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Métodos Numéricos para Fluidos
L. Héctor Juárez V.
Departamento de Matemáticas UAM–I
Octubre, 2012
XLV Congreso Nacional de la SMM
Dinámica de fluidos computacionalEs una rama de la dinámica de fluidos en la que se utilizan métodosnuméricos y algoritmos para analizar y resolver problemas queinvolucran flujos de fluidos.
Motivación: Desde siempre, los seres humanos hemos queridoentender la dinámica del mundo y los diversos fenómenos de lanaturaleza. Uno de los objetivos es el control ó al menos lapredicción.
⇓Desarrollo del cálculo y análisis + física
⇓
Aparición de las ecuaciones diferenciales: siglo XVIII (D’Alembert,Euler, Lagrange y Laplace)
Modelo: ecuaciones de Navier–StokesNavier, 1822–1827 −→ Poisson, 1831 −→ Stokes, 1845: movimientode fluidos viscosos como agua y aire
ρdudt
= ∇ · σ + f Conservación de momentum
∂ρ
∂t+∇ · (ρu) = 0 Conservación de masa
ρ: densidad u: velocidad
σ = −p I + D(u): tensor de esfuerzosp: presión, D(u): tensor de deformación
f: fuerzas externas por u. de volumen
Claude Louis Navier,
1785–1836
George Gabriel Stokes,
1819–1903∂
∂t
∫VρdV = −
∫Sρu · n dS = −
∫V∇ · (ρu) dV
Derivada total:dudt
=∂u∂t
+ u · ∇u
Fluido Newtoniano: D(u) = µ(∇u + (∇u)t)
Incompresible:∂
∂t
∫VρdV = 0 =⇒ ∇ · u = 0
Inercia︷ ︸︸ ︷ρ( ∂u
∂t︸︷︷︸Aceleración
no estacionaria
+ u · ∇u︸ ︷︷ ︸Aceleraciónconvectiva
)= −∇p︸ ︷︷ ︸
Fuerzanormal
+ µ∇2u︸ ︷︷ ︸Fuerzasviscosas
+ f︸︷︷︸Fuerzas
de volumen
∇ · u = 0
Uno de los sistemas de EDP más útiles: describe la física de un grannuméro de fenómenos de interés científico, académico y económico.
Dado un estado inicial queremos conocer la evolución del sistema.
Preguntas
I ¿Existen las soluciones bajo suposiciones razonables?
I ¿Es posible calcularlas?
Propiedades:
I El modelo (ecuaciones de N–S) tiene que ser consistenteinternamente:Uno esperaría que el modelo tuviera soluciones únicas para almenos un rango de datos razonables.
I Las soluciones deben tener propiedades adicionales de ciertosentido común:¿Se disipa o se conserva la energía?, ¿La velocidad permanecesiempre finita?, ¿Las posibles soluciones son aceptables?
Todos los anteriores aspectos estan intimamente ligadas a lamatemática.
ProblemasSean Ω un dominio en Rd , y sea Q = Ω× (0,T ), y sea
H = v ∈ L2(Ω)d : ∇·v = 0 en Ω, v · n = 0 sobre ∂Ω
Problema 1. Dado f ∈ L2(Q)d , u0 ∈ H, encontraru ∈ L2(0,T ; V ) ∩ L∞(0,T ; H), p ∈ D′(Q) tales que
∂u∂t
+ (u · ∇)u− ν∆u +∇p = f,
u|t=0 = u0.
Ahora sea
V = v ∈ H1(Ω)d : ∇·v = 0 en Ω, v · n = 0 sobre ∂Ω
Problema 2. Dado f ∈ L2(Q)d , u0 ∈ H, encontraru ∈ L2(0,T ; V ) ∩ L∞(0,T ; H) tal que∫
Ω
∂u∂t· v dx +
∫Ω
(u · ∇)u · v dx +
∫Ω
ν∇u : ∇v dx =
∫Ω
f · v dx ∀ v ∈ V
t ∈ [0,T ] ctp
Algunos resultadosI Existe al menos una solución del problema 2.
I Existe una única solución para d = 2 .
I Toda solución del problema 2 es solución del problema 1.
I La solución depende continuamente de los datos f, u0.
Algunos problema abiertos:
I Para d = 3, con datos no necesariamente pequeños, sedesconoce la unicidad de la solución.
I Para d = 3, se desconoce si datos regulares producensoluciones regulares.
I El siguiente es un problema abierto con un premio de 1 millonde dolares (Clay Institute of Mathematics):
Si Ω = R3, f = 0, u0 ∈ C∞ solenoidal, demostrar que elproblema 2 tiene una solución de clase C∞
http://www.claymath.org/millennium/Navier-Stokes_Equations
Razones para considerar las ecuaciones de N–S
I Es un modelo que describe una familia importante defenómenos.
I En la práctica, se utiliza en una gran diversidad de campos deconocimiento:Hidrodinámica, metorología, oceanografía, hidráulica,aerodinámica, astrofísica, vulcanología, etc.
