SEGUNDO PARCIAL 2008-1 735 1/5

Universidad Nacional Abierta MAT IV ING (735) Vicerrectorado Académico SEGUNDO PARCIAL Área de Matemática Fecha: 08/ 03 /2008

CORRECCIÓN-MODELO DE RESPUESTAS

Objetivos 4, 5, 6, y 7.

OBJ. 4 PTA 1

Encuentre los planos tangentes a la superficie S , dada por:

06618612333 222 =−−−+++ zxyzyx En los puntos ( )a,2,1 − . Observación: Note que la superficie S es una esfera y que los puntos dados están sobre ella.

SOLUCIÓN:

Observe que 06618612333 222 =−−−+++ zxyzyx representa una esfera en R3 de radio 6, completando cuadrado tenemos,

( ) ( ) ( ) 022934211 222 =−−−+−++−− zyx

( ) ( ) ( ) 36321 222 =−+++− zyx

Para hallar los puntos sustituimos ( )a,, 21 − en la ecuación de la circunferencia:

( ) ( ) ( ) 3632211 222 =−++−+− a por lo que, 9=a y 3−=a . Los puntos son: ( )9,2,1 − y ( )3,2,1 −− . Derivando con respecto a x , y con respecto a y , implícitamente se tiene,

06222 =∂∂

−−∂∂

+xz

xzzx

06422 =∂∂

−+∂∂

+yz

yzzy

de donde,

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6222−−

=∂∂

zx

xz

6242

−+

−=∂∂

zy

yz

La ecuación del plano tangente viene dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,,,,

00000

0000 =−+−

∂∂

+−∂

∂zzyy

yzyxz

xxx

zyxz

donde uno de los planos esta dado por el punto ( )9,2,1 − y el otro por el punto ( )3,2,1 −− . El primer plano es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0926924221

692122929211921

=−++−+−

−−−

−=−++

∂−∂

+−∂−∂ zyxzy

y,,zx

x,,z

Por lo tanto, el primer plano es igual a 9=z . El segundo plano es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0326324221

632122323211321

=+++−−+−

−−−−

−=+++

∂−−∂

+−∂

−−∂ zyxzyy,,zx

x,,z

Por lo tanto, el segundo plano es igual a 3−=z . OBJ. 5 PTA 2

Considere el campo vectorial Fr

en 3R , definido por:

( ) kzxjxixxyzFrrrr 223 372 ++++=

Hallar la función potencial para F

r, y verifíquelo.

Observación: Recuerde que para que F

r tenga una función potencial, F

r debe ser un

campo gradiente.

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SOLUCIÓN: Para ver que F

r es un campo gradiente se debe probar que: 0

rr=Frot (Proposición 7, Pág.

417, Libro UNA), veamos esto:

232322

223

723723

372

xxyxzyxk

zxxyxz

zxj

zxx

zyi

zxxxyxz

zyx

kji

Frot

++∂∂

∂∂

+

++

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=

++

∂∂

∂∂

∂∂

=

rrr

rrr

r

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 022330

727233

22

323222

rrrr

rrr

=−+−−=

∂++∂

−∂∂

+

∂++∂

−∂

∂−

∂∂

−∂

∂=

xxkzzji

yxyxz

xxk

zxyxz

xzxj

zx

yzxi

Utilizando la definición de función potencial (Proposición 9, Pág. 418, Libro UNA), se tiene que,

( ) ( ) ( ) ( ) uuyxFuzuxFuzyuFzyxz

z

y

y ox

x ooooo

∂+∂+∂=ϕ ∫∫∫ ,,,,,,,, 321

Si tomamos ( ) 0

r=ooo z,y,x tenemos una solución, todas las demás son iguales a esta salvo

constante (Proposición 8, Pág. 418, Libro UNA).

( ) ( ) ( ) ( ) uuyxFuuxFuuFzyxzyx

∂+∂+∂=ϕ ∫∫∫ 0 30 20 1 ,,0,,0,0,,,

( ) 322

0

2

0

2

0 2737,, zxyxxuuxuxuuzyx

zyx++=∂+∂+∂=ϕ ∫∫∫ .

Verificación:

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( )

( ) Fzxxzyxx

z

zxyxx

y

zxyxx

x

zxyxxzyx

r=++=

∂

++∂

∂

++∂

∂

++∂

=ϕ∇

223

322322322

3,,27

27

,27

,27

,,

OBJ. 6 PTA 3

Suponga que: ( ) keyjeziezyxzyx xxx ˆˆˆ2,,222

++=ϕ∇ , si ( ) 50,0,0 =ϕ . Hallar ( )2,1,1ϕ .

SOLUCIÓN: Por Teorema 14, Pág. 56, Libro UNA Tomo II tenemos que:

( )( ) ( )( )aCbCrdC

ϕ−ϕ=ϕ∇∫r

Para calcular ( )2,1,1ϕ , debemos calcular la integral sobre la trayectoria que vaya del punto ( )0,0,0 al ( )2,1,1 . Tomemos el segmento de recta que une a estos puntos,

[ ] 31,0: RC → , donde ( ) ( )ttttC 2,,= ; observe que: ( ) ( )0,0,00 =C y ( ) ( )2,1,11 =C .

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 52,1,10,0,02,1,101 −ϕ=ϕ−ϕ=ϕ−ϕ=ϕ∇∫ CCrdC

r

Debemos calcular la integral ∫ ϕ∇

C

rd r utilizando la definición de integral en línea,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ∫∫∫∫ ++=ϕ∇=′ϕ∇=ϕ∇1

0

31

0

1

0

222222,1,12,, dtetetetdttttdttCtCrd ttt

C

r

( )∫∫ +=+=1

0

21

0

3 2323222

dttetdtetet ttt

integrando por partes con,

tdutu

423 2

=+=

2

2

2

t

t

ev

tedv

=

=

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se tiene,

( ) ( )2

13123

23

2232

223

1

0

1

0

21

0

1

0

2 22

22

−=+−−+=−+=−+ ∫eeeeeetdtetet t

tt

t

Ahora bien,

( ) 52,1,12

13−ϕ=

−e

entonces,

( )2

932,1,1 −=ϕe .

OBJ. 7 PTA 4

Calcule la siguiente integral doble:

∫∫S

dydxyx 23

siendo S el dominio limitado por las rectas de ecuaciones 1=y , 2=y , 0=x , xy = .

SOLUCIÓN: Dibujando la región tenemos que:

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( ){ }21,0, 2 ≤≤≤≤∈= yyxRyxS , entonces:

28127

41 2

1

62

1 0

2323 ==

= ∫∫ ∫∫∫ dyydydxyxdydxyx

y

S

.

FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS