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Movimiento en un PlanoMovimiento en un Plano
El estudio de la Física va de lo sencillo a lo El estudio de la Física va de lo sencillo a lo complejo y de lo particular a lo general. complejo y de lo particular a lo general.
En este contexto, se analiza el movimiento de En este contexto, se analiza el movimiento de un cuerpo que se mueve ya no en un eje un cuerpo que se mueve ya no en un eje (recta), sino en dos ejes mutuamente (recta), sino en dos ejes mutuamente perpendiculares que forman una superficie. perpendiculares que forman una superficie.
Estos ejes serán ahora nuestro sistema de Estos ejes serán ahora nuestro sistema de referencia, al cual también se le conoce como:referencia, al cual también se le conoce como:
Sistema de coordenadas Sistema de coordenadas cartesiano o coordenadas cartesiano o coordenadas
rectangularesrectangulares
y + ( unidades) eje vertical(variable dependiente)
x + (unidades)eje horizontal
(variable independiente)
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1-2-3-4l l l l l
l l l
l l l l l
l l l l
3
abscisas
ordenadas
Localización de un punto en el plano Localización de un punto en el plano cartesianocartesiano
Se hace a partir del origen del sistema, ya sea:Se hace a partir del origen del sistema, ya sea: Mediante la pareja de puntos coordenadosMediante la pareja de puntos coordenados (x,y)(x,y) Especificando laEspecificando la distanciadistancia, , el el ánguloángulo y a partir y a partir
de quede que ejeeje yy hacia dondehacia donde se mide el ángulose mide el ángulo..
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1-1-2-3-4
3 (4,3)
d
I cuadranteII cuadrante
III cuadrante IV cuadrante- 2
l l l l l l l l l l l
Como medirComo medir DISTANCIAS EN EL DISTANCIAS EN EL PLANOPLANO
(Teorema de Pitágoras)(Teorema de Pitágoras) 2
122
12 yyxxd
mmmmmmmmd 5259160304 22222
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1-1-2-3-4
3
( 4 , 3 )
d
- 2
l l l l l l l l l l l
(x 2 , y 2)
(x 1 , y 1)( 0 , 0 )
x 2 - x 1
y 2 - y 1
Como medir el ANGULOComo medir el ANGULO Se forma un Se forma un triángulo rectángulotriángulo rectángulo, donde el lado más largo , donde el lado más largo
se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos.se denomina hipotenusa y los lados más cortos catetos. El lado que está junto al ángulo se denomina cateto El lado que está junto al ángulo se denomina cateto
adyacente adyacente El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado El cateto opuesto es el que se encuentra en el lado
contrario al ángulo.contrario al ángulo.
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1
-1-2-3-4
3(4,3)
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
- 2
•Se requiere conocer las funciones trigonométricas
Funciones trigonométricasFunciones trigonométricas
d
yy
hipotenusa
opuestocatetosen 12
d
xx
hipotenusa
adyacentecateto 12cos
12
12tanxx
yy
adyacentecateto
opuestocateto
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1
-1-2-3-4
3(4,3)
Cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto adyacente
- 2
El ángulo se encuentra sacando el inverso de la El ángulo se encuentra sacando el inverso de la función seleccionadafunción seleccionada
El sentido se estipula haciendo referencia a los El sentido se estipula haciendo referencia a los puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa puntos cardinales. El ángulo anterior se expresa en función de dichos puntos como:en función de dichos puntos como:
Lo cual indica que el ángulo se está midiendo Lo cual indica que el ángulo se está midiendo hacia el Norte a partir del Estehacia el Norte a partir del Este..
EdelNal087.36
0111121 87.36)6.0(53
503
sen
mm
senm
mmsen
dyy
sen
Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de las Un cuerpo cambia de posición, si cambia una de las parejas coordenadas (x , y)parejas coordenadas (x , y)
Eso implica que hay Eso implica que hay desplazamientodesplazamiento..
Este se calcula de la forma acostumbradaEste se calcula de la forma acostumbrada
Posición final – Posición inicialPosición final – Posición inicial
Como involucra dos variables (x , y) Como involucra dos variables (x , y) se utiliza el se utiliza el teorema de Pitágorasteorema de Pitágoras para determinar la para determinar la magnitud del magnitud del desplazamientodesplazamiento (que en la mayoría (que en la mayoría de las situaciones, no es igual a la distancia de las situaciones, no es igual a la distancia recorrida).recorrida).
Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos Veámoslo mediante un ejemplo que involucra dos movimientos sucesivos.movimientos sucesivos.
CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOCAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO
Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen. Un cuerpo inicialmente se encuentra en el origen. Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido Recorre 4 m en dirección horizontal en el sentido del eje de las del eje de las x x positivo. Posteriormente se positivo. Posteriormente se mueve 3 m en dirección vertical en sentido del mueve 3 m en dirección vertical en sentido del eje eje y y positivo.positivo.
Los cambios de posición se representan Los cambios de posición se representan gráficamente en el plano cartesianográficamente en el plano cartesiano mediante mediante flechasflechas A y B. A y B.
La longitud de las flechas es proporcional a la La longitud de las flechas es proporcional a la distancia que recorre. distancia que recorre.
La punta de la flecha indica el sentido en el cual a La punta de la flecha indica el sentido en el cual a ocurrido el movimiento.ocurrido el movimiento.
Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL Ejemplo CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOPLANO
Representación gráfica de Representación gráfica de CAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANOCAMBIO DE POSICIÓN EN EL PLANO
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1
-1-2-3-4
3 (4,3)
- 2
A
B
Posición inicial
Posición final
El El DESPLAZAMIENTODESPLAZAMIENTO resultante o cambio de posición se resultante o cambio de posición se representa mediante la representa mediante la flechaflecha CC que va desde la posición inicial que va desde la posición inicial hasta la posición final. hasta la posición final.
Tiene las siguientes características:Tiene las siguientes características:
Magnitud (o longitud): 5: 5
UnidadUnidad: metros: metros
DirecciónDirección: 36.87 : 36.87 00
SentidoSentido: al Norte del Este: al Norte del Este
Todas las cantidades físicas que cumplan con las Todas las cantidades físicas que cumplan con las características anteriores, se les denominan características anteriores, se les denominan VECTORES .VECTORES .
VectorVector DESPLAZAMIENTO DESPLAZAMIENTO
y + (m)
x + (m)0 1 2 3 4
1
2
-1
-1-2-3-4
3 (4,3)
- 2
C
Posición inicial
Posición final
N
S
O E
E s c a l a r e sE s c a l a r e s Son todas aquellas cantidades físicas que para
especificarse completamente basta con dar un número y su unidad correspondiente.
Se manejan mediante las operaciones ordinarias de la aritmética: suma, resta, multiplicación y división.
Cantidad físicaCantidad física UnidadeUnidadess
Cantidad Cantidad físicafísica
UnidadUnidadeses
TiempoTiempo 30 s30 s VolumenVolumen 10 cm10 cm33
MasaMasa 20 kg20 kg GravedadGravedad 9.81 9.81 m/sm/s22
Distancia, Distancia, longitud, longitud, profundidad, profundidad, altura.altura.
50 m50 m PresiónPresión 760 760 mmHgmmHg
TemperaturaTemperatura 303000 C C DensidadDensidad 1 Kg/m1 Kg/m33
RapidezRapidez m/sm/s CargaCarga 5x105x10-6 -6
CoulomCoulombb
V E C T O R E SV E C T O R E S Son todas aquellas Son todas aquellas cantidades físicascantidades físicas que para que para
especificarse completamente hay que proporcionar:especificarse completamente hay que proporcionar:
un un númeronúmero (4); (4);
una una unidadunidad (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb); (m, m/s, Newton, Newton / Coulomb);
una una direccióndirección (horizontal, vertical, inclinada); (horizontal, vertical, inclinada);
un un sentidosentido (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje (derecha, izquierda, arriba, abajo, eje x positivo, eje x negativo) x negativo)
Se representan gráficamente mediante flechas. Se representan gráficamente mediante flechas.
Se manejan mediante operaciones especiales:Se manejan mediante operaciones especiales:
Suma y resta vectorialSuma y resta vectorial
Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalar
Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial
Cantidades VectorialesCantidades VectorialesCantidadCantidad MagnitMagnit
ud ud UnidadUnidad DirecciDirecci
ónónSentidoSentido
DesplazamieDesplazamientonto
55 mm HorizonHorizontaltal
Hacia la Hacia la izquierdaizquierda
FuerzaFuerza 1010 NewtoNewtonn
303000 al N del Eal N del E
PesoPeso1515 NewtoNewto
nnVerticalVertical Hacia el Hacia el
centro de la centro de la TierraTierra
AceleraciónAceleración9.819.81 m/sm/s22 Vertical Vertical Hacia el Hacia el
centro de la centro de la TierraTierra
Campo Campo EléctricoEléctrico
1212 N/CN/C RadialRadial SaliendoSaliendo
VelocidadVelocidad
1111 Km/hrKm/hr 606000 A partir del eje A partir del eje xx+ + en sentido en sentido de las de las manecillas del manecillas del relojreloj
Graficar los vectores anteriores en el plano cartesianoGraficar los vectores anteriores en el plano cartesiano
Diferencia entre Diferencia entre escalaresescalares y y vectoresvectores
Para diferenciar entre escalares y vectores analicemos Para diferenciar entre escalares y vectores analicemos los siguientes ejemplos:los siguientes ejemplos:
La distancia entre dos puntos es de 5 metros (La distancia entre dos puntos es de 5 metros (es un es un escalarescalar).).
Una persona recorre 5 metros de donde estaba Una persona recorre 5 metros de donde estaba inicialmente.inicialmente.
(hay un cambio de posición o (hay un cambio de posición o desplazamientodesplazamiento))
55 es el es el NÚMERONÚMERO de de metrosmetros y éste a su vez es la y éste a su vez es la UNIDADUNIDAD. Sin embargo no podemos localizar a la . Sin embargo no podemos localizar a la persona, puede estar ubicada en cualquier punto de persona, puede estar ubicada en cualquier punto de una circunferencia de radio 5 metros, medidos a partir una circunferencia de radio 5 metros, medidos a partir de donde estaba inicialmente. Tenemos que dar su de donde estaba inicialmente. Tenemos que dar su DIRECCIÓNDIRECCIÓN y y SENTIDOSENTIDO, por ejemplo, , por ejemplo, 303000 al S del Oal S del O
NOTACIÓN DE VECTORESNOTACIÓN DE VECTORES
Se denotan (escriben) mediante letras Se denotan (escriben) mediante letras mayúsculas o minúsculas, a las cuales se les pone mayúsculas o minúsculas, a las cuales se les pone encima una flechita para indicar que es un encima una flechita para indicar que es un vectorvector. . Ejemplo:Ejemplo:
Generalmente en libros de textos o notas de clase Generalmente en libros de textos o notas de clase donde se facilita más la escritura, se suprime la donde se facilita más la escritura, se suprime la flechita pero se remarca la letra por ejemplo:flechita pero se remarca la letra por ejemplo:
AA,, B, C B, C,, D D,, E, E, etc. ó etc. ó aa, , bb, , cc, etc., etc.
que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".que comúnmente son llamadas "negritas" o "bold".
.. etcetc dcbaFCBA
Representación, magnitud e igualdad Representación, magnitud e igualdad de Vectoresde Vectores
Se representan mediante flechas. Se representan mediante flechas.
A bF c
Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha Su magnitud es proporcional a la longitud de la flecha
A Magnitud del vector A = valor absoluto del vector AA = |A| = |A|
Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no importa si sus orígenes no coincidan.no importa si sus orígenes no coincidan.
A
BF c
A = B = c ≠ F ≠ M
M
Operaciones con VectoresOperaciones con VectoresComo se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante Como se mencionó anteriormente, los vectores se manejan mediante
operaciones especialesoperaciones especiales siendo éstas: siendo éstas:
SUMA VECTORIALSUMA VECTORIAL.- Sean .- Sean A A y y BB dos vectores, se define la suma dos vectores, se define la suma vectorial como: vectorial como:
A A + + B B = = CCdonde donde CC es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y es un nuevo vector con su propia magnitud, dirección y
sentido.sentido.
PRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTOPRODUCTO ESCALAR O PRODUCTO PUNTO.- Sean .- Sean A A y y BB dos dos vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:vectores, se define el producto punto entre los dos vectores como:
AA ● ● B B = = ||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A B cos θ = B A cos θθ = = C
donde A B cos donde A B cos θθ = C es un escalar que posee únicamente magnitud y = C es un escalar que posee únicamente magnitud y unidad.unidad.
θθ es eles el MENOR ÁNGULO MENOR ÁNGULO que se forma entre los dos vectoresque se forma entre los dos vectores. . Si ….Si ….
