1-3

Soluciones de las actividades

Página 3

1. El menor de los conjuntos al que pertenecen estos nú-meros son:

a) Entero b) Entero c) Racional d) Natural

e) Racional

2. Cualquier fracción irreducible puede expresarse como un número decimal calculando el cociente entre el numerador y el denominador, por ejemplo 2 / 3 = 0,6.

En cambio, no todos los números decimales pueden expresarse como fracciones. De hecho, por definición, los números irracionales no pueden expresarse como fracciones. Por ejemplo el número .

3. Las siguientes afirmaciones son:

a) Verdadera, Si sumamos un núm. racional no exac-to, p / q, con un núm. entero m / 1:

q

mqp

1

m

q

p

Para comprobar si puede ser un núm. entero lo igualamos a n / 1:

1

n

q

qmp p + q · m = q · n p = q · (n � m)

mnq

p

Lo cuál no es posible, ya que la resta de dos núme-ros reales (n � m) no puede ser un número racional no exacto, sino que será un número entero.

b) Verdadera, dado que si son número racionales se pueden expresar en forma de fracción, es decir: a = = p / q y b = m / n con p, q, m y n números enteros, tales que q y n 0.

Entonces: nq

mp

n

m

q

pba

Por lo tanto el producto de a · b es un número racional, dado que se puede expresar como cociente de números enteros y q · n 0 dado que los dos números son distintos de cero.

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4. Actividad personal, a modo de ejemplo:

1,234567...

1,02003000400005...

2,02002000200002...

1,35791113...

2,468101214...

5. Las respuestas y razonamientos son:

a) No, pues un decimal puede tener un número limitado de cifras o ser periódico. Por ejemplo, 1,2

tiene un número limitado de cifras y 3, 3 es periódico y, por lo tanto, son números decimales no irracionales.

b) Sí, cualquier número irracional es un número deci-mal no periódico con un número ilimitado de ci-fras.

6. Construimos una tabla:

Por exceso Por defecto Décimas 3,2 3,1 Centésimas 3,15 3,14 Milésimas 3,142 3,141

7. El producto de un número irracional por un entero no puede ser un número racional, será siempre irracional. Porque seguirá teniendo infinitas cifras decimales.

8. Las sucesiones de los números decimales son:

a) Por exceso: 2 > 1,5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 > ...

Por defecto: 1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 < ...

b) Por exceso: 3 > 2,8 > 2,72 > 2,719 > 2,7183 > ...

Por defecto: 2 < 2,7 < 2,71 < 2,718 < 2,7182 < ...

c) Por exceso: 2 > 1,7 > 1,62 > 1,619 > 1,6181 > ...

Por defecto: 1 < 1,6 < 1,61 < 1,618 < 1,6180 < ...

9. Las siguientes afirmaciones son:

a) Falso. El producto de dos número racionales no puede ser un número irracional, puesto que puede expresarse en forma de fracción: a y b son números racionales que expresamos como a = p / q y m / n, siendo todos ellos números enteros y q y n diferentes de cero. Por tanto:

f

e

nq

mp

n

m

q

pba ¸ siendo e / f racional.

b) Verdadero. Por ejemplo 2,2 que es un número racional, ya que podemos expresarlo como 11 / 5, y su raíz cuadrada es un número irracional:

...483239697,12,2

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10. El menor de los conjuntos al que pertenecen son:

a) Racional b) Entero c) Racional d) Racional

e) Irracional

11. Los resultados son:

a) -5433, Entero.

1-4

b) 343493 , natural.

c) 54121 5 10 , natural.

d) 21 , irracional.

12. Respuesta personal. A modo de ejemplo:

a) Cualquier número negativo m que pueda expresar-se como m / 1. Por ejemplo -2.

b) Una fracción irreducible con denominador diferen-te de 1 y 0. Por ejemplo 1 / 3.

c) Debe tener un número ilimitado de cifras decima-les y no ser periódico.

d) Es un número irracional. Que no puede expresarse como fracción. Por ejemplo el número e.

e) Cualquier decimal periódico o exacto, que se puedan expresar como fracciones. Por ejemplo 0,6 = 3 / 5.

f) El 0 (el único ejemplo posible).

Página 6

Piensa y contesta:

Partiendo de que la diagonal del pentágono regular y su lado están en proporción áurea, el primer paso será:

Siendo 2

5a . Dibujamos un segmento que tenga la

longitud de la diagonal de un pentágono regular:

Fácilmente podemos terminar el pentágono regular:

13. La representación es la siguiente:

0 1-1

-0,5 0, 3 7/8 1, 4 1,6

14. La representación de los números irracionales es:

a) Por exceso: 2 > 1,5 > 1,42 > 1,415 > 1,4143 > ...

Por defecto: 1 < 1,4 < 1,41 < 1,414 < 1,4142 < ...

b) Por exceso: 3 > 2,8 > 2,72 > 2,719 > 2,7183 > ...

Por defecto: 2 < 2,7 < 2,71 < 2,718 < 2,7182 < ...

c) Por exceso: 2 > 1,7 > 1,62 > 1,619 > 1,6181 > ...

Por defecto: 1 < 1,6 < 1,61 < 1,618 < 1,6180 < ...

2 e

0 1 2 3

15. Una aproximación a las centésimas es: 4,41, a las milésimas: 4,414.

16. En el Libro de Texto hemos representado 2 y 3 .

Con ellos tendremos suficiente para representar los números dados:

a) 22 125

b) 22237

a 1

1/2

52

512 2

1/2

1 52

1-5

c) 2

211 2 3

5 7 11

2 3

17. Las representaciones mediante el teorema de Pitá-goras son:

a) 29

b) 34

c) Dibujamos 53 y le sumamos 3.

d) Dibujamos 61 y a 7 le restamos 61 .

18. La representación en la recta real de los puntos es:

0 1 2 3 4a b c

19. La representación de algunas raíces cuadradas me-diante el caracol de Pitágoras es:

Página 7

20. El redondeo hasta las centésimas de las cifras son:

a) 1,00; b) 2,74; c) 4,01; d) 77,82.

21. El error absoluto sí que tiene unidades, puesto que es una resta, mientras que el error relativo es adimen-sional, al ser el cociente de una división de dos cifras con las mismas unidades, y el resultado se da en tanto por uno o tanto por ciento si lo multiplicamos por 100.

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22. La medida real estará situada entre los 140 mm y los 146 mm.

23. Si por experiencia sabemos que una plaza de esta-cionamiento suele ser de unos 4,5 m, la longitud esti-mada aproximada de la calle será:

15 · 4,5 m = 67,5 m

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24. No podemos asegurar que x2 > y2 pues al ser todos los cuadrados positivos, el orden depende de los valores absolutos de x e y. Por ejemplo:

4 > 5 pero 42 = 16 < 25 = ( 5)2

La función f(x) = x3 sí que es creciente y, por lo tanto, si x > y x3 > y3.

25. Los resultados son:

a) 7 b) 27 c) 9 d) 7 e) -1

f) 1

26. Partiendo de d (x, z) d (x, y) + d (y , z) una conse-cuencia es:

d (x, z) � d (y, z) d (x, y)

Puesto que d (x, z) d (x, y) + d (y , z) implica que:

d (x, z) � d (y, z) d (x, y)

Intercambiando el papel de x por el de y:

d (y, z) � d (x, z) d (y, x)

Con lo cual:

-d (y, x) d (x, z) � d (y,z) d (y, x) - y � x x � z � y � z y - x

1-6

Válido para cualesquiera números reales x, y, z.

27. Los resultados son:

a) Para x = 2:

2 � 5 + 22 + 6 = -3 + 10 = 13

Para x = -5

(-5) � 5 + (-5)2 + 6 = -10 + 31 = 41

Para x = 1 / 2

1 / 2 � 5 + (1 / 2)2 + 6 = -9 / 2 + 25 / / 4 = 43 / 4

b) Para x = 2:

1 � 22 + 2 � 22 = -3 + -2 = 5

Para x = -5

1 � (-5)2 + -5 � (-5)2 = -24 + -30 = = 54

Para x = 1 / 2

1 � (1 / 2)2 + 1 / 2 � (1 / 2)2 = 3 / 4 + 1 / / 4 = 1

c) Para x = 2:

3 · 2 � 7 + -9 � 2 · 2 = -1 + -13 = 12

Para x = -5

3 · (-5) � 7 + -9 � 2 · (-5) = -22 + 1 = -21

Para x = 1 / 2

3 · (1 / 2) � 7 + -9 � 2 · (1 / 2) = -11 / 2 + -10 = = 9 / 2

d) Para x = 2:

2 � 2 � 22 � 23 = 0 � -4 = -4

Para x = -5

2 � (-5) � (-5)2 � (-5)3 = 7 � 150 = -143

Para x = 1 / 2

2 � 1 / 2 � (1 / 2)2 � (1 / 2)3 = 3 / 2 � 1 / 8 = = 11 / 8

28. Las siguientes igualdades son:

a) x + y x + y

Siendo x, y números reales se han de cumplir las desigualdades:

- x x x - y y y

Sumamos ambas desigualdades:

-( x + y ) x + y x + y )

Por tanto la desigualdad es cierta.

b) -5y = (-5) · y

Según las propiedades del valor absoluto se ha de cumplir:

-5y = -5 · y = 5 · y

Por tanto la desigualdad es falsa.

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29. Las siguientes igualdades son:

a) (3, 7)

3 7

b) [-2, 5]

-2 5

c) (-4, 8]

-4 8

d) (- , 5)

5

e) [1, + )

1

f) (- , + )

g) {x | x 3}

3

h) {x | -2 < x}

-2

i) {x | -1 x 1}

-1 1

30. Las expresiones son:

a) Verdadera, puesto que 4 < 5 < 7

b) Falsa, puesto que -1 < 0 < 5

c) Falsa, puesto que 1 no esta comprendido dentro del segundo intervalo.

d) Verdadera, puesto que -1 < 0 < + ; y + esta dentro del intervalo.

e) Falso, puesto que en el primer intervalo se incluye al 0 y en el segundo es hasta 0 sin incluirlo.

f) Falso, puesto que 3 < 3,00001 < 8.

Página 11

31. Las representaciones de los intervalos en la recta real son:

a) (-3, 2) (5, + )

-3 2 5

-

1-7

b) (- , -1) (-1, + )

c) (- , 0) (-5, 6]

6

d) [-3, 8] (-4, 1)

-3 1

e) (- , 3] (-4, + )

-4 3

f) (-2, 1) (1, + ) Conjunto vacío, .

32. Para a = 3 y r = 0,3 el intervalo es:

(a � r, a + r) (2,7, 3,3)

La representación del entorno en la recta real es:

2,7 3,33

33. El centro y el radio del intervalo (-3,99, 4,01) son:

Se tiene que cumplir:

a � r = -3,99 a + r = 4,01

De a � r = -3,99 r = 3,99 + a

Lo introducimos en a + r = 4,01:

a + 3,99 + a = 4,01

Por tanto el centro es:

a = (4,01 � 3,99) / 2 = 0,01

Y el radio es:

r = 3,99 + 0,01 = 4

Página 14

P1. Reales ( ), racionales ( ), enteros ( ) y naturales ( ).

Un número puede pertenecer a más de un conjunto, así un número natural es también entero, racional y real.

P2. Utilizando el teorema de Pitágoras 13 es:

P3. Redondeamos un número hasta un determinado orden de aproximación, suprimimos las cifras a partir de ese orden, procediendo del siguiente modo con el ejemplo 1,247:

- Si la primera cifra que suprimimos es menor que 5, dejamos igual la última cifra anterior. Si redon-deamos el ejemplo hasta las décimas:

1,2

- Si es mayor o igual a 5, aumentamos en una uni-dad la última cifra anterior. Si redondeamos el ejemplo hasta las centésimas:

Al aproximar un número real se cometen errores:

- El error absoluto es el valor absoluto de la dife-rencia entre el número real y la aproximación. Por ejemplo al aproximar 1,247 por 1,2:

Ea = 1,247 � 1,2 = 0,047

- El error relativo es el cociente entre el error absoluto y el número real. Para el ejemplo ante-rior:

Er = 0,047 / 1,247 0,03 3 %

P4. Las cifras significativas de una medida son las que se conocen con certeza más una última sujeta al error. Por ejemplo si medimos una pieza con un instrumento que mide hasta la décima de centímetro y la lectura dada es 15,5. Las cifras conocidas con certeza serán 15, la cifra sujeta a error de medida ,5 y las tres cifras significativas 15,5.

