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MATEMÁTICA

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ENSAYO

MATEMÁTICA ENSAYO UA-117

1

PRUEBA DE MATEMÁTICA INSTRUCCIONES

1.- Esta prueba consta de 80 preguntas de las cuales 75 serán consideradas para el cálculo del puntaje y 5 serán de pilotaje, por tanto no se considerarán en el puntaje final de la prueba. Cada pregunta tiene 5 opciones, señaladas con las letras A; B; C; D y E, una sola de las cuales es la respuesta correcta.

2.- Dispone de 2 horas y 40 minutos para responderla.

3.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la Hoja de Respuestas que se le ha entregado. Complete todos los datos pedidos. Se le dará tiempo para ello antes de comenzar la prueba.

4.- Escriba correctamente todos los datos en la hoja de respuestas, porque ESTOS SON DE SU EXCLUSIVA RESPONSABILIDAD. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen los resultados.

5.- Marque su respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que está contestando. Ennegrezca completamente la celdilla, tratando de no salirse de ella. Hágalo exclusivamente con lápiz grafito N°2 o portaminas HB.

6.- Lea atentamente las instrucciones específicas para responder las preguntas de Suficiencia de Datos en donde se explica la forma de abordarlas. Estas preguntas están ubicadas con el resto de las preguntas en cada eje temático.

7.- NO SE DESCONTARÁ PUNTAJE POR RESPUESTAS ERRADAS.

8.- Si lo desea, puede usar este folleto como borrador, pero no olvide traspasar oportunamente sus respuestas a la hoja. Tenga presente que se considerarán para la evaluación EXCLUSIVAMENTE las respuestas marcadas en dicha hoja.

9.- Cuide la hoja de respuestas. No la doble. No la manipule innecesariamente. Escriba en ella solamente los datos pedidos y las respuestas. Evite borrar para no deteriorar la hoja. Si lo hace, límpiela de los residuos de goma.

10.- Las figuras que aparecen en la prueba NO ESTÁN necesariamente dibujadas a escala.

DECLARACIÓN: Estoy en conocimiento de que el presente material es propiedad exclusiva de la Pontificia Universidad Católica de Chile y que está prohibida su reproducción parcial o total.

FIRMA . . –

ENSAYO PSU

Forma UA-117


2

INSTRUCCIONES ESPECÍFICAS

1. A continuación encontrará una serie de símbolos, los que puede consultar durante el desarrollo de los ejercicios.

2. Las figuras que aparecen en este ensayo son solo indicativas. 3. Los gráficos que se presentan en este ensayo están dibujados en

un sistema de ejes perpendiculares. 4. Se entenderá por dado común, a aquel que posee 6 caras, donde al

lanzarlo las caras son equiprobables de salir. 5. En este ensayo, las dos opciones de una moneda son equiprobables

de salir, a menos que se indique lo contrario.

6. ( ) ( ) ( )( )f g x f g x=�

7. Los números complejos i y i− son las soluciones de la ecuación 2x 1 0.+ =

8. Si z es un número complejo, entonces z es su conjugado y z es

su módulo.

9. Si Z es una variable aleatoria continua, tal que ( )Z ~ N 0,1 y donde

la parte sombreada de la figura representa a ( )Z z≤P , entonces se

verifica que:

z ( )Z z≤P

0,67 0,749 0,99 0,839 1,00 0,841 1,15 0,875 1,28 0,900 1,64 0,950 1,96 0,975 2,00 0,977 2,17 0,985 2,32 0,990 2,58 0,995


3

es menor que es congruente cones mayor que ~ es semejante cones menor o igual a es perpendicular aes mayor o igual a es distinto de

// es paralelo aángulo rectopertenece aángulo

log logaritmo en base 10 trazo ABABvconjunto vacío x

< ≅>≤ ⊥≥ ≠

∈

φ

∢

c

alor absoluto de x

ln logaritmo en base e x! factorial de xunión de conjuntos intersección de conjuntoscomplemento del conjunto A vector uA u

∪ ∩�

INSTRUCCIONES PARA LAS PREGUNTAS DE SUFICIENCIA DE DATOS

En las preguntas de Suficiencia de Datos no se pide la solución al problema, sino que se decida si con los datos proporcionados tanto en el enunciado como en las afirmaciones (1) y (2) se pueda llegar a la solución del problema.

Es así, que se deberá marcar la opción:

A) (1) por sí sola, si la afirmación (1) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (2) por sí sola no lo es, B) (2) por sí sola, si la afirmación (2) por sí sola es suficiente para responder a la

pregunta, pero la afirmación (1) por sí sola no lo es, C) Ambas juntas, (1) y (2), si ambas afirmaciones (1) y (2) juntas son suficientes

para responder a la pregunta, pero ninguna de las afirmaciones por sí sola es suficiente,

D) Cada una por sí sola, (1) o (2), si cada una por sí sola es suficiente para responder la pregunta,

E) Se requiere información adicional, si ambas afirmaciones juntas son insuficientes para responder a la pregunta y se requiere información adicional para llegar a la solución.

SÍMBOLOS MATEMÁTICOS


4

1. ( ) −−3

10,3 3

0,3=

A) − 89

B) + 11

6

C) 0,8

D) + 11

8

E) −0,6

2. ¿Cuál de los siguientes números racionales es mayor que la semisuma entre 0,34 y 0,45?

A) 0,39

B) 0,395

C) 0,3949

D) 0,3945

E) 0,394


5

3. Con respecto a la expresión decimal de 117

es verdadero que

I) el dígito de la millonésima es 3.

II) truncado al dígito de la centésima se obtiene 0,05.

III) aproximado por redondeo al dígito de la milésima se

obtiene 0,059.

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo II y III E) I, II y III

4. La cantidad de segundos que tiene un año de 365 días es

A) 63,1536 10⋅ B) ⋅ 83,1536 10 C) ⋅ 42,19 10 D) ⋅ 73,1536 10 E) ⋅ 91,89216 10

5. Un automóvil, en un recorrido de 100 kilómetros, gasta 7,5 litros de bencina. Si parte con 30 litros, en un viaje de 250 kilómetros, ¿cuántos litros de bencina le quedará en el estanque al finalizar el recorrido?

A) 11,25 B) 13,75 C) 16,25 D) 18,75 E) 21,25


6

6. Un rectángulo de dimensiones 5 y 2 centímetros se transforma, de modo que cada vez, el largo y el ancho se duplican. Si al rectángulo original se le transforma tres veces, ¿Cuántas veces mayor resulta el área final que el área original de los rectángulos?

A) 52 B) 32 C) 62 D) 22 E) 42

7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones podría ser FALSA?

I) La diferencia de dos números naturales es un número natural.

II) El cociente entre dos números enteros es un número racional.

III) La multiplicación de dos números decimales es racional.

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

8. Siendo p q≠ en el conjunto de los números enteros no nulos. Es

posible determinar que p q

q+

es un número entero si se sabe que:

(1) p y q son números pares. (2) q es un número primo.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional


7

9. Si r es un número racional distinto de cero y s es un número irracional positivo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre un número racional?

A) rs

B) rs

C) 1rs

D) sr

E) Ninguna de las anteriores

10. En la siguiente tabla se dan tres raíces cuadradas y sus respectivos valores aproximados que da la calculadora, los que luego se aproximan a la centésima por defecto o por exceso:

¿Cuál de las siguientes relaciones de orden es verdadera para a, b y c?

A) = <a b c B) c b a> > C) > =c a b D) a b c= > E) = =a b c

Aproximación de la calculadora

Tipo de aproximación

Resultado representado por

≈0,02561 0,16003125 Por exceso a

≈0,02612 0,16161683 Por exceso b

≈0,02777 0,16664333 Por defecto c


8

11. Si ( ) = ⋅ =24 b

1log a 3 y log 256 2

2, con a y b números positivos,

entonces =blog a

A) 1,5

B) 0,6 C) 2 D) 0,75

E) 1,3

12. La expresión −4 p 1 corresponde a un número real si p es un número

A) entero no negativo. B) entero positivo. C) racional positivo. D) real positivo. E) real no negativo.

13. Si para un número real x, mayor que cero, se tiene que

( ) =

2411 22x 8 , entonces, ¿cuál es el valor de 22x ?

A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 64


9

14. En los números reales positivos, se define b como el promedio entre c y d, con ≠c d. Si a es el opuesto de b, entonces ¿con cuál de los

siguientes valores de c y d, se cumple que el valor de − 1a es

2?

A) = =c 0,222 y d 0,777 B) = =c 0,25 y d 0,5 C) = =c 0,25 y d 0,75 D) = =c 0,5 y d 0,75 E) = =c 0,45 y d 0,65

15. Siendo p un número real no nulo, ¿cuál(es) de las siguientes ecuaciones, de incógnita x, tiene(n) solución siempre en el conjunto de los números reales?

I) 2x 4p 0+ =

II) 29x 4p 0− =

III) =23px 0

A) Solo II B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III


10

16. Para el número complejo = +z p qi , con p y q números reales. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones corresponde(n) siempre a un número real?

I) ⋅z z

II) ( )−1z

III) −z

A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E) Solo I y III

17. Se puede determinar que c es un número imaginario puro si se conoce que:

(1) c no es un número real.

(2) ( )=59

c 2i , siendo i la unidad imaginaria.



11

18. Al evaluar la expresión algebraica ( ) ( )− +2 2y 2yu u : yu cuando = 2y

9 y

= 1u

3, se obtiene

A) 16

B) 34

C) 32

D) 227162

E) 92

19. ¿Cuál de las siguientes alternativas contiene una expresión equivalente a 3 45t 10t− −+ , con t distinto de cero?

A) ( )+

4

5 t 2

t

B) ( )+

7

5 t 2

t

C) 12

15t

D) +4

5t 10t

E) −715t


12

20. Dada la función real ( ) = − +f x 4 x 3, su dominio es

A) ℝ B) −∞ ,4

C) ∞ 4,

D) ∞ 3,

E) −∞ − , 3

21. Dada la función real ( ) = −f x 3x 4 , entonces el valor de ( ) ( )− − −1f 5 f 5

es A) 22

B) 73

C) 0

D) 343

−

E) −30

22. ¿Cuál es el máximo valor de la función ( ) ( )2g x x 5 10= − + − ?

A) −5 B) 5 C) −10 D) 10 E) −15


13

23. Para ≠ 1m

3, se tiene que la solución en x, de la ecuación literal

( ) ( )3m x 2 m 3m 5 x− + + = , es

A) m

B) −m

C) − 2m 3m3m

D) −−

23m m2m

E) −3m 114

24. Una llave A llena un estanque en 6 horas, otra llave B lo llena en 4 horas, pero el estanque tiene un orificio que, al estar lleno, tarda 24 horas en vaciarlo. Si el estanque está totalmente vacío y se abren simultáneamente las llaves A y B, ¿cuánto tardará en llenarse el estanque completamente?

A) 2 horas.

B) 2 horas y 20 minutos.

C) 2 horas y 40 minutos.

D) 9 horas.

E) 11 horas y 20 minutos.


14

25. Dada una función real f, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) La función ( ) ( )= +g x f x k , con k un número real, representa

el traslado de ( )f x en k unidades en dirección vertical.

II) La función ( ) ( )= −h x f x representa una simetría de ( )f x

respecto al eje y.

III) Si f es biyectiva, entonces ( )− =�1f f x x .


26. Sea f una función real, tal que ( )− = − +2f x 1 x 2x 1, entonces el valor

de ( )f 2 es

A) 0

B) 1

C) 4

D) 5

E) 16


15

27. Se puede afirmar que la función cuadrática ( ) = − +2f x ax 2x c

intersecta en un solo punto al eje x, si se sabe que:

(1) >a 0 (2) =ac 1


28. En una fábrica, una línea de producción comienza a etiquetar productos partiendo a las 7:30 AM de un día, con el número de serie 14.581. Si cada minuto la máquina etiqueta 50 productos, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) A las 10:44 AM etiquetaría el producto cuyo número de

serie es 24.281.

II) La función que relaciona el número de serie con los minutos transcurridos es lineal.

III) La función que entrega el número de serie del producto

etiquetado, dados los x minutos transcurridos es ( ) = +f x 14.581 50x .



16

29. ¿Cuál(es) es (son) el (los) punto(s) que tienen en común las funciones ( ) = −f x 4x 2 y ( ) = +g x x 5?

A) −

7 8,

3 3

B) ( )−1, 4

C)

7 22,

3 3

D) Tienen infinitos puntos de intersección. E) No hay puntos de intersección.

30. El conjunto solución de la inecuación − ≥2x 6 4 es

A) φ

B) 1,5

C) 1,5

D) ,1 5,−∞ ∪ ∞

E) −∞ ∪ ∞ ,1 5,

31. El conjunto solución del sistema 3x 2 5x 2 3

− ≤− − ≤

es

A) −∞

1,2

B) −

75,

3

C) ∞

1,

2

D) −∞ − ∪ ∞

7, 5 ,

3

E) φ


17

32. El conjunto solución de la ecuación ( )+ − =log x 3 1 logx es

A) φ

B) { }2

C)

13

D) { }0,2

E) { }−2, 5

33. Respecto a la función exponencial ( ) = xf x a , es FALSO que

A) a dos valores distintos del dominio les corresponden dos valores

distintos en el recorrido.

B) la gráfica intersecta al eje y en (0,1).

C) su recorrido son los números reales positivos.

D) su gráfica es creciente para todo valor de a.

E) su dominio es el conjunto de los números reales.

34. Dada la función real ( ) = mf x x , siendo m un número natural mayor

que 1, ¿cuál de las siguientes alternativas es siempre verdadera?

A) Es decreciente en todo su dominio.

B) Para m par, su gráfica es simétrica con respecto al eje x.

C) Para m impar, su gráfica es simétrica con respecto al origen.

D) El punto de coordenadas ( )−1,1 pertenece a ella.

E) Para todo valor de x, si m aumenta, la función aumenta.


18

35. El valor de x en la ecuación ( ) ( ) + ⋅ = a blog x 3 log a 2, con a y b

números reales positivos distintos de 1, es A) −2b 3

B) −2a 3

C) −b 1

D) ( )− +a 1

E) −2b 3

36. Se puede determinar la gráfica de la función inversa de ( )f x , si se

sabe que:

(1) ( )f x es una función lineal con pendiente 1.

(2) ( )f x pasa por el origen del sistema de coordenadas.



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37. En el pentágono regular ABCDE de la figura, se dibujan dos de sus diagonales interiores BD y CE , las cuales se intersectan en el punto P. Si se realiza una rotación con centro en P, para que se obtenga B como la imagen de E, ¿cuál de los siguientes ángulos permite obtener esta transformación? A) 100°

B) 108°

C) 54°

D) 110°

E) 120°

38. Dados los vectores 1 1

a 2, y b 4,4 2

= − = −

� �, si se cumple que

b ka=� �

, con k número entero, entonces el sucesor de k es

A) 3− B) 2 C) 2− D) 1 E) 1−

A

B

C

D

E

P


20

39. En la figura adjunta los segmentos AC y BD se intersectan en el punto E. ¿Cuál de las siguientes opciones permite determinar que los triángulos AED y BEC son congruentes?

A) AED BEC≅∢ ∢ B) ADC BCD∆ ≅ ∆ C) AC BD⊥ D) AC //BD

E) E dimidia a AC .

40. Un triángulo con sus vértices ( ) ( ) ( )A 3, 3 , B 1, 3 y C 2, 2− − − − tiene un

área, en unidades cuadradas, igual a

A) 20 B) 18 C) 15 D) 12 E) 10

41. En la prolongación del segmento AB está el punto Q, de modo que AQ : BQ = 3 : 2, como muestra la figura adjunta. ¿Cuál de las siguientes alternativas cumple esa condición?

A) AB :BQ 1:2= B) AQ : QB 2 :1= C) AB : QB 2 :1= D) AB : QB 3 :2= E) =AQ : AB 3 :2

A B Q

A B

C D

E


21

42. Con los datos dados para cada figura adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes opciones es (son) verdadera(s)?

I) Si Q pertenece a la recta PR; con PT //QS y QT //RS,

entonces PQT ~ QRS∆ ∆ . II) Si ABC DEF≅∢ ∢ y AB:DE AC :DF= ,

entonces ABC ~ DEF∆ ∆ . III) Si XZ es bisectriz del YXW∢ y XY XW≅ ,

entonces XYZ ~ XWZ∆ ∆ .

A) Solo I B) Solo III C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

P Q R

S T

A B

C

D E

F

X Y

W

Z


22

43. ¿Con cuál de las siguientes condiciones los rectángulos 1 2R y R son siempre semejantes?

A) Las diagonales de 1 2R y R son respectivamente paralelas.

B) El largo de 1R es paralelo al largo de 2R y el ancho de 1R es

paralelo al ancho de 2R .

C) Los largos de 1 2R y R están en la misma razón que sus

respectivos anchos.

D) El perímetro de 1R es el doble del perímetro de 2R .

E) El área de 1R es el cuádruple del área de 2R .

44. En la semicircunferencia de diámetro AB se considera un punto P tal que el segmento AP mide p y el segmento PB mide q. ¿Cuál es la medida del segmento que baja desde P perpendicularmente al diámetro AB?

A) p q⋅

B) 2 2

p q

p q

⋅

+

C) p q⋅

D) 2 2

p qp q

⋅+

E) 2 2p q⋅

A B

P


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45. Desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O se trazan dos rectas. Una de ellas pasa por O e intersecta a la circunferencia en R y la otra es tangente en Q. Si PQ 12 cm y OR 9 cm= = , el perímetro del triángulo POQ, en centímetros, es

A) 24 B) 30 C) 36 D) 42 E) 45

46. Si en la figura adjunta AU y BT se intersectan en el punto N y

AB //CD //RS // TU, entonces ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera?

A) AB TU≅ B) AC:CU AB:CD= C) CDN SRN∆ ≅ ∆ D) CN:CU DN:DT= E) N es punto medio de AU.

47. Se puede determinar que dos triángulos ABC y A'B'C' son congruentes, si se sabe que:

(1) Sus lados AB y A'B' coinciden si uno de ellos se traslada con un determinado vector.

(2) Ambos triángulos son isósceles acutángulos. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional

.O P

R

Q

A

B

C

D

N

R

S

T

U


24

48. En la figura adjunta el cuadrilátero ABCD está inscrito en la circunferencia de centro O y diámetro DB. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) ABD ACD≅∢ ∢ B) AOB COD≅∢ ∢ C) CAD CBD≅∢ ∢ D) BAC BDC≅∢ ∢ E) DAB BCD≅∢ ∢

49. La recta de la figura adjunta intersecta a los ejes coordenados en P y en Q; si a, b y c dividen en partes iguales al trazo OP y, además, d, e y f dividen en partes iguales al segmento OQ, resultando las líneas segmentadas paralelas a los ejes coordenados, entonces la hipotenusa del triángulo rectángulo achurado es igual a

A) ( ) ( )2 2b a f e− + −

B) ( ) ( )2 2a c d f+ + +

C) ( ) ( )2 2c a f d− + −

D) ( ) ( )2 2b c d e+ + +

E) ( ) ( )2 2c a d e− + +

50. Un trapecio rectángulo PQRS, tiene sus vértices en los puntos ( ) ( ) ( ) ( )P a, 0 ; Q 2b, 0 ; R 2b, 2b y S a, b− − , con a y b números reales

positivos. Para b 3= , ¿cuál es la ecuación de la recta que contiene a la diagonal mayor de este trapecio?

A) ( )x y a 1 a 0− − + =

B) ( )x y a 1 a 0− + + =

C) ( )3x y a 3 3a 0− + + =

D) ( )6x y a 6 6a 0− + + =

E) ( )6x y a 6 6a 0− − + =

A

B

C

D O

O P

Q

a b c

e d

f

y

x


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51. La figura muestra un triángulo ABC, rectángulo en B, isósceles, con ( )A 2, 1− y los catetos paralelos a los ejes coordenados, cuya

hipotenusa mide 8 . Si se le aplica una homotecia con centro en A y razón 3:1, ¿cuáles son las coordenadas del punto homotético al vértice C?

A) ( )4, 5−

B) ( )3, 3−

C) ( )1, 4

D) ( )1, 2

E) ( )6, 3−

52. Siendo a y p números reales, con a 0≠ , se realiza una transformación isométrica T a la recta + =L : ay p 0 , para obtener otra recta L', de igual pendiente. ¿Cuál de las siguientes transformaciones NO podría corresponder a T?

A) Una traslación de p unidades a la izquierda.

B) Una traslación de 2p unidades hacia abajo.

C) Una rotación con centro en algún punto de L y ángulo de 180°.

D) Una simetría con respecto a la recta de ecuación + =y p 0 .

E) Ninguna de las anteriores.

A

C B x

y


26

53. Si m, n, a, b, c, d, e, f, p y q pertenecen al conjunto de los números reales no nulos, ¿cuál(es) de los siguientes pares de rectas representa(n) siempre un sistema con una única solución?

I) mx n 0 y my n 0+ = + = . II) ax by c y dx ey f+ = + = . III) px qy 0 y qx py 0+ = + = .

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III

54. Se puede obtener dos conos unidos por una base en común, al girar indefinidamente en torno a una de sus diagonales

A) cualquier rectángulo. B) cualquier rombo. C) cualquier romboide. D) cualquier trapecio isósceles. E) cualquier trapezoide asimétrico.

55. Los extremos de uno de los diámetros de una esfera están en los puntos ( )A 2, 1, 5− y ( )B 4, 5, 2− . ¿Cuál es el volumen de la esfera, en

unidades cúbicas?

A) 972 π

B) π243

C) π2432

D) 1.372 π E) 2.916 π


27

56. En el espacio cartesiano se tienen los vectores ( )u 3a,2b,4c=�

y

( )v 4a, 3b, 2c= − −��

, con a, b y c números reales distintos de cero.

¿Cuáles son las coordenadas del vector resultante para 5u 3v+� ��

?

A) ( )27a,b,14c

B) ( )27a, b,2c−

C) ( )7a, b,2c−

D) ( )a, 5b, 6c− −

E) Ninguna de las anteriores.

57. En el plano se tienen las rectas cuyas ecuaciones vectoriales son

( ) ( ) ( )x p a 2, 3 p a, 5= − − + −��

e ( ) ( ) ( )y q a 2, 5 q 3, a= + − + −��

, con p y q

variando en los números reales y siendo a un valor real constante. ¿Cuál de las siguientes opciones permite que ambas rectas sean perpendiculares?

A) ( ) ( )a 2 a 2 1− + = −

B) ( )a 2 6 a 2− = +

C) ( )a 2 6 a 2+ = − −

D) ( ) ( )a 2 a 2 15− + = −

E) ( ) ( )a 2 a 2 15− + =

58. Se puede determinar el volumen de un cono si se conoce:

(1) La medida de la generatriz. (2) Las medidas de los catetos del triángulo rectángulo que lo

genera al rotarse indefinidamente.



28

59. En una encuesta realizada a 5.000 personas, unos días antes de la elección de alcalde en cierta comuna, se preguntó por cuál de los cuatro candidatos, A, B, C o D votaría si la elección fuera hoy. Los resultados se resumen en la siguiente tabla:

De acuerdo a ella, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) La mediana de los candidatos es B. B) Las modas son C y D. C) La frecuencia relativa de B es 0,5. D) El día de las elecciones ganará B. E) La media aritmética de los candidatos es menor que la mediana.

60. En una esquina del centro de Santiago, se pregunta la edad a 20 transeúntes y se obtiene el siguiente registro 22 44 20 29 30 57 31 29 64 34 41 26 39 53 35 54 54 33 44 61 De acuerdo a los datos obtenidos, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) El rango es 39 años

B) La mediana es 35 años.

C) No hay moda en los datos.

D) La media aritmética es 40 años.

E) Un 30% de la muestra tiene menos de 30 años.

Candidato Frecuencia A 1.500 B 2.500 C 500 D 500


29

61. En una población con A elementos, ¿cuántas muestras de tamaño B, con B<A, sin reposición y sin orden se pueden considerar en total?

A) ( )A!

A B ! B!− ⋅

B) A! B!⋅

C) ( )A!

A B !−

D) ( )A B !⋅

E) A!B!

62. El gráfico adjunto muestra los puntajes del último ensayo PSU que realizó un grupo de alumnos. De acuerdo a la información registrada, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) El 4% de los alumnos obtuvo 800 o más puntos. II) Más del 50% de los alumnos obtuvo menos de 650 puntos. III) El segundo cuartil se ubica en el tercer intervalo.

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) I, II y III

12

22

29

37

4348 50

0

10

20

30

40

50

60

[500 - 550[ [550 - 600[ [600 - 650[ [650 - 700[ [700 - 750[ [750 - 800[ [800 - 850]

Fre

cue

nci

a A

cum

ula

da

Puntajes


30

63. En una urna se tienen p fichas con números pares y q fichas con números impares. Si se extraen al azar 2 fichas sin reposición. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de ambos números en las fichas sea par?

A) ( ) ( )pq

p q p q 1+ + −

B) ( )

( ) ( )p q 1

p q p q 1

−+ + −

C) ( )2 2p q

p q 1+

+ −

D) ( )

( ) ( )2 2p q p q

p q p q 1

+ + ++ + −

E) ( )

( ) ( )2 2p q p q

p q p q 1

+ − ++ + −

64. Sea X una variable aleatoria cuyo recorrido es }{a, b, c . Si se cumple

que ( ) ( ) 2P X a P X c

3= + = = , con P su función de probabilidad,

entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ( ) ( ) ( )1P X b P X a P X c

2 = = = + =

II) ( ) ( ) ( )P X a P X b P X c= = = = =

III) ( ) ( ) ( )P X a P X b 2 P X c= + = = ⋅ =

A) Solo I B) Solo II C) Solo I y II D) Solo I y III E) Solo II y III


31

65. En un conjunto de N datos, cada uno se aumenta en u unidades, entonces su desviación estándar

A) aumenta en (N + u) unidades.

B) aumenta en N unidades.

C) aumenta (N · u) unidades.

D) aumenta en u unidades.

E) se mantiene igual.

66. Si se lanzan al aire dos dados normales y se define la variable aleatoria X como la cantidad de números primos obtenidos considerando ambas caras, el recorrido de la variable aleatoria es

A) { }0,1,2,3

B) { }0,1,2

C) { }1,2,3

D) { }1,2

E) { }2

67. Es posible calcular de cuántas formas se pueden ordenar en fila, 20 golosinas que se clasifican entre caramelos y bombones, si se sabe que:

(1) Todos los caramelos son del mismo tipo. (2) Los bombones son de diferentes sabores.



32

68. Si Z es una variable aleatoria normal estándar, entonces ( )≤ ≤P 1,15 Z 1,96 es

A) 0,81

B) 0,1

C) 0,01

D) 0,975

E) 0,9

69. Un dado se lanza m veces y se define la variable aleatoria X como el número de veces que sale un número mayor que 4. Luego se define la variable aleatoria Y como aquella que resulta de aproximar X a una distribución normal, tal que ( )Y N 18, 12∼ . El valor de m es

A) 12

B) 18

C) 54

D) 30

E) 6


33

70. En la siguiente tabla se muestra la función de distribución acumulada para la variable aleatoria discreta X, cuyo recorrido es { }+ + +m 1, m 2, m 3 . ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son)

verdadera(s)?

I) ( )= + = 1P X m 2

12

II) = − 5m

3

III) ( ) ( ) ( )= + + = + + = + = 8P X m 1 P X m 2 P X m 3

12

A) Solo I B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

71. Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que sumen 8, sabiendo que en ambos dados salió un número par?

A) 69

B) 39

C) 19

D) 136

E) 336

k ( )≤P X k

+m 1 14

+m 2 13

+m 3 1


34

72. Una fábrica de galletas produce paquetes de galletas “mini” cuyo peso sigue una distribución normal, con varianza de 16 gramos cuadrados y media µ. Se toma una muestra de 64 paquetes cuyo promedio de peso es de 40 gramos. ¿Cuál es el intervalo con 90% de confianza para µ?

A)

− ⋅ + ⋅

16 1640 1,64 ; 40 1,64

64 64

B) − ⋅ + ⋅

4 440 1,64 ; 40 1,64

64 64

C)

− ⋅ + ⋅

4 440 1,96 ; 40 1,96

64 64

D)

− ⋅ + ⋅

4 440 1,64 ; 40 1,64

64 64

E) Ninguno de los intervalos anteriores.

73. Se lanza un dado cargado, con forma de dodecaedro, cuyas caras están numeradas consecutivamente desde el 1 al 12, en que la probabilidad de caer en un número par es el doble que la de caer en un impar. Si se define la variable aleatoria X como el número obtenido en el dado al lanzarlo una vez, entonces el valor esperado para X es

A) 6

B) 6,3

C) 6,5

D) 6,6

E) 7


35

74. Una variable aleatoria X tiene una distribución de probabilidad acumulada F, como se ve en la gráfica adjunta, siendo k un número real positivo. Si la función de probabilidad de la variable X es f, cuyo recorrido es el conjunto { }1,3,5,7 , entonces ¿cuál(es) de las

siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) La función f es simétrica.

II) ( ) = 1f 3

6

III) ( ) =F 7 1

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

75. En un almacén se tiene un stock de mermeladas de frambuesa y de ciruela en paquetes similares. El 60% de esas mermeladas dicen contener azúcar y el resto dicen ser producto diet. El 25% de tipo diet son de frambuesa y el 45% de las que contienen azúcar son de ciruela. Si se elige al azar un paquete de mermelada de ciruela, la probabilidad de que sea diet es

A) 3040

B) 30100

C) 3057

D) 57100

E) Ninguno de los valores anteriores.

1 5 7 x

F(x)

3

k2

k3k4k6


36

76. En la siguiente gráfica se representa la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua X:

Se define la función f como:

( )≤ <

≤ <= ≤ ≤

A, cuando 0 x 2

B, cuando 2 x 6f x

C, cuando 6 x 100, en cualquier otro caso.

Además, = 2A

7, =A :B 2:3 , =C 5k . ¿Cuál es el valor de k?

A) 1

B) 107

C) 235

D) 57

E) 15

0 2 6 10 x

f(x)

C B

A


37

77. En una urna hay 5 bolitas verdes, 7 bolitas azules y 3 bolitas blancas, todas del mismo tipo en forma y tamaño. Si se extraen dos bolitas al azar, sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bolita azul y una verde?

A) 13

B) 1445

C) 16

D) 745

E) 1215

78. Una marca de jugos en botella premia con un viaje a una playa paradisíaca. En esta promoción se imprimieron 10.000 códigos bajo sus tapas, de los cuales son 10 los premiados. Si para una fiesta se compran R de los jugos en promoción y se define la variable aleatoria X como el número de jugos con código ganador, entonces ¿cuál de las siguientes alternativas es FALSA?

A) Si =R 1, entonces

1X Bernoulli

1.000∼ .

B) Si >R 10 , el recorrido de X es { }0,1,2,3,...,10 .

C) Para cualquier valor de R, ( ) = =

R999

P X 01.000

.

D) Si >R 1, la distribución de X es binomial de parámetros 10 y 1

1.000.

E) Si ≤R 10, ( ) = =

R1

P X R1.000

.


38

79. Para un trabajo didáctico, un niño debe elegir tres láminas de goma Eva de colores distintos, de una gama de 8 colores disponibles, para rellenar las tres regiones de un círculo y además dos láminas de colores diferentes de papel lustre, de entre 5 colores que se le ofrecen, para rellenar las dos mitades de un cuadrado. ¿De cuántas formas distintas el niño puede hacer el trabajo?

A)

⋅ ⋅

8 52

3 2

B) ⋅8! 5!3! 2!

C) ⋅ ⋅8! 5!2

3! 2!

D) ⋅ ⋅ ⋅8! 3! 5! 2!

E)

⋅

8 53 2

80. Una bolsa contiene 5 fichas idénticas, de las cuales hay L blancas y R rojas. Se realiza el experimento de sacar de la bolsa al azar una ficha, registrar su color y devolverla a la bolsa. Se define la variable aleatoria X como el número de fichas blancas extraídas. Se puede determinar cuántas veces se realizó el experimento si se sabe que:

(1) ( ) < < =

3 25 3 2P 2 X 4

5 53

(2)

3X B 5,

5∼



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MT - Ensayo - UA-117admision.uandes.cl/wp-content/uploads/2017/08/MT-Ensayo...MATEMÁTICA ENSAYO UA-117 5 3. Con respecto a la expresión decimal de 1 17 es verdadero que I) el dígito