MOVIMIENTO ROTACIONAL

Es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo extenso de forma que, dado un punto cualquiera del mismo, este permanece a una distancia constante de un punto fijo. En un espacio tridimensional, para un movimiento de rotación dado, existe una línea de puntos fijos denominada eje de rotación.

Cinemática de rotación.

Consideremos el movimiento de una partícula en el plano XY, girando alrededor del eje Z en una trayectoria circular de radio r, como se indica en la figura 1. Para indicar la posición en el tiempo t se requiere conocer sólo a la posición angular q (t) (medida en radianes en el SI). Si el movimiento alrededor del eje Z es en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el desplazamiento angular en un intervalo de tiempo, corresponde al cambio en la posición angular:

.ttt

Esta expresión es similar a la desplazamiento a lo largo de una línea recta (ec. 1), sin embargo se debe tener cierto cuidado con la determinación de las posiciones angulares para evitar algunas confusiones. Por ejemplo, si la partícula gira una vuelta, la posición final es igual a la inicial, pero la posición angular resulta ser igual a la posición angular inicial más el ángulo correspondiente a una vuelta (2p rad en el SI); de tal manera que el desplazamiento angular va relacionado con el número de vueltas.

X

Dirección del movimiento

y

r

x

Y

Figura 1. Movimiento en una trayectoria circular en el plano XY.

De manera análoga a la velocidad en el movimiento a lo largo de una línea recta, definimos a la velocidad angular w para el movimiento de rotación como el desplazamiento angular por unidad de tiempo:

.

dt

tdt

Las unidades en el SI para la velocidad angular son de radianes por segundo (rad/s).

Por otra parte, la aceleración angular a se define como el cambio en la velocidad angular por unidad de tiempo:

,

dt

tdt

VELOCIDAD ANGULAR

La velocidad angular es una medida de la velocidad de rotación. Se la define como el ángulo girado por unidad de tiempo y se la designa mediante la letra griega. Su unidad en el S.I. es el radián por segundo (rad/s).

La introducción del concepto es de gran importancia por la simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido, ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma velocidad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una velocidad tangencial que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la velocidad angular caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo.

Aunque se la define para el movimiento de rotación del sólido rígido, también se la emplea en la cinemática de la partícula o punto material, especialmente cuando ésta se mueve sobre una trayectoria cerrada (circular, elíptica, etc.).

El módulo de la velocidad angular media o celeridad media se define por

De modo que su valor instantáneo queda definido por

En un movimiento circular uniforme, dado que una revolución completa representa 2π radianes, tenemos:

Donde T es el período (tiempo en dar una vuelta completa) y f es la frecuencia (número de revoluciones o vueltas por unidad de tiempo).

Si v es la velocidad de un punto y r es su distancia al eje de rotación, el periodo también se puede obtener a partir de la velocidad:

De modo que

Vector velocidad angular

Se define el vector velocidad angular ω, como un vector situado sobre el eje de rotación, cuyo módulo es la celeridad angular anteriormente definida, o sea

(1)

Y cuyo sentido coincide con el del avance de un tornillo que girase en el sentido en que lo hace el sólido (regla de la mano derecha). Si designamos por e al vector que indica la dirección del eje, y cuyo sentido sea el definido por la regla anterior, tenemos

(2)

Donde hemos considerado al elemento de ángulo dθ como un vector dθ, de módulo dθ, cuya dirección y sentido están definidos por la regla del tornillo. Llamando et y en a los vectores tangencial y normal, respectivamente, a la trayectoria del punto genérico P, la velocidad de ese punto puede expresarse en la forma

(3)

De modo que podemos afirmar:

La velocidad v de un punto genérico P del sólido rígido en rotación es igual al momento del vector velocidad angular ω con respecto a dicho punto P.

Así pues, conocida la velocidad angular ω queda determinada la distribución de velocidades en todos los puntos del sólido rígido en rotación. La expresión [8] puede escribirse en la forma

(4)

Donde es el vector de posición del punto genérico P con respecto a un punto cualquiera del eje de rotación.

Las definiciones anteriores exigen que el vector velocidad angular ω tenga carácter deslizante sobre el eje de rotación.

ACELERACIÓN ANGULAR

Se define la aceleración angular como el cambio que experimenta la velocidad angular por unidad de tiempo. Se denota por la letra griega alfa α. Al igual que la velocidad angular, la aceleración angular tiene carácter vectorial.

Se expresa en radianes por segundo al cuadrado, o s-2, ya que el radián es adimensional.

