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MÉTODOS DE CONTEO

 En diferentes casos se tomará de algún conjunto parte de sus elementos o todosellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden desus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. Si los elementos que

forman una agrupación son diferentes entre sí, serán llamados agrupaciones sinrepetición y si alguno de ellos es igual se dirá que son agrupaciones conrepetición.

Entre los métodos de conteo más conocidostenemos permutación, com!inación y ordenación

"os métodos de conteo son estrategias utilizadas para determinar el número de

posi!ilidades diferentes que e#isten al realizar un e#perimento. Entre estos

métodos destacan el método del producto y el método del diagrama de ár!ol.

$iagrama de ár!ol

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%n diagrama de árbol es una &erramienta que se utiliza para determinar todos los

posi!les resultados de un e#perimento aleatorio. En el cálculo de la pro!a!ilidad

se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio

muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de ár!ol.

El diagrama de ár!ol es una representación gráfica de los posi!les resultados del

e#perimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos

tiene un número finito de maneras de ser llevado a ca!o. Se utiliza en los

pro!lemas de conteo y pro!a!ilidad.

'ara la construcción de un diagrama en ár!ol se partirá poniendo una rama para

cada una de las posi!ilidades, acompa(ada de su pro!a!ilidad. )ada una de

estas ramas se conoce como rama de primera generación.

En el final de cada rama de primera generación se constituye a su vez, un nudo

del cual parten nuevas ramas conocidas como ramas de segunda generación,

según las posi!ilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posi!le

final del e#perimento *nudo final+.

ay que tener en cuenta que la construcción de un ár!ol no depende de tener el

mismo número de ramas de segunda generación que salen de cada rama de

primera generación y que la suma de pro!a!ilidades de las ramas de cada nudo

&a de dar -.

E#iste un principio sencillo de los diagramas de ár!ol que &ace que éstos seanmuc&o más útiles para los cálculos rápidos de pro!a!ilidad multiplicamos las

pro!a!ilidades si se trata de ramas adyacentes *contiguas+, el ejemplo de alumna

de la primera facultad, o !ien las sumamos si se trata de ramas separadas que

emergen de un mismo punto, el ejemplo de encontrar un alumno.

Ejemplos

%na universidad está formada por tres facultades

"a - con el /01 de estudiantes.

"a 2 con el 2/1 de estudiantes.

"a 3 con el 2/1 de estudiantes.

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"as mujeres están repartidas uniformemente, siendo un 401 del total en cada

facultad.

5'ro!a!ilidad de encontrar una alumna de la primera facultad6

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5'ro!a!ilidad de encontrar un alumno varón6

 

pero tam!ién podría ser lo contrario.

7elación con pro!a!ilidad condicionada

Esta &erramienta está fundamentada en el cálculo de pro!a!ilidades

condicionadas.

'or ejemplo podemos identificar el 0,4 que encontramos en la rama que va

de - facultad a mujer como la siguiente pro!a!ilidad condicionada

8am!ién esta &erramienta se relaciona con algunos teoremas de la

pro!a!ilidad condicionada

El segundo cálculo que &emos realizado, se corresponde con la

aplicación del teorema de la 'ro!a!ilidad 8otal.

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$ado que las tres facultades forman una partición del espacio muestral

podemos indicar este cálculo como

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COMBINACION 

COMBINACIONES.

%na com!inación es un arreglo de elementos en donde no nos interesa

el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una

com!inación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos.

"a fórmula para determinar el número de com!inaciones es

 

n)r 9 )om!inaciones de r o!jetos tomados de entre n o!jetos

$onde se o!serva que

 

"a e#presión anterior nos e#plica como las com!inaciones de r o!jetos

tomados de entre n o!jetos pueden ser o!tenidas a parti r de las

permutaciones de r o!jetos tomados de entre n o!jetos, esto se de!e a

que como en las com!inaciones no nos importa el orden de los o!jetos,

entonces si tenemos las permutaciones de esos o!jetos al dividir las

entre r:, les estamos quitando el orden y por tanto transformándolas en

com!inaciones , de o tra fo rma, tam!ién si deseamos calcu la r  

permutaciones y tenemos las com!inaciones, s implemente con

multiplicar estas por el r: o!tendremos las permutaciones requeridas. Es

el número de conjuntos diferentes, con elementos cada uno que puede

formarse de un conjunto de números de elementos y en esta importa

muc&o el orden.

;actorial de un número natural

Es el producto de los <n= factores consecut ivos desde <n=

&asta -. El factorial de un número se denota por n :

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>ariaciones

Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n

en n *m ? n+ a los distintos grupos formados por n elementos deforma que

@o entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

@o se repiten los elementos.

8am!ién podemos calcular las variaciones mediante factoriales

"as variaciones se denotan por

>ariaciones con repetición

Se llama variaciones con repetición de m elementos tomados

de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de

manera que

@o entran todos los elementos s i m A n. Sí pueden entrar 

todos los elementos si m B n

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

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Permutaio!es

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

@o se repiten los elementos.

'ermutaciones circulares

Se uti lizan cuando los elementos se &an de ordenar Cen

círculoC, *por ejemplo, los comensales en una mesa+, de modo que

el primer elemento que Cse sitúeC en la muestra determina el

principio y el final de muestra.

'ermutaciones con repetición

'ermutaciones con repetición de m elementos donde el primer 

elemento se repite a veces, e l segundo ! veces, e l tercero

c veces.. . *m 9 a D ! D c D.. . 9 n+ son los distintos grupos que

pueden formarse con esos m elementos de forma que

Sí entran todos los elementos.

Sí importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

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Combi!aio!es

Se llama com!inaciones de m elementos tomados de n en n *m

? n+ a todas las agrupaciones posi!les que pueden &acerse con los

m elementos de forma que

@o entran todos los elementos.

@o importa el orden.

@o se repiten los elementos.

8am!ién podemos calcular las com!inaciones mediante factoriales

)om!inaciones con repetición

"as com!inaciones con repetición de m elementos tomados de

n en n *m ? n+, son los distintos grupos formados por n elementos

de manera que

@o entran todos los elementos.

@o importa el orden.

Sí se repiten los elementos.

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@úmeros com!inatorios

El número se l lama tam!ién número com!inatorio. Se

representa por y se lee Cm so!re nC.

'ropiedades de los números com!inatorios

-.

2.

3.

inomio de @eFton

"a fó rmula que nos permi te &a lla r las po tencias de un

!inomio se conoce como !inomio de @eFton.