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UNIVERSIDAD DE LAS PALMAS
DE GRAN CANARIA
Departamento de Física
\
MÉTODOS DE
ANÁLISIS ESPECTRAL DEL OLEAJE
Estudio Comparativo
Germán Rodríguez Rodríguez Departamento de Física
Universidad de Las Palmas de Gran Canaria
•
.-"'•i
Prólogo
Esta memoria es presentada por Germán Rodríguez Rodríguez, en el Departamento
de Física de la Universidad de Las Palmas de Gran Canaria, con la finalidad de
alcanzar el reconocimiento de su suficiencia investigadora, requisito para optar al
grado de Doctor.
En este trabajo se presenta un estudio comparativo entre las diferentes
metodologías utilizadas comúnmente en el análisis de series temporales de oleaje.
Evidentemente, las conclusiones obtenidas a partir de este estudio son extensibles a
cualquier otro área de la ciencia, en el que sea necesario estudiar fenómenos con un
comportamiento estocástico y cuya interpretación en el dominio frecuencia! resulte
adecuada. Son ejemplos conocidos, la Óptica, la Acústica, el estudio de ondas
en plasmas, la Ingeniería de las comunicaciones, la Geofísica y la Meteorología, la
Econoroía, etc.
Su contenido se desarrolla en dos capítulos. En el primero de ellos se presentan
los fundamentos y las metodologías de análisis espectral de señales aleatorias, para
los diferentes métodos de estimación espectral considerados en el trabajo, haciendo
especial énfasis en las especificidades de los procedimientos del cálculo automático,
así como en los méritos e inconvenientes o limitaciones que cada una de estas
técnicas presenta. En el segundo capítulo, se presentan los resultados del estudio
comparativo. En él se contrastan las características de los diversos métodos de
análisis espectral empleados. Para ello se utilizan registros de oleaje real y series
temporales simuladas, partiendo de modelos espectrales teóricos de oleaje.
Germán Rodríguez Rodríguez
Las Palmas de G.C., Abril de 1995
índice Temático
1 Métodos de Análisis Espectral 1
1.1 Introducción 1
1.2 Idea fundamental del análisis espectral 1
1.3 Modelo Lineal de Oleaje 2
1.4 Métodos para la estimación del espectro 8
1.4.1 Métodos Clásicos 9
1.4.2 Métodos Paramétricos 10
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 10
1.5.1 Método de Blackman-Tukey 10
1.5.2 Transformada Discreta de Fourier 15
1.5.3 Método de Máxima Entropía 30
2 Estudio Comparativo 47
2.1 Estudios comparativos previos 49
2.2 Análisis comparativo 56
2.2.1 Características del análisis 57
2.2.2 Análisis de registros simulados 59
2.2.3 Análisis de registros reales 78
2.3 Discusión de los resultados 116
A Referencias 123
Lista de Figuras
1.1 Modelo lineal de Oleaje Direccional. (Pierson. et.al 1955) 4
1.2 Modelo lineal de Oleaje Escalar 7
1.3 Suavizado del Periodograma según el procedimiento de Daniell . . . 23
1.4 Diagrama de flujo para el método de Daniell 24
1.5 Suavizado del Periodograma mediante el método de Barttlet 26
1.6 Diagrama de flujo para el método de Bartlett 27
1.7 Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte I 31
1.8 Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte II 32
1.9 Diagrama de flujo para el método de Welch 33
2.1 Espectros de un registro de oleaje (Lago Michigan) obtenidos
mediante los métodos B-T y FFT, Edge & Liu (1970) 51
2.2 (a)Sinusoide truncada (b)Espectro MEM (c)Espectro FFT (Ulrich,1972) 52
2.3 (a) Espectro verdadero; (b) Espectro MEM; (c) Espectro B-T sin
ventana; (d) Espectro B-T con ventana, (Ables, 1974) 53
2.4 (a)Serie temporal (b)Espectros MEM y FFT (Ulrich y Clayton, 1976) 55
2.5 Definición de la frecuencia de pico según el método de Delft 57
2.6 Espectro P-M y serie simulada 62
2.7 Espectros serie ETADSA-PM 63
2.8 Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 64
2.9 Espectro J y serie simulada 65
2.10 Espectros serie ETADSA-J 66
2.11 Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 67
2.12 Espectro 0-H y serie simulada 68
2.13 Espectros serie ETADSA-0 & H 69
2.14 Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 70
2.15 Serie ETADSAll-l-Ruido blanco y Espectros MEM 72
2.16 Espectros B-T para la serie ETADSAIH-Ruido blanco 73
m
IV
2.17 Espectros
2.18 Espectros
2.19 Espectros
2.20 Espectros
2.21 Espectros
2.22 Espectros
2.23 Espectros
2.24 Espectros
2.25 Espectros
2.26 Espectros
2.27 Espectros
2.28 Espectros
2.29 Espectros
2.30 Espectros
2.31 Espectros
2.32 Espectros
2.33 Espectros
2.34 Espectros
2.35 Espectros
2.36 Espectros
2.37 Espectros
2.38 Espectros
2.39 Espectros
2.40 Espectros
2.41 Espectros
2.42 Espectros
2.43 Espectros
2.44 Espectros
2.45 Espectros
2.46 Espectros
2.47 Espectros
2.48 Espectros
2.49 Espectros
2.50 Espectros
2.51 Espectros
2.52 Espectros
FFT-D parala serie ETADSAll+Ruido blanco 74
FFT-B para la serie ETADSAIH-Ruido blanco 75
FFT-W para la serie ETADSAll+Ruido blanco 76
serie C-05-22/06/93 79
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-06-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-07-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-08-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-09-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-10-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-11-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-12-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-13-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-14-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-15-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-16-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-17-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-18-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-21-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
serie C-22-22/06/93
(a)B-T, (b)FFT-D,
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . .
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
serie C-23-22/06/93 111 c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
chaptersection
2.53 Espectros (a)B-T. (b)FFT-D. (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM . . ' . . 112
2.54 Espectros serie C-00-23/06/9.3 113
2.55 Espectros (a)B-T. (b)FFT-D. (c)FFT-B. (d)FFT-W, (e)MEM . . . . 114
2.56 Espectros serie 22-22/06/93 (N=5r2),(a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B . 117
2.57 Espectros serie 22-22/06/93 (N=512),(a)FFT-W, (b)MEM 118
2.58 Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),{a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B 119
2.59 Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)FFT-W, (b)MEM 120
Capítulo 1
Métodos de Análisis Espectral
1.1 Introducción
Ltis técnicas de análisis en el dominio frecuencial reciben, en general, el nombre de
técnicas de análisis espectral y sus fundamentos básicos pertenecen al denominado
análisis de Fourier. Así, dada una serie temporal discreta, T){t), utilizando la
transformada de Fourier, es posible transferir la información contenida en dicha
serie al dominio de las frecuencias, donde, por lo general, suele resultar más efectiva
la caracterización estadística del fenómeno aleatorio analizado.
La varianza de un proceso es una medida de la dispersión de las observaciones
respecto a su nivel medio. En este sentido, la varianza proporciona una medida de
la intensidad de las fluctuaciones del proceso sobre su nivel medio y por tanto,
de su contenido energético. El análisis espectral nos permite descomponer la
varianza total en bandas de frecuencia en las cuales la contribución de la varianza
es estadísticamente significativa. Para ello se admite, que la varianza total del
proceso es el resultado de la superposición de numerosas contribuciones mutuamente
independientes, cada una de ellas con una frecuencia arbitraria. De este modo,
podemos realizar una descomposición espectral, en términos de amplitudes y fases,
en función de la frecuencia.
1.2 Idea fundamental del análisis espectral
La idea básica sobre la que se apoya el análisis espectral puede resumirse brevemente
de la siguiente manera. Sea una función T]{t) que puede ser expresada como
combinación lineal de un conjunto de funciones /3i{t). Esto es,
1
Métodos de Análisis Espectral
7/(í) = 5:r¿/3.(í)
Definimos entonces un conjunto de cantidades, en términos de F, que de alguna
manera nos indiquen la importancia relativa de cada /9, para generar 7j(í), mediante
una combinación lineal. Es decir, el análisis espectral consiste en descomponer
fenómenos, de mayor o menor complejidad, en constituyentes elementales y conocer
cual es la contribución de cada uno de ellos al proceso. De esta forma podremos
obtener un mayor conocimiento de la estructura y la evolución temporal (espacial)
del sistema (Físico, Químico, Biológico, etc.), de cuya observación se ha obtenido la
muestra T){t).
Las funciones ¡Si serán del tipo seno y coseno, y los valores de F,- vendrán
representados por las amplitudes correspondientes a tales funciones.
1.3 Modelo Lineal de Oleaje
La idea anterior fue inicialmente aplicada a estudios de oleaje por Pierson y Marks
(1952), Pierson (1955), quienes aceptando que las oscilaciones del nivel medio del
mar (MWL), con respecto a su posición de equilibrio, en un punto de coordenadas
{x,y) en función del tiempo, al paso de una onda progresiva puede describirse como,
r]{x,y,t) = A eos /v'(a;cos^ + ysenO) — ut + ^p (1.1)
donde A representa la amplitud, K el módulo del vector número de onda, u la
frecuencia angular, íp el ángulo de fase y ^ la dirección de propagación de la onda
progresiva respecto al eje positivo de las x. Entonces, asumiendo que la superficie
libre del mar puede considerarse como el resultado de la superposición lineal
de infinitas ondas cosenoidales con diferentes amplitudes, frecuencias, fases y
direcciones de propagación, tal como se muestra en la figura (1.1), las fluctuaciones
del MWL podrán ser modelizadas matemáticamente por la expresión
r}{x,y,i) = / A{u,9)cos[K{xeos9 + ysend) - ut-\-ip{u>,0)] dudo -T O
1.3 Modelo Lineal de Oleaje
T OO
+ / / B{u, 6)sen [K{x eos 9 + ysenO) - ut-\- (^(w, 0)] dud9 -ir O
donde A{UJ,0) y B{LJ,6) son los coeficientes complejos de Fourier y los signos
de integración representan en realidad "pseudo-integraíes" (Longuet-Higgins,1957).
Esta ecuación puede expresarse en forma discreta, sin pérdida de generalidad , como
7?(l, y, o = X ] 1 3 ^ ' " " ^^^ (^^""^ ^ ° ^ ^ " + KmysenOn - 2T: fmt + ^mn) (1-2) m=l n=l
siendo / la frecuencia lineal, mientras que A^n y V'mn representan la amplitud
(coeficientes complejos de Fourier) y la fase de las componentes, con frecuencias y
direcciones comprendidas respectivamente en los rangos
Um , fm + A / ) y [On , ^„ + Afl)
El número de ondas Km puede obtenerse a partir de fm, mediante la relación de
dispersión para aguas profundas
K=^2lll (1.3, 9
donde g es la aceleración debida a la fuerza gravitatoria.
De la expresión (1.2) se deduce que la sobreelevación de la superficie del mar en un
punto fijo, de coordenadas {XQ, yo), puede ser representada mediante
OO
T){t)= J2 ^rn eos {2nfm t + fm) (1-4) m = l
donde
Am = yjA¡m+Alm (1-5)
<fim = arctan ( - ^ ) (1.6) ^cm
mientras que
Acm = Yl ^ ™ " '^^^ l^^^^ ^°^ ^ " + Kmysendn + fmn] (1-7) n = l
Métodos de Análisis Espectral
.J^
A ¿ Jt V
Figura 1.1: Modelo lineal de Oleaje Direccional, (Pierson, et.al 1955)
1.3 Modelo Lineal de Oleaje
Asm = X^ AmnSen [li'mX CCS On + limySenOn + Vmn] (1.8) n=l
donde Acm y A^m (coeficientes coseno y seno de Fourier) son variables aleatorias,
con distribución de probabilidad Normal. Luego, según el teorema central del límite,
Am será una variable aleatoria gobernada probabiL'sticamente por una distribución
de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1952).
El valor de A^j^/2 es la energía del oleaje (dividida por pg, donde p es la densidad
del agua de mar), en los rangos (fm , fm + A / ) y (^„ , 0n + ^0).
Se define el espectro direccional del oleaje, S{f,ff), como la densidad de
energía expresada en función de la frecuencia y de la dirección. Por tanto,
S{fm,0n)^fm^Or,
representará la energía esperada en el rango de frecuencias y direcciones antes
especificado. Es decir,
S{fm,en)^fmAen = ^ ^ ^ (1.9)
donde E[ ] es el operador esperanza matemática.
La función de densidad espectral de un proceso aleatorio puede definirse sólo
en función de la frecuencia, integrando sobre todo el rango de direcciones. En tal
caso, dicha función recibe generalmente el nombre de espectro unidimensional,
y toma la siguiente expresión:
5 ( / ) A / = ^ (1.10)
que según lo visto anteriormente, puede expresarse como la suma de las componentes
energéticas con respecto a la dirección,
s(f)Af=Y:^^^ (1-11) n = l '^
por lo que, la relación entre el espectro direccional y el espectro unidimensional será,
Métodos de Análisis Espec t ra l
2 T
s{f) = Jsif,e)de (1.12)
Para la determinación del espectro de frecuencias, de un proceso aleatorio
estacionario, es suficiente con disponer de un único registro. Sin embargo,
para estimar el espectro direccional es necesaria mucha más información y el
procesamiento de dicha información es bastante más complejo. Por ello, en la
mayoría de los casos, en la representación de ri{t) en forma de series de Fourier dada
por la ecuación (1.4), las amplitudes de las diferentes componentes frecuenciales no
suelen expresarse en función de S{f ,6),
Am = ^J2S{f ,e)AfA9
de forma que
o - ir
sino en función de S(f),
Am = yj2S{f)Af
expresándose T)(t) como
7?(í) = y ^ 2 5 ( / ) A / c o s ( 2 7 r / í + < )
o bien, en forma discreta
(1.13)
O O TV
T}{t) = í I yj2S{f ,e)AfAecos{Kxcose + KysenO - 27r/í + < ) (1.14)
(1.15)
(1.16)
r){t) = ¿ ^25( / )A/cos (27r /^ í + cpm) m = l
(1.17)
Obteniendo de esta manera, un modelo de oleaje unidireccional.
Físicamente, con ésta restricción hemos perdido toda información respecto a
la dirección de propagación, de los diferentes trenes de ondas que alcanzan el punto
1.3 Modelo Lineal de Oleaje
de medida. De éste modo, el modelo original, gráficamente descrito por la figura
(1.1), se ha transformado en uno mucho más simple, ilustrado en la figura (1.2). Es
decir, hemos reducido la representación de los desplazamientos verticales del MWL, a
una simple superposición de ondas cosenoidales, para obtener una función irregular,
variable en el tiempo y con un contenido energético igual al del proceso real, pero
sin discernir entre las diferentes direcciones con que dicha energía se aproxima, al
punto donde se analiza el fenómeno.
Figura 1.2: Modelo lineal de Oleaje Escalar
Métodos de Análisis Espectral
1.4 Métodos para la estimación del espectro
Puesto que las señales que deseamos analizar presentan fluctuaciones aleatorias, no
es posible aplicar directamente los métodos del análisis de Fourier. Es, por tanto,
necesario adoptar dichcis técnicas desde un punto de vista estadístico, utilizando
para ello promedios característicos de la señal aleatoria. En particular, la función
de autocorrelación, es un momento estadístico que permite caracterizar una señal
aleatoria en el dominio del tiempo y que, para un proceso aleatorio estacionario,
viene definida por:
T
i í (r) = l i m i fri{tUt + T)dt (1.18) T-*oo 1 J
O
Su transformada de Fourier representa la función de densidad espectral, cuya
expresión es:
oo
G ( / ) = í R{T)ex'p{-i2irfr)dT (1.19) —oo
Teniendo en cuenta que tanto R{T) como G{f) son funciones par, podemos expresar
la siguiente relación, conocida como teorema de Wiener-Kintchine:
S{f) = 4 í RÍT)cos{2TrfT)dT o
(1.20) oo
R{T) = J S{f)cos(2irfT)df o
Donde S{f) representa la función de densidad espectral unilateral. Es decir, aquella
en la que solo se consideran frecuencias positivas, que son las únicas que poseen
significado físico.
El teorema de Wiener(1930) y Kintchine(1934) constituye el fundamento
básico de la metodología propuesta por Blackman y Tukey (1959) para realizar
el cálculo del espectro, mediante la transformada de Fourier de la función de
autocorrelación.
Schuster(1897) describió una técnica para la obtención del espectro, mediante
la transformada discreta de Fourier de una serie de valores numéricos. Este
1.4 Métodos para la estimación del espectro
procedimiento, conocido como método del Periodograma, conlleva un' elevado
número de operaciones aritméticas, por lo que, aunque fue propuesto con
anterioridad aJ método de B-T, no gozó de popularidad entre los científicos que
precisaban del análisis espectral hasta bien entrados los años sesenta. A mitad de
esta década, la técnica del periodograma llegó a alcanzar un papel predominante
frente a la B-T, debido a los avances tecnológicos en el campo de la informática
y al desarrollo del algoritmo de computación propuesto por Cooley y Tukey
(1965), conocido como la Transformada Rápida de Fourier (FFT) y que
reduce significativamente el tiempo de computación necesario para el cálculo de
la transformada de Fourier de series largas de datos.
A principios de los años setenta, aproximadamente, comienza a surgir con gran
fuerza, una forma innovadora en el análisis espectral de series temporales y
espaciales de datos aleatorios. Estas técnicas, cuyo origen radica fundamentalmente
en los trabajos realizados por los científicos Americanos J.P.Burg (1967,1968)
y Parzen (1968,1969), se distinguen esencialmente de las denominadas técnicas
convencionales en que éstas, a diferencia de las primeras, tratan de ajustar las
series de datos disponibles, mediante un conjunto de parámetros, a modelos del
tipo Autorregresivo (AR) , de Medias Móviles (MA) o modelos mixtos (ARMA).
Es por este motivo que dichas técnicas reciben frecuentemente la denominación de
Métodos Paramétricos.
1.4.1 M é t o d o s Clásicos
La función de densidad espectral puede estimarse, según lo visto anteriormente,
considerando el Teorema de Wiener-Khintchine, es decir, como la transformada de
Fourier de la función de autocorrelación:
oo
5 ( / ) = 4 /"i2(r)exp(-¿27r/r)íir / > 0 ; r > 0 (1.21)
o
o bien, directamente a partir de la definición de la función de densidad espectral, es
decir:
5(/) = lim I I Xif) |2 (1.22) i —•oo i
siendo X{f) los coeficientes complejos de Fourier que se obtienen mediante la
transformada de Fourier de r]{t),
10 Métodos de Análisis Espectral
Xif) = í r]{t)e<-'^''^'Ut (1.23) —co
Estos dos procedimientos reciben, generalmente, los nombres de Blackman-
Tukeyy Transformada Discreta de Fouriero Feriodograma, respectivamente. Ambas
técnicas son denominadas en común como, Métodos Clásicos o Convencionales, en
contraste con los llamados procedimientos Modernos o Paramétricos.
1.4.2 M é t o d o s Paramétricos
Las nuevas técnicas de análisis espectral están basadas en la caracterización de los
procesos estocásticos mediante el ajuste de modelos lineales, autorregresivos (AR),
de media móvil (MA) o combinaciones de ambos (ARMA).
Una magnífica exposición de estos métodos se puede encontrar en el artículo
de revisión de Kay y Marple (1981), así como en los libros publicados por ambos
autores, S.L.Marple (1987) y S.M.Kay (1988). Centraremos aquí nuestra atención,
en la descripción de los métodos de cálculo de la función de densidad espectral
para los modelos AR, haciendo especial énfasis en el procedimiento denominado de
Máxima Entropía, por ser éste el método que con mayor frecuencia y éxito se
ha empleado hasta el momento en el análisis espectral de registros de oleaje, Holm
y Hovem (1979), Peña, et al.(1980), Borgman (1985), Calderón y Marón (1986),
Rodríguez (1992), Rodríguez et al. (1992), etc.
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro
Consideremos una serie temporal de elevaciones de la superficie libre del mar,
T]{t), de media nida. Admitamos, además, que dicha serie es representativa de un
proceso estacionario y ergódico. A continuación describimos de modo esquemático,
y haciendo hincapié en los aspectos computacionales, las diferentes técnicas que
emplearemos para estimar la función de densidad espectral de diclia serie.
1.5.1 M é t o d o de B lackman-Tukey
Puesto que la media del proceso considerado es nula, las funciones de autocovarianza
y autocorrelación serán equivalentes. Además, por haber considerado un proceso
ergódico, podremos escribir
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 11
1
RÍT) = lirn^^ J rj{t)rjit + r)dt (1.24)
o expresión que para un registro de longitud finita tomará la forma
T
ítir) = ^ J V{t)r){t + T)dt (1.25) o
donde R{T) representa una estimación de la función de autocorrelación y no la
verdadera función, puesto que además de haber eliminado el operador esperanza
matemática, admitiendo la hipótesis de ergodicidad, estamos calculando el valor de
dicha función a partir de un registro de longitud finita T. Es decir, no podemos
utilizar ni si quiera, una realización completa del proceso {rjit)], de forma que
los valores que obtengamos para cada r , serán simplemente estimaciones del valor
real, que presentarán una cierta varianza con respecto al verdadero valor de dicho
parámetro.
Con frecuencia, suele emplearse una expresión ligeramente diferente para el
estimador de la función de autocorrelación de un proceso ergódico dada por
r - T
R{T) = ^ ; ^ J iit)r]it + T)dt (1.26) o
Estimadores de la función de autocorrelación
Al definir un estimador de la función de autocorrelación, es importante tener presente
la relación existente entre dicha función y la función de densidad espectral, dada por
el teorema de Wiener-Khintchine, de modo que la ecuación empleada para discretizar
R{T), verifique dicha relación.
Estimador Insesgado
Sea una serie temporal discreta, í?(ín), de longitud finita T en la cual los datos han
sido muestreados a intervalos regulares de tiempo, At. Para obtener numéricamente
la función de autocorrelación a partir de estos datos, Blackman y Tukey (1958)
proponen la siguiente expresión
, N-K-l
Riir) = ^^t_^ E r,itnHtn + T)At (1.27) n=0
12 Métodos de Análisis Espectral
eliminando At se puede escribir
N-k-l
N -k n-O
(1.28)
donde
A; = 0.1,2, , M
siendo jV el número de datos de la serie y M el número de Lags, es decir, el máximo
valor que toma k.
Este estimador presenta la propiedad de ser insesgado, es decir, su esperanza
matemática coincide con el valor real del parámetro poblacional que se desea conocer,
R{T).
Estimador sesgado
En lugar de discretizar la expresión (1.26), Akaike (1964) propone hacerlo con la
ecuación (1.25), obteniendo
^2(^)=7FT7 E litnHtn + r)At NAt
(1.29) n=0
Procediendo de igual manera que con el estimador RI{T), se puede escribir
N-k-l
Mr) = M^^At) = R2{k) = ^ ¿ VnVn+k N n = 0
(1.30)
Luego, la única diferencia entre el estimador Ri{k) y el R2Ík) es el factor de
normalización, que mientras en el primero varía con k, en el segundo permanece
constante. Este estimador presenta el inconveniente de ser sesgado para valores
finitos de N, es decir, su esperanza matemática no coincide con el valor real del
parámetro poblacional, R{T).
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 13
Densidad Espectral
Anteriormente se demostró que la función de densidad espectral de un proceso
ergódico puede expresarse, en términos de la función de autocorrelación mediante la
igualdad:
oo
5 ( / ) = 4 / i?(T)cos(27r/r)rfr O < / < oo (1.31)
Empleando la regla trapezoidal para aproximar la integración anterior se tiene,
S(fm)=4 ^ R(Tn)cosi2TvfmTn) + ¿(r„_i)cos(27r/^r„_i) / \ 2 ^ • [Tn - Tn-l) n=0
que para registros equiespaciados, en los cuales (r„ - r„_i) se reduce a
(r„ - r„_i) = Ai
se verifica
S{fm) = 2At A / - 1
R{0) + 2 ^ ^(nA/)cos(2;r /„nA0 + ^(A/)cos(27r/,„MA0 n = l
(1.32)
donde M es el número máximo de Lags.
La frecuencia del espectro correspondiente a cada lag viene dada por
fm = m (1.33)
2A/M
donde se han considerado las restricciones impuestas, sobre la resolución frecuencial,
por la longitud finita del registro, T, y la frecuencia de muestreo empleada, 1/Aí.
Estas restricciones tienen su explicación teórica en el Teorema del Muestreo y se
expresan analíticamente, tal como ya hemos comentado, mediante la frecuencia de
Nyquist
fN = 1
2Aí
de forma que si para valores dados de M y Ai la resolución frecuencial viene dada
por
14 Métodos de Análisis Espectral
A / = MAt
la frecuencia máxima resoluble será
fmax = MAf = 2Aí
de donde
A/ = 2AíAÍ
por lo que
/„ = mA/ = m 2AtM
Incluyendo esta restricción en la ecuación (1.32), se puede escribir
5 (mA/) = 2Aí M - l
RÍO) + 2 ^ Á(nAí) eos ( ^ ) + R{M) eos / "— n = l
O bien, teniendo encuenta que
ÍTn-K\
es decir,
luego
- 1
\ M J
para m par
para m impar
VM
eos teUr-\M ) = (-ir
(1.34)
(1.35)
SimAf) = 2Aí <M-1
¿(0) + 2( ^ É ( n A í ) c o s ( ^ n + ( - l ) ' " ^ (M) . n = l
(1.36)
para
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 15
n = 0,1.2,---,AÍ y m = 0,1,2,-•• , M
Obviamente, si consideramos el teorema de Wiener-Kintchine. la función de
autocorrelación de T]{t) podrá ser obtenida como la transformada de Fourier de
Sif)
R{T) = í S{f)cos2TrfTdf O < r < oo (1.37)
Empleando la regla de integración trapezoidal para discretizar esta ecuación se tiene.
R(nAt) = 1
4MAt 5(0) + 2 Í ' ¿ ' 5 ( m A / ) c o s ( = ) U ( - i r 5 ( M )
(1.38)
para
n = 0 ,1 ,2 , - - - ,M m = 0 , l ,2 , - - - ,AÍ
Puede demostrarse (ver p.ej. Rodríguez, 1993) que las estimaciones espectrales
obtenidas mediante la expresión (1.38) poseen una elevada varianza, siendo necesario
emplear algún método de suavizado que reduzca esta alta variabilidad estadística.
El procedimiento normalmente seguido para obtener tal fin es el empleo de ventanas,
bien en el dominio de los desfases temporales, bien en el dominio frecuencial.
1.5.2 Transformada Discreta de Fourier
La función de densidad espectral definida previamente como
S{f) = lim - I X(/) p r—^oo 1
(1.39)
donde X{f) son los coeficientes complejos de Fourier, puede estimarse directamente
a partir de la serie temporal r}{t), mediante la transformada de Fourier de ésta, sin
necesidad de obtener la función de autocorrelación. La transformada de Fourier de
una serie temporal discreta puede expresarse como
16 Métodos de Análisis Espectral
A'(/) = E^(0^~"''^'^' (1-40)
La estimación del espectro así obtenida recibe normalmente el nombre de
Periodograma.
Estimación del Periodograma
Considerando una serie temporal discreta, constituida por N puntos muestreados en
intervalos de tiempo equidistantes Ai
viU) = Vn = r?(nAí) n = 0,1,2,• • •, A - 1
podremos limitar el rango de variación de la sumatoria entre O y N-1, de forma que
para una frecuencia dada se tendrá
i V - l
X{fm) = Ai E T/(<„)e-2'^^'"'" (1.41) n=0
para
m = 0 , l , 2 , - - - , A f - 1 y n = 0,1,2,-• • ,7V - 1
donde
tn = nAt y fm- mAf
siendo A / la resolución frecuencial obtenida al realizar la transformada de T](t). Es
decir, A / representa la separación entre las frecuencias asociadas a cada dos valores
de X{fm) consecutivos.
Para una serie temporal de duración T = iVAí, la relación entre la resolución
frecuencial y el intervalo de muestreo viene dada por
NAt
de forma que
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 17
^ , ^ . . . 'Iirmn ^~jmtn = 2-mnAfAt = —-—
por lo que la Transformada Discreta de Fourier para 7/(í) se podrá escribir como
Xifm) = Ai j ; T^ í í je -^- -^^"^ ' (1.42) n=0
O bien
N-l
X(U = Ai 5^ T?( /„)e(" ' ' ^ ) (1.43) n=0
donde cada valor de /„, vendrá dado por
m • '" ~ ivÁí ^^^^ m = 0 , l ,2 , , i V - l
Sin embargo, no será necesario realizar el cálculo de los coeficientes complejos
de Fourier hasta el punto N-l puesto que, debido a las propiedades matemáticas
intrínsecas a la transformada de Fourier, se verifica la siguiente relación de simetría
X{U = Xifrn-N) (1.44)
Luego, solamente será preciso especificar X{fm) para valores de m comprendidos
entre O y iV/2.
Ademas, para un periodo de muestreo Ai, la frecuencia máxima que puede ser
resuelta viene dada por la frecuencia de Nyquist, /A^,
Jmax — ^ . . = JN
Es decir, el valor máximo que puede tomar m en fm vendrá determinado por
NAt 2At • • ••"" ' '^- 2
En otras palabras, para m igual a N/2 se tiene el valor de la frecuencia máxima
resoluble, JN
f - f - ^V2 _ 1 _ ,
18 Métodos de Análisis Espectral
Esto es, el valor máximo de m debe ser, como ya se había apuntado,,i\72, de forma
que con los valores de X{f) asociados a las frecuencias pertenecientes al rango
O < /m < /iV
obtendremos toda la información que nuestro intervalo de muestreo Ai nos permite.
Por otra parte, considerando la relación de Euler, el término exponencial de la
transformada discreta de Fourier se puede escribir como
g(-¿27rmn/Ar) ^ cos(27rmn/iV) - sen{27rmn/N)
Es decir, los coeficientes complejos de Fourier pueden ser descompuestos en una
parte real (Sí) y otra imaginaria (G), tal como sigue
Xif) = ^[Xif)]-iQ[Xif)] (1.45)
donde
§?[X(/TO)] = A Í 2 j ^n (^os ( ——— j — ' Transformada Coseno (1-46)
[X(/m)] = Ai ^ í?n-sen í ——— j —*• Transformada Seno (1-47)
Es decir,
X{ím) = iV-1
n=0 eos
2nmn N
N-l
iAt Y, nn sen n=0
271 mn
N (1.48)
que escrito en forma más compacta es
Entonces, según la definición dada para la función de densidad espectral
5 ( / ) = lim -\X(f)f
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 19
y teniendo en cuenta que
podremos obtener una estimación de la función de densidad espectral, considerando
que el registro analizado es de longitud finita, mediante
S{U = I I X(fm) P (1.49)
expresando X{fm) en función de las transformadas seno y coseno y extrayendo como
factor común el valor Ai. se tiene
para
m f^ = J^t ' "^ = 0 '1 '2 ' ' ^ / 2
Los términos Sím e 9 ^ se pueden obtener directamente a partir de sus definiciones,
es decir,
5í[X(/^)] = A / X : \ n C 0 . ( ^ )
^[X{fm)] = Ai ^ v^seni——] n = 0 \ ly /
Sin embargo, este proceso requiere un tiempo de computación muy elevado,
principalmente para valores altos de N. Sin embargo, estas expresiones pueden
ser resueltas empleando el algoritmo de la " Transformada Rápida de Fourier'\ que
permite reducir sustancialmente el número de multiplicaciones involucradas en la
resolución de las expresiones anteriores, consiguiéndose así una reducción drástica
en el tiempo de computación necesario.
20 Métodos de Análisis Espectral
Suavizado del Periodograma
El análisis de las propiedades estadísticas de los coeficientes de Fourier revela
que éstos presentan una elevada varianza respecto a su valor medio. De esta
forma, el espectro "crudo''' obtenido directamente a partir de los mismos, no puede
proporcionarnos resultados estadísticamente significativos.
La forma más elemental de reducir la variabilidad de las estimaciones
espectrales es emplear el operador ""promedió". Los promedios para suavizar léis
estimaciones espectrales pueden ser:
1. Promedio de diferentes estimaciones para la misma frecuencia.
2. Promedio de las estimaciones centradas alrededor de una frecuencia dada.
Para obtener varias estimaciones espectrales para la misma frecuencia, a partir
de una serie temporal discreta, se debe subdividir la secuencia de observaciones en
segmentos de menor tamaño. Automáticamente, ésto da lugar a una disminución
en la resolución frecuencial.
Al promediar estimaciones alrededor de una frecuencia dada, éstas deben ser
estadísticamente independientes entre sí para que el promedio sea fructífero. Si el
espectro varía rápidamente sobre dichas frecuencias, el promedio generará un sesgo
significativo.
Los promedios tipo (1) corresponden al denominado método de Bartlett,
(Bartlett, 1948). Este método fue modificado posteriormente por Welch, (Welch,
1967). Los promedios tipo (2) constituyen el método de suavizado propuesto por
Daniell, (Daniell, 1946).
Método de Daniell
El método propuesto por Daniell (1946) es ,probablemente, el primero y más
básico de los estimadores del periodograma suavizado. Este método consiste en
realizar un promedio, uniformemente ponderado, de un número determinado de
estimaciones adyacentes del espectro "crudo", admitiendo que éstas son mutuamente
independientes y que la función de densidad espectral S{f), varía lentamente con la
frecuencia. De esta forma, es posible suavizar las fluctuaciones rápidas que presenta
el periodograma.
Para una serie temporal T){t) de N datos equiespaciados temporalmente en Ai,
{'?(0),í?(l), ,í?(A^-l)}
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 21
se obtienen N/2 estimaciones espectrales en el intervalo O < / t < /AT,
{s(fo),S{fi),S(f2), JÍ/N)}
donde /o corresponde a la frecuencia / = 0 y /;v representa la frecuencia de Nyquist.
La frecuencia / t vendrá dada por
donde
fk =
k = 0,1,3,
NAt
' 2
La estimación S{fk), asociada a la frecuencia /¿., puede ser suavizada mediante el
promedio de las m estimaciones anteriores y posteriores y ella misma. Esto es,
Sifk) = Sifk-m) + Sifk-m+l) + ••• + Sih) + ••• + Sifk+m-l) + S(fk+m)
2 m 4 - l
Por tanto, la función de densidad espectral estimada será
1 "*
j = - m
(1.51)
de este modo, el número de estimaciones espectrales que se obtienen es,
N 2(2m+l)
correspondientes a las frecuencias
fk = 2m + j=-m
Los argumentos dados anteriormente para el cálculo de S{fic), deben ser modificados
al determinar las estimaciones correspondientes a las frecuencias / = O y / = ^^ • En
este caso, dado que S{f) es una función par, que estimada más allá de /o y / ü , se
repite como una imagen especular, los valores de S{fk) a cada lado de la frecuencia
central serán los mismos. Entonces, para A- = 0,
22 Métodos de Análisis Espectral
5(0) 1
2m + 1
y para fk = ^^= /^vys,
S{fN/2) = 1
5(0) + 2 ^ 5 ( / , + , ) j = \
2m+ 1 S{N/2) + 2j2S{h-j)
3 = 1
La generalización de éste método se puede entender como la aplicación de un
filtro de péLso bajo, con función de respuesta H{f), al "nití; espectró'\ (Marple, 1987).
Esto es, el periodograma suavizado mediante el método de Daniell puede expresarse
como la convolución del "raiü" espectro con un filtro de paso bajo
5 ( / ) = 5 ( / ) * ^ ( / )
Las ideas fundamentales de éste método pueden visualizarse en la figura (1.3). En
la figura (1.4) se ilustra un esquema del algoritmo de cálculo del espectro, suavizado
mediante el método de Daniell.
Método de Bartlett
Dadas K variables aleatorias incorrelacionadas,
Xi,X2, ,XK
cada una de ellas con media n y varianza c^, su media aritmética
X1 + X2 + + XK
K
tendrá el mismo valor medio, /i, mientrcis que su varianza será a^ ¡K. Este hecho
sugiere que la varianza de las estimaciones espectrales del periodograma se puede
reducir, en un factor 7v', dividiendo la serie de datos observada.
rj{t) = r]{nAt) = rjn n = 0, l , ,N-l
en K segmentos con M datos cada uno y promediando sus correspondientes
periodogramas.
Este tipo de estimador para reducir la varianza del periodograma se debe a
Bartlett (1948), quien propuso para tal fin, subdividir la muestra de N puntos en
K segmentos, cada uno de ellos con M puntos, de forma que
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 23
HMÍII : ancs im§.)
C ' It W « *« M M Itt tu t** tío tn Itt (M U< t40 tSt rctn^w (ng.)
¿IL.
I.»
J
V • O.OOai ! f m í
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J ^ -
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nma*) • v • fO wnn • St
•.M « M a.fs «Lff illa 0.13 OJO «.» a.4S a.4s AJO
Figura 1.3: Suavizado del Periodograma según el procedimiento de Daniell
24 Métodos de Análisis Espectral
Inicio
'^i]{nAt); n = 0 , l , - - - , i V - 1.
N-l Ji—í í - i2Trnm A
X{h) ^AtZ r]{nAt)ei—^) n=0
sih) = Ai l' '(A-)l
2m + 1
Si No
Sih) = 2 ^ 2m+l 5(A) + 2E^(A-±,) j = i
5(A) 2m+l E 5(A+,) j=-m
S{f)
Figura 1.4: Diagrama de flujo para el método de Daniel!
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 25
N = K.M
Es decir, la muestra rf^t) se fracciona en los siguientes A' segmentos,
%(0 = í/o, í?!, , 77(A/-i)
í / i ( í ) = f/A/, '7M+1, , ri(2M-\)
V{K-l){i) = V{K-l)Mi'n(K-l)M+-l, ^V{KM-1) .
que en forma compacta expresaremos como
r)j{l) = r]{I^.JM]
donde
í 7 = 0 , 1 , 2 , - - - , M - l
\ J = 0 , 1 , 2 , - - - , A ' - 1
A continuación, se estima el periodograma para cada uno de los K segmentos,
mediante la expresión,
M-\
7 = 0
(1.52)
Por último, promediamos los periodogramas correspondientes a cada segmento, para
obtener la función de densidad espectral suavizada,
SU) = 1 [5o(/) + S^if) + + S^K-i){f)]
o bien.
j=o (1.53)
La figura (1.5) ilustra gráficamente este procedimiento, mientras que en la figura
(1.6) se presenta un esquema del algoritmo de computación.
26 Métodos de Análisis Espectral
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^ ^ r ILM i L n
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• L U <LJ (•«•J
Figura 1.5: Suavizado del Periodograma mediante el método de Barttlet
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 27
Inicio
4){nAt); n = 0,l,---,N -ly
y~iry
M = ^
J = 0
r]j = j]{I+JM)
7 = 0 , 1 , 2 , - - - , A / - l
SÁf) = W M-l
J = J+1
sif) = 1
'
A ' - l .
E Sjif) J=0
•
Sif)
Figura 1.6: Diagrama de flujo para el método de Bartlett
28 Métodos de Análisis Espectral
En este método se admite que el valor de R(T), en cada, segmento, es
despreciable para valores de r mayores que A/, De esta forma, es razonable
admitir que los periodogramas asociados a cada segmento son estadísticamente
independientes entre sí.
Método de Welch
Welcli (1967) propuso una modificación del método de Bartlett, que básicamente
consiste en aplicar una ventana de datos, diferente de la rectangular, a los diversos
segmentos en los que se subdivide la serie original, y permitir además que tales
segmentos puedan solaparse. El objetivo que se persigue al utilizar las ventanas de
datos es el de reducir el sesgo de las estimaciones, minimizando el efecto leakage,
aunque ésto provoque un ligero descenso de la resolución frecuencial. El permitir el
solapamiento de los segmentos tiene como fin el aumentar el número de segmentos o,
lo que es equivalente, de periodogramas a promediar, para así conseguir una mayor
reducción de la varianza de las estimaciones espectrales.
La aplicación de estas mejoras, conjuntamente con la eficiencia computacional
del algoritmo FFT, han permitido que el método de Welch se halla convertido en el
procedimiento de estimación espectral más frecuentemente usado en la actualidad.
El método de Welch puede ser descrito tal como sigue. Sea un registro de N datos,
r}{t)
{'?(0),í7(l), ,rj{N-l)]
Al dividir T¡{Í) en K segmentos, de M datos cada uno, solapados en una cantidad
{S = M — D), donde D representa el desplazamiento entre segmentos adyacentes, el
comienzo de la segunda secuencia se localiza en la ordenada D, la tercera secuencia
en 2D y así sucesivamente, hasta alcanzar la posición N — M — 1, origen de la ultima
secuencia a analizar. De esta forma, los K segmentos pueden expresarse como,
Voit) = %, í?i, , ?7(A/-i)
^ i (0 = VD,'nD+i-, •,VD+M--I)
»?2(0 = ^2D, í?2D+l, , %D+(A/-1)
^(A--l)(*) - '?(A'-l)D,'/(/\-l)D+l7 ,V{K-\)D+{M-1) ,
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 29
o bien, en forma compac ta
donde
rjj{I) = r^iI + JD)
í I = 0,l,2,---,M - 1
1 J = 0 , 1 , 2 , - - - , A ' - 1
siendo JD el origen de la J-esima secuencia. Es decir, la diferencia entre el número
de datos por segmento y el de los datos solapados,
JD = J{M - S)
Para un M y un 5 dados, el número de subseries que se obtiene, a partir de un
registro de N datos, viene dado por la parte entera de
K = INT N -S
.M - S.
o teniendo en cuenta que la cantidad de desplazamiento D es
{D = M - S) K = INT N - M + D
D
la expresión de los diferentes segmentos ponderados mediante la ventana de datos
sera
nj{I) = w{I)-r¡{I + JD)
y el espectro correspondiente a cada uno de ellos,
SAf) = \Xj{fW o< / < 1
UMAt ' •'^"' ' - ' - 2Aí donde Xj{f) es la transformada discreta de Fourier del segmento J-ésimo,
M-\
XJU) = AtY: w{l)njil)e^-''-^^'''^ 1=0
y ¿y es un factor de correción, introducido para soslayar la reducción de energía
(varianza) en la subserie al aplicarle la ventana, de datos.
30 Métodos de Análisis Espectral
Una vez calculados los periodogramas correspondientes a cada una de las K
subseries, se realiza el promedio de éstos, obteniéndose el estimador espectral de
Welch,
s^''\f) = TE SAf) ^ ' . = 0
(1.54)
Este procedimiento se ilustra esquemáticamente en las figuras (1.7) y (1.8), y en la
figura (1.9) se muestra un diagrama de flujo, con los pasos principales a seguir en el
proceso de computación.
1.5.3 M é t o d o de M á x i m a Entropía
Los métodos no-paramétricos vistos anteriormente (BT y FFT) precisan de registros
de datos largos para poder obtener la resolución frecuencial que se requiere en muchcis
aplicaciones. Además, estos métodos presentan el problema del "leakage^'' inherente
a los registros de longitud finita. Con frecuencia, el efecto del leakage enmascara
señales débiles que están presentes en los datos.
La limitación básica de los métodos no-paramétricos, es la hipótesis impL'cita
de que las estimaciones de la función de autocorrelación, ¿ (mAí) , es cero para
m> N. Esta suposición limita severamente la resolución frecuencial y la calidad de
la estimación de la función de densidad espectral obtenida. Por otro lado, la hipótesis
impL'cita en la estimación del periodograma es que los registros son periódicos, de
periodo NAt. Ninguna de estas dos hipótesis es en absoluto realista.
Los denominados métodos paramétricos no requieren tales hipótesis. En
realidad, estos métodos extrapolan los valores de la función de autocorrelación para
lags m > N. La extrapolación es posible si tenemos alguna información a priori de
como se han generado los datos. En tal caso, se puede construir un modelo, para la
generación de la señal, con un número de parámetros que pueden estimarse a partir
de los datos observados. Mediante el modelo y los parámetros estimados, podemos
calcular la función de densidad espectral correspondiente al modelo seleccionado
para caracterizar el proceso.
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 31
l04íl¡W¡^4'^
f^MM^ I ' I • I ' I
tu tu tu U4 Ut
t-t u t u t u U4 t u
tmrJ t U §4 U
Figura 1.7: Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte I
32 Métodos de Análisis Espectral
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Figura 1.8: Método de Welch para suavizar el Periodograma. Parte II
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 33
f Inicio j
^rj(nAt); n = 0 ,1 , - • • ,iV - 1
ZEJI7
D = M-S; K = INT N-M+D D
A/-1 z = Í7 E Mi)Y
1=0
J = 0
r]j{I) = r¡{I + JM); O < / < M - 1
7/j(/) = w{I) • rjil + JD)
SJU)=m 1=0
No 7 = 7 + 1
Si •
SU) = 1 ' E ' SJU) J=0
' '
SU)
Figura 1.9: Diagrama de flujo para el método de Welcii
34 Métodos de Análisis Espectral
En consecuencia, este procedimiento elimina la necesidad de ventanas y
la hipótesis de que la función de autocorrelación es cero para m > N. Por
ello, los métodos de estimación de la función de densidad espectral paramétricos,
proporcionan una mejor resolución frecuencial que los métodos no-paramétricos y
evitan el problema del "leakage".
Los métodos paramétricos se basan, en general, en modelizar la serie temporal ri{t)
como la salida de un filtro lineal. Como caso particular, los procesos AR, MA y
ARMA pueden considerarse generados a partir de un ruido blanco, mediante un
filtro lineal:
Filtro lineal rP{B)
i írt 1 * [Vt]
En general, el proceso de filtrado adquiere la forma
rit = ^{B)wt = (1 - ipiB - ^2^2 )wt
donde •0(5) es un operador polinómico, denominado función de transferencia del
filtro. En el caso particular de los procesos AR, MA y ARMA, las funciones
de transferencia del filtro se denotarán respectivamente por: <^~^(5), 0{B) y
cl>-HB)9{B)
Luego, un proceso AR(p) podrá expresarse como
Vt = 4>\'nt-\ + 4>2-nt-2 + • • • + <t>pm-p + '^t
donde {<jl>,} es conjunto de constantes y {wt} un ruido blanco. Entonces,
<t){B)rft = Wt
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 35
rjt = (t>-\B)wt
El término
cpiB) = 1 - <l>iB - 4>2B'' cppB^
es un operador autoregresivo de orden p y 5 es el operador de desplazamiento
inverso.
En general, los diferentes modelos paramétricos considerados pueden escribirse
como
Proceso lineal general rjt — %l^{B)wt
Proceso AR (p(B)r]t — Wt => T]t = 4>~^(B)wt
Proceso MA ^ ^ = wt => rjt = 6{B)wt
Proceso A R M A 4>iB)rit = e{B)wt ^ m = ^Wt
Expresando la función de transferencia del filtro mediante la transformada z, en
lugar del operador desplazamiento inverso, se tendrá para un proceso ARMA la
siguiente función de transferencia
Hiz) = f g = - ^ , (1.55)
siendo la ecuación lineal en diferencias correspondiente
P 9 •n{t) = Tl{nAt) = T]n = -Y^ akTJn-k + ^ bkWn-k (1 .56)
donde Wn es la secuencia de entrada al sistema lineal, mientras que los datos
observados, Tjm representan la secuencia de salida. Los coeficientes a/.- y bk son
los parámetros del modelo (o coeficientes del filtro).
En la estimación de la función de densidad espectral, la secuencia de datos de
entrada no es observable. Sin embargo, si los datos observados se caracterizan
como un proceso aleatorio estacionario, entonces la secuencia de entrada también
36 Métodos de Análisis Espectral
es considerada como un proceso aleatorio estacionario. En tal caso» la función de
densidad espectral del registro de datos viene dada por
Sr,if) = \Hif)\'SM) (1-57)
donde Swif) es la función de densidad espectral de la secuencia de entrada y H{f)
es la respuesta frecuencial del modelo.
Dado que nuestro objetivo es estimar la función de densidad espectral 5,,(/),
será conveniente admitir que la secuencia de entrada, u?„, es un "ruido blanco''' de
media nula y con autocorrelación
RUT) = Rn,{mAt) = RJm) = a^¿(m) (1.58)
donde a^ es la varianza del ruido blanco. Esto es,
< = E [wl
Luego, la función de densidad espectral de los datos observados será simplemente
mf)\' \Aif)\'
Sr,if) = crl \Hifr = KTTTTT^ (1-59)
Según este procedimiento, la estimación de la función de densidad espectral consiste
esencialmente en dos pasos:
1. Dada la secuencia de datos,
{r]{n)} ; O < n < A - 1
se calculan los parámetros del modelo, {cfc} y {bk}.
2. Entonces, se determina la estimación de la función de densidad espectral a
partir de dichos parámetros, mediante (1.57).
De los tres modelos lineales vistos, el modelo AR es, con mucho, el más ampliamente
utilizado. El motivo es doble. Primero, el modelo AR es apropiado para representar
espectros con picos estrechos. Segundo, el modelo AR da lugar a ecuaciones lineales
muy simples para la estimación de los parámetros AR, {uk}.
Sin embargo, el modelo MA, por lo general, requiere muchos más coeficientes
para reperesentar un espectro estrecho, motivo por el cual es empleado con menor
frecuencia en las estimaciones espectrales.
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 37
Dado que el modelo ARMA combina polos y ceros, presenta una mayor
eficacia, desde el punto de vista del número de parámetros del modelo, para
representar el espectro de un proceso aleatorio. Sin embargo, la estimación de los
parámetros resulta bastante más compleja.
Por otro lado, teorema de Cramer-Wold, (Cramer, 1946), afirma que existe
un único modelo AR para la representación del proceso % — Dt- Esto es. cualquier
proceso estacionario con su parte determinista eliminada (incluyendo el valor medio)
puede ser representado por un modelo AR, o de modo más general, por un modelo
ARMA. Una expresión análoga de este teorema es:
Todo proceso ARMA o MA puede ser representado unívocamente mediante un
modelo AR de orden infinito, y cualquier proceso ARMA o AR puede
representarse por un modelo AM de orden infinito.
En consecuencia, la elección del tipo de modelo a emplear, se reduce a seleccionar
el modelo que requiere un menor número de parámetros y cuyo cálculo sea lo más
sencillo posible.
Estimación de los parámetros AR
La estimación de los coeficientes de un modelo AR puede realizarse, a partir del
las ecuaciones de Yule-Walker, mediante diversos métodos. Los dos más utilizados
son el método de Yule-Walker y el método de Burg. La diferencia esencial entre
ambos es la forma de estimar la secuencia de autocorrelación de la serie temporal
observada.
En el método de Yule-Walker, la secuencia de autocorrelación se obtiene de
forma independiente, utilizando el estimador sesgado (1.30), para luego resolver
las ecuaciones de Yule-Walker. El estimador sesgado da lugar a una matriz de
autocorrelación semidefinida positiva. Sin embargo, el uso de dicho estimador
implica admitir que los datos fuera del intervalo de observación son cero, suposición
que claramente viola el principio de máxima entropía.
Para soslayar este inconveniente, Burg (1967,1968) propone minimizar directamente
la varianza del error de predicción (potencia del error de predicción o varianza del
ruido blanco). El error de predicción es considerado como la suma de las varianzas
de las predicciones de error directa e inversa. La minimización del error en ambos
predictores conjuntamente, conduce a la obtención de un operador de predicción
de error de mínimo desfase, e imph'citamente a la estimación de una secuencia de
38 Métodos de Análisis Espect ra l
autocorrelación semidefinida positiva (Smylie et al., 1973). De este raodo se elimina
la necesidad de conocer a priori la función de autocorrelación. Para una discusión
detallada de estos métodos, (ver, p.ej., Rodríguez, 1993).
Estimación espectral MEM
El método de Burg para la estimación espectral se denomina frecuentemente
como método de máxima entropía (MEM), criterio empleado por Burg
(1967,1968,1975) como base para la modelización AR en la estimación paramétrica
del espectro.
Burg consideró el problema de como realizar la mejor extrapolación de la función
de autocorrelación Rn{m), para valores de m > p, a partir de la secuencia
R,j{m) ; -p < m < p
de modo que la secuencia de autocorrelación completa fuese semidefinida positiva.
Puesto que existe un número infinito de extrapolaciones posibles, Burg postuló que
la extrapolación debía ser hecha en base a la maximinización de la incertidumbre
(entropía o aleatoriedad), en el sentido que el espectro del proceso Sr,{f) sea el más
plano de todos los posibles espectros, con la secuencia de autocorrelación dada.
Considerando que la entropía por muestra de un proceso Gaussiano, que
consideramos de media nula, es proporcional a la integral
H= J logSr,{f)df (1.60)
-JN
Burg, utilizando los multiplicadores de Lagrange, encontró que sometida a las (p+1)
restricciones
IN IN
J Sr,if)z"'df = I 5^(/)e'2'-^'"^'í// = Rr,{mAt) ; O < m < p (1.61)
-JN -JN
es decir, bajo la condición de que 5^(/) debe ser consistente con la secuencia de
autocorrelación conocida.
el máximo de dicha integral es el proceso AR(p) para el cual la secuencia de
autocorrelación dada, R,^{m), está relacionada con los parámetros AR mediante
la ecuación
1.5 Técnicas pa ra el cálculo au tomát ico del espect ro 39
í P
-ff„(m) = <
- ^ akRr,{m - k) ; m > O
- E akRnim - k) + crl, ; m = O (1.62) k=l
[ R;{-m) ; m < O
Expresando Sr,{f) en términos de la función de autocorrelación, en la integral (1.60),
se tiene la igualdad
IN
-ÍN
J2 R{mAt)e-'^''f"'^'df (1.63)
cuya maximización, mediante los multiplicadores de Lagrange, da lugar al siguiente
problema de variaciones
IN
-ÍN 1-
log5,(/) - ¿ A„ (5„(/)e'2'^^'"^' - R{mAt)) df msz—p
= 0 (1.64)
donde los multiplicadores Lagrangianos se determinan imponiendo las restricciones
dadas por (1.61).
La solución al problema de variaciones anterior, conduce a la expresión de la función
de densidad espectral bilateral de máxima entropía (Smylie, et al., 197.3), dada por
sru) Ata?.
1 + É áp(m)e-'2'^/'"^« m = l
; \f\<fN (1.65)
Puesto que 5,,(/) es una función par, para un proceso real la expresión anterior toma
la forma
sru) ÍN 1 + É áp(m)e-'2^/'«^*
m = l
; 0<f<fN (1.66)
40 Métodos de Análisis Espectral
Algoritmo de computación MEM
Dada una serie temporéd, íy(nAí), que representa una realización finita de un proceso
estocástico {T]{t)} Gaussiano y de media nula,
77(nAí) = 7?„ ; 1 < n < A''
la estimación de la función de densidad espectral de máxima entropía
correspondiente, conlleva el ajuste de un modelo AR a la serie T]n.
Al ajustar un modelo AR de orden p a dicho proceso, el cálculo de los coeficientes
{cm}, implica resolver el sistema de ecuaciones dado, en forma matricial, por
Rr,{0) Rr,{-1)
Rr,{l) RM
Rr,{p-l) Rniv-2)
RÁ-p)
Í2r,(-P+1)
i2,(0)
1
O
La resolución de éste sistema de ecuaciones, mediante el método propuesto por Burg
(1967, 1968), puede realizarse de la siguiente manera:
1. Inicialización de la varianza muestral de predicción de error
Para el orden A/ = 0, se tiene que
-2 ÍE(0) • 1 = áá
Luego,
N
p — »2 _ n=l Zvi N
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 41
2. Inicialización de los errores de predicción directa e inversa
fo(") = Vn , fo(^) = ^n
l<n< N
3. Estimación recursiva de los errores de predicción directo e inverso
d/(") = ^ii-iin - 1) + KM^Íí-iin)
M + l<n< N
4. Estimación del coeficiente de reflexión
¿MÍM) = KM =
2 E eÍj_,iny^_,in-l) n-M+l
N
E n=M+l
H/-i("))' + (4í- i ("- i)) '
42 Métodos de Análisis Espectral
M + l<n< N
5. Estimación de la varianza del error de predicción
PM = ^M = ^M-i ( l - -'Í'A/J
6. Cálculo de los coeficientes del modelo
áMim) = áM-iim) + KM • aM-\{M - m)
O < m < M = Mopt = p
donde, para m = 0,
áM(0) = 1
7. Estimación de la función de densidad espectral
s....U) = al
ÍN 1+ Y. áp(m)e-'2'^/'"^'
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 43
0<f<fN O < m < p
Méritos y deméritos del método de Burg
A continuación comentamos las principales ventajas que el método de Burg presenta,
frente a los métodos convencionales, para la estimación espectral de un proceso
aleatorio, así como los problemas más importantes que presenta dicha técnica.
Los métodos convencionales requieren del uso de ventanas (temporales, de
desfase o espectrales) para reducir el efecto del "leakagé"' y como consecuencia, existe
una perdida de resolución frecuencial. Además, ya se ha comentado en capítulos
anteriores que existen fuertes discrepancias sobre la utilidad de las ventanas. Uno
de los motivos principales que originan tales discrepancias, es que las ventanas
modifican los datos originales sin tener en cuenta las características del proceso
aleatorio. Es decir, no existe ningún tipo de relación o dependencia entre las
propiedades de las series y las de las ventanas aplicadas. De éste modo, puede
ocurrir que las conclusiones obtenidas sean erróneas. Así, por ejemplo, ciertos
picos presentes en el espectro estimado, pueden tener su origen en un efecto de
"/ea/fcajre" generado por los lóbulos laterales de la ventana, y no reflejar la estructura
del espectro verdadero. Los problemas generados por el uso de las ventanas resultan
particularmente importantes, si la cantidad de datos disponibles es tan limitada,
con respecto a los requerimientos de estabilidad de las estimaciones espectrales,
que no exista una ventana capaz de ofrecer la resolución necesaria para resolver las
componentes presentes en la serie analizada.
Por otra parte, se deben emplear registros de datos suficientemente largos para
obtener estimaciones con una estabilidad estadística aceptable. Por ello, con
frecuencia, se suelen analizar registros de duración entre 20 y 30 minutos. En
el contexto de la estacionareidad, éstas longitudes de registro son bastante
cuestionables y pueden restringir enormemente, en caso de no verificarse dicha
hipótesis, la utilidad de los datos disponibles. Por otro lado, éstos métodos necesitan
la utilización de algún proceso de suavizado (medias móviles ponderadas, promedio
de las estimaciones obtenidas al segmentar la serie original, etc.), con lo cual la
resolución frecuencial disminuye y el sesgo de las estimaciones se incrementa.
El método MEM posee la ventaja de no precisar el uso de ventanas que modifiquen
44 Métodos de Análisis Espectral
la serie original, puesto que la extrapolación de la función de autocorrelación
maximizando la entropía evita las discontinuidades en los extremos, y por tanto el
problema del " leakage^. Según Lacoss (1971), es como si al determinar la estimación
espectral correspondiente a una frecuencia dada, el método se autoajustase para que
ésta no sea afectada por las estimaciones asociadas a otras frecuencias. Es decir, se
podría pensar en una ventana hipotética que se autoadapta al espectro de la señal
analizada. Esta particular interpretación es la que induce a dicho autor a denominar
al método MEM como método adaptativo de análisis espectral.
El método de máxima entropía tampoco requiere procedimientos de suavizado
para disminuir la varianza de las estimaciones. Una propiedad extremadamente
importante del estimador MEM es su naturaleza ^'óptimamente suavizadd\ Ulrich h
Clayton (1976). La razón de ésta característica es que el espectro estimado mediante
el método MEM, es el espectro del proceso, siendo la serie analizada una realización
del mismo. El periodograma suavizado es el espectro de la realización.
Por otra parte, la extrapolación de máxima entropía de la función de autocorrelación
da lugar a una función de densidad espectral (1.66) que es una función continua de
la frecuencia, proporcionando así una mejora sustancial de la resolución frecuencial.
Sin embargo, el método de Burg también posee algunos inconvenientes.
1. El principal problema del método MEM es la selección del orden del modelo
AR a ajustar. La dificultad en la elección de ciertos parámetros, para obtener
una estimación espectral aceptable, es un mal común a todas las técnicas de
análisis espectral (Gutowski, et al., 1978).
2. El método exhibe un desdoblamiento de lineas espectrales para relaciones
señal-ruido elevadas (ver Fougere et al., 1976). Es decir, que el espectro de
77(71) puede tener un* único pico apuntado, pero el método de Burg puede dar
lugar a dos o más picos muy próximos entre sí.
3. Para órdenes del modelo muy altos, el método también introduce picos falsos.
4. Para señales sinusoidales con un elevado nivel de ruido, el método de Burg
es sensible a la fase inicial de una sinusoide, especialmente en registros de
datos cortos. Esta sensibilidad se manifiesta como un desplazamiento de la
frecuencia respecto de la verdadera frecuencia, dando lugar a un sesgo en las
frecuencias que depende de la fase.
1.5 Técnicas para el cálculo automático del espectro 45
Para más detalles sobre estas limitaciones ver, por ejemplo, Chen y Stegen
(1974), Ulrich y Clayton (1976), Fougere et al. (1976), Kay y Marple(1979), Swingler
(1979a, 1980) y Thorvaldsen (1981).
Selección del Orden del modelo
La selección del orden del modelo AR, p, es una parte importante en el proceso de
modelización. Si la señal analizada es parte de un proceso AR puro de orden p, todos
los coeficientes ajt, para k > p son iguales a cero, existiendo una única solución para el
orden del modelo exacto, (Papoulis, 1981). Por otro lado, la mayoría de los procesos
reales, incluyendo las series temporales de los desplazamientos de la superficie libre
del mar, no son procesos AR puros. Luego, los coeficientes AR nunca serán cero
para cualquier orden, p, y en consecuencia no existe una solución única para el orden
del modelo.
La selección del orden óptimo de un modelo no-AR es un problema difícil, que
debe ser considerado de diferente manera para cada aplicación. Esta es una de las
principales desventajas de los métodos de análisis espectral no-paramétricos.
La mayoría de los criterios propuestos, para estimar el orden de un modelo
lineal, están bz^ados en la minimización de la varianza del error de predicción, a^,.
Sin embargo, para un proceso no-AR o un proceso AR con "ruido" el error de
predicción decrese monótonamente al aumentar el orden del modelo (Kay, 1988).
Por otra parte, en la práctica, se trabaja con registros de datos de longitud finita
de modo que la elección de un orden elevado (próximo al tamaño de la muestra)
conduce a un incremento del error en la estimación de los parámetros del modelo.
En consecuencia, existe un compromiso entre:
1. Un orden bajo para el modelo AR con un elevado error de predicción
2. Un orden alto con estimaciones de los parámetros AR poco fiables
En general, los criterios basados en la varianza de la predicción de error incluyen un
término que considera la disminución del error de predicción y otro para el aumento
del error en la estimación de los parámetros del modelo. El valor del orden del
modelo que minimiza el criterio es aceptado como valor óptimo.
Algunos de los criterios más conocidos para estimar el orden del modelo son
(ver, p.ej., Rodríguez, 1993):
1. Criterio de Error Final de Predicción-(FPE)
46 Métodos de Análisis Espectral
2. Criterio de Información de Akaike-(AIC)
3. Criterio de la Función de Transferencia Autorregresiva-(CAT)
4. Criterio de los coeficientes de correlación parcial-(PCC)
Los resultados experimentales obtenidos por diversos autores, indican que la
selección del orden del modelo, empleando los criterios arriba mencionados, no ofrece
resultados definitivos. Así, por ejemplo, Ulrich y Bishop (1975), Jones (1976), y
Berryman (1978), encuentran que el criterio {FPE)p tiende a infraestimar el orden
del modelo. Kashyap (1980), demostró que el criterio {AIC)p es estadísticamente
inconsistente cuando el número de datos de la serie tiende a infinito.
Otros autores (p.e., Gangopadhyay et al, 1988; Holm & Hovem, 1979) han estudiado
las características del análisis espectral AR, para series temporales oceanógraficas,
obteniendo que los criterios basados en la varianza del error de predicción, CT¿,
infraestiman el orden del proceso.
La ausencia de criterios analíticos, para aplicaciones con procesos AR no puros,
puede entenderse si consideramos que el objetivo final de la modelización es evaluar
la función de densidad espectral y por tanto, no existe un único modelo AR que
pueda representar el espectro. Así, en la mayoría de las aplicaciones la elección del
orden del modelo es parcialmente subjetiva.
De los criterios descritos anteriormente, el que quizas posea mayor aceptación
es el FPE (Landers y Lacoss, 1977; Haykin y Kesler, 1983). Sin embargo, aunque
es evidente que dichos criterios proporcionan una cierta ayuda en la determinación
del orden, el valor de p suele obtenerse de forma empírica. Así, por ejemplo, Holm
y Hovem (1979), obtienen buenos resultados, al ajustar series temporales de oleaje
a modelos AR de dimensión entre 15 y 30. Holm y Overvik (1981) encuentran
que p debe tener un valor superior a 10-15. Calderón y Marón (1986), obtienen
al estimar espectros unimodales, valores de p próximos a 12, mientras que para
espectros bimodaJes el valor de p debe estar alrededor de 30. Egozcue (1986), estima
adecuado un valor de p igual a 15, para espectros unimodales tipo JONSWAP. Nieto
(1991), obtiene ajustes adecuados para espectros bimodales, al compararlos con los
resultados obtenidos vía FFT, con p = 18. Rodríguez (1992), obtiene resultados
válidos para la estimación de espectros unimodales y bimodales con valores de p
próximos a 25.
Capítulo 2
Estudio Comparativo
Durante mucho tiempo el análisis espectral de series temporales se realizó, casi
exclusivamente, empleando la técnica desarrollada por Blackman S¿ Tukey (1959).
Sin embargo, desde que Cooley y Tukey (1965) implementaron el algoritmo de la
FFT, haciendo factible de éste modo la estimación del espectro mediante el método
propuesto por Schuster (1898), es decir, calculando directamente los coeficientes
complejos de Fourier de la serie temporal (Periodograma), éste procedimiento pasó
a ser el más empleado, dada su eficiencia computacional.
Estos métodos, denominados convencionales, requieren del uso de ventanas
(temporales, de desfase o espectrales) para reducir el efecto del "leakagé" y como
consecuencia, existe una perdida de resolución frecuencia!. Además, ya se ha
comentado en capítulos anteriores que existen fuertes discrepancias sobre la utilidad
de las ventanas. Uno de los motivos principales que originan tales discrepancias, es
que las ventanas modifican los datos originales sin tener en cuenta las características
del proceso aleatorio. Es decir, no existe ningún tipo de relación o dependencia
entre las propiedades de las series y las de las ventanas aplicadas. De éste modo,
puede ocurrir que las conclusiones obtenidas sean erróneas. Así, por ejemplo, ciertos
picos presentes en el espectro estimado, pueden tener su origen en un efecto de
^leakage" generado por los lóbulos laterales de la ventana, y no reflejar la estructura
del espectro verdadero. Los problemas generados por el uso de las ventanas resultan
particularmente importantes, si la cantidad de datos disponibles es tan limitada,
con respecto a los requerimientos de estabilidad de las estimaciones espectrales,
que no exista una ventana capaz de ofrecer la resolución necesaria para resolver las
componentes presentes en la serie analizada.
Por otra parte, se deben emplear registros de datos suficientemente largos para
48 Estudio Comparativo
obtener estimaciones con una estabilidad estadística aceptable. 'Por ello, con
frecuencia, se suelen analizar registros de duración entre 20 y 30 minutos. En
el contexto de la estacionariedad, éstas longitudes de registro son bastante
cuestionables y pueden restringir enormemente, en caso de no verificarse dicha
hipótesis, la utilidad de los datos disponibles. Por otro lado, éstos métodos necesitan
la utilización de algún proceso de suavizado (medias móviles ponderadas, promedio
de las estimaciones obtenidas al segmentar la serie original, etc.), con lo cual la
resolución frecuencia! disminuye y el sesgo de las estimaciones se incrementa.
El método MEM posee la ventaja de no precisar el uso de ventanas que modifiquen
la serie original, puesto que la extrapolación de la función de autocorrelación
maximizando la entropía evita las discontinuidades en los extremos y, por tanto, el
problema del ^Ueakage". Según Lacoss (1971), es como si al determinar la estimación
espectral correspondiente a una frecuencia dada, el método se autoajustase para que
ésta no sea afectada por las estimaciones asociadas a otras frecuencias. Es decir, se
podría pensar en una ventana hipotética que se autoadapta al espectro de la señal
analizada. Esta particular interpretación es la que induce a dicho autor a denominar
al método MEM como método adaptativo de análisis espectral.
El método de máxima entropía tampoco requiere procedimientos de suavizado
para disminuir la varianza de las estimaciones. Una propiedad extremadamente
importante del estimador MEM es su naturaleza ^^óptimamente suavizada", Ulrich &
Clayton (1976). La razón de ésta característica es que el espectro estimado mediante
el método MEM, es el espectro del proceso, siendo la serie analizada una realización
del mismo. El periodograma suavizado es el espectro de la realización.
Por otra parte, la extrapolación de máxima entropía de la función de autocorrelación
da lugar a una función de densidad espectral que proporciona una mejora sustancial
de la resolución frecuencial.
Una vez descritos los diferentes métodos de análisis espectral objeto de estudio
en este trabajo, así como sus principales propiedades, procederemos a realizar un
estudio comparativo entre los mismos. En primer lugar, se exponen las conclusiones
de otros estudios de este tipo, con el objetivo de poder contrastar los resultados
obtenidos en la sección (2.2).
2.1 Estudios comparativos previos 49
2.1 Estudios comparativos previos
En esta sección se citan y revisan las conclusiones de algunos trabajos realizados
por diversos autores, que comparan las características de los métodos tradicionales,
así como los resultados obtenidos por otros autores al contrastar las propiedades de
las técnicas convencionales con las del método de máxima Entropía (MEM), (Burg,
1967-1968).
• Jenkins &¿ Watts (1968) se inclinan por el uso del método B-T, debido a la
importancia de la función de autocorrelación, obtenida como paso intermedio.
Sin embargo, Bingham, et al. (1969), demuestran que dicha función puede
obtenerse con mayor rapidez empleando la FFT.
• Hinich &¿ Clay (1968) contrastaron los dos métodos clásicos de análisis
espectral (Blackman k. Tukey y FFT), llegando a la conclusión de que ambos
métodos generan estimaciones espectrales asintóticamente insesgadas, con la
condición de que el número de datos y el número de lags, cuando se emplea
la función de autocorrelación, tiendan a infinito. Además, considerando que
las ordenadas de la función de densidad espectral, obtenidas aplicando la
transformada discreta de Fourier a la serie temporal, son filtradas (es decir,
convolucionadas) con la ventana espectral (Kernel) de Fejer
sen'^iNirAtf) Nsen'^iwAtf) ^ ' '
mientras que las obtenidas mediante el método de la autocorrelación son
filtradas con la ventana espectral (Kernel) de Dirichlet
sen({Tn+ l)wAtñ ;—-—— m = número de lags (2.2)
seniírAif) ^ ^ '
demuestran que puesto que la ventana espectral de Fejer se atenúa más
rápidamente que la de Dirichlet, las estimaciones obtenidas mediante el método
FFT poseen menor cantidad de leakage. Por otro lado, observan que el método
directo aplicado a series de media nula proporciona una estimación de la
densidad espectral también nula para la frecuencia cero. Sin embargo, en
el procedimiento que emplea la función de autocorrelación puede no ocurrir
así, ya que la integral de dicha función sobre todos los lags empleados no es
necesariamente cero.
50 Estudio Comparativo
• Edge &: Liu (1970) muestran, mediante el análisis de datos experimentales,
que ambos procedimientos dan lugar a resultados similares, aunque para
espectros con una fuerte pendiente de caida, en las frecuencias superiores a
la frecuencia de pico, el método de la FFT presenta una mayor cantidad de
leakage. Estos autores llegan a tal conclusión al comparar el comportamiento,
en dicho rango de frecuencias, del espectro de registros de oleaje obtenidos
por ambos procedimientos, con una recta de pendiente —5, seleccionando
los parámetros que controlan la varianza de las estimaciones, de modo que
ésta sea equivalente en ambos procedimientos, tal como se ilustra en la figura
(2.1). Este procedimiento admite como válida la denominada hipótesis de
Phillips(1958), según la cual el espectro del oleaje en la región de altas
frecuencias debe atenuarse de forma proporcional a f~^. Sin embargo,
existen números autores, entre ellos Phillips (1985) y Liu(1989), que ponen
de manifiesto un comportamiento más próximo a / ' " ' en dicha zona. De éste
modo, la interpretación de sus resultados debe ser al contrario, es decir, el
procedimiento que presenta una mayor cantidad de leakage es el B-T, tal como
hablan obtenido Hinich & Clay (1968).
En función de los resultados obtenidos, Edge & Liu (1970) sugieren que el
método B-T es más efectivo que la FFT para calcular el espectro de series
temporales cortas, mientras que para series temporales largas el método FFT
es mucho más eficiente.
• Rikiishi (1976) realiza una comparación numérica y analítica de los métodos
convencionales y obtiene nuevamente que los resultados de ambas técnicas son
equivalentes. La única diferencia entre ambos, se encuentra en las ventanas
espectrales, de modo que las ventanas espectrales del método FFT son más
efectivas que las del método B-T, puesto que las primeras no dan lugar a
estimaciones espectrales negativas y su banda de influencia en el dominio
frecuencia! es limitada.
Con respecto a la economía en tiempo de computación, aunque generalmente
el método directo es más eficiente, en el caso de registros largos, analizados
empleando pocos lags, el método B-T resulta más económico.
• Proakis &¿ Manolakis (1988) comparan el método B-T con los
procedimientos de Bartlett y Welch para la estimación del espectro vía FFT y
concluyen que las técnicas B-T. y Welch presentan propiedades superiores a la
2.1 Estudios comparativos previos 51
I0-'
i . 4 0 •, \
ai os 10 {
B-T
FFT
\ \
\ \
\ \
£ • 2 0
i
ai 05 10 f
Figura 2.1: Espectros de un registro de oleaje (Lago Michigan) obtenidos mediante
los métodos B-T y FFT, Edge k Liu (1970)
propuesta por Bartlett. Childers (1978) apunta que el mejor de los métodos
directos (FFT) es el propuesto por Welch.
• Ulrich (1972), analiza las características del espectro de una señal sinusoidal
truncada a la cual se ha añadido un determinado porcentaje de ruido blanco.
Tal como se ilustra en las figuras (2.2-a,b,c), donde se muestra la señal
sinusoidal de frecuencia IHz, con fase inicial cero y truncada en un ciclo
(2.2-a), correspondiente a 21 datos, el método MEM (2.2-b) proporciona
una estimación de una calidad enormemente mayor que la ofrecida por el
método FFT (2.2-c). Además, el periodograma provoca un desplazamiento
de la frecuencia de pico hacia frecuencias más bajas. Efecto que se acentúa al
introducir un desplazamiento en la fase de la señal analizada. Sin embargo,
MEM no se ve afectado por este desplazamiento de fase.
• Lacoss, (1971) compara el método B-T, aplicando la ventana espectral de
Bartlett, y el método MEM, obteniendo que éte último es más eficiente,
particularmente cuando el proceso analizado posee dos picos estrechos,
próximos entre sí, que deben ser resueltos.
52 Estudio Comparativo
I— t.o
I —I 1 .2 il rWÜULI^I IHi> l.t M «J
Figura 2.2: (a)Sinusoide truncada (b)Espectro MEM (c)Espectro FFT (Ulrich,1972)
• Ables (1974) realizó el análisis experinaental de una señal con espectro
conocido (fig. 2.3-a) empleando los métodos B-T y MEM. La señal posee
tres picos espectrales con forma gaussiana y amplitudes relativas (5 : 10 : 1).
El método B-T es aplicado sin ventana espectral (fig. 2.3-c) y además con la
ventana espectral "campana cosenoidar (fig. 2.3-d), con la cual se logra una
disminución del efecto leakage inversamente proporcional a
(/ - fof
donde /o es la frecuencia sobre la que se centra la ventana y / representa la
frecuencia hasta la cual llega el efecto de dispersión de la varianza.
Wn = 1 + eos Trn
El número de /ags empleado es M = 15. Al aplicar el método MEM (fig. 2.3-b)
se utiliza el mismo número de lags (coeficientes AR). Los resultados obtenidos
muestran una clara superioridad del método MEM tanto en resolución como
en la supresión del leakage.
• Cheng & Stegen (1974) analizan el esprectro de señales sinusoidales, con
un cierto nivel de ruido, mediante los métodos convencionales v el MEM. Al
2.1 Estudios comparativos previos 53
a: u » o o.
n 1 A/ /U 1
JL FREOUENCY
K Ui » O 0.
L FREOUENCY
c u » o a.
FREQUENCY
-
bl » O Q.
FREQUENCY
Figura 2.3: (a) Espectro verdadero; (b) Espectro MEM; (c) Espectro B-T sin
ventana; (d) Espectro B-T con ventana, (Ables, 1974)
54 Estudio Comparativo
contrario que Ulrich (1972), observan que el desplazamiento de la frecuencia de
pico es similar para los diferentes métodos, dependiendo éste de la fase inicial y
de la longitud de la señal analizada. El desplazamiento de la frecuencia de pico
es sustancial para sinusoides cortas y disminuye gradualmente al aumentar el
número de datos. La resolución espectral es muy superior al utilizar el método
MEM.
• Kaveh & Gooper (1976) obtienen que, mientras la resolución del método
B-T es independiente del nivel de ruido presente en la serie, la resolución del
estimador MEM depende fuertemente de la relación señal/ruido. Por otro
lado, la resolución en MEM es muy superior a la de B-T.
La varianza de ambos estimadores es similar, cuando en el procedimiento B-T
se aplica una ventana espectral con un punto de truncamiento igual al número
de coeficientes AR empleado en MEM. También los tiempos de computación
son similares en ambos métodos.
• Ulrich &¿ Clayton (1976) analizan la curva de intensidad de luz de un quasar
(fig. 2.4-a) utilizando los estimadores MEM y FFT (suavizado con un promedio
sobre 3 y 5 estimaciones adyacentes). Estudios previos, realizados con el
método FFT, hablan detectado una periodicidad de 10 años en el proceso. Sin
embargo, el análisis mediante MEM (fig. 2.4-b) no refleja dicha periodicidad,
motivo por el cual Ulrich y Clayton consideran que ésta falsa periodicidad es
fruto de una mala interpretación, inducida por el método de análisis empleado.
• Haimov et al., (1993) realizan un estudio sobre la modelización del oleaje
mediante modelos AR y su relación con las técnicas de teledección. Analizando
registros de oleaje de diferente longitud obtienen que, bajo condiciones
meteorológicas estacionarias, los resultados proporcionados por el método de la
FFT^ y el método MEM son similares, para registros de duración superior a los
10 minutos. Para registros de duración inferior el método FFT no es aplicable
desde el punto de vista práctico, debido a la elevada inestabilidad estadística de
las estimaciones espectrales resultantes. Sin embargo, el método MEM permite
realizar adecuadamente el análisis de registros de duración mucho menor (p.ej.
2 min.).
En consecuencia, el método MEM ofrece la posibilidad de realizar de un modo
eficiente el análisis espectral de registros de corta duración, como los que deben
^Procedimiento de Welch con la ventana de datos de Hanning y el 25% de solapamiento
2.1 Estudios comparativos previos 55
ser considerados al estudiar el oleaje en condiciones meteorológicas de rápida
variabilidad, de forma que se cumpla la hipótesis de estacionareidad, implícita
en todos los métodos de análisis espectral descritos en éste trabajo, o bien en
el caso de registros incompletos que generalmente suelen ser rechazados (p.ej.
por fallo en el sistema de recogida de datos, por existir segmentos con un
elevado nivel de ruido, etc).
I
' ^*'^ • 1 -V' . i ' I
"^M 'n
100 200 • (oaTS/iool
¡1
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-
1 \
\
\ ^^V-<- 'V/-w^- ' ••""
^'•^-^, MCM
0 0.9 10 >.s : ; CTCLCS/noO 0*TS
B
-
1
2S
Figura 2.4: (a)Serie temporal (b)Espectros MEM y FFT (Ulrich y Clayton, 1976)
56 Estudio Comparativo
2.2 Análisis comparativo
Con el fin de comparar las características de las diferentes técnicas de análisis
espectral desarrolladas en el presente trabajo, es decir.
1. Método Blackman & Tukey => [B-T]
(a) - Procedimiento de Daniell = > [FFT - D]
(b) - Procedimiento de Bartlett = ^ [FFT - B]
(c) - Procedimiento de Welch = ^ [FFT - W]
. 3. Método de Máxima Entropía => [MEM]
analizamos diferentes registros de oleaje, tanto simulados como reales, y estudiamos
el comportamiento de los momentos espectrales
2. Método FFT <
nin-^ írS{f)df ; para n = 0 ,1 ,2 ,4 , -1 (2.3)
o
dada su importancia en la determinación de otros muchos parámetros espectrales,
tales como los diferentes periodos espectrales, parámetros de anchura de banda
y apuntamiento espectral,etc. Además, se estudia la variabilidad de la altura de
ola significativa y la frecuencia de pico, dos parámetros fundamentales desde el
punto de vista práctico. Para ello, definiremos ambos parámetros siguiendo los
criterios dados por el grupo de trabajo sobre generación y análisis del oleaje, de
la Asociación Internacional para Investigaciones Hidráulicas (lAHR), "List of Sea-
State parameters" (1990). Estas son:
Altura de ola significativa;
Una vez estimado el momento espectral, respecto a / = 0, de orden cero.
= Jsif)df (2.4) mo o
determinaremos la altura de ola significativa, aceptando como válida la distribución
de Rayleigh para las alturas de ola. Esto es
Hmo = "^yAño (2.5)
2.2 Análisis compara t ivo 57
i §
a
Mteu
]
1 Á
i /,! i/.
V C M .r-.r C H
1
«r •
Figura 2.5: Definición de la frecuencia de pico según el método de Delft.
Frecuencia de pico;
Dada la frecuencia de pico /p como la coordenada correspondiente al máximo
valor de las densidades espectrales obtenidas, S{fp), estimaremos la frecuencia de
pico mediante el método de Delft. Es decir
f - ^ JPD — ,
hsim
h{f)df h
(2.6)
Expresión que define el centroide de la banda espectral centrada en /p y limitada
por Icis frecuencias inferior y superior a /p, asociadas a los primeros valores de 5 ( / )
que interceptan a la función de densidad espectral en el umbral definido por el 80%
de 5(/p), tal como se muestra en la figura (2.5).
2.2.1 Característ icas del análisis
El análisis espectral de los registros de oleaje, simulados y reales, se realiza tratando
que las estimaciones obtenidas mediante las diferentes técnicas posean estabilidad
estadística y resolución fracuencial similares aunque, con frecuencia, resulte dificil
alcanzar un compromiso óptimo entre ambas características.
Las series registradas por la Red Exterior de Medida y Registro de Oleaje (REMRO)
poseen, normalmente, 5120 datos digitalizados con una frecuencia de muestreo de
58 Estudio Compara t ivo
2H2. Sin embargo, dada su duración, T K 43mzn., por lo general-, emplearemos
tan sólo 2048 datos, con el fin de evitar posibles problemas de estacionareidad de la
sene. Siguiendo la recomendación de Tucker (1992,1993), utilizamos un valor de A / «
O.OO5/Í2» dado que esta resolución parece bastante adecuada para resolver los rasgos
del pico en un espectro tipo JONSWAP.
Esta resolución se obtendrá, para los diferentes métodos, seleccionando los
parámetros que controlan dicha característica como sigue
1. Método B-T
2. Método FFT-D
3. Método FFT-B
4. Método FFT-W
N = 2048
M = N/10 w 204
A / 1 2MM 0.0049^2
N
{2m
A / + 1)
=
=
=
2048
5 2m+l 0.0049^
A = 2048
N/Segm. = 512
N/Segm.
A /
2048
512 1
N/Segm.At 0.004^,
2.2 Análisis compara t ivo 59
5. Método MEM
TV
N.Estim.
A /
2048
200 1
N/Estim. = 0.005^^
2.2.2 Análisis de registros simulados
La simulación de los registros de oleaje se realiza aplicando el método DSA (Tuah &
Hudspeth, 1982), por poseer la propiedad de que los espectros reconstruidos a partir
de la serie simulada, deben ser muy parecidos al espectro de partida. De este modo,
se pueden contrastar las características de los diferentes procedimientos espectrales
empleados.
Se generan tres registros tomando como espectros de partida los modelos espectrales
de Pierson k Moskowitz (1964), JONSWAP (Hasselmann et al., 1974) y Ochi &
Hubble (1976), que denotaremos respectivamente por P M , J y OH. Las expresiones
analíticas de dichos modelos son:
Espectro Pierson-Moskowitz
donde
(2.7)
a = Parámetro de Phillips (0.0081)
g = Aceleración gravitatoria (9.80665[m/í^])
fp = Frecuencia de pico [Hz]
60 Estudio Comparativo
Espectro JONSWAP
donde
(2.8)
<y = ojyj < fp)
(y = o-6(/ > /p )
Factor de intensificación de pico
Parámetro de anclio de pico (lateral izquierdo)
Parámetro de ancho de pico (lateral derecho)
Espectro Ochi-Hubble
S(¡) = I (4A_, + l ) (27r/p,) '
4
J= l r(A,) (2x/)(''^.+i) exp 4 )(W
donde
(2.9)
Hsi =
Al =
Hs2 =
JP2 =
A2 =
Altura significativa para el espectro de bajas frecuencias
Frecuencia de pico para el espectro de bajas frecuencias
Parámetro de apuntamiento para el espectro de bajas frecuencias
Altura significativa para el espectro de altas frecuencias
Frecuencia de pico para el espectro de altas frecuencias
Parámetro de apuntamiento para el espectro de altas frecuencias
2.2 Análisis comparativo 61
Registros simulados sin Ruido Blanco
A continuación se muestran los '''espectros de partida", las series generadas y
las funciones de densidad espectral obtenidas mediante las diferentes técnicas de
computación utilizadas. Además, se dan los valores de los momentos espectrales, la
altura de ola significativa y la frecuencia de pico, en función del método empleado.
El método de simulación empleado en este trabajo es conocido como método
de las fases aleatorias (Miles & Funke, 1988), o también como método de amplitudes
espectrales deterministas (Tuah & Hudspeth, 1982). En este método de simulación
de oleaje se admite que el perfil de la superficie libre del mar puede expresarse como:
N/2
r]{t) = ¿ AnCos(2Trfnt + 0n) (2.10) 7 1 = 1
donde N representa el número de datos de la serie que se desea simular. Las
frecuencias /„ están densamente distribuidas en el rango [0,oo) y las amplitudes An
vienen determinadas por el espectro de partida seleccionado mediante la igualdad:
An = y 2 5 ( / „ ) A / ;n = l ,2 , - - - ,A72
de modo que la ecuación anterior puede ser escrita, como:
Ar/2
rjit) = ¿ y 2 5 ( / n ) A / c o 5 ( 2 7 r / „ í + < „) (2.11) n = l
Las frecuencias utilizadas vienen definidas por el incremento frecuencial. A / ,
determinado por la frecuencia máxima, o de corte, fe, para la que consideramos que
el espectro posee un contenido energético significativo, y cuyo valor máximo queda
fijado por la frecuencia de Nyquist. La naturaleza estocástica del proceso es incluida
a través de los ángulos de fase, ^„ , admitiendo que éstos están uniformemente
distribuidos en el intervalo [0,27r]. Los valores de <z!>„ pueden obtenerse utilizando
alguna de las numerosas rutinas existentes para generar números "pseudoaleatorios''\
uniformemente distribuidos en [0,1] (Ugrin,1991), y que pueden ser fácilmente
transformados a {/[0,27r] (Morgan, 1984).
Esta metodología presenta la característica de que el espectro obtenido a partir
de la serie temporal simulada reproduce con bastante apro.ximación el espectro de
partida.
62 Estudio Comparativo
tu tst uo Tiempo (rntg.)
TÓ4 TSM til Titmpo (m*g.)
Figura 2.6: Espectro P-M y serie simulada
2.2 Análisis comparativo 63
tftttrm a-T itp—irm rrr-t Mtfítrm rrr-t «•pMra rrr-w
Figura 2.7: Espectros serie ETADSA-PM
SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO : P-M
Q- = 0.0081 ; /p = 0.1 \H,\
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo \rn}\
m i [m^/.s]
xa.2 [m^/á^]
m 4 [77z^/s'*]
m _ l [m^í¡]
fp [^.]
fpn [^^] Hs [m]
Hmo ['"]
M é t o d o s de Anál i s i s
B &: T
1.0002
0.1294
0.0196
0.0011
8.6104
0.1029
0.1008
4.0014
4.0004
F F T - D
1.0002
0.1304
0.0198
0.0011
8.4992
0.1025
0.1026
4.0014
4.0003
F F T - B
1.0049
0.1452
0.0273
0.0044
7.9651
0.1064
0.1137
4.0014
4.0099
F F T - W
1.0151
0.1401
0.0223
0.0012
8.0846
0.1094
0.1068
4.0014
4.0302
M E M
1.0012
0.1301
0.0202
0.0017
8.8371
0.1005
0.0987
4.0014
4.0023
64 Estudio Comparativo
fmmmmmtmfmmí
Figura 2.8: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 65
I I I I I I I •f^-^fn^^'^r'y—i l i l i l í I ^' . •y^.T—^^.^p'T^.^. 'r i i i C4 ÍIM lU til Xte a*4 441 sil STt
Tittnpo (ng.)
riendo (tg.)
Figura 2.9: Espectro J y serie simulada
66 Estudio Comparativo
•
JL
- - •
tá-
« i
m - aMotf : ¡, • tMnt j c xj : m. ^ O.VT : m, c a.n
-i=M3
M ' ' c á t ' ' «.!« «.» *-U «-'* tJt fl lili (tm)
w
Figura 2.10: Espectros serie ETADSA-J
SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO : JONSWAP
a = 0.0081 ; /p = 0.0976 \H^] ; 7 = 3.3 ; cTa = 0.07 ; a = 0.09
Parámetros
Estadístico
Espectrales
mo [m^]
m i [m?ls\
m2 [m?ls^]
m4 [m? 1 s^]
m _ l [vi^s]
fp [Hz]
W [ '] H s [7n]
Hnio ["í]
M é t o d o s de Anál i s i s
B &: T
1.6771
0.1964
0.0264
0.0012
15.5203
0.0978
0.0968
5.1807
5.1801
FFT-D
1.6767
0.1971
0.0265
0.0012
15.4346
0.0977
0.0979
5.1807
5.1795
FFT-B
1.6920
0.2144
0.0360
0.0061
14.9829
0.1016
0.0984
5.1807
5.2030
FFT-W
1.6500
0.1986
0.0272
0.0012
14.7838
0.1016
0.0984
5.1807
5.1380
M E M
1.6827
0.1971
0.0268
0.0016
15.8573
0.0980
0.0968
5.1807
5.1888
2.2 Análisis comparativo 67
»*-im
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Figura 2.11: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
68 Estudio Comparativo
StU: MTABSUI
ttz xss ato Tiampo (ng.)
M 4 6U
Titmpo (ttg.)
Figura 2.12: Espectro 0-H y serie simulada
2.2 Análisis comparativo 69
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Mtpmt^m O-M
M,^mlS : /..majtS : KtJ
Mmiíe ! /,,ma.it : ] » ^ . e
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««P««>» jrijr
Figura 2.13: Espectros serie ETADSA-0 & H
SIMULACIÓN : DSA ESPECTRO: OCHI-HUBBLE
Hsi = 2.5 ; Hs2 = 2.0 ; /pi = 0.05 ; fp2 = 0.12 ; Ai = 2.5 ; A2 = 2.0
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m2]
m i [m'^/s]
m 2 [m'^/s^]
m4 [m^/á'*]
m _ l [m'^í]
fp [^.]
W [ --] H s [ni]
Hnio [" ]
M é t o d o s de Aná l i s i s
B & T
0.6407
0.0558
0.0065
0.0005
9.4419
0.0490
0.0494
3.2022
3.2018
FFT-D
0.6395
0.0561
0.0064
0.0003
9.0996
0.0537
0.0496
3.2022
3.1989
FFT-B
0.7445
0.1161
0.0436
0.0217
8.5939
0.0625
0.0574
3.2022
3.4514
FFT-W
0.8954
0.1854
0.0898
0.0494
9.7571
0.0625
0.0574
3.2022
3.7851
MEM
0.6047
0.0539
0.0066
0.0008
8.7751
0.0503
0.0519
3.2022
3.1105
70 Estudio Comparativo
i -
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Figura. 2.14: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 71
De los resultados anteriores se podría inferir que los métodos B-T y FFT-D,
son los que mejores resultados proporcionan. Sin embargo, aunque parece obvio a
la vista de las gráficas (2.8 y 2.14), correspondientes a las simulaciones generadas a
partir de los modelos espectrales P-M y 0-H, y de los valores de los parámetros
estimados mediante dichos métodos, debe notarse que el número de datos por
segmento empleado en los procedimientos FFT-B y FFT-W es de 256 (T « 2mm.).
Un valor realmente bajo para poder discernir la estructura frecuencial del proceso
simulado. Este hecho queda de manifiesto al observar la gráfica (2.11), y los valores
de los parámetros estimados a partir de los espectros en ella representados. En
este caso se han utilizado 512 datos por segmento, de forma que a pesar de haber
reducido a la mitad el número de grados de libertad (estabilidad estadística) de las
estimaciones, los resultados para los métodos FFT-B y FFT-W experimentan una
mejoría notable.
Es por este motivo que los métodos de suavizado mediante promedios de la densidad
espectral asociada a una misma frecuencia (Bartlett y Welch), sólo son aconsejados
cuando la longitud de la serie analizada es lo suficientemente grande como para poder
usar un número de segmentos tal que, permita obtener estimaciones espectrales
con una estabilidad estadística aceptable y, al mismo tiempo, la longitud de cada
segmento posibilite la extracción de los rasgos fundamentales del proceso analizado.
Respecto al método MEM, es posible observar que, aunque los valores de los
diferentes parámetros no difieren sustancialmente de los obtenidos mediante B-T y
FFT-D, la fisonomía del espectro sí que se aparta notablemente de la del espectro
de partida. Este fenómeno tiene una explicación bien sencilla. Un filtro AR intenta
modelizar un proceso aleatorio considerando que la entrada al modelo es un ruido
blanco. Sin embargo, las señales sintetizadas mediante el método DSA, no son más
que una simple superposición lineal de un número más o menos elevado de sinusoides.
Es decir, las señales anteriormente analizadas son totalmente deterministas. A pesar
de ello, se observa que el método es capaz de resolver los detalles del proceso simulado
con bastante exactitud. Véase el espectro MEM calculado para la serie simulada a
partir de un modelo 0-H.
Para verificar este hecho, a continuación añadimos a la serie simulada con un espectro
J, un ruido blanco Gaussiano, de media nula, y estimaremos el espectro de la serie
resultante mediante los distintos métodos de análisis.
72 Estudio Comparativo
i.
tmiK Mtatmsi * Jhrf^ I
í-
Figura 2.15: Serie ETADSAll+R.uido blanco y Espectros MEM
2.2 Análisis comparativo 73
I
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Figura 2.16: Espectros B-T para la serie ETADSAll+R.uido blanco
74 Estudio Comparativo
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Figura, 2.17: Espectros FFT-D para la serie ETADSAll+Ruido blanco
2.2 Análisis comparativo 75
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Figura 2.18: Espectros FFT-B para la serie ETADSAll+Ruido blanco
76 Estudio Comparativo
Etptctro rrr-r
joMstur M^mtn rrt-W
ri^Ao I r»^
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SiU: timámtt •*• «uM*
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Ha. 4mim/mag.BttM : Sal^ 'TU
/ \ —— Mtfmtn MHsnr 1 \ Mtfttat rrr~w
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M / \
X^JLS-^^ •.(• «.!« ('*)
Figura. 2.19: Espectros FFT-W para la serie ETADSAll+Ruido blanco
2.2 Análisis comparativo 77
Registros simulados con un Ruido Blanco
En las figuras (2.15-2.19) se ilustran los espectros obtenidos mediante los diferentes
métodos, al añadir un ruido blanco a la serie simulada partiendo de un modelo
espectral JONSWAP.
Los resultados mostrados en la figura (2.15), ponen de manifiesto una mejora
sustancial en la estimación de la función de densidad espectral, mediante el método
MEM. De modo que para un orden del modelo p = 20, el espectro de partida y el
estimado empleando este prodedimiento son prácticamente indistinguibles. Además,
las variaciones que sufre el espectro estimado, con una ligera modificación del orden
del modelo seleccionado, son muy leves.
Las figuras (2.16) y (2.17), muestran claramente como los métodos B-T
y FFT-D experimentan cambios importantes al disminuir el número de lags y
de estimaciones promediadas, respectivamente. Es decir, al reducir la resolución
espectral, incrementando la estabilidad estadística, las estimaciones B-T y FFT-D
aparecen cada vez más suavizadas, alejándose progresivamente de la estructura del
espectro de partida. En el caso particular del método FFT-D, al promediar bloques
de 9 estimaciones espectrales adyacentes, los resultados continúan proporcionando
un ajuste realmente satisfactorio, aunque la resolución espectral se ha reducido en
un orden de magnitud, aproximadamente, respecto del "raw''^ espectro.
Con respecto a los métodos FFT-B (fig. 2.18) y FFT-W (fig. 2.19), se
aprecia un comportamiento análogo al comentado en la sección anterior. Es decir,
al disminuir el número de datos por segmento la bondad de los ajustes disminuye de
manera significativa. Así, mientras para segmentos de duración T « 4.2 minutos, con
lo cual se obtienen 4 segmentos para FFT-B y 5 para FFT-W (25% de solapamiento),
los resultados son bastante aceptables, a pesar de la lógica inestabilidad de las
estimaciones, para segmentos de duración T « 1 minuto (16 y 20 segmentos
respectivamente) estos métodos son incapaces de resolver la estructura frecuencial
del proceso, generando resultados ciertamente absurdos.
78 Estudio Comparativo
2.2.3 Análisis de registros reales
En este apartado se analizan 18 series que corresponden a la boya de La Coruña,
registradas el día 22/06/1993, con una cadencia de muestreo de 1 hora. Cada una de
ellas posee una duración de 43 minutos, aproximadamente, y han sido digitalizadas
con una frecuencia de 2 H^.
A continuación se presentan los valores de los parámetros ya indicados, para
cada registro, así como la representación gráfica de los espectros correspondientes
a cada método, acompañada de los intervalos de confianza asociados a un nivel de
probabilidad del 90%.
En las estimaciones obtenidas mediante el procedimiento de máxima entropía no ha
sido posible introducir los intervalos de confianza, dado el escaso desarrollo del tema.
Baggeroer (1976), obtuvo una expresión analítica de los intervalos de confianza para
los espectros MEM, pero la complejidad de los resultados hace que éstos sean de
poca utilidad, desde el punto de vista práctico. Newton y Pagano (1984) han logrado
obtener los intervalos de confianza para la función de densidad espectral de un
proceso AR(p) Gaussiano, pero los métodos AR y MEM son iguales tan sólo en
situaciones muy especiales.
Conjuntamente con los espectros individuales, correspondientes a cada método, se
muestran en una única gráfica los espectros obtenidos con las cinco técnicas, con la
intención de facilitar la comparación entre los mismos.
Los parámetros seleccionados, en la aplicación de cada método, se especifican en la
figura correspondiente.
TaJ como se comentó con anterioridad, se emplean solamente 2048 datos de los 5120
que posee cada serie, con el fin de evitar posibles problemas de estacionareidad. Sin
embargo, para un registro, de entre los 18 analizados, se han estimado las funciones
de densidad espectral empleando además los valores de A' = 512 y N = 4096, para
poder describir el efecto de la longitud del registro sobre dichas estimaciones y la
validez relativa de cada método, en función de este parámetro.
Al igual que en los ejemplos anteriores, en el método B-T se emplea la ventana
espectral de Parzen, mientras que en el método FFT-W se emplea una ventana de
datos Cosenoidal truncada para reducir los efectos de leakage.
2.2 Análisis comparativo 79
1.75-
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Figura 2.20: Espectros serie C-05-22/06/9.3
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 05:00 FECHA : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
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B & T
0.0573
0.0099
0.0020
0.0001
0.6640
0.1373
0.1376
0.9575
0.9574
M e t o
F F T - D
0.0573
0.0100
0.0020
0.0001
0.3605
0.1416
0.1396
0.9.575
0.9574
dos de Anal
F F T - B
0.0576
0.0103
0.0022
0.0002
0.3554
0.1406
0.1411
0.9575
0.9603
isis
F F T - W
0.0566
0.0101
0.0021
0.0002
0.3505
0.1406
0.1416
0.9575
0.9519
M E M
0.0573
0.0099
0.0020
0.0001
0.3634
0.1365
0.1348
0.9575
0.9577
80 Estudio Comparativo
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Figura 2.21: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEAl
2.2 Análisis compara t ivo 81
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Figura 2.22: Espectros serie C-06-22/06/93
B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 06:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
Estadís t ico
Espec t ra les
mo [m ] m j [m?/s]
m2 [m^/í^]
m4 [m'^/s'*]
m _ i [m'^s]
fp [H.]
fpn [H,]
Hs [m]
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Métodos de Análisis
B & T
0.0591
0.0099
0.0019
0.0001
0.3858
0.1373
0.1353
0.9732
0.9728
F F T - D
0.0591
0.0100
0.0019
0.0001
0.3828
0.1367
0.1357
0.9732
0.9726
F F T - B
0.0598
0.0106
0.0023
0.0003
0.3783
0.1445
0.1401
0.9732
0.9784
F F T - W
0.0620
0.0106
0.0021
0.0002
0.3948
0.1367
0.1359
0.9732
0.9957
MEM
0.0592
0.0099
0.0019
0.0001
0.3846
0.1325
0.1329
0.9732
0.9730
82 Estudio Comparativo
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Figura 2.23: Espectros (a)B-T. (b)FFT-D. (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 83
f.74 -
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Figura 2.24: Espectros serie C-07-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 07:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
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B & T
0.0527
0.0091
0.0018
0.0001
0.3326
0.1422
0.1384
0.9183
0.9179
Meto
F F T - D
0.0527
0.0090
0.0018
0.0001
0.3294
0.1367
0.1354
0.9183
0.9179
d o s d e A n á l i s i s
F F T - B
0.0530
0.0095
0.0020
0.0002
0.3256
0.1445
0.1423
0.9183
0.9206
FFT-W
0.0572
0.0102
0.0022
0.0003
0.3538
0.1367
0.1361
0.9183
0.9570
MEM
0.0527
0.0091
0.0018
0.0001
0.3321
0.1406
0.1393
0.9183
0.9181
84 Estudio Comparativo
: c-mr-tt/m/u
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Figura 2.25: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 85
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Figura 2.26: Espectros serie C-08-22/06/93
BOYA : LA CORUÑA H O R A : 08:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
Es tadís t ico
Espec t ra les
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m _ i [m^s]
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Métodos de Análisis
B & T
0.0613
0.0108
0.0022
0.0002
0.3817
0.1422
0.1406
0.9904
0.9904
FFT-D
0.0613
0.0108
0.0022
0.0002
0.3787
0.1416
0.1403
0.9904
0.9904
FFT-B
0.0659
0.0137
0.0041
0.0013
0.3962
0.1523
0.1510
0.9904
1.0269
F F T - W
0.0596
0.0113
0.0027
0.0005
0.3576
0.1523
0.1467
0.9904
0.9769
M E M
0.0613
0.0108
0.0022
0.0002
0.3803
0.1446
0.1411
0.9904
0.9906
86 Estudio Comparativo
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Figura 2.27: Espectros (a.)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 87
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Figura 2.28: Espectros serie C-09-22/06/93
B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 09:00 FECHA : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
Es tadís t ico
Espec t ra les
mo [m ] m j [rri^ls]
m2 [m^ls^]
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m _ i [ni^s]
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fpn [^^] Hs [m]
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B &: T
0.0704
0.0117
0.0022
0.0001
0.4550
0.1471
0.1404
1.0613
1.0610
Meto
F F T - D
0.0703
0.0118
0.0022
0.0001
0.4518
0.1465
0.1445
1.0613
1.0609
dos de Anal
F F T - B
0.0713
0.0126
0.0027
0.0004
0.4.500
0.1484
0.1415
1.0613
1.0684
isis
F F T - W
0.0756
0.0131
0.0027
0.0003
0.4784
0.1445
0.1433
1.0613
1.0997
M E M
0.0704
0.0117
0.0022
0.0001
0.4545
0.1406
0.1408
1.0613
1.0612
88 Estudio Comparativo
, C-t-U/M/U
c-m-Mt/f/u
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Figura 2.29: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 89
Srrit: C-tO-ít/OS/93 K - t04S
- Mféa B-T - n»iaém rrr-B - ntméa rrr-B - Maiméa rfT-W
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OJO
Figura 2.30: Espectros serie C-10-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 10:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m ]
m j [rn^/s]
m 2 [m'^/s^]
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m _ l [m'^s]
í p [H.]
fpn m H s [m]
Hmo [in]
M é t o d o s d e A n á l i s i s
B & T
0.0572
0.0099
0.0020
0.0002
0.3616
0.1471
0.1426
0.9567
0.9565
F F T - D
0.0572
0.0100
0.0020
0.0002
0.3587
0.1465
0.1449
0.9567
0.9563
F F T - B
0.0579
0.0106
0.0023
0.0003
0.3577
0.1484
0.1489
0.9567
0.9622
F F T - W
0.0623
0.0110
0.0022
0.0002
0.3848
0.1484
0.1470
0.9567
0.9983
M E M
0.0572
0.0099
0.0020
0.0001
0.3598
0.1406
0.1389
0.9567
0.9567
90 Estudio Comparativo
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Figura 2.31: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 91
3.0-
X.6-
i
§ - : f.»-
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J líK y
S«rte; C-tt-lt/Oe/83
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9.tt
Figura 2.32: Espectros serie C-11-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 11:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m^]
m i [m'^/s]
m2 [m'^/s^]
m4 [m'^/s'*]
m _ i [m'^s]
fp [H.]
í p n [ -] Hs [m]
Hnio ['«]
B & T
0.0729
0.0119
0.0022
0.0002
0.4842
0.1422
0.140.3
1.0807
1.0801
M é t o d o s d e Anal
F F T - D
0.0729
0.0120
0.0023
0.0002
0.4802
0.1465
0.14.50
1.0807
1.0801
F F T - B
0.0775
0.0152
0.0044
0.0015
0.4947
0.1484
0.1477
1.0807
1.11.37
is is
F F T - W
0.0733
0.0129
0.0025
0.0002
0.4998
0.1484
0.14.34
1.0807
1.1120
M E M
0.0730
0.0119
0.0022
0.0002
0.4929
0.1446
0.1428
1.0807
1.0804
92 Estudio Comparativo
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Figura 2.33: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 93
XO-r—
t.e-
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Seria: C-1t-tZ/0t/B3
N m t04t
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-— Hafé» HMM
e.3o
Figura 2.34: Espectros serie C-12-22/06/93
BOYA : LA CORUÑA H O R A : 12:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
Es tadís t ico
Espec t ra les
mo [m?] m i [rrí^/s]
m2 [m?ls^] m 4 [ni^ls^]
m _ i [rn^s]
fp [H.]
fpn [Hz]
H s [m]
H m o [m]
M é t o d o s d e A n á l i s i s
B & T
0.0748
0.0124
0.0024
0.0002
0.4990
0.1324
0.1327
1.0940
1.0940
F F T - D
0.0748
0.0124
0.0025
0.0002
0.4945
0.1367
0.1349
1.0940
1.0939
F F T - B
0.0751
0.0128
0.0026
0.0003
0.4868
0.1406
0.1390
1.0940
1.0963
F F T - W
0.0779
0.0132
0.0026
0.0003
0.5068
0.1406
0.1389
1.0940
1.1165
M E M
0.0748
0.0124
0.0024
0.0002
0.4974
0.1325
0.1330
1.0940
1.0943
94 Estudio Comparativo
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Figura 2.35: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 95
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Figura 2.36: Espectros serie C-13-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 13:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m^]
m j [m? 1 s]
m 2 [m^ls^]
m 4 [m?ls'^]
m _ i [m'^s]
fp [^.]
fpn [H,]
H s [m]
H m o ['«]
B & T
0.0642
0.0109
0.0022
0.0002
0.4552
0.1373
0.1331
1.0135
1.0133
M é t o d o s d e A n á l i s i s
F F T - D
0.0641
0.0110
0.0022
0.0002
0.4209
0.1367
0.1353
1.0135
1.0129
F F T - B
0.0655
0.0120
0.0030
0.0007
0.4182
0.1367
0.1360
1.0135
1.0234
F F T - W
0.0645
0.0113
0.0024
0.0003
0.4129
0.1367
0.1359
1.0135
1.0159
M E M
0.0642
0.0109
0.0022
0.0002
0.4242
0.1325
0.1330
1.0135
1.0136
96 Estudio Comparativo
T c-it-Mt/m/u »'
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Figura 2.37: Espectros (a)B-T. (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 97
; É.eo-1
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«.40
Figura 2.38: Espectros serie C-14-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 14:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m?]
mj [w?ls]
m 2 [rn^ls^]
m4 [m?ls'*]
m _ l [m^5]
fp [Hz]
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Hmo [»"]
M é t o d o s de Aná l i s i s
B & T
0.0431
0.0078
0.0017
0.0002
0.2733
0.1422
0.1352
0.8304
0.8305
F F T - D
0.0430
0.0079
0.0018
0.0002
0.2699
0.1465
0.1455
0.8304
0.8298
F F T - B
0.0435
0.0083
0.0020
0.0003
0.2687
0.1484
0.1383
0.8304
0.8346
F F T - W
0.0414
0.0079
0.0020
0.0004
0.2563
0.1523
0.1399
0.8304
0.8134
M E M
0.0431
0.0078
0.0017
0.0002
0.2729
0.1285
0.1287
0.8304
0.8307
98 Estudio Comparativo
: t-14-a/m/n
-«•taris B-r
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Figura 2.39: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 99
IJU
STÍI C-1S-ZX/09/93
N M t04t
— Ma—éa M-T - Hmluém rTT-t — Mtméa rrr-B - Mtúéa rrr-w
CJO
Figura 2.40: Espectros serie C-15-22/06/93
BOYA: LA CORUÑA HORA: 15:00 FECHA : 22-06-1993
Parámetros
Estadístico
Espectrales
mo [m^] m j [m'^/s]
m2 [m'^/s^]
m4 [m'^/s'^]
m_i [m'^s]
fp [H.]
fpn [Hz] Hs [m]
Hmo [m]
B & T
0.0546
0.0103
0.0025
0.0003
0.3398
0.1373
0.1351
0.9355
0.9351
Meto
FFT-D
0.0546
0.0103
0.0025
0.0004
0.3363
0.1416
0.1347
0.9355
0.9345
dos de Anal
FFT-B
0.0548
0.0106
0.0026
0.0004
0.3312
0.1406
0.1390
0.9355
0.9361
isis
FFT-W
0.0534
0.0104
0.0026
0.0004
0.3216
0.1406
0.1389
0.9355
0.9242
M E M
0.0547
0.0103
0.0025
0.0003
0.3384
0.1285
0.1272
0.9355
0.9353
100 Estudio Comparativo
JU.