I Contiene muchas de las dificultades que uno encuentra en lasEDP no lineales.
I El análisis y la solución de estas ecuaciones es de muchointerés en matemáticas.
I Existe varios problemas abiertos para estas ecuaciones.J. Heywood, Open problems in the theory of the Navier-Stokes equations for viscous incompressible flow,Lecture Notes in Math. No. 1431, pp. 1–22, Springer–Verlag, Berlin 1988.
Algunos métodos de solución de las EDP
I Método de las caracterísiticas (EDP de 1er. orden).
I Métodos de tranformadas (de Laplace, de Fourier,...).
I Funciones de Green.
I Cambio de variables.
I Separación de variables.
I Series de Fourier.
I Métodos de Grupos de Lie.
I · · ·
Problema práctico: Para las ecuaciones de N–S no es posibleencontrar soluciones analíticas, salvo en casos excepcionalmentesimples.
La realidad es compleja
En aplicaciones reales las EDP usualmente
I Son no lineales.Por ejemplo, en la ecuación del calor la constante de difusióntérmica k realmente depende de la solución e incluso puededepender de la dirección: ut = κ(u) ∆u.
I Modelan fenómeneos en regiones complejas.Por ejemplo, la ecuación de calor (aunquesea lineal), en un dominio complejousualemte no tiene solución analítica.
I Combinan diferentes operadores.Por ejemplo la ecuación de Fisher (advección-difusión-reacción)
∂p∂t
+ u · ∇p = ν∇2p + s p (1− p)
I Contienen combinaciones de las anteriores dificultades
Métodos de aproximación
Las EDP se resuelven primero discretizando la ecuación, llevandoloa un subespacio de dimension finita.
En general, el procedimiento reduce el problema a la solución de unsistema finito de ecuaciones algebraicas.
La justificación teórica involucra teoremas del análisis, el análisisfuncional y el algebra lineal.
Técnicas de discretización:
I Diferencias finitas.
I Volumen finito.
I Elemento finito.
I Métodos sin malla.
I Elementos de frontera.
I Métodos espectrales.
I Métodos de partículas.
I Lattice Boltzamnn.
I Monte Carlo.
I Perturbación.
I Series.
I · · ·
Los métodos más populares ó conocidos
Diferencias Finitas/forma diferencial
I Aproximación de valores nodales
I Fácil, efectivo y simple
I Limitado a mallas structuradas (porbloques)
Volumen Finito/forma integral
I Aproximación de integrales de volumenpor integrales de supeficie
I Conservativos por construcción
I Adecuado para mallas generales
I Bajo orden de convergencia, viscosidadartificial.
Discretization techniques
Finite differences / differential form
• approximation of nodal derivatives
• simple and effective, easy to derive
• limited to (block-)structured meshes
Finite volumes / integral form
• approximation of integrals
• conservative by construction
• suitable for arbitrary meshes
Finite elements / weak form
• weighted residual formulation
• remarkably flexible and general
• suitable for arbitrary meshes
Discretization techniques
Finite differences / differential form
• approximation of nodal derivatives
• simple and effective, easy to derive
• limited to (block-)structured meshes
Finite volumes / integral form
• approximation of integrals
• conservative by construction
• suitable for arbitrary meshes
Finite elements / weak form
• weighted residual formulation
• remarkably flexible and general
• suitable for arbitrary meshes
Elemento Finito/forma débil
I Aprox. formulación variacional
I Gran flexibilidad y generalidad
I Adecuado para mallas generales
I Complejo para programar
Métodos sin Malla/RBF
I No involucra integración numérica
I Fácil y simple de programar
I No requiere discretización del dominio
I Limitaciones de estabilidad
Discretization techniques
Finite differences / differential form
• approximation of nodal derivatives
• simple and effective, easy to derive
• limited to (block-)structured meshes
Finite volumes / integral form
• approximation of integrals
• conservative by construction
• suitable for arbitrary meshes
Finite elements / weak form
• weighted residual formulation
• remarkably flexible and general
• suitable for arbitrary meshes
Método de diferencias finitas
Idea: Sustituir las ecuaciones diferenciales por ecuaciones endiferencias
Principio: Las derivadas parciales en la ecuación se sustituyen porcombinaciones lineales de valores de la función en los nodos de lamalla.
Finite difference method
Principle: derivatives in the partial differential equation are approximated
by linear combinations of function values at the grid points
1D: Ω = (0, X), ui ≈ u(xi), i = 0, 1, . . . , N
grid points xi = i∆x mesh size ∆x = XN xNx1x0 xi+1xixi1 xN10 X
First-order derivatives
∂u
∂x(x) = lim
∆x→0
u(x + ∆x) − u(x)
∆x= lim
∆x→0
u(x) − u(x − ∆x)
∆x
= lim∆x→0
u(x + ∆x) − u(x − ∆x)
2∆x(by definition)
1D : Ω(0, X ), ui ≈ u(xi ), i = 1, · · · , N.