P5. El valor absoluto de un número real x, x , se define como su valor numérico sin tener en cuenta su signo, es decir:

- x x x o como

0xsix

0xsi0

0xsix

x

La distancia entre dos puntos x e y de la recta real se definen como:

d (x, y) = x � y

P6. Respuesta personal. A modo de ejemplo:

a) Intervalo abierto: (3, 8)

b) Intervalo cerrado: [3, 8]

c) Intervalo semiabierto por la izquierda: (3, 8]

d) Intervalo semiabierto por la derecha: [3, 8)

e) Semirrecta cerrada por la izquierda: [3, + )

f) Semirrecta abierta por la derecha: (- , 8)

34. El menor conjunto al que pertenecen los siguientes números son:

a) d) g) j)

b) e) h) k)

c) f) i) l)

35. No podemos escribir ningún número entero que no sea racional, puesto que todos los números enteros son racionales. Y tampoco podemos escribir ningún nú-mero racional que no sea real, porque todos los núme-ro racionales son reales.

3

4 13

13 0

-

1-8

36. Los dos términos siguientes de cada sucesión son:

a) 1,29999; 1,299999.

b) -0,19999; -0,199999.

c) 3 + 0,5 + 0,05 + 0,005 + 0,0005; 3 + 0,5 + 0,05 + + 0,005 + 0,0005 + 0,00005.

37. Los números expresados en forma de fracción son:

2,3 23 / 10

2,135555� (2135 � 213) / 900 = 961 / 450

0,0023 23 / 10000

2,100 21 / 10

16,777777� (167 � 16) / 9 = 151 / 9

38. La sucesión para aproximar el número por defecto (a izquierda de la igualdad) y por exceso (a la dere-cha) son:

3 4

3,1 3,2

3,14 3,15

3,141 3,142

3,1415 3,1416

39. La representación de los números en la recta real es:

40. Utilizando el teorema de Pitágoras representamos en la recta real:

a) 22 123

b) 22 112

c) 22 13

d) 22 14

e) 22 15

41. La suma de dos números racionales puede ser un nú-mero entero, por ejemplo: 1,5 + 2,5 = 4.

El producto de dos números racionales puede ser un número entero, por ejemplo: 2,5 · 1,6 = 4

42. La suma de un número racional y otro irracional será un número irracional, por ejemplo: 1,5 + = 4,6415� La resta de un número racional y otro irracional será un número irracional: 1,5 � = -1,6415�

43. Respuesta personal. A modo de ejemplo:

Los tres números irracionales famosos: = 3,1415�; = 1,6180�; e = 2,7182�

Y los otros dos que faltan pueden ser el resultado de alguna operación con estos número: 3 · = 9,4247�; e � 1 = 1,7182�

44. Las siguientes afirmaciones son:

a) Verdadera. Puesto que los número racionales están incluidos en los reales.

b) Verdadera. Cualquier número que este entre dos número racionales será real, sea irracional, racio-nal, entero o natural.

c) Verdadera. Puesto que entre los números enteros hay números racionales y entre números racionales hay infinitos números racionales.

d) Falsa. Por ejemplo entre -1,5 y 1,5 solo hay tres números enteros: -1, 0 y 1.

e) Falsa. Los números irracionales son reales y no pueden expresarse en forma de fracción.

f) Falsa. Por ejemplo 2 es un número positivo par y su raíz cuadrada es un número irracional.

45. Las demostraciones y contraejemplos son:

a) Falsa. Un contraejemplo sería 1,5 · = 4,7123�

b) Verdadera. Por ejemplo 1,5 + = 4,6415�

c) Falsa. Un contra ejemplo sería: / e = 1,1557�

46. Los valores son:

A = 211 22

B = 312 22

C = 2413 22

D = 512 22

-1,3 0 5/4 2 7

2,7

5

0 5 3 5

2 1

2 2 2 0 1

1

10 0 3

1

17 0 4

1

26 0 5

1

1-9

47. Los redondeos y errores absolutos y relativos son:

a) 67,4781

Hasta las décimas: 67,5

Ea = 67,4781 � 67,5 = 0,0219

Er = 0,0219 / 67,4781 0,0003

Hasta las centésimas: 67,48

Ea = 67,4781 � 67,48 = 0,0019

Er = 0,0019 / 67,4781 0,00003

Hasta las milésimas: 67,478

Ea = 67,4781 � 67,478 = 0,0001

Er = 0,0001 / 67,4781 0,000001

b) 16,8734

Hasta las décimas: 16,9 Ea = 16,8734 � 16,9 = 0,0266

Er = 0,0266 / 16,8734 0,002

Hasta las centésimas: 16,87

Ea = 16,8734 � 16,87 = 0,0034

Er = 0,0034 / 16,8734 0,0002

Hasta las milésimas: 16,873

Ea = 16,8734 � 16,873 = 0,0004

Er = 0,0004 / 16,8734 0,00002

c) 84,5065

Hasta las décimas: 84,5

Ea = 84,5065 � 84,5 = 0,0065

Er = 0,0065 / 84,5065 0,00008

Hasta las centésimas: 84,51

Ea = 84,5065 � 84,51 = 0,0035

Er = 0,0035 / 84,5065 0,00004

Hasta las milésimas: 84,507

Ea = 84,5065 � 84,507 = 0,0005

Er = 0,0005 / 84,5065 0,000006

Página 15

48. Calculando el error absoluto y el relativo como en el ejercicio anterior, la parte que falta de completar de la tabla es. Es importante recordar que el valor del error relativo es aproximado y todos los datos del error relativo están dados en tanto por uno:

número aprox. Ea Er

2/5 0,39 0,01 0,025

3/11 0,27 0,002727� 0,01

2,7777... 2,27 0,5077� 0,183

2,751111... 2,751 0,00011� 0,00004

2,32721694... 2,3272 0,00001694� 0,000007

1,1111... 1,12 0,0089� 0,008

0,00001... 0,0001 0,00009 9

49. Si ...709975947,153 :

La aproximación hasta las centésimas: 1,71.

Para calcular el Er necesitamos calcular el Ea:

Ea = 1,709975947 � 1,71 = 0,000024053

Er = 0,000024053 / 1,709975947 0,00001

50. Si redondeamos hasta el numerador, aprox. = 12:

Ea = 12,33287 � 12 = 0,33287

Er = 0,33287 / 12,33287 0,03 3 % > 1 %.

Redondeamos hasta las décimas, aprox. = 12,3

Ea = 12,33287 � 12,3 = 0,03287

Er = 0,03287 / 12,33287 0,003 0,3 % < 1 %

Por tanto la aproximación ha sido hasta las centésimas.

51. Porque podemos asegurar que es menor que el valor absoluto de la diferencia entre las aproximaciones por exceso y por defecto. Debido a esto el error absoluto cometido es menor que la unidad del orden de aprox-imación.

52. Depende del valor de la medida. Si por ejemplo tenemos una medida de 13,5 km. Primero calculamos el valor absoluto como si redondeáramos por exceso:

Ea = 13,5 � 14 = 0,5

Si redondeáramos por defecto:

Ea = 13,5 � 13 = 0,5

Por tanto el error absoluto se acota entre:

Ea = 0,5

Pero si la medida fuera de 13,4:

Por defecto: Ea = 13,4 � 13 = 0,4

Por exceso: Ea = 13,4 � 14 = 0,6

Y el error absoluto quedaría acotado entre:

0,4 Ea 0,6

53. Si la medida del lápiz es de 11,7 cm, la longitud real del lápiz se encuentra entre: 11,6 y 11,8 cm.

54. Si el instrumento mide hasta l0 mm y el valor de la medida es de 35,4 cm:

a) La longitud real esta comprendida entre 35,3 y 35,5 cm.

b) Se expresa con 3 cifras significativas.

55. El error absoluto por defecto será:

Ea = 5,3 � 4 = 1,3

El errror absoluto cometido al redondear por exceso:

Ea = 5,3 � 7 = 1,7

Por tanto el erro absoluto estara acotado entre:

1,3 Ea 1,7

El error relativo cometido al aproximarse por defecto:

Er = 1,3 / 5,3 0,25 25 %

1-10

El error relativo cometido al aproximarse por exceso:

Er = 1,7 / 5,3 0,32 32 %

Por tanto el error relativo estará acotado entre:

25 % Er 32 %

56. Primero calculamos el error absoluto:

Ea = Er · 2,131= (0,05 / 100) · 2,131= 0,00106� 0,001

Por tanto la distancia real se encuentra entre 2,230 y 2,232 km.

