esfera
rueda
sobre
una
superficie
horizontal
sin rozamiento,
decimos que
está dotada
de
movimiento
uniforme.
pero
si
esa
misma
esfera
se- deja
caer desde
cierta
altura,
vemos que
adquiere
un
movi-
miento
de
caída
libre,
uniformemente aceleradq
debldo
a
la.acüón
de la
aceleración
de
la gravedad.
vemos
cómo
el
principio
de
Galileo
se
cumple
estrictamente
en
este
movimiento: "cuando
un
cuerpo
es
somettdo
stmuttáneamente
a do¡
movlmientos,
cada
uno
de
éstos
se
cumple
independtentemente".
supongamos que
la
esfera
rueda
sobre
la
superficre
sin
rozamiento
con
cierta
velocidad
v,,
hasta
el
punto
p
donde
termina
Ia
superficie.
¿ou-e
tipo-de
trayectoria
seguirá
áespués
la
esfera?
¿continúa
con
mo
ümiento
horizontal?
¿Inicia
un
movimiento
de caída
hbre?
¿Describe
una curva?
iQué tipo
de curva? En
el
dibujo
de
la
figura
4.6 se
mues-
tra
en
color
rojo
la
trayectoria
que
seguiría
la
esfeia
si
no
estuviera
sometida
a la
acción
de la gravedad;
en
color
azul
aparece
la
trayec-
toria
que
tendría
la
esfera
si
no llerrara
la
velocidad
horizontal
vo,
y
tuviera
un
moümiento
de
caída
libre;
en
negro
aparece
la
trayectoriá
de
la
esfera
cuando
es
sometida
ala
acción
de
esio*
dos movimierri
-
8/18/2019 Movimiento en El Plano. Parabolico y de
Proyectiles
2/5
A.
Observa
el
desarollo
del
rtgulente
eferclclo:
Una
esfera
es
lanzada
horizontalmente
desde
una
altura
de
24
m
con
velocidad
inicial
de
100
m/s
Calculan
a.
El
tiempo
que
dura
la
esfera
en
el aire.
b.
El
alcance
horizontal
del
proyectil.
c.
La
velocidad
con
que
la esfer4llega
al suelo.
SoIuclón:
a.
El
tiempo
que
demora
la
esfera
en el'aire
de-
pende
éxclusivamente
de
la
altura
a
la cual
está.
De
la ecuación
,=+,
se
despeja
t; t
=
E
B. Re¡uelve
loo elgulentee
problemar-
(Utilizag=
l0m/s2):
l.
Desde
el borde
de
una
mesa,
se
lanza
horizon-
,
talmente
un
cuerpo A, con-cierta
velocidad
inicial,
y
simultáneameñte
se
deja
caer
desde
el
mismo
punto un
c-üerfo
B.
¿Cuál
de los
dos
llega
primero
al suelo?
2.
Un
proyectil
es
lanzado
horizontalmente
ded-
de
unJ
altura
de
36
metros
con
velocidadde
45
mls.
Calcula:
a. El
tiempo
que
dura
el
proyectil en el aire.
b.
El alcance
horizontal
del
proyecti .
c.
La
velocidad
que
posee
el
proyectil
al
llegar
al
suelo.
3.
Desde
un
bombardero
que
viaja con
t¡na
ve-
locidad
horizontal
de
420
km/h
a
una altura
de 3500
m
se
suelta
una
bomba
con el
fin
de
explotar
un
objetivo
que
está
situado
sobre
la
superficie
de
la Tierra
¿Cuántos
metros
antes
de
llegar
al
punto exactamente
encima
del
objetiio
debé
ser
soltada
la
bomba,
para
dar
en el
blanco?
4.
Una
pelota sale
rodando
del
borde
de una
mesa
Ce
1.25
m
de
altura'
Si
cae
al
suelo
en
ün
punto situado
a
1.5
m
del
pie
de
la mesa
¿qué
velocidad
llevaba
la
pelota
al
salir
de
la
mesa?
$.
Una
pelota
sale
rodando
por
el borde
de una
escaléra
con
una
velocidad
horizontal
de
1.08
m/s.
Si
los
escalones
tienen
18 cm
de altura
y
i
8
cm
de
ancho,
¿cuál
será
el
primer escalón
que
toque
la
Peiotd
6.
Un
avión
que
vuela horizontaimente
a una
altura
de
2
km
y
con
una
velocidad
de 700
km/h
sufre
una
avería
al desprendérsele
un
moior.
¿Qué
tiempo
tarda
elmotoren
llegaral
suelo?
¿Cuál
es
su
alcance
horizontal?
7.