Puntos de malla: xi = i4x = i h Tamaño de malla: h = 4x = L/N
Aproximación de las derivadas de primer ordenDerivadas de primer orden
∂u∂x
(x)= limh→0
u(x+h)−u(x)
h= lim
h→0
u(x)−u(x−h)
h= lim
h→0
u(x+h)−u(x−h)
2h
Dif. hacia adelante Dif. hacia atrás Diferencias centrales(∂u∂x
)i≈ ui+1 − ui
∆x
(∂u∂x
)i≈ ui − ui−1
∆x
(∂u∂x
)i≈ ui+1 − ui−1
∆x
Expansión en series de Taylor: u(x) =∞∑
n=0
(∂nu∂xn
)i
(x − xi )n
n !
T+ : ui+1 = ui + ∆x(∂u∂x
)i
+(∆x)2
2
(∂2u∂x2
)i
+(∆x)3
6
(∂3u∂x3
)i
+ · · ·
T− : ui−1 = ui −∆x(∂u∂x
)i
+(∆x)2
2
(∂2u∂x2
)i− (∆x)3
6
(∂3u∂x3
)i
+ · · ·
Aproximaciones
Diferencia hacia adelante de 1er orden
T+ =⇒(∂u∂x
)i
=ui+1 − ui
∆x− (∆x)
2
(∂2u∂x2
)i− · · ·
Diferencia hacia atrás de 1er. orden
T− =⇒(∂u∂x
)i
=ui − ui−1
∆x+
(∆x)
2
(∂2u∂x2
)i− · · ·
Diferencia central de 1er. orden
T+ − T− =⇒(∂u∂x
)i
=ui+1 − ui−1
2 ∆x− (∆x)2
6
(∂3u∂x3
)i
+ · · ·
Diferencia central de 2do. orden
T+ + T−2
=⇒(∂2u∂x2
)i
=ui+1 − 2 ui + ui−1
∆x2 − ∆x2
12
(∂4u∂x4
)i− · · ·
Error deTruncamiento
O(∆x)
O(∆x)
O(∆x2)
O(∆x2)
Ejemplo: ecuación de difusión
∂u∂t− ν4u = 0, ∀ x = (x , y) ∈ Ω, t > 0,
u(x,0) = u0(x), x ∈ Ω,
u = g, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0.
Discretización: Uni,j ≈ u(xi , yj , tn)
xi = i ∆x , i = 0,1, . . . , I,yj = j ∆y , j = 0,1, . . . , J,tn = n ∆t , n = 0,1, . . . ,N.
Ω = [0, X ]× [0, Y ]
Esquema explícito
Un+1i,j − Un
i,j
∆t= ν
[Uni−1,j − 2Un
i,j + Uni+1,j
(∆x)2 +Un
i,j−1 − 2Uni,j + Un
i,j+1
(∆y)2
].
¿Explicito, Implícito ó Semi-implicito?U := Ui,j
δ2x U := Ui−1,j − 2Ui,j + Ui+1,j
δ2y U := Ui,j−1 − 2Ui,j + Ui,j+1
Esquema explícito
Un+1 − Un
∆t= ν
[δ2
x Un
(∆x)2 +δ2
y Un
(∆y)2
]
Crank–Nicolson,Crank, J.; Nicolson, P. (1947), A Practical Method for Numerical Evaluation of Solutions
of Partial Differential Equations of Heat Conduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc, 43: 50–67.:
Un+1 − Un
∆t=ν
2
[δ2
x (Un+1 + Un)
(∆x)2 +δ2
y (Un+1 + Un)
(∆y)2
]Sistema lineal con (I − 1)× (J − 1) ecuaciones. Si ∆x = ∆y(νx = νy ), la matriz del sistema es:
A = I+ν
2
A −I−I A −I
. . . . . . . . . .−I A −I
−I A
con A =
4 −1−1 4 −1
. . . . . . . . . . . .−1 4 −1
−1 4
T (x , t) = O(∆x2) +O(∆y2) +O(∆t2)
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
1−10
−5
0
5
10
XY 00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
1−5
0
5
XY
00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
1−5
0
5
XY 00.2
0.40.6
0.81
0
0.5
1−5
0
5
XY
n = 0 n = 3
n = 6 n = 25
I = J = 48, ∆t = 0.0025.
Estabilidad
Estabilidad Numérica: Lavariación total de lasolución numérica en untiempo fijo permaneceacotada conforme ∆t −→ 0(Los errores cometidos enun paso de tiempo nocausa que los errorescrezcan a medida que loscálculos continuanCrank, J., Nicolson, P. (1947), A PracticalMethod for Numerical Evaluation of Solutionsof Partial Differential Equations of HeatConduction Type, Proc. Camb. Phil. Soc. 43:50?-67, doi:10.1007/BF02127704.