Definimos el vector aceleración angular , y lo representamos por, de modo que

Siendo el vector velocidad angular del cuerpo alrededor del eje de rotación. Si denominamos por el vector asociado a dicho eje, de modo que sea, podemos escribir

Resultando que, en general, el vector no está localizado sobre el eje de rotación.

En el caso particular de que el eje de rotación mantenga una orientación fija en el espacio

(movimiento plano), entonces será y el vector aceleración angular estará localizado sobre el eje de rotación. Esto es,

De modo que el módulo de la aceleración angular, , es la derivada de la celeridad angular con respecto al tiempo (o la derivada segunda del ángulo de rotación con respecto al tiempo), su dirección es la del eje de rotación y su sentido es el de cuando la celeridad angular aumenta con el tiempo, pero es de sentido opuesto si disminuye.

En el caso general, cuando el eje de rotación no mantiene una dirección fija en el espacio,

será , aunque , ya que el vector del eje cambia de dirección en el transcurso del movimiento. Puesto que es un vector, su derivada será un vector perpendicular a , esto es, al eje instantáneo de rotación.

Así pues, en el caso más general, la aceleración angular se expresará en la forma

siendo la velocidad angular asociada a la rotación del eje o precesión del eje de rotación (definido por ) en el espacio.

En la expresión anterior observaremos que el vector aceleración angular tiene dos componentes: una componente longitudinal (i.e., en la dirección del eje de rotación) cuyo

módulo es y una componente transversal (i.e., perpendicular al eje de rotación) cuyo módulo es .

Así pues, en general,

el vector no tendrá la misma dirección que el vector . el vector aceleración angular no tendrá la dirección del eje de rotación.

La dirección de la aceleración angular sólo coincide con la del vector velocidad angular, o sea, con el eje de rotación, en el caso de que dicho eje mantenga su orientación fija en el espacio, esto es, en el movimiento plano.

Movimiento plano

En el movimiento plano del sólido rígido, la aceleración angular, al igual que la velocidad angular, tiene la dirección del eje de rotación y viene dada por:

donde representa el ángulo girado en función de t y ω la velocidad angular.

En el movimiento plano tanto la velocidad angular como la aceleración angular son vectores perpendiculares al plano en el que se produce el movimiento.

TRABAJO Y POTENCIA ROTACIONALES.

El trabajo mecánico lineal se define como el producto de un desplazamiento por la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento.

T = F x s. T = F s cos θ.

Y las unidades del trabajo mecánico lineal son N.m = Joule.

Ahora consideremos el trabajo realizado en el desplazamiento rotacional bajo la influencia de un momento de torsión resultante. Considere la fuerza F que actúa al borde de una polea de radio r, como muestra la figura siguiente:

F

F

θ s

t = 0

t = tr

TRABAJO Y POTENCIA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACION.

El efecto de dicha fuerza es hacer girar la polea a través de un ángulo θ, mientras el punto en el que se aplica la fuerza se mueve una distancia s. La distancia del arco s, se relaciona con θ, mediante la ecuación:

s = r θ. (1)

Así, el trabajo de la fuerza F es por definición:

Trabajo = Fs = F r θ. (2)

Pero Fr es el momento de torsión debido a la fuerza, por lo tanto el trabajo rotacional está dada por:

Trabajo rotacional = τ θ. (3)

El ángulo θ, debe expresarse en radianes en cualquier sistema de unidades de modo que el trabajo rotacional pueda expresarse en libra.ft o joules (N.m).

La energía mecánica generalmente se transmite en la forma de trabajo rotacional. Cuando hablamos de la potencia de salida que desarrollan las máquinas, lo que nos

interesa saber es la rapidez con que se realiza el trabajo rotacional. Por lo tanto, la potencia rotacional puede determinarse dividiendo ambos lados de la ecuación (3), por el tiempo t requerido para que el momento de torsión τ lleve a cabo un desplazamiento θ:

Potencia = trabajo = τ θ

t t

Puesto que θ/t representa la velocidad angular media ω, escribimos:

Potencia rotacional = τ ω.

Observe la similitud entre esta relación y su análoga, P = F v (fuerza por velocidad lineal). Ambas medidas son una potencia media.

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto ( ) sobre un eje determinado:

Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector ( ) tal que:

, cuyo módulo es .

x_\text{A} = {\text{OA} \cdot \mathbf {i} \over |\text{OA}| \cdot |\mathbf{i}|} = El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.

COORDENADAS POLARES

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia.

De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, θ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y θ es el ángulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la «coordenada radial» mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».

En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).