Dos
cuerpos,
A
y
B,
se
dejan
caer
simultánea-
mente
desde
una
altura
h,
pero
el
cuerp
B'
choca
durante
su
recr¡rrido
con Lrn
plano incli-
nado
45",
el
cual
le
proporciona
una
velocidad
horizontal
vr.
¿Cnál
de
los dos
cuerpos
llega
b,
t
:2.21
s
El alcance
horizontal
de
la
esfera,
depende
del
tiempo
que
ésta
pennanece
en el
aire
y
de
la
vdoéidad
horizontal
con
que
se
lanzó.
.f
=
vot;
.r
=
(100
m/s)
(2.21
s);
x
=
221m
La
velocidad
que
posee la esfera
cuando
llega
al
suelo,
es
la
suma
de
las
velocidades
hori-
zontal
y
vertical
en
ese
instante.
En
¡,
la
velccidad
es
constante,
por
lo tanto
v¡
=
vo
=
100 m/s.
En
y, la
velocidad
se
calcula
con
la expresión
vv
=
gt'
v,
=
(9.8
m/s2)
(2.21
s);
v,
=
21,7
mls
ü=ü+ü,
=>
,
=
.,,/T}TT7;
a
ú
ú
ú
ú
4.89
s2;
v
=
102.3
m/s
primero
ai
suelo? ¿Por
qué?
-
8/18/2019 Movimiento en El Plano. Parabolico y de
Proyectiles
3/5
vamos
a
examinar
el
movimientode
un,objeto
que
es.lanzado
cerca,de
la
s'uperficie
terrestre
con
un
ángulo
a" i"Lli"uiio"
I§."ro
a
la hori_
zontal.
Un
cuerpo
posee
movlmlentoparabólico
cpando
se
lanza
cerca
de
la
superflcle
terrestre
formando
clerto
ángulo
con
Ia
n:::::::;
Fig.
4.1I
=\
Este
tipo
de
movimiento
es'lla¡¡¿¿e
lanzamiento
de
proyectiles.
Descrlpción del
movimiento
En
Ia
figura
4.1I
se
observa,
en
color
negrg,
la
trayectoria
que
sigue
un
proytictil
cuando
se lanza
con
cierta"u"io"i¿rjr",
fo.**do
un
ángulo
d de
inclinación
respecto
a Ia
horizo"tui.
e"
""1o.
rojo
apare-
cen
algunos
puntos
de la-tráyectoria
que
seguiría
el
cuerpo
si
se lanza
verticalmente
hacia
arriba,
con
una
velocidád
ig""l
u iu
componente
vertical
de
vo.
En
color.
azur
aparece
ra
t.uy.Ét*iu
lue
seguiría
er
;uerpo,
si
se
impulsa
horizontalmente
"n
urru
r.rperficie
sin
rozamien-
to
con
una
veiocidad
iguar
a Ia
componente
horizontar
de
vo.
cada
punto
de
las
trayectorias
representadas
en
Ia
gráfica,
se
tomó
empleando
el mismo
inrervalo
deiiempo,Ái;pli;",
"i
ú;;ípio
e
independencia
de los
moümientos,
vemos
como
el
movimiento
de
Ia
componente
horizontal,
es
con
vel;idaá-;o;;l;i;;;,
que
en
esta
dirección
no
actúa
nilguna
aceleración,
y-er
-"ui*i".,io
a"
i"
*;o;
ente
vertical
es unif
-
8/18/2019 Movimiento en El Plano. Parabolico y de
Proyectiles
4/5
La
velocidad
vertical
depende
der
tiempo
tr_anscurido_
desde
el
anzamiento
y
de^
Ia
"r*p.il;;
lert¡ca[,
de;
Igverociuád$ÍniGiaHí;*.
I
vv
=
v6v
-
gt;
ya
que
se
comporta
como
un
movimÍln;;;ñiffiiüffiñi
te
acelerado.
Entonces:
Vy=vosen0-gt
La
trayectorla
de
un
cuerpo
con
movlmlentoparabóllco
depende
de la
veloctdad
de
Ianzamlento
y
el
ángulo
gue
forma
con
Ia
horlzontal.
EI
alcance
horlzontal
máxlmo
se
logra
cuando
el
ángulo
de
ianzamlento
es
de
4S".
Altura
máxima
qrie alcanza el proyecui
ctlld.o
el-proyectil
arcanza
ra
artura
máxima,
Ia
componente
verti-
cal-de
la
velocidad
es
nura
por
ro
t""ir,
á"1"
"'."'r.ioi,
#
-
voy2
=
_zw,
hacemos
vy
=
0
y
despejamos
y-.