Operaciones con Vectores …Operaciones con Vectores …
0000 < < θθ < 90< 9000 AA ● ● B > 0B > 0
θθ = 90 = 9000 AA ● ● B = 0B = 0
909000 < < θθ < 270 < 27000 AA ● ● B < 0B < 0
θθ = 270 = 27000 AA ● ● B = 0B = 0
27027000 < < θθ < 360 < 36000 AA ● ● B > 0B > 0
Operaciones con Vectores …Operaciones con Vectores … PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZPRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO CRUZ
Sean Sean A A y y BB dos vectores, se define el producto vectorial dos vectores, se define el producto vectorial como:como:
donde donde CC es un nuevo vector es un nuevo vector La La MAGNITUDMAGNITUD del vector del vector CC viene dada por: viene dada por:
A x B = C
|C| = C = | A x B | = | A | | B | sen θ = AB sen θAB
Donde θAB es el menor ángulo que se forma entre los vectores
La La DIRECCIÓNDIRECCIÓN del vector del vector CC es perpendicular tanto al vector es perpendicular tanto al vector AA como al como al BB
Su Su SENTIDOSENTIDO viene dado por la viene dado por la REGLA DE LA MANO DERECHAREGLA DE LA MANO DERECHA
Regla de la mano derechaRegla de la mano derecha Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar
perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector perpendicular a ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando hacia la punta del segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos extendido el pulgar, el sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto indicará el sentido hacia donde apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores vectorial entre los dos vectores
A
B
C = A x B
A
B
C' = B x AA x B = - B x A
Si el ángulo entre los dos vectores es de 90Si el ángulo entre los dos vectores es de 9000, entonces el producto , entonces el producto vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 909000 = 0 = 0
NotaNota: Los vectores : Los vectores A A y y B B forman o están en un plano, siendo el forman o están en un plano, siendo el vector vector C C perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores vectores A A y y B B estuviesen en el piso, luego entonces, el vector estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C C estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso. estaría saliendo o entrando perpendicularmente al piso.
Para sumar dos o más vectores, Para sumar dos o más vectores, existen dos métodos:existen dos métodos:
Métodos Gráficos Métodos Gráficos Método del paralelogramo (es ideal Método del paralelogramo (es ideal
para dos vectores)para dos vectores) Método del polígono ( Para sumar más Método del polígono ( Para sumar más
de dos vectores)de dos vectores) Método AnalíticoMétodo Analítico
Suma deSuma de V e c t o r e sV e c t o r e s
Consiste en sumar dos vectores Consiste en sumar dos vectores gráficamente y se realiza de la siguiente gráficamente y se realiza de la siguiente manera:manera:
Se unen los orígenes de los dos vectores. Se unen los orígenes de los dos vectores. A partir de sus puntas o terminaciones A partir de sus puntas o terminaciones
se trazan paralelas a cada uno de ellos se trazan paralelas a cada uno de ellos formando una paralelogramo. formando una paralelogramo.
La diagonal de dicho paralelogramo es el La diagonal de dicho paralelogramo es el vector suma, lo cual se ilustra mediante vector suma, lo cual se ilustra mediante el siguiente ejemplo:el siguiente ejemplo:
Método del ParalelogramoMétodo del Paralelogramo
ejemplo:ejemplo:
Método del ParalelogramoMétodo del Paralelogramo
A
B
A
B
Resultante
Consiste en unir el origen del segundo vector con Consiste en unir el origen del segundo vector con la punta del primero. Si son mas de dos la punta del primero. Si son mas de dos vectores, unir el origen del tercer vector con la vectores, unir el origen del tercer vector con la punta del segundo y así sucesivamente, el punta del segundo y así sucesivamente, el vector resultante es el que va desde el origen vector resultante es el que va desde el origen del primero hasta la punta del último. del primero hasta la punta del último.
