Movimiento

ondulatorio

Una onda es una perturbación que se propaga desde el punto en que se produjo, a través del espacio

transportando energía y no materia.

El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua,

un sólido o el vacío.

Clasificación de las ondas:

Según el medio en el que se propagan: - Ondas mecánicas - Ondas electromagnéticas

En función de su propagación: - Unidimensionales - Bidimensionales o superficiales - Tridimensionales o esféricas

En función de la dirección de perturbación:

- Ondas longitudinales - Ondas transversales

Considere una piedra que se suelta en un Considere una piedra que se suelta en un lagolago.

Se transfiere Se transfiere energía energía de la piedra al de la piedra al tronco que flota, pero sólo viaja la tronco que flota, pero sólo viaja la perturbaciónperturbación. .

Ondas mecánicas

Son perturbaciones físicas que se propagan en un medio elástico

Según el medio en el que se propagan

Ondas electromagnéticas

Se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío.

En función de su propagación o frente de onda

Ondas unidimensionales Son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los resortes o en las cuerdas.

Ondas bidimensionales o superficiales -Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales.- FRENTE DE ONDA.- Líneas que une todos los puntos que en un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración (misma elongación y misma velocidad de vibración)- Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

Ondas tridimensionales o esféricas- Son ondas que se propagan en tres direcciones. - Sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones.- FRENTE DE ONDA.- Superficie esférica que une todos los puntos que en un mismo instante se encuentran en idéntico estado de vibración (misma elongación y misma velocidad de vibración)

Sonido luz

En función de la dirección de la perturbación

Ondas longitudinales

La perturbación se produce de manera paralela a la dirección de propagación de la onda.

Ejemplos-Un resorte que se comprime da lugar a una onda longitudinal

-Las ondas sonoras: la perturbación es una compresión o descompresión del aire

Ondas transversales

La perturbación es en sentido perpendicular a la dirección de propagación dela onda.

Ejemplos:-Las ondas que se generan al agitar una cuerda.

-Las ondas electromagnéticas.

Olas

Una ola oceánica es una combinación de transversal y longitudinal.

Una ola oceánica es una combinación de transversal y longitudinal.

Las partículas individuales se mueven en elipses conforme la perturbación de la onda se mueve hacia la playa.

Las partículas individuales se mueven en elipses conforme la perturbación de la onda se mueve hacia la playa.

Ecuación de propagación de una ondamecánica unidimensional y transversal- Toda función matemática que dependa de la coordenada de avance y del

tiempo se denomina FUNCIÓN DE ONDA → y = f(x,t)- Supongamos una recta de pendiente “m” que se desplaza, hacia la

derecha o hacia la izquierda, a velocidad constante “v”

y

x

t = 0 t

y

x+a

.El valor de la abcisa en el instante “t”→ a = vta.- Desplazamiento DERECHA:

Si la ecuación de la recta en el instante t = 0es y = mx ¿Cuál será la ecuación de la recta enel instante “t”?. Para ello calcula la ordenada enel origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = +a[Sol: y = m(x-a);; y = m(x-vt);; y = f(x-vt)]b.- Desplazamiento IZQUIERDA:

Si la ecuación de la recta en el instante t = 0es y = mx ¿Cuál será la ecuación de la recta enel instante “t”?. Para ello calcula la ordenada enel origen “n”, conociendo que para y = 0→ x = -a[Sol: y = m(x+a);; y = m(x+vt);; y = f(x+vt)]

y

x

t t = 0

y

x-a

Velocidad de propagación de una ondamecánica unidimensional y transversal.Para que una onda mecánica se propague, el medio ha de poseer:a) Elasticidad → Existencia de fuerzas restauradoras.b) Inercia → Propia de la densidad del medio.- En una cuerda tensa podemos comprobar empíricamente:a) Cuanto más tensa está la cuerda mayor es la velocidad de propagación de un pulsogenerado en el otro extremo.b) Cuanto más pesada es la cuerda menor será la velocidad de propagación.

Para determinar la velocidad de propagación bastaría con medir el tiempo quetarda el pulso en recorrer la longitud de la cuerda.

c) En efecto:

) - lineal (densidad m

kg

L

m

Tv

vp

t=0

x

y PONGAMOS EL TIEMPO EN MARCHA

EJEMPLO DE ONDA MECÁNICA UNIDIMENSIONAL TRANSVERSALLAS ONDAS ARMÓNICAS

-La velocidad de propagación indica la rapidez de avance de la onda en la dirección X.

-Es siempre constante y solamente depende del medio físico.

x1

vp

t=t1

x

y

x2

vp

t=t2

x

y

vp

t=t3

x

y

vp

t=T/4

x

y

vp

t>T/4La primera partícula ha cambiado el sentido de su movimiento

x

y

vp

t>T/4Ya son varias las partículas que han invertido el sentido de su movimiento

x

y

vp

t=T/2

x

y

vp

t>T/2

x

Una partícula cualquiera situada a una distancia “x” del origen, llevará un desfase con respecto a la primera.

x

y

vp

t=3T/4

x

y

t>3T/4

x

y

vp

La amplitud oscilación de todas las partículas es la misma A

t=T Ha transcurrido un periodo completo

La frecuencia angular de todas es la misma, (rad/s), ya que todas tardan el mismo tiempo en realizar una oscilación completa.

x

y

vp

y

vp

¿QUÉ TENEMOS TU Y YO EN COMÚN?

VIBRAMOS EN FASE, ES DECIR, QUE EN TODO MOMENTO TENEMOS LA MISMA ELONGACIÓN,

Y EL MISMO SENTIDO EN LA VELOCIDAD

y

vp

NEGATIVO.TU VIBRAS EN OPOSICIÓN DE

FASE, ES DECIR, TENEMOS SENTIDO DE MOVIMIENTO

CONTRARIOS

/2

¿Y YO?, ¿NO TENGO EL MISMO ESTADO QUE VOSOTROS DOS?

/2

y(m)

-15,00

-10,00

-5,00

0,00

5,00

10,00

15,00

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5x(m)

Concordancia de fase = Misma amplitud y mismo sentido en la velocidadOposición de fase = Misma amplitud, en valor absoluto, y distinto sentido en la velocidad

DIFERENCIA DE FASE (

Concordancia de fase: Puntos con la misma elongación y mismo sentido en la velocidad.Oposición de fase: Puntos con la misma elongación en valor absoluto y distinto sentido en la velocidad.

(La diferencia de fase “ “ para cada medio ciclo es igual a radianes)A.1 ¿Cuál será la diferencia de fase para las partículas que estén

en concordancia de fase?. ¿Y para las que estén en oposición de fase?

ONDAS ARMÓNICAS

a) LA FUNCIÓN DE ONDA QUE LA DESCRIBE ES UNA FUNCIÓN SINUSOIDAL.

b) CADA PUNTO DEL MEDIO OSCILA CON UN M.A.S.

c) SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA DERECHA:

c) SI LA ONDA ARMÓNICA SE DESPLAZA HACIA LA IZQUIERDA:

)(),( otkxAsentxy

)(),( otkxAsentxy

• Longitud de onda (λ): Distancia entre dos puntos consecutivos en idéntica fase.

• Período (T): Tiempo que tarda la perturbación en recorrer una λ.

• Frecuencia (): Número de λ por segundo.

• Velocidad de propagación (v): Desplazamiento efectuado por la perturbación en la unidad de tiempo.

Es constante

Parámetros de una onda armónica

T

v

• Número de onda (k): Número de λ en una distancia 2metros

• Frecuencia angular Número de T en un tiempo 2segundos.

• Fase inicial (o): Ángulo (en radianes) para t=0 y x=0

A.2 ¿Qué relación se obtendrá al dividir la frecuencia angular por el número de

onda?

)(m 2 1-

k

)(s 2 1-

T

Diferencia de fase (rad) en una onda armónica:

a) Entre dos puntos separados una distancia x = x2-x1, siendo t = cte

Onda (abcisa x2) y=Asen(kx2 – t + )Onda (abcisa x1) y'=Asen(kx1 – t + ) = (kx 2- t + - (kx 1- t + )

= k(x2 –x1)y(m)

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x(m)

x2

x1

t = cte

5/2

CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN CONCORDANCIA DE FASE:

•LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN MÚLTIPLO ENTERO DE SU LONGITUD DE ONDA

•x2 – x1 =N· donde N es un número entero (1,2,3…..)

CONDICIÓN QUE CUMPLEN DOS PUNTOS EN OPOSICIÓN DE FASE:

•LA DISTANCIA ENTRE ELLOS ES UN NÚMERO IMPAR DE SEMILONGITUDES DE ONDA

•x2 – x1 =(2N-1)·/2 donde N es un número entero (1,2,3…..)

/23/2

2

yvp

A.3.- Demostrar las ecuaciones anteriores

Diferencia de fase (rad) en una onda armónica:b) En un punto separado un intervalo de tiempo t = t2-t1, siendo x = cte Onda (instante t1) y=Asen(kx –t1 + )

Onda (instante t2) y'=Asen(kx –t2 + ) = (kx - t1 + - (kx - t2 + )

= (t2 –t1)y(m)

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x(m)

y(m)

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5x(m)

t1

t2 > t1

x

x

x = cte

Energía transmitida por las ondas armónicas:

)m*s

J(

medio del puntoun en onda la de Intensidad

)segundo

Julios(vatios

(foco) armónicooscilador delemisión de Potencia

(Julios) 2

1

2

1

(foco) armónicooscilador un de totalEnergía

2

222

tS

E

S

PI

t

EP

AmkAE

a) Energía transmitida por las ondas unidimensionales:

222

211

2

22

2

1

AxAxcteExAE

AxE

xm

Como

total Energíax

m

lineal Densidad

La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

b) Energía transmitida por las ondas bidimensionales:

222

211

2

2222

1

2

ArArcteErAE

ArE

rmr

Como

total Energía2

m

lineal Densidad

La amplitud decrece con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

c) Energía transmitida por las ondas tridimensionales:

)3(

)2(2

1

)1(

42

1

44

222

211

22

22

1

1222

221122

222

22

rIrI

A

I

A

IAI

t

A

tS

EI

ArArcteEArE

ArE

rmr

:queda nos (2)(1) ssustituimo Si

medio del

punto un en onda la de intensidad la osconsideram Si

Como

total Energía

m

lsuperficia Densidad

La amplitud y la intensidad decrecen con la distancia al foco de emisión pero la frecuencia de emisión y la energía total permanecen constantes.

I2

I1

r1

r2

EJERCICIOS.-4.- Se tensa una cuerda larga que tiene una longitud de 1 metro y una masa de 10 g, colgando de uno de sus extremos una masa de 6 kg. Si se hace oscilar transversal el otro extremo de lacuerda, ¿con qué velocidad se propagarán las ondas en la cuerda?.(Sol: 77.5 m/s)g = 10 m/s2

5.- Una cuerda sometida a una tensión constante de 60 N tiene una densidad lineal de 150g/m ¿Cuánta potencia debe suministrarse a la cuerda para producir ondas armónicas de unaamplitud de 10 cm y una frecuencia de 30 Hz?. (Sol: 533 w).

6.- Una cuerda tensa tiene una longitud de 8 m y pesa 8.7 N. Indica la potencia que debemos suministrarle para producir ondas armónicas que responden a esta ecuación:y = 10 sen (4x-80t) (cm, s). (Sol: 6.95 w)

7.- Escribe la ecuación de una onda armónica que avanza en el sentido positivo de las x conUna amplitud de 15 cm y una frecuencia de oscilación de 350 Hz, si su velocidad de Propagación es de 200 cm/s. (Sol: y = 15 sen(3.5x-700t) (cm, s) )

8.- Una onda armónica se mueve hacia la izquierda con una amplitud de 10 cm, una longitud de onda de 0.5 m y un período de 0.2 s. Escribe la ecuación que representa dicha onda si la elongación “y” vale 10 cm en x=0 y en el instante inicial. Determina igualmente la velocidad de propagación de la onda. (Sol: y = 0.1 cos(4x+10t) (m, s); v = 2.5 m/s).