57. Al medir una casa supondremos que toman las medi-das en metros. El láser de Andrea mide hasta las déci-mas de milímetros, por ejemplo su medida seria de 2,1324 m (2132,4 mm). Por tanto Andrea cometerá un absoluto de 0,0001 m y un error relativo de 0,005 %. Mientras que el de Sandra mide hasta los centímetros, y su medida por ejemplo sería de 2,13 m (213 cm). Por tanto Sandra cometerá un error absoluto de 0,01 m y un error relativo del 0,5 %.

Comparando los errores relativos: 0,5 / 0,005 = 100.

Luego el láser de Andrea será 100 veces más preciso que el láser de Sandra.

58. Actividad personal. El número a parte de ser irracio-

nal tiene que ser mayor que 2 = 1,4142� y = = 3,1415� A modo de ejemplo:

( 2 + ) / 2= 2,2779�

59. El número e2 = 7,389� se encuentra entre los número

enteros 7 y 8, y 23 = -4,795� entre -4 y -5.

60. Los conjuntos ordenados de menor a mayor son:

a) -2,1988723 < 2,344444 < 3,14159 < < 3,97

b) -1,8 < -0,018 < -0,0018 < 0,018 < 1 / 8 < / 3

61 Los resultados son:

a) 2 � 9 = -7 = 7

b) 36 = 36

c) (-2) · (-3) = 6 = 6

d) 1 � -4 = 1 � 4 = -3 = 3

e) - 2 � 3 � 9 = - -10 = -10

f) - 2 + -2 = - 2 + 2 = -4

62. Si x2 > y2 podemos afirmar que x > y si los dos son de signo positivo, por ejemplo x = 3, y = 2, se cumple 32

> 22. Pero no se cumple si x e y son de signo negativo, por ejemplo x = -2 e y = -3, cumple x > y, pero no cumple (-2)2 > (-3)2.

63. Si d (x, y) = x � y = 7 . Y también ha de cumplir que x = -y:

Despejamos de la definición de distancia:

x = 7 + y

Lo igualamos a la segunda condición x = -y:

-y = 7 + y y = -7 / 2 x = 7 / 2

Por tanto es válido para:

x = 7 / 2, y = -7 / 2 y x = -7 / 2, y = 7 / 2

64. El intervalo en el que trabajamos es:

(0,01 � 0,25, 0,01 + 0,25) = (-0,24, 0,26)

Por ejemplo, dos números racionales que disten lo mismo del centro (0,01) son: 0,03 y -0,01, con un radio de 0,02.

Dos número racionales que los cumplan son: 3e / 100 y �e / 100, con un radio de e / 50.

65. Los valores de x que verifican x < 4 son:

Cualquier valor comprendido en el intervalo (-4, 4).

Y los valores de x que cumplen x � 1 > 3 son:

Los comprendidos en [- , -2) (4, + )

66. Las desigualdades son:

a) Falsa. Puesto que -3x = 3x.

b) Falsa. Puesto que -5 (-x) = 5x = 5x.

c) Falsa. Puesto que si x = 0 la igualdad no se cum-ple: 4 < 4.

d) Falsa. Puesto que si x = 0 la igualdad no se cum-ple: 0 < 0.

67. Las expresiones en forma de conjunto y su representa-ción en la recta real son:

a) x 2 < x < 5

El intervalo abierto de extremos 2 y 5.

b) x 0 < x 4

El intervalo semiabierto por la izquierda de extre-mos 0 y 4.

c) x x < 4

La semirrecta abierta a la izquierda de 4.

d) x x -3

La semirrecta cerrada la izquierda de -3.

e) x -3 < x

La semirrecta abierta a la derecha de -3.

f) x x R

Toda la recta.

g) x 5 x

La semirrecta cerrada la derecha de 5.

h) x -5 x 2

El intervalo cerrado de extremos -5 y 2.

i) x -7 x < 3

El intervalo semiabierto por la derecha de extre-mos -7 y 3.

68. Actividad personal. A modo de ejemplo:

Para el intervalo (-2,34, -2,3404):

Número racional: -2, 3402

1-11

Número irracional: -1,351 3 = -2,3400006�

Para el intervalo (2, 4):

Número racional: 3,5

Número irracional: 5 = 2,23606�

Para el intervalo (0,001, 0,1):

Número racional: 0,03

Número irracional: / 100 = 0,0314�

69. La expresión mediante intervalos es:

a) [1, + ); semirrecta cerrada a la derecha de 1.

b) (3, 7); intervalo abierto de extremos 3 y 7.

c) (-5, + ); semirrecta abierta a la derecha de -5.

d) [-2, 10); intervalo semiabierto por la derecha de extremos -2 y 10.

e) (- , 3); semirrecta abierta a la izquierda de 3.

f) (-5, 5]; intervalo semiabierto por la izquierda de extremos -5 y 5.