A
B
B
Res
ulta
nte
CA
C
DD
Método del PolígonoMétodo del Polígono
Ley conmutativa de la suma:Ley conmutativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores se obtiene el Al sumar dos o mas vectores se obtiene el
mismo resultado, no importa el orden en que mismo resultado, no importa el orden en que se sumen. Del ejemplo anterior:se sumen. Del ejemplo anterior:
A
B
C
D
BA
C
D
Res
ulta
nte
Res
ulta
nte
C
D
A
B
Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial
Ley asociativa de la suma:Ley asociativa de la suma: Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos Al sumar dos o mas vectores, algunos o todos
se pueden asociar para obtener semi-se pueden asociar para obtener semi-resultantes, las cuales se suman a su vez resultantes, las cuales se suman a su vez para obtener el vector resultante. Del para obtener el vector resultante. Del ejemplo anterior:ejemplo anterior:
Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial
A
B
B
Res
ulta
nte
CA
C
D
D
A + D
C + B
Multiplicación de un vector por un escalarMultiplicación de un vector por un escalar Al Al multiplicar un vector por un escalar, se multiplicar un vector por un escalar, se
obtiene un nuevo vectorobtiene un nuevo vector ( B ) que ( B ) que es k veces es k veces mayormayor, , k veces menork veces menor o bien igual que el o bien igual que el vector que le dio origen, todo depende del vector que le dio origen, todo depende del escalar. Ejemplo:escalar. Ejemplo:
Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial
FB = 2 F
k = 2
k = 1/2W = 1/2 F = F/ 2
Negativo de un vectorNegativo de un vector El negativo de un vector SEl negativo de un vector S es aquél que es aquél que tiene tiene
la misma magnitudla misma magnitud y y direccióndirección que que SS pero pero sentido contrariosentido contrario. .
El negativo de un vector El negativo de un vector SS es aquél que hay es aquél que hay que sumarle a que sumarle a SS para obtener el vector nulo. para obtener el vector nulo.
O bien el vector multiplicado por un escalar O bien el vector multiplicado por un escalar unitario negativo. Ejemplo:unitario negativo. Ejemplo:
Propiedades de la Suma VectorialPropiedades de la Suma Vectorial
S
- S
B = - S
k = - 1
S + ( - S ) = 0
Se define la resta de vectores como:Se define la resta de vectores como:
AA - - BB = = AA + ( - + ( - B B ) = ) = RR
Para restar un vector B al vector A, se procede Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de igual que en la suma con la única salvedad de
que se toma el negativo del vector B. Ejemploque se toma el negativo del vector B. Ejemplo
A
B
A + ( - B ) =
R
A
- B
Resta de VectoresResta de Vectores
Se define la resta de vectores como:Se define la resta de vectores como:
AA - - BB = = AA + ( - + ( - B B ) = ) = RR
Para restar un vector B al vector A, se procede Para restar un vector B al vector A, se procede igual que en la suma con la única salvedad de igual que en la suma con la única salvedad de
que se toma el negativo del vector B. Ejemploque se toma el negativo del vector B. Ejemplo
Resta de Vectores …Resta de Vectores …
A
B A – B = A + ( -
B ) = R
A
- B
B – A = - (
A - B ) =
- R
- A
B
El método analítico consiste en hablar de El método analítico consiste en hablar de vectores con respecto a un sistema de vectores con respecto a un sistema de referencia, en el caso del plano, éste es el referencia, en el caso del plano, éste es el plano cartesianoplano cartesiano
M E T O D O A N A L Í T I C OM E T O D O A N A L Í T I C O
A
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1-2-3-4l l l l l
l l l
l l l l l
l l l l
3
x +
y +
Una vez elegido el plano, se definen las Una vez elegido el plano, se definen las componentes componentes AxAx y y Ay Ay de un vector como las de un vector como las proyecciones o sombras del vector sobre los proyecciones o sombras del vector sobre los ejes coordenadosejes coordenados, éstas se obtienen trazando , éstas se obtienen trazando paralelas a los ejes a partir de la terminación paralelas a los ejes a partir de la terminación del vector.del vector.
Método analítico: Método analítico: componentes rectangularescomponentes rectangulares
A
0 1 2 3 4
1
2
-1
-2
-3
-1-2-3-4l l l l l
l l l
l l l l l
l l l l
3
x +
y +
A x
A y
Cuando se proporciona la Cuando se proporciona la magnitud del vectormagnitud del vector y su y su orientación mediante el orientación mediante el ánguloángulo, las componentes , las componentes rectangulares se calculan utilizando las funciones rectangulares se calculan utilizando las funciones trigonométricas. trigonométricas.
Se forma un triángulo rectángulo, en donde Se forma un triángulo rectángulo, en donde laslas componentescomponentes vienen siendo vienen siendo loslos catetoscatetos y la y la hipotenusahipotenusa la la magnitud del vectormagnitud del vector. Aplicando las funciones . Aplicando las funciones trigonométricas:trigonométricas:
Método analítico: Método analítico: cálculo de las componentes cálculo de las componentes rectangularesrectangulares
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l l
l l l
3
x +
y +
A x
cateto adyacente
cateto opuestohipotenusahipotenusa
cateto opuestosen =
= A y
|A|
despejando la componente vertical:despejando la componente vertical:
despejando la componente horizontal:despejando la componente horizontal: A x= |A| cos
cos = hipotenusa
cateto Adyacente=
A x
|A|
A y = |A| sen
Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A A xx , , A A yy ) de un vector, se puede conocer:) de un vector, se puede conocer:
Su Su magnitudmagnitud aplicando el teorema de Pitágoras aplicando el teorema de Pitágoras Su Su orientaciónorientación mediante el inverso de la función tangente del mediante el inverso de la función tangente del
ángulo. ángulo.
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l l
l l l
3
x +
y +
A x
hipotenusa
|A| = √ (A x )2 + ( A y )2
= tan -1A y
A x
tan = cateto opuesto
cateto adyacente
A y
A x
=
Método analítico:Método analítico: cálculo de la magnitud y ángulo cálculo de la magnitud y ángulo de un vectorde un vector
Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A Cuando se proporcionan las componentes rectangulares (A xx , A , A yy ) de un vector, éste puede estar en: ) de un vector, éste puede estar en:
I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E I cuadrante si: Ax > 0 y Ay > 0 sentido al N del E II cuadrante si: II cuadrante si: Ax < 0 y Ay > 0 Ax < 0 y Ay > 0 sentido al N del O sentido al N del O III cuadrante si: III cuadrante si: Ax < 0 y Ay < 0Ax < 0 y Ay < 0 sentido al S del O sentido al S del O IV cuadrante si: IV cuadrante si: Ax > 0 y Ay < 0 Ax > 0 y Ay < 0 sentido al S del E sentido al S del E
Método analítico: Método analítico: ubicación y orientación de un ubicación y orientación de un vectorvector
x +
A y
A
0 1 4
1
-1
-1
l l
l l l
3
x +
y +
A x
A y < 0
A
y +
A x < 0
N
S
O E
Aplicando la igualdad de vectores
Método analítico: Método analítico: problema de la tangenteproblema de la tangente
si: si: | | Ax Ax || > > || Ay Ay || mas orientado al eje X mas orientado al eje X si: si: | | Ay Ay || > > || Ax Ax || mas orientado al eje Y mas orientado al eje Y
A y > 0
A
0 4-1
-1
l l l
2
x +
y +
A x > 0
A x y A y > 0
O
x +
A y < 0
A
y +
A x < 0
N
S
E
A x y A y < 0
En ambos casos la función tan θ es positiva. Se recomienda graficarlos para visualizarlos o, analizar signospara ubicarlos en el cuadrante respectivo. Su orientación seráde acuerdo a:
-4
-2
A
0 4-1
-1
l l l
2
x +
y +
Método analítico:Método analítico: problema del ángulo problema del ángulo y los ejesy los ejes
El ángulo puede ser dado respecto al eje El ángulo puede ser dado respecto al eje x o con respecto al eje o con respecto al eje y. Hay . Hay que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las que tener cuidado al aplicar las funciones trigonométricas para calcular las componentes, ya que para la misma función, componentes, ya que para la misma función, las componentes CAMBIAN.las componentes CAMBIAN.
A
0 4-1
-1
l l l
2
x +
y +
hip.
cat. op.sen =
= A y
|A|
A y = |A| sen
A x = |A| cos
hip.
cat. op.sen =
= A x
|A|
A y = |A| cos
A x = |A| sen
Suma de vectores: Suma de vectores: método analíticométodo analítico
A
B
R
R
B
A
A x B x
R x
A y
B y
R y
x +
y +| R |= √ ( Rx)2 + (Ry)2
Donde:
Rx= Ax + Bx
Ry= Ay + By
Además: Ax = | A | cos θA
Ay = | A | sen θA
Bx = | B | cos θB
By = | B | sen θB
R= tan -1
Ry
Rx
EjercicioEjercicio: suma de vectores: suma de vectores
La La magnitudmagnitud del vector del vector AA es de es de 200 unidades200 unidades y forma y forma una ángulo de una ángulo de 303000 con respecto a la horizontal; la con respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del vector del vector BB es de es de 300300 unidades y forma una unidades y forma una ángulo de ángulo de 13513500 con respecto a la horizontal; la con respecto a la horizontal; la magnitudmagnitud del vector del vector CC es de es de 150150 unidades y forma un ángulo de unidades y forma un ángulo de 23523500 con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son con respecto a la horizontal. Todos los ángulos son medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.medidos en sentido contrario a las manecillas del reloj.
