Métodos Numéricos en

IngenieríaAjuste de Curvas

M.C. Lourdes Sánchez Guerrero

Ajuste de curvas

Se tiene este conjunto de puntos que se muestran en la gráfica.

Ajuste de curvas

De esta gráfica parece ser un polinomio de segundo grado:

Y = a1 + a2 X + a3 X2 (1)

Esta ecuación (1) representa el conjunto de valores obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a1, a2, a3, etc.

Para determinar estos valores:

• Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores (obtenidos experimentalmente)

Escribir la ecuación que expresa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación.

Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error.

Ajuste de curvas

EVALUACIÓN DEL ERROR

d = distancia = Yobservada - Y obtenida por la ecuación

Yobservada = Valor obtenido experimentalmente.

Y obtenida por la ecuación = valor de la función evaluada en cualquier valor X

Ajuste de curvas

En la gráfica, parece que la distancia entre la se puede usar para representar el

error, pero habrá distancias positivas y negativas, (como se puede observar la

distancia d1 es positiva y la distancia d2 es negativa) de modo que el error

promedio para los puntos como los mostrados será pequeño aunque los

errores individuales sean grandes.

Esta dificultad podría ser resuelta usando el valor absoluto de las distancias, sin

embargo al derivar la función del valor absoluto se generan ciertos

problemas.

Ajuste de curvas

• La solución podría ser definir el error como el cuadrado

de la distancia, esto elimina la dificultad del signo. Por

esta razón el método se llama: Método de Mínimos

Cuadrados.

en donde S es la suma de los cuadrados de las diferencias entre el

valor calculado y el valor observado y por lo tanto es el valor que

se debe minimizar

(2)

Ajuste de curvas

siendo el caso de que la curva supuesta es una ecuación de

segundo grado, se tiene la ecuación:

Para minimizar la función anterior, derivando parcialmente con

respecto a a1, a2 y a3 e igualando a cero:

Ajuste de curvas

(Obsérvese que las variables son a 1, a 2 y a 3, mientras que Yi, X i son

constantes)

Las ecuaciones se pueden expresar de acuerdo como sigue:

(5)

Ajuste de curvas

(6)

(7)

Se expresa en forma matricial

Ajuste de curvas

La fórmula general para un polinomio de grado n en donde hay m parejasde datos es:

Ajuste de curvas El método consiste en lo siguiente:

Obtener la matriz de coeficientes.

Resolver el sistema de ecuaciones resultantes.

Recordando que:

Si n es el grado del polinomio, hay n+1 valores de la matriz de coeficientes y n+1

ecuaciones.

El máximo exponente de X en los términos de la sumatoria de 2n es posible que los

datos no representen un polinomio de 2o grado sino que representan uno de 3er

o 4to grado.

Nota: El ajuste de curvas es un procedimiento de tanteo y error, si una curva no

representa los datos, entonces se intenta con un polinomio de grado superior.

Los ejemplos de la clase, deberán ser analizados por el alumno,

con el propósito de que el alumno siga ejercite el método, es por

esto que los ejercicios tienen detalles que corregirse como

ejemplo el calculo de las operaciones, faltan variables, etc.). Estos

detalles se explican en clase, y se solicita como tarea: realizar

nuevamente cálculos de cada operación y verificar que estén

correctas la operaciones, y si no son correctos deberá corregirlos.

En cada tema del curso deberá terminar las operaciones y

entregarlas como tarea para la siguiente clase.

Ajuste de curvas

X Y X Y

0.00 0.0000 0.60 0.6367

0.10 0.1002 0.70 0.7586

0.20 0.2013 0.80 0.8881

0.30 0.3045 0.90 1.0265

0.40 0.4108 1.00 1.1752

0.50 0.5211

EJEMPLO:

De la tabla de datos, usando Mínimos Cuadrados, determine los polinomios de 2o, 3er

y 4o grado; graficar para determinar la curva más aproximada.

Ajuste de curvasPOLINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Los elementos de la matriz son:

M =11

Los términos constantes son:

Ajuste de curvas

Resolviendo por Gauss se obtienen los siguientes resultados.

a1 = 0.006727

a2 = 0.895462

a3 = 0.265963

y el polinomio de segundo grado es:

Ajuste de curvas

Tarea

El alumno desarrollara como tarea para el polinomio para el grado tres y cuatro.