9.- Una onda armónica viene descrita mediante la ecuación:y = 15 sen(0.4x-20t) (cm, s)a) La amplitud, frecuencia angular y el número de onda. (Sol: 15 cm; 20 rad/s; 0.4

cm-1)b) La longitud de onda, la frecuencia y el período. (Sol: 15.7 cm; 3.2 Hz; 0.31 s)c) La velocidad de propagación de la onda y su sentido. (Sol: 50, cm/s; eje-x(+))

10.- Una partícula oscila verticalmente en la dirección “y”, en torno al origen de coordenadas, con una amplitud de 2 cm y una frecuencia de 1/8 Hz. La posición inicial de la partícula es y=2 cm. Las oscilaciones de la partícula originan una onda armónica transversal que se propaga hacia el eje-x (+). Sabiendo que la distancia entre dos puntos consecutivos del eje-x que oscilan con un desfase = rad es de 20 cm, determina:La amplitud y la frecuencia angular de la onda armónica. (Sol: 2 cm; /4 rad).

a) Su longitud de onda y su velocidad de propagación. (Sol: 0.4 m; 0.05 m/s)b) La expresión matemática de la elongación. (Sol: y = 0.02 cos[5x-(/4)t] (m, s))c) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para un punto

del eje-x situado a 20 cm de la partícula vibrante.(Sol: v = 5 10-3 sen[5x-(/4)t] (m, s))

d) El valor de la velocidad de oscilación del punto anterior en t = 10 s. (Sol: 1.57 10-2 m/s)

11.- La ecuación de una onda es y = 0.02 sen[10(x-2t)+0.52] (m, s). Calcula:a) La amplitud, la longitud de onda, la frecuencia, la velocidad de propagación y la

fase inicial de dicha onda.b) La velocidad de oscilación de una partícula situada a 20 cm del foco en el instante 5 s.

12.- La ecuación de una onda tiene la expresión: y = A sen(2bt – cx)a) ¿Qué representan los coeficientes b y c?. ¿Cuáles son sus unidades en el SI?.b) ¿Qué interpretación tendría que el signo de dentro del paréntesis fuese positivo

en lugar de negativo?.c) Una onda armónica viaja a 30 m/s en la dirección positiva del eje X con una

amplitud de 0.5 m y una longitud de onda de 0.6 m. Escribe la ecuación del movimiento, como una función del tiempo, para un punto al que le llega la perturbación y está situado en x = 0.8 m.

13.- .- Una onda transversal armónica puede expresarse en la forma: y = A sen (k x – ωt + ).a) Explica el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en esta

expresión.b) Si A = 0,01 m, ω = 100 rad/s, = 0 y la velocidad de propagación de la onda

es de 300 m/s, representa el perfil de la onda, y(x), en el instante t = 0,02 s.

14.- La ecuación de una onda viene dada por la expresión y = 0.5cos4(10t-x) en el S.I. Calcular:

a) Amplitud, periodo, longitud de onda y sentido de desplazamiento.b) Velocidad de propagación y velocidad de vibración de un punto del medio situado

a 5 metros del origen en el instante 10 segundos después de iniciado el movimiento

c) Diferencia de fase que existirá entre dos puntos del medio de propagación separados:1) por una distancia de 0.5 m y 2) por una distancia de 0.25 m. ¿Cómo estarán estos puntos del medio entre sí?.

15.- Se hace vibrar una cuerda de 4'2 m con oscilaciones armónicas transversales con una frecuencia de 300 Hz y una amplitud de 10 cm, tardando las ondas en llegar al otro extremo 0'02 s. Calcular los parámetros de la onda y su elongación, velocidad y aceleración máximos transversales.