a) Utilizando el método gráfico, encuentre:a) Utilizando el método gráfico, encuentre:i ) i ) AA + + BB + + CCii )ii ) BB + + AA + + CCiii )iii ) AA - - BB + + CCiv )iv ) CC -- BB – – AA
b) Encuentre los puntos del b) Encuentre los puntos del i ) i ) al al iv )iv ) del inciso anterior del inciso anterior utilizando el método analítico.utilizando el método analítico.
Representación de vectores: Representación de vectores: vectores vectores unitariosunitarios
Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante Para representar un vector en forma vectorial, lo analizaremos mediante los siguientes ejemplos: los siguientes ejemplos:
A A = |= |AA| |
Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a un escalar , ya que un vector no puede ser igual a un escalar como lo es la magnitud de un vector.como lo es la magnitud de un vector.
A A = A = A xx + A + A yy
Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que un vector no puede ser igual a la suma de , ya que un vector no puede ser igual a la suma de dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.dos escalares como lo son las componentes rectangulares de un vector.
||AA| = A | = A xx + A + A yy
Simbología Simbología incorrectaincorrecta, ya que la magnitud de un vector se determina , ya que la magnitud de un vector se determina mediante el teorema de Pitágoras.mediante el teorema de Pitágoras.
Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para Como se puede apreciar, aún no contamos con una terminología para describir a un vector en notación vectorial. describir a un vector en notación vectorial.
Para suplir esta falta de información, se definen los Para suplir esta falta de información, se definen los vectores unitariosvectores unitarios î , ĵ cuya cuya magnitudmagnitud como su propio nombre lo indica como su propio nombre lo indica es la unidades la unidad y su y su direccióndirección es a lo es a lo largo de los ejeslargo de los ejes coordenados, su coordenados, su sentidosentido saliendosaliendo del origendel origen..
Veámoslos en el plano.Veámoslos en el plano.
Vectores unitariosVectores unitariosPara indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra Para indicar que se trata de un vector unitario, encima de la letra se le pone un gorrito.se le pone un gorrito.
La letra La letra î se reserva para el vector unitario en la dirección del eje se reserva para el vector unitario en la dirección del eje de las x positivode las x positivo
La letra La letra ĵ para el vector unitario en la dirección del eje de las y para el vector unitario en la dirección del eje de las y positivo.positivo.
También pueden ser escritos en negritas.También pueden ser escritos en negritas.
Se le conocen también como vectores direccionalesSe le conocen también como vectores direccionales
î = iĵ = j
| î | = | ĵ | = 1
1 2
1
2
î
ĵ
x +
y +
Un vector se representa como:
A = Ax i + Ay j
Suma de Vectores: método de vectores unitariosSuma de Vectores: método de vectores unitariosSumar los siguientes vectores:Sumar los siguientes vectores:
A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj
B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj
SoluciónSolución
C C = = A A + + B B = (4 = (4 ii + 5 + 5 j j ) + (6 ) + (6 i i + 2 + 2 j j ) )
= 4 = 4 i i + 6 + 6 i i + 5 + 5 j j + 2 + 2 jj
= (4 + 6)= (4 + 6) i i + (5 + 2) + (5 + 2) j j
=10 =10 ii + 7 + 7 jj
ó más sencilloó más sencillo
A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 j +j +
B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj
R = 10 i + 7 jR = 10 i + 7 j
RR = = |R| = |R| = √√100+49 = 100+49 = √√149 = 12.2 u149 = 12.2 u
θθ = tan = tan-1-1 (7/10) = 35 (7/10) = 3500
Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry, Como Rx y Ry son positivos, el vector resultante se encuentra en el I cuadrante; como Rx > Ry,
mas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del Emas cargado hacia el eje x. Es decir, al N del E
5 10
5
10
x +
y +Dibujar los vectores y sumarlos
Producto punto o producto escalarProducto punto o producto escalarEl producto punto o producto escalar se definió como:El producto punto o producto escalar se definió como:
AA ● ● B B = = ||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A B cos θEn función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios
AA ● ● B B = (= (A x i + A y j) ● (● (B x i + B y j)
Desarrollando:
AA●●B B = A x B x (i●●i) + A x B y (i●●j) + A y B x (j●●i) + A y B y
(j●●j)
Aplicando la definición
i ●● i = (1) (1) cos 00 = 1
i ●● j = (1) (1) cos 900 = 0
j ●● j = (1) (1) cos 00 = 1
j ●● i = (1) (1) cos 900 = 0
Producto punto …Producto punto …Sustituyendo los productos puntoSustituyendo los productos punto
AA ● ● B B = A x B x + A y B y
Igualando ambas definiciones
||AA| || |BB| cos | cos θθ = = A x B x + A y B y
Despejando el ángulo
θθ = cos = cos-1-1
A x B x + A y B y
||AA| || |BB||
Ejemplo: producto puntoEjemplo: producto punto
Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:vectores:
A A = 4 = 4 i i + 5 + 5 jj análisis: I cuadrante a 51.34análisis: I cuadrante a 51.340 0 al N del E; magnitud 6.4al N del E; magnitud 6.4B B = 6= 6 i i + 2 + 2 jj análisis: I cuadrante a 17.43análisis: I cuadrante a 17.430 0 al N del E; magnitud 6.3al N del E; magnitud 6.3AA ● ● B B = A x B x + A y B y
= 24 + 10= 34
El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es:
θθ = cos = cos-1-1
θθ = cos = cos-1-1
θθ = 32.9 = 32.900
A x B x + A y B y
||AA| || |BB||
34
√16+25 √36+4
Producto cruz o producto vectorialProducto cruz o producto vectorial
El producto cruz o producto vectorial se definió como:El producto cruz o producto vectorial se definió como:
AA x x B B = = ||AA| || |BB| sen | sen θθ = = A B sen θ
En función de los vectores unitariosEn función de los vectores unitarios
AA x x B B = (= (A x i + A y j) x (x (B x i + B y j)
Desarrollando:
AAxxB B = A x B x (ixxi) + A x B y (ixxj) + A y B x (jxxi) + A y B y (jxxj)
Aplicando la definición
i xx i = (1) (1) sen 00 = 0
i xx j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)
j xx j = (1) (1) sen 00 = 0
j xx i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)
Producto cruz …Producto cruz …
Sustituyendo los productos cruz de vectores unitariosSustituyendo los productos cruz de vectores unitarios
AA x x B B = A x B y (k) + A y B x (-k)
AA x x B B = (A x B y - A y B x ) k
Un nuevo vector cuya:
Magnitud es: A x B y - A y B x
Dirección: perpendicular al plano formado por A y B.
Sentido:
Sale del plano si A x B y - A y B x > 0
Entra al plano si A x B y - A y B x > 0
Producto cruz en tres dimensionesProducto cruz en tres dimensionesEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitariosEl producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios
AA x x B B = (= (A x i + A y j + A z k) x (x (B x i + B y j + B z k)Desarrollando:
AA x x B B = A x B x (i xx i) + A x B y (i xx j) + A x B z (i xx k) +A y B x (j xx i) + A y B
y (j xx j) + A y B z (j xx k) + A z B x (k xx i) + A z B y (k xx j) + A z B z (k xx k)
Aplicando la definición
i xx i = (1) (1) sen 00 = 0
i xx j = (1) (1) sen 900 = k
i xx k = (1) (1) sen 900 = - j
j xx i = (1) (1) sen 00 = - k
j xx j = (1) (1) sen 900 = 0
j xx k = (1) (1) sen 900 = i
k xx i = (1) (1) sen 00 = j
k xx j = (1) (1) sen 900 = - i
k xx k = (1) (1) sen 900 = 0
Producto cruz …Producto cruz …
SustituyendoSustituyendo
A A x x BB = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
ReagrupandoReagrupando
AA x x B B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k
Producto cruz: determinantesProducto cruz: determinantes
A x B = i j kAx Ay Az
Bx By Bz
= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az
) j + (Ax By – Bx Ay )k