Charney, J. G.; Fortoft, R.; von Neumann, J.(1950), Numerical Integration of the BarotropicVorticity Equation, Tellus 2: 237–254.doi:10.1111/j.2153-3490.1950.tb00336.x
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.1
0.2
0.3
0.4
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0.7
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0.9
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
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0.9
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0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
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0.1
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0.9
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0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n = 10
n = 30
n = 50
n = 0
t = 0.0012 t = 0.0013
Δ
Δ Δ
ConvergenciaConsistencia: Un esquema es consistente si su error de truncamientotiende a cero cuando los parámetros de discretización tienden a cero.
La discretización de la EDP se transforma en la exacta cuando∆t , ∆x −→ 0.
Convergencia: Un esquema numérico es convergente si
lim∆t,∆x−→0
Uni = u(xi , tn).
Teorema de equivalencia de Lax:
consistencia + estabilidad = convergencia
Para un esquema de diferencias finitas (lineal) consistente,convergencia equivale a estabilidad.
Lax, P. D.; Richtmyer, R. D. Survey of the stability of linear finite difference equations. Comm. Pure Appl. Math., 9
(1956), 267?-293.
Problema simple de Navier-StokesSean Ω un domino en Rd (d = 2,3) y T > 0. Dado el estado inicialu0(x) y g definida sobre Γ× (0,T ), encontrar u(x, t) y p(x, t) tales que
∂u∂t− ν∆u + (u ·∇)u + ∇p = 0 en Ω× (0,T ],
∇ · u = 0 en Ω× (0,T ],
u(0) = u0 en Ω,
u = g sobre Γ× (0,T ).
Principales dificultades: 1) EDP no lineal, 2) condición deincompresibilidad, 3) sistema de EDP acopladas.
Formulación variacional: Para t > 0, encontrar u(t) ∈ V , p(t) ∈ P,tales que para toda v ∈ V0 y para toda q ∈ L2(Ω), se satisface∫
Ω
∂u∂t· v dx +
∫Ω
(u ·∇)u · vdx−∫
Ω
p∇ · v dx + ν
∫Ω
∇u : ∇v dx = 0,∫Ω
q∇ · u dx = 0,
u(0) = u0, (∇ · u0 = 0).
Discretización: elemento finitoTh = triangulación de Ω con parámetro de dicretización h.
Aproximación de los espacios V , V0, P:
Vh = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = gh(t),V0h = vh | vh ∈ (C0(Ω))2, vh|T ∈ P2 × P2, ∀T ∈ Th, vh|Γ = 0,
Ph = qh | qh ∈ C0(Ω), qh|T ∈ P1,
∫Ω
qh dx = 0 ∀T ∈ Th.
Triangulación de Ω y función en Ph
86 Chapter 2. The finite element method
1
2
6
5
3
4
16
2
45
3
1
5
2
9
9
8
2
44
7
36
Figure 2.4: Local-to-global mapping for a simple mesh consisting of two triangles. The six localdegrees of freedom of the left triangle (T) are mapped to the global degrees of freedom ιT(i) =1, 2, 4, 9, 8, 5 for i = 1, 2, . . . , 6, and the six local degrees of freedom of the right triangle (T′) aremapped to ιT′(i) = 2, 3, 4, 7, 9, 6 for i = 1, 2, . . . , 6.
Figure 2.5: Patching together apair of quadratic local functionspaces on a pair of cells (T, T′)to form a global continuouspiecewise quadratic functionspace on Ω = T ∪ T′.
it holds thatT
i (v|T) = T′i′ (v|T′). (2.53)
In other words, if two local degrees of freedom Ti and T′
i′ are mapped to the same global degree offreedom, then they must agree for each function v ∈ Vh. Here, v|T denotes (the continuous extensionof the) restriction of v to the interior of T. This is illustrated in Figure 2.5 for the space of continuouspiecewise quadratics obtained by patching together two quadratic Lagrange triangles.
Note that by this construction, the functions in Vh are undefined on cell boundaries, unless theconstraints (2.53) force the functions in Vh to be continuous on cell boundaries. However, this isusually not a problem, since we can perform all operations on the restrictions of functions to thelocal cells.
The local-to-global mapping together with the choice of degrees of freedom determine the con-tinuity of the global function space Vh. For the linear Lagrange triangle, choosing the degrees offreedom as point evaluation at the vertices ensures that all functions in Vh must be continuous atthe two vertices of the common edge of any pair of adjacent triangles, and therefore along the entire
Forma de la componente de una función en Vh
Problema semidiscretoPara t > 0, calcular uh(t) y ph(t), con uh(0) = u0h y tales que:∫
Ω
∂uh
∂t·v dx+
∫Ω
(uh ·∇)uh ·v dx−∫
Ω
ph∇·v dx+ν
∫Ω
∇uh :∇v dx=0, ∀v ∈ V0h,∫Ω
q∇ · uh dx = 0, ∀ q ∈ L2h,
Operator Splitting: Dado u0 = u0h, y conocido un, n ≥ 0.1. Encontrar un+1/3 y pn+1 tales que
∫Ω
un+1/3 − un
4t· v dx−
∫Ω
pn+1∇ · v dx = 0 ∀v ∈ V0h,∫Ω
q∇ · un+1/3 dx = 0 ∀q ∈ L2h;
2. Encontrar un+2/3 = u(tn+1), con u(t), t ∈ (tn, tn+1), solución de∫
Ω
∂u∂t· v dx +
∫Ω
(un+1/3 ·∇) u · v dx = 0 ∀v ∈ V0h,
u(tn) = un+1/3, and u(t) = gh(tn+1) on Γn+1 × (tn, tn+1)
3. Finalmente, encontrar un+1 tal que∫Ω
un+1 − un+2/3
4t· v dx + ν
∫Ω∇un+1 : ∇v dx = 0 ∀v ∈ V0h.
Justificación del “Operator Splitting”Considérese el problema de valores iniciales:
dUdt
+ A U + B U + C U = 0, U(0) = U0
A, B, y C lineales e independ. de t =⇒ U(t) = e−(A+B+C)t U0
Si A, B, C no conmutan: e−(A+B+C)∆t = e−C∆te−B∆te−A∆t + O(∆t2).
Esquema de partición del operador de 1er. orden:
Dado U0 = U0, para n ≥ 0 y Un conocido, calcular:
1. Un+1/3 = U(tn+1), donde U(t) es solución sobre (tn, tn+1) de:
dU/dt + A U = 0, U(tn) = Un
2. Un+2/3 = U(tn+1), donde U(t) es solución sobre (tn, tn+1) de:
dU/dt + B U = 0, U(tn) = Un+1/3
3. Un+1 = U(tn+1), donde U(t) es solución sobre (tn, tn+1) de:
dU/dt + C U = 0, U(tn) = Un+2/3
Flujo pasando un obstáculo cilindrico
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
-2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
a b
dc
414 Chapter 21. A comparison of finite element schemes for the incompressible Navier–Stokes equations
Figure 21.12: Results for the Taylor–Green vortex test problem.
2.01.51.0
X-Axis0.50.0
0.00
0.10
0.20Y
0.30
0.40
Figure 21.13: Illustration of the velocity field for the cylinder test problem at t = 5.
A reference value −0.11144 for this functional was obtained using the IPCS solver on a mesh thatwas approximately of twice the size (in terms of the number of cells) as the finest mesh used in thetest, with a time step of approximately half the size of the finest used time step.
Results. Figure 21.14 shows the results for the cylinder test problem. The smallest error is obtainedwith the GRPC solver closely followed by CSS2 and IPCS. It is interesting to note that for this testproblem, the CSS2 solver is also the fastest.
Transición a la turbulencia de un flujo oscilatorio
3.575e+02
3.359e+02
3.403e+02
3.074e+02
2.764e+02
2.125e+02
1.477e+02
1.480e+02
1.441e+02
2.432e+02
Problemas de fluidos más complicados
I Flujos electrohidrodinámicosI Flujos magnetohidrodinámicosI Flujos de superficie libreI Flujos particuladosI Flujos multifásicosI Flujos térmicosI Flujos turbulentosI Flujos compresiblesI Flujos viscoelásticosI · · ·
Flujo electro-hidrodinámico
Electro–hidrodinámica: también llamada electro-cinética, es elestudio de la dinámica de los fluidos cargados eléctricamente.
Estudio del movimiento de las partículas ionizadas y su interaccióncon el fluido y los campos eléctricos.
Aplicaciones: MEMS, canales iónicos, celdas de combustible
12 CHAPTER 3. ELECTROOSMOTIC MICROPUMPS
in some applications (see Ref. [15]). However, EO pumping is limited by an importantdrawback: its poor efficiency due to the Joule effect. The efficiency can be defined as
η =∆p Q
P, (3.1)
where ∆p is the pressure built by the pump, Q the flow rate and P the power deliveredto the pump. In the DC case, we have P = V 2 σelec with σelec being the conductivity ofthe electrolyte and V the applied voltage. Taking some values from Ref. [4], the reportedEO pumps have a typical thermodynamic efficiency under 1 %. This means that most ofthe energy is dissipated into heat. This heat can be a source of problem in some devices.This heat must be evacuated and can interfere with some process downstream the pump.
-
- - - - --
-- - -
-
-
-
++
+
+
+
+
+ + +
++
+ + + + + + +
+ +
+
+
+ +
+ ++
+ +
+
+
+
+
+ + + + + + +
+ -
Dl
Positivelycharged layers
Inducedflow profile
Debye Length
Negatively charged surface
Negatively charged surface
Figure 3.1: Principle of electroos-motic pumping. The charged layers,induced by the electrodes potential,are driven by the parallel electri-cal field along the channel.Viscositytransfers the momentum to the restof the fluid. In the case of a vanish-ing back-pressure, the flow profile isflat in the bulk. (Brask, [13])
3.2 EO pumps overview
We will now give some brief description of various characteristic of the DC Electroosmoticpumps.