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: c-fi-u/m/9a
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Figura 2.41: Espectros (a.)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)A4EM
2.2 Análisis comparativo 101
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Figura 2.42: Espectros serie C-16-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 16:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m?]
mj [m?ls\
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m4 [w?ls^]
m _ i [m^s]
fp [H.]
fpn [^^] H s [m]
H m o ['"]
M é t o d o s d e A n á l i s i s
B & T
0.0652
0.0120
0.0027
0.0003
0.4063
0.1422
0.1377
1.0214
1.0210
F F T - D
0.0651
0.0121
0.0027
0.0003
0.4001
0.1465
0.1422
1.0214
1.0206
F F T - B
0.0662
0.0129
0.0032
0.0005
0.3969
0.1445
0.1435
1.0214
1.0288
F F T - W
0.0660
0.0124
0.0028
0.0003
0.3993
0.1406
0.1439
1.0214
1.0274
M E M
0.0652
0.0120
0.0027
0.0003
0.4052
0.1325
0.1328
1.0214
1.0213
102 Estudio Comparativo
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Figura 2.43: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B. (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 103
Stri*: C-t7-tt/0e/93 H > t04a
- MHaéa B-T ~ iittm*» rrr-t - Mttaé» rrr-B - ««tod* rrr-r - áí*«Mto jcur
(Mt)
Figura 2.44: Espectros serie C-17-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 17:00 FECHA : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m^]
m i [m^/s]
m 2 [m'^/s^]
m4 [m^/s^]
m _ i [m'^s]
fp [^--]
fpn [ -1 H s [77í]
Hmo [m]
B &: T
0.0647
0.0127
0.0031
0.0003
0.3878
0.1373
0.1329
1.0174
1.0174
M e t o
F F T - D
0.0647
0.0127
0.0031
0.0003
0.3835
0.1416
0.1354
1.0174
1.0173
dos de Anal
F F T - B
0.0650
0.0133
0.0034
0.0005
0.3768
0.1406
0.1372
1.0174
1.0197
isis
F F T - W
0.0673
0.0133
0.0032
0.0004
0.3931
0.1406
0.1362
1.0174
1.0374
M E M
0.0647
0.0127
0.0030
0.0004
0.3859
0.1325
0.1294
1.0174
1.0176
104 Estudio Comparativo
§«
••MB c-n-tM/m/n
&)• m.1»
' ^ ' f ' l ^ -0
Figura 2.45: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B. (d)FFT-W. (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 105
i.re-
I.SO-
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Mttaém B-T Mtmém rrr-B
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OM OM OJO
Figura 2.46: Espectros serie C-18-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 18:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m^]
m j [m'^/s]
m2 [ín^/5^]
m 4 [m'^/s'^]
m _ i [m'^s]
fp [^.]
fpn [^-']
H s [7n]
Hnio [m]
B & T
0.0679
0.0124
0.0027
0.0003
0.4257
0.1324
0.1302
1.0423
1.0421
M é t o d o s d e A n á l i s i s
FFT-D
0.0679
0.0124
0.0028
0.0003
0.4222
0.1367
0.1310
1.0423
1.0421
F F T - B
0.0681
0.0129
0.0030
0.0004
0.4162
0.1367
0.1322
1.0423
1.04.38
F F T - W
0.0656
0.0124
0.0029
0.0004
0.3991
0.1367
0.1331
1.0423
1.0244
MEM
0.0679
0.0124
0.0027
0.0003
0.4251
0.1285
0.1268
1.0423
1.0424
106 Estudio Comparativo
t£-
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Figura 2.47: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 107
: 1.76-
t.tú-
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Figura 2.48: Espectros serie C-21-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 21:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m^] m j [rn?ls\
m 2 [m^/s^]
m 4 [vi^/s^]
m _ i [ni^s]
fp [^.]
fpn [^^-] H s [m]
H m o [" ]
B & T
0.0672
0.0120
0.0026
0.0002
0.4269
0.1324
0.1301
1.0369
1.0368
M é t o d o s d e A n á l i s i s
F F T - D
0.0671
0.0120
0.0026
0.0002
0.4227
0.1318
0.1331
1.0369
1.0.360
F F T - B
0.0678
0.0127
0.0030
0.0005
0.4178
0.1328
0.1334
1.0369
1.0412
F F T - W
0.0682
0.0126
0.0028
0.0003
0.4191
0.1367
0.1350
1.0369
1.0443
M E M
0.0672
0.0120
0.0026
0.0002
0.4258
0.1245
0.1250
1.0369
1.0370
108 Estudio Comparativo
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Figura. 2.49: Espectros (a)B-T. (b)FFT-D, (c)FFT-B. (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 109
Stria: C-U-Zt/oe/93 K m t04a
- Mttaém M-T - malm^m rrT-0
- Mttméu rrr-B - Miféa rrr-r - MtUé» MtM
Figura 2.50: Espectros serie C-22-22/06/93
BOYA : LA CORUÑA HORA : 22:00 FECHA : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
Es tad ís t ico
Espec t ra les
mo [m?]
m i [rn^ls]
ni2 [rrí^ls^]
m4 [m?/s'^]
m _ i [m?s\
fp [H=]
fpn \H,]
Hs [m]
Hnio [m]
M é t o d o s de Análisis
B & T
0.0725
0.0127
0.0026
0.0002
0.4604
0.1324
0.1303
1.0770
1.0768
F F T - D
0.0724
0.0128
0.0026
0.0002
0.4565
0.1318
0.1303
1.0770
1.0766
F F T - B
0.0743
0.0138
0.0032
0.0005
0.4597
0.1328
0.1324
1.0770
1.0996
F F T - W
0.0687
0.0125
0.0028
0.0003
0.4237
0.1328
0.1340
1.0770
1.0482
M E M
0.0725
0.0126
0.0025
0.0002
0.4603
0.1285
0.1289
1.0770
1.0771
l i o Estudio Comparativo
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Figura. 2.51: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 111
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Mtmáa rFT-W - ^ Mmfém MMM
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Figura 2.52: Espectros serie C-23-22/06/93
B O Y A : L A C O R U Ñ A H O R A : 23:00 F E C H A : 22-06-1993
P a r á m e t r o s
E s t a d í s t i c o
E s p e c t r a l e s
mo [m ] m i [m^/s]
m 2 [m^/s^]
«14 [m'^/s'^]
m _ i [m'^s]
fp [H.]
fpn [^-'] H s [m]
H m o [" ]
B & T
0.0731
0.0124
0.0024
0.0002
0.4728
0.1373
0.1349
1.0815
1.0814
M é t o d o s d e A n á l i s i s
F F T - D
0.0731
0.0125
0.0025
0.0002
0.4717
0.1367
0.1347
1.0815
1.0814
F F T - B
0.0754
0.0142
0.0036
0.0008
0.4725
0.1406
0.1375
1.0815
1.0985
F F T - W
0.0741
0.0131
0.0027
0.0003
0.4641
0.1406
0.1390
1.0815
1.0888
M E M
0.0731
0.0124
0.0024
0.0002
0.4714
0.1325
0.1295
1.0815
1.0817
112 Estudio Comparativo
; e-ii-U/M/tí
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Figura 2.53: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis compara t ivo 113
Strii c-00-u/oa/n
- - Mmlmée r/T-D
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Figura 2.54: Espectros serie C-00-23/06/93
B O Y A : LA CORUÑA H O R A : 00:00 F E C H A : 23-06-1993
P a r á m e t r o s
Es tad ís t ico
Espec t ra les
mo [m?]
m i [rn^/s]
m2 [rn^ls^]
1x14 [m?ls'^]
m _ i [m^s]
h \H.] fpn [H.]
Hs [m]
Hmo [m]
Métodos de Análisis
B & T
0.0964
0.0162
0.0031
0.0002
0.6213
0.1422
0.1378
1.2426
1.2420
FFT-D
0.0964
0.0162
0.0031
0.0002
0.6169
0.1416
0.1400
1.2426
1.2419
F F T - B
0.0965
0.0168
0.0034
0.0003
0.6041
0.1445
0.1434
1.2426
1.2425
F F T - W
0.0972
0.0168
0.0033
0.0003
0.6099
0.1445
0.1432
1.2426
1.2473
M E M
0.0965
0.0162
0.0030
0.0002
0.6198
0.1406
0.1387
1.2426
1.2424
114 Estudio Comparativo
t c m tí/m/u
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Figura 2.55: Espectros (a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B, (d)FFT-W, (e)MEM
2.2 Análisis comparativo 115
BOYA: LA CORUÑA
Parámetros Estadístico Espectrales
mo [m ] m i [m'^/s]
m2 [m^/s'^]
«14 [m^/5'*]
m _ i [m'^s]
fp [H.]
fpn [^^] Hs [m]
Hmo [w]
HORA: 22:00
B & T
0.1013
0.0173
0.0035
0.0003
0.6689
0.1373
0.1287
1.2739
1.2729
Me to
F F T - D
0.1011
0.0177
0.0035
0.0003
0.6329
0.1367
0.1341
1.2739
1.2721
FECHA: 22-06-1993 TV = 512
dos de Análisis
F F T - B
0.0464
0.0280
0.0203
0.0133
0.1317
0.6406
0.6374
1.2739
0.8613
F F T - W
0.0502
0.0280
0.0195
0.0120
0.1689
0.6406
0.6383
1.2739
0.8959
M E M
0.1014
0.0173
0.034
0.002
0.6541
0.1285
0.1294
1.2739
1.2739
BOYA: LA CORUÑA HORA: 22:00 FECHA: 22-06-1993 iV = 4096
P a r á m e t r o s
Estadís t ico
Espec t ra les
mo [m^]
m i [m'^/s]
m2 [m^/5^]
m4 [m^/s'*]
m _ i [m^s]
fp [í^.]
fpn [H.] Hs [m]
Hmo ['"]
Métodos de Análisis
B & T
0.0740
0.0130
0.0026
0.0002
0.4674
0.1296
0.1301
1.0883
1.0881
F F T - D
0.0740
0.0130
0.0026
0.0002
0.4653
0.1318
0.1303
1.0883
1.0880
F F T - B
0.0762
0.0144
0.0035
0.0006
0.4670
0.1328
0.1323
1.0883
1.1039
F F T - W
0.0741
0.0139
0.0033
0.0006
0.4532
0.1338
0.1338
1.0883
1.0887
M E M
0.0740
0.0130
0.0026
0.0002
0.4670
0.1325
0.1310
1.0883
1.0883
116 Es tudio Comparativo
2.3 Discusión de los resultados
De los resultados obtenidos para los registros simulados a partir de un modelo
espectral P-M (figuras 2.7 y 2.8), J (fig. 2.10 y 2.11), O&H (fig. 2.13 y 2.14)
puede inferirse que todos los métodos utilizados dan resultados similares para los
parámetros estadístico espectrales.
En el caso particular del espectro inicial P-M, la frecuencia de pico es /p = 0.1[Hz],
y los valores teóricos de mo y -Hmo? obtenidos mediante la integración analítica de
la función de densidad espectral teórica son:
mo = 0.9996[m2] ^ jj^^ ^ 3.999[7??,]
Luego, el mejor de los resultados para Hmo se obtiene con FFT-D, mientras que
MEM proporciona el valor m ás próximo para fp.
A pesar de la similitud de los resultados, debe notarse que los métodos FFT-B y
FFT-W provocan ligeras desviaciones de los parámetros obtenidos, respecto al resto
a los proporcionados por lo demás procedimientos.
En cuanto a la forma del espectro, el método MEM ofrece el peor de los ajustes,
mientras que éste es prácticamente perfecto para B-T y FFT-D.
Resultados semejantes se obtienen para el espectro simulado con un modelo espectral
JONSWAP. Sin embargo, en este caso es de resaltar la mejoría experimentada por
los métodos FFT-B y FFT-W. Esta mejoría es, sin duda, debida al aumento del
número de puntos por segmento. De este modo, el ajuste con el modelo teórico es
bastante satisfactorio, en especial en el caso del procedimiento FFT-W, donde los
valores de la densidad espectral quedan siempre dentro de los intervalos de confianza,
estimados para un nivel de probabilidad del 90%.
El sesgo comentado en el análisis del registro P-M mediante FFT-B y FFT-W,
vuelve a repetirse con el registro 0-H, donde nuevamente se han empleado 256
puntos por segmento. Además, en este ejemplo, los métodos B-T y FFT-D ya no
ofrecen el ajuste casi perfecto que muestran en los dos casos anteriores, mientras que
el método MEM ha mejorado significativamente en este aspecto, proporcionando un
ajuste con una bondad similar a la dada por dichas técnicas. Este hecho se debe
a la mayor anchura de banda del espectro de partida. Es decir, al mayor rango de
frecuencias contenido en el registro, dando lugar a una mayor "aleatoriedad" del
registro simulado, hecho que puede observar al comparar las series simuladas con los
tres modelos espectrales (figs. 2.6. 2.9 y 2.12).
2.3 Discusión de los resultados 117
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Figura 2.56: Espectros serie 22-22/06/93 (N=5r2),(a.)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B
118 Estudio Comparativo
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Figura 2.57: Espectros serie 22-22/06/93 (N=512),(a)FFT-W. (b)MEM
2.3 Discusión de los resul tados 119
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Figura 2.58: Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)B-T, (b)FFT-D, (c)FFT-B
120 Estudio Comparativo
S.0
4.S-
4.0-
a.5
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1.0
0.S
Strie: C-22-22/0e/9S
N = 4096 : N/Sagm.* SI2
Solap: 25
0.0 0M> 0.05 0.10
Método FFT-W ¿intitea dt eonfiatiMa
' I ' I 1 1 i - n ' - T - ^ ^ í I I I I I I I f I 1 I f ***" O.X0 OJU 0.40 0.M /Vaeucneta (Hz)
M I I 0.40 e.«< 0.M
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SOTÍM: C-X2-Z2/0e/aa
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0.00 O.Off 0.>0 0.>5 0.tO OJU 0.30 0.35 0.40 0.4S 0.50 Froeumeia (Ha)
Figura 2.59: Espectros serie 22-22/06/93 (N=4096),(a)FFT-W. (b)MEM
2.3 Discusión de los resultados 121
Tal como se comento en la sección 2.2.2, la adición de un ruido blanco a l'íis señales
simuladas, hacen que los resultados proporcionados por el método MEM mejoren
sustancialmente. De esta forma, tanto los valores de los parámetros, como la bondad
del ajuste con el modelo espectral son casi perfectos. Además, se debe resaltar, que
la modificación del orden del modelo AR ajustado no produce, sobre los resultados,
un efecto tan significativo como ocurre con el resto de los procedimientos de cálculo.
Un simple análisis visual de los espectros obtenidos para los 18 registros de oleaje
real estudiados, pone de manifiesto que los métodos de análisis espectral directos, es
decir, FFT-D, FFT-B y FFT-W, muestran una mayor variabilidad estadística que
la presentada por las técnicas B-T y MEM.
En cuanto a los resultados numéricos, se puede destacar la similitud de los valores
obtenidos mediante los procedimientos B-T, FFT-D y MEM, mientras que los
resultados que ofrecen FFT-B y FFT-W, se apartan ligeramente de los estimados
por los anteriores, dada la escasa longitud de los registros.
Para confirmar este fenómeno, se ha realizado un análisis más exhaustivo de uno
de las series temporales (22:00/22-06-93), empleando para ello diferentes longitudes
de registro. En las figuras (2.56) y (2.57) se muestran los resultados para un valor
de iV = 512, observándose la inviabilidad de los métodos FFT-B y FFT-W, en tal
caso. Sin embargo, tanto los valores obtenidos para los parámetros estadísticos
como la fisonomía del espectro, en relación a la obtenida mediante el resto de
los procedimientos, experimenta una notable mejoría, al aumentar la longitud del
registro hasta N = 4096, figuras (2.58) y (2.59).
Se debe resaltar la similitud existente entre los resultados proporcionados por los
métodos B-T y MEM, siendo este último capaz de detectar un pico secundario o
una meseta, alb' donde existe, (véanse, por ejemplo, las figuras 2.21, 2.29, 2.31, 2.39
y 2.45), sin resaltar posibles "falsos picos" que pueden detectarse mediante los otros
métodos analizados.
Por otra parte, los métodos B-T y MEM, no parecen sobrestimar los valores de
la densidad espectral, efecto este de gran importancia al determinar parámetros
como Qp (parámetro de Goda), (Tucker, 1991). Además, debido a la "suavidad"
de los espectros obtenidos, estas técnicas (B-T y MEM) posibilitan la aplicación de
métodos de ajuste no lineal a espectros teóricos, con mucha mayor eficiencia que los
obtenidos vía FFT, principalmente el método MEM (Rodríguez y Jiménez, 1994).
De todo lo anteriormente comentado, se puede concluir que los métodos B-T, FFT-
D y MEM, ofrecen mejores resultados que los procedimientos FFT-B y FFT-W,
122 Estudio Comparativo
cuando se emplean longitudes de registro que no hagan dudar áobre la validez
de la hipótesis de estacionaridad, admitida intrínsecamente en todas las técnicas
de análisis estudiadas. Sin embargo, al ampliar la duración de los registros, los
resultados proporcionados por los diferentes métodos son muy similares.
Luego, dada la eficiencia computacional y las virtudes estadísticas de los métodos
FFT-B y FFT-W, debidas éstas últimas a que en dichos procedimientos, las
estimaciones espectrales se obtienen mediante el promedio de diferentes valores de
la densidad espectral, asociada a una frecuencia dada, sería de gran importancia
el desarrollo de un estudio que permitiese conocer, con un nivel de confianza
significativo, si las las características del oleaje, en las distintas épocas del año y
en diferentes puntos del litoral español, permiten la ampliación de la longitud de los
registros, hasta intervalos de tiempo superiores a los aproximadamente 20 minutos,
utilizados en la mayoría de los estudios de oleaje a corto plazo.
Respecto al método MEM, es de vital importancia el llegar a deducir una expresión
para los límites de confianza, que permitan conocer, de forma efectiva desde el punto
de vista práctico, la variabilidad estadística de las estimaciones obtenidas.
Apéndice A
Referencias
123
Referencias
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