------'
gv
¡Eevssvr,rr
vv-
vv2-voy2=
-2gymari
y=+
;
?iempo
de
vuelo
del
proyectil
El
tiempo que
dura
er
proyectil
en
er.
aire,
es
er
dobre
der que
dura
ubiendo,
por
Io
tanto
calcllamo,
a.l,
""ir""iir1r"jl
vo,
§€o
0
_
gt,
el
tiempo
de
subida
haciendo
i
v ,
=
0
y
despejando
t.
ts
=
vo s,ep.á
El
tiempo
de
vuelo
€s
t,
=
2t",
por
Io
tanto:
g
.
-2vos€nd
y--
o
b
¡{icance
horizontal
del
proyec,iil
como
el
movimiento
cie
ra
componente
horizontar
es
con
verocidad
constante,
el
arcance
máximo
r"
bbti"n"
con
Ia
"*p."so",
Remplazando
el
tiempo
de
vuero
po'la
expresión
que
ya
obtuvi-
mos, queda:
Xmax
:
2vo2cosgsend
g
llj"r.::ro^{e
t{sonometría
conocisre
o
conocerás
Ia
identidad
.'i*pirÉ#l",;ñ;iiol;H;
-v
escribirla:
Xmax
*vo2sen2ú
o
D
, .Observa
que
Ia
altura
máxima,
horizonta.l
_del
proye.til
d.p"ná.n'
inicial
y
del
ángulo
de
lanzamiento.
el
tiempo
de
vuelo
y
el alcance
exclusivamente
de Ia velocidad
Vmax
=
-Z?-
-
8/18/2019 Movimiento en El Plano. Parabolico y de
Proyectiles
5/5
Problemas
sobre
lanzamlento
de
proyecttles
A. Analtza el desarrollo
del
slgulente
problema:
Un cazador acostado
en el suelo,
lanza
una
flecha
con
un ángulo de
60"
sobre la
superficie
de
la
Tierra
y
con una
velocidad
de Z0 mls.
Calcular:
a.
Altura
máxima
que
alcanza la flecha.
b.
Tiempo
que^dura
la
flecha
en
el
aire.
c.
Alcance
horizontal
de
la
flecha.
Soluclón:
a.
Altura máximcr
vo2
senz
0
mat
2g
(20
mls)2
sen2
60o
/mar
:
2Q0
mls)t
sen
ó0o
cos 60"
.tmü
-
9.8
m/s2
xme¡
=
35.34
m
B.
Reer¡elve
loa olgulentes
problemar:
l.
Un cañón dispara
un
proyectil
con una
veloci-
inicial de 3ó0 m/s
y
un ángulo
de inclinación
30".
Calcula:
a. La altura máxima
que
alcanza
el
proyectil.
b.
El tiempo
que
dura
el
proyectil
en el afe.
c.
Alcance
horizontal
ciel
proyectil
2.
Un bateador
golpea
la
pelota
con un
ángulo
de 35"
y
le
proporciona
una velocidad
de
18
m/s.
¿Cuánto
tarda
la
pelota
en
llegar
al
suelo?
¿A
qué
distancia del bateador
cae
la
pelota?
3. Un
jugador
de tejo
lanza
el
hierro
con un
ángulo de l8o
y
cae en un
punto
situado
a 18 m
del
lanzador.
¿Qué
velocidad inicial
le
propor-
cionó
al tejo?
4.
¿Con
qué
ángulo
debe ser lanzado
un
objeto
para
que
el
alcance
máximo
sea
igual
a
la
al-
tura que
aleanza
el
proyectil?
5.
Un
bateador
golpea
una
pelota
con
un
ángulo
de
35"
y
es
recogida
ó
s más
tarde.
¿Qué
veloci-
dad
le
proporcionó
el bateador
a
la
pelota?
6.
Calcula
el
ángulo
con
el cual
debe ser lanzado
un
proyectil
para que
ei
alcance
sea
máximo.
7.
Un
motociclista
desea
atravesar un riachuelo
cie
l2
m de
ancho,
utilizando
la
pequeña pen-
diente
que
hay
en una
de las orillas.
a.
¿Oué
velocidad
debe llevar
Ia
moto
en el
instante en
que
salta?
b. Si
la moto
se acelera araz6n
de
l.2m/sz,
¿qué
distancia
debe
impulsarse
para
saltar
con
la
velocidad
justa?
2
(9.8
m/sz)
4oo
m/s2(9,
mtt
19.6
m/s2
/max
=
15.3
m
b. Tiempo
de
vuelo:
2vosená
,,
-
-_
cr
b
2QA
m/s)
sen
ó0o
9.8
m/s2
c.
Alcance
horizontat
fma¡
=
Lv
;t":3.53s
,o
-.1
g
r.
2 vo2 sen
I
cos
I
![Movimiento Parabolico Teoria[1]](https://img.pdfslide.es/doc/110x75/54e4d5f94a795974238b45e0/movimiento-parabolico-teoria1.jpg)