3.2.1 characteristics
The manufacturing of EO pumps is usually achieved by various techniques comparable towhat is made in common electronics, such as lithography. Microumps are usually basedon a thick glass wafer where thin layers of metals are deposited. As this thesis does notdeal with manufacturing, the reader should refer to Ref. [16] and Ref. [9] to have moreinformation about this topic.
Microfluidic channels typical dimensions are 1−300µm with various shapes dependingon the fabrication process. For example, laser ablation gives the channels a gaussianprofile. Materials include silicon and various polymers such as PMMA.
Usually the electrodes are made of metal. Because of manufacturing and/or chem-ical matters, electrodes can be composed of multiple layers of different metals as seenin Ref. [17]. Gold, platinum, titanium or chrome are used for their various interestingproperties. However gel electrodes and more complex systems have been reported (seeRef. [18]).
XXV CONGRESO DE LA SOCIEDAD MEXICANA DE ELECTROQUÍMICA
3RD MEETING OF THE MEXICAN SECTION ECS
5731 DE MAYO – 4 DE JUNIO, 2010
ZACATECAS, MÉXICO
Figura 1. Montaje experimental usado en la evaluación de una celda de combustible de microfluidos [7].
3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN
3.1. Evaluación de Pt/ Vulcan y RuxSey/ Vulcan como cátodo
La Figura 2 muestra las curvas de polarización (a) y de potencia (b) para Pt/Vulcan
comercial en diferentes concentraciones de acido fórmico (0.1, 0.5, 1 y 5 M). A una
concentración de 0.1M el desempeño del sistema es bajo debido a limitaciones por transporte de
masa. Cuando la concentración se incrementa a 0.5 M se observa una mejora en los valores de
potencial a circuito abierto así como en la densidad de corriente alcanzada. Mientras que a
concentraciones mayores (1 y 5 M) se observa una disminución en el desempeño del sistema
(Figura 2 a). Este efecto puede ser atribuido a la permeación de acido fórmico desde el ánodo, así
como a un incremento en la resistencia total del sistema. El potencial de celda a circuito abierto
disminuye desde 0.87 hasta 0.24 conforme aumenta la concentración de acido fórmico desde 0.1
y 5 M, esta disminución podría deberse a potenciales mixtos generados y a la formación de
especies absorbidas producto de la oxidación del acido fórmico en el cátodo. La mayor potencia
es alcanzada a una concentración de 0.5 M de HCOOH (Figura 2 b).
Los fenómenos relacionan conversión de energía cinética en energíaeléctrica ó visciversa.
Modelo: Navier–Stokes, Poisson-Nernst-Planck
Eduardo Ramos (CIE-UNAM), Ciro F Flores (ITESM Pachuca), MiguelGozález (UAM-I)
ρ
(∂u∂t
+ u ·∇u)− µ∇2u + ∇p = f, (f = −ρq ∇φ)︸ ︷︷ ︸,
∇ · u = 0, Fuerza eléctrica
−εs ∇2φ = ρq (ρq = F (z+C+ − z−C−)),
Carga eléctrica total
∂C+
∂t+ u ·∇C+ = ∇ · (D+∇C+ + w+ z+ F C+∇φ),
∂C−∂t
+ u ·∇C− = ∇ · (D−∇C− + w− z− F C−∇φ).
advección Diffusion Electromigration
El modelo es fácilmente generalizable a cualquier número deespecies iónicas, lo cual ocurre en la mayoría de las aplicaciones.
Operator splitting:
1. Calcular φ (ec. Poisson) con las concentrciones C±.
2. Calcular u, p (ecs. N–S) con la fuerza eléctrica f.
3. Calcular las concentraciones C± (ecs. N–P) con φ, u
Aplicación: capas límite en celdas de combustible.
Electro–cinética (flujo estacionario): u = 0 =⇒ p = −ρq φ.
Condiciones de frontera en electrodos:
(∇C± + w± z± C±∇φ) · n = 0
φ+ λS∇φ · n =
+v en el ánodo−v en el cátodo
Condiciones iniciales
C±(x, 0) = c0±(x),
φ(x , y , 0) = vyo
Flujo con superficie libreRoland Glowinski, Giovanna Guidoboni, Suny Canic (University of Houston)
Ecuaciones sobre Ω(t), 0 < t ≤ T
ρ
[∂u∂t
+ (u · ∇u)
]= ρg + ∇ · σ
∇·u = 0.
Ecuaciones sobre frontera libre γ(t):
σn = s H(η) n∂η
∂tn2 = u · n
Ω (t)
L x 1
x 2
H
0
γ (t)
I H(η) = radio de curvatura de f. l.:
H(η) =∂2η
∂x21
/(1 +
∣∣∣∣ ∂η∂x1
∣∣∣∣2)3/2
I η(x1, t), función de fronteralibre.
I s, tensión superficial,
I n = normal unitaria a lafrontera libre.
Formulación variacionalDado el estado inicial Ω(0) = Ω0, u(0) = u0. Suponiendo que en eltiempo t conocemos la región de fluido Ω(t), se calcula u(t), p(t) yη(t) tales queρ
∫Ω(t)
[∂u∂t
+ (u ·∇u)
]· v dx + 2µ
∫Ω(t)
D(u) : D(v) dx−∫
Ω(t)p∇·v dx
= ρ
∫Ω(t)
g · v dx + s∫γ(t)H(η(t)) n · v dγ(t), ∀ v ∈ H1
p (Ω(t)))2,∫Ω(t)
q∇·u dx = 0, ∀q ∈ L2(Ω(t)),
∂η
∂t+ u1
∂η
∂x1= u2, sobre γ(t), with η(0, t) = η(L, t),
Operator–Splitting: este problema tiene cuatro dificultades:
1. La condición de incompresibilidad y la presión.
2. El término de convección.
3. El término de difusión.
4. La relocalización de la frontera libre.
Elemento finito isoparamétrico P1 − iso − P2
Al tiempo tn el dominio Ωn es no poligonal, debido a la frontera librecurvada:
a
a
a
K
K
K
a
a
a
K
3
3
2
2
12
1 4
13
1
23
Triángulo rectilineo
a
a
a
a
a
aK
K
KK1T 4T
2T
3T
1T
2T
23T
3T
13T
12T
Triángulo curvado
Ejemplo
t=0.19
t=0.15
t=0.01 t=0.03 t=0.05
t=0.07 t=0.11
t=0.26 t=0.31Flujo perturbado en un plano horizontal periódico.
Interacción fluido – cuerpos rígidosRoland Glowinski, T. W. Pan (UH), J. Périaux, T Hesla, D Joseph, ...
Sobre la región con fluido: Navier-Stokes
ρf
[∂u∂t
+ (u ·∇)u]
= ρf g + ∇ · σ
∇ · u = 0.
Sobre los cuerpos rígidos: Newton-Euler
d(Mj Vj )
dt= Mj g + Fj
(Fj = −
∫∂Bj
σ n
)d(Ij ωj )
dt= Tj
(Tj = −
∫∂Bj
−→Gjx× σ n
)
n
B1
B4B3
B2
B(t) = ∪Jj=1Bj (t), Ωf (t) = Ω \ B(t)
Para cada cuerpo rigido j = 1, · · · , J:
Mj y Ij : masa y tensor de inerciaVj y ωj : velocidad de traslación y rotaciónFj y Tj : fuerza hidrodinámica y torque
Gj : centro de masa
Las anteriores ecuaciones se complementan con
I Condición cinemática:
dGj
dt= Vj , j = 1, . . . , J
I Condiciones iniciales:
Gj (0) = G0j , Vj (0) = V0j , ωj (0) = ω0j , j = 1, . . . , J
u(x,0) = u0(x)
I Condiciones de frontera:
u(x, t) = 0 sobre ∂Ω
u(x, t) = Vj (t) + ωj (t)×−−−−→Gj (t)x, ∀ x ∈ ∂Bj (t), j = 1, ..., J
Formulación VariacionalCondiciones iniciales: u(x,0) = u0(x), Ω(0) = Ω0
Gj (0) = G0j , Vj (0) = V0j , ωj (0) = ω0j , ∀ j = 1, ..., J.
Para t > 0, calcular u(t), p(t) ∈ (H1(Ωf (t)))d × L2(Ωf (t)) yGj (t), Vj (t), ωj (t)J
j=1 ⊂ Rd × Rd × R3, tales que ∀ v, Y, θ ∈Rd × Rd × R3, se satisfaceρf
∫Ωf (t)
[∂u∂t
+ (u ·∇)u]· vdx + 2µ
∫Ωf (t)
D(u) : D(v)dx−∫
Ωf (t)p∇ · vdx
+J∑
j=1
[Mj Vj · Yj + (Ijωj )t · θj
]= ρf
∫Ωf (t)
g · vdx +J∑
j=1
Mjg · Yj∫Ωf (t)
q∇ · u(t)dx = 0, ∀ q ∈ L2(Ωf (t)),
dGj
dt= Vj , ∀ j = 1, ..., J.
Condiciones de frontera: u(t) = g0(t) sobre Γ,
u(x, t) = Vj (t) + ωj (t)×−−−−→Gj (t)x, ∀ x ∈ ∂Bj (t), ∀ j = 1, ..., J.
Dominios Ficticios y Multiplicadores de Lagrange
Para t > 0, encontrar u(t), p(t), con u(t) = g0(t) sobre Γ,Gj (t), Vj (t), ωj (t)J
j=1 y λj (t) ∈ Λj (t), tales que ∀ v, Y, θ
ρf
∫Ω
[∂u∂t
+ (u ·∇)u]· vdx + 2µ
∫Ω
D(u) : D(v)dx−∫
Ω
p∇ · vdx
+J∑
j=1
(1− ρf
ρj)[Mj Vj · Yj + (Ij ωj )t · θj
]−
J∑j=1
〈λj , v− Yj − θj ×−−→Gjx〉j = ρf
∫Ω
g · vdx +J∑
j=1
(1− ρf
ρj)Mjg · Yj∫
Ω
q∇ · udx = 0, ∀ q ∈ L2(Ω),
dGj
dt= Vj , ∀j = 1, ..., J,
〈υj , u(t)− Vj (t)− ωj (t)×−−−−→Gj (t)x〉j = 0, ∀ υj ∈ Λj (t), j = 1, ..., J.
Operator splitting: las componentes de este problema consisten de:
I La condición de incompresibilidad y la presión, convección ydifusión.
I El movimiento de cuerpo rígido y el multiplicador relacionadoλj (t).
I Los términos de colisión, cuando esten presentes.
T = 0 T = 0.3T = 0.2T = 0.15
t = 1
t = 0.35
t = 0.5 t = 0.7
t = 0.25t = 0.2t = 0 t = 0.3
t = 0.4 t = 0.6
Proyecto: aplicación a energía eólicaEduardo Ramos (CIE-UNAM), María Luisa Sandoval (UAM-I), Pedro González Casanova (IM-UNAM)
La energía eólica puede considerarse como una fuente nueva ylimpia, actualmente en evolución y que complementa otros tipos deproducción de energía
Para poder utilizar la energía del viento, es necesario que estealcance una velocidad mínima, que depende del aerogenerador quese vaya a utilizar pero que suele empezar entre los 3 a 4 m/s (10 a14,4 km/h), y que no supere los 25 m/s (90 km/h).
En esta industria emergente es importante tener mecanismos paraestimar el campo de viento, y poder aprovecharlo en forma óptimacon diseños convenientes de los aerogeneradores.
Recuperación de campos de viento (→ agua)Pedro González-Casanova (IM-UNAM), María Luisa Sandoval (UAM-I),Jorge López (UJAT), Daniel Cervantes, Rafael Reséndiz, Daniel Jácome.
Datos: velocidad inicial horizontal uI en ΩProblema: encontrar el campo real u, más cercano a uI, tal que
Restricción física: ∇ · u = 0 en Ω,
Condiciones de frontera: u · n = 0 sobre ΓN (flujo inviscido)
Mínimos cuadrados
Encontrar el campo ajustado u = uI + w, más cercano a uI, tal que
∇ · u = 0 en Ω,
u · n = 0 sobre ΓN .
V = v ∈ H(Ω; div) : ∇·v = 0, v · n = 0 sobre ΓNProblema de mínimos cuadrados: minimizar el funcional
J(v) =12‖v− uI‖2
S ≡12
∫Ω
S(v− uI) · (v− uI) dx, ∀v ∈ V,
Modelo de proyección
Problema de punto–silla
S u−∇λ = SuI enΩ,
∇ · u = 0 en Ω,
λ = 0 sobre ΓT ,
u · n = uI · n sobre ΓV ,
u · n = 0 sobre ΓN .
Problema de Poisson correspondiente para λ con nuevascondiciones de frontera:
−∇ ·(S−1∇λ
)= ∇ · uI en Ω,
λ = 0 sobre ΓT ,
−S−1∇λ · n = 0 sobre ΓV ,
−S−1∇λ · n = uI · n sobre ΓN .
Método de colocación con funciones de base radial
λ(x) ≈n∑
j=1
ωj φ(‖x− xj‖).
Lλ = −∇·(S−1∇λ) en Ω
B λ = g sobre ∂Ω
[LφB φ
][ω] =
[∇ · uI
g
]
u(x) ≈ uI(x) +n∑
j=1
ωj S−1∇φ(‖x− xj‖).
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Colocación de Nodos1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Campo inicial horizontal
11.2
1.41.6
1.82
0
0.2
0.40.6
0.810
1
2
3
4
5
6
x 10−7
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10
−7
1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
er ≈ 10−10
er = 7.11× 10−4, mdiv = 2.71× 10−6
Extensión a 3–D
MEF (lineal) Total de
nodos: 9,261 Nodos
interiores: 6,859er = 9.5× 10−4
mdiv = 2.4× 10−21
1.5
2
1
1.5
2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
FBR (muticuádricas)Total de nodos: 216
Nodos interiores: 64
er = 1.98× 10−4
mdiv = −5.58×10−6
u = (x , y ,−2z)
La forma de los aerogeneradores
t = 12t = 6
t = 20 t = 26
t = 58 t = 62
50 100 150 2000
0.5
1
1.5
2
t
50 100 150 200−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
t