70. Los intervalos son:

a) [-3, -1) [2, 4)

b) (-1, 1) (1, 2] [4, + )

c) (- , -7) (-7, -3) (-3, 1] [5, + )

71. Las representaciones son:

a)

-2 7 11 13

b)

-2 1 2-4

c)

1 2

d)

-2 1 73

Página 16

72. Las representaciones son:

a)

-2 3-3

b)

-7 -1 10 42

73. Los centros y radios de los entornos son:

a) a = -1, r = 3 b) a = 1, r = 4 c) a = -3,5, r =0,5

d) a = 1, r = 1

74. Los intervalos son:

a) (2, 5) (5, 7)

b) (- , 3) [5, 7) (7, + )

c) (-1, 1)

75. El intervalo (-3, 11) expresado en forma de entorno es:

El centro sería: a = (11 + (� 3)) / 2 = 4

El radio: r = 11 � 4 = 7

Y por tanto expresaríamos el entorno como:

E7 (4)

76. El entorno de a = 2 y r = 0,5, expresado en forma de intervalo es:

(2 � 0,5, 2 + 0,5) = (1,5, 2,5)

Y su representación en la recta real:

1,5 2,52

77. Los entornos en forma de intervalos son:

a) (5 � 3, 5 + 3) = (2, 8)

2 85

b) (-2 � 4, -2 + 4) = (-6, 2)

-6 2-2

c) (-1,6 � 0,5, -1,6 + 0,5) = (-2,1, -1,1)

-2,1 -1,1-1,6

-2,1 -1,6 -1,1

d) (0,1 � 0,1, 0,1 + 0,1) = (0, 0,2)

0 0,20,1

78. Para el intervalo (-2,36, -1,45) el centro y el radio del entorno correspondiente son:

a = (-1,45 + (-2,36)) / 2 = -1,905

r = -1,45 � (-1,905) = 0,455

79. Teniendo en cuenta la definición de valor absoluto:

a) -5 x + 3 5

-8 x 2 [-8, 2]

b) -4 < 3 � x < 4

-7 < � x < 1

7 > x > -1 (-1, 7)

c) Hay dos posibilidades, o mejor dicho es una unión de intervalos.

7x �5 2

7x 7

x 1 [1, + )

7x � 5 - 2

1-12

7x 3

x 3 / 7 (- , 3 / 7]

El intervalo es: (- , 3 / 7] [1, + )

d) Unión de intervalos

3x � 1 > 3

x > 4 / 3 (4 / 3, + )

3x � 1 < -3

x < -2 / 3 (- , -2 / 3)

(- , -2 / 3) (4 / 3, + )

e) -9 7x � 5 9

-4 / 7 x 2 [-4 / 7, 2] f) -8 < 4x < 8

-2 < x < 2 [-2, 2]

80. Los entornos que corresponden son:

a) a = (7 + 3) / 2 = 5, r = 5 � 3= 2 E2 (5)

b) Interpretación: x � 0 < 2,5

a = 0, r = 2,5 E2,5 (0)

c) -2 < x + 7 < 2

-9 < x < -5

a = (-9 + (-5)) / 2 = -7, r = -7 � (-9) = 2

E2 (-7)

81. Actividad personal. A modo de ejemplo:

a) Cualquiera.

b) Todos los números tienen que poder expresarse como fracciones, sin que el denominador sea la unidad. Por ejemplo: (1, 2).

c) (- , 0]

d) (- , 0) (0, + )

82. Empezando por [-3, 2] de amplitud 5:

[-0,5, 2] de amplitud 2,5

[0,75, 2] de amplitud 1,25

[11 / 8, 2] de amplitud 5 / 8

[27 / 16] de amplitud 5 / 16

83. Dado (-4, 3):

a) Sería el entorno de a = 2 y r = 1 definido por el intervalo (1, 3).

b) r = 3,5

84. Los intervalos correspondientes son, teniendo en cu-enta que el intervalo correspondiente a A es (- , 1] son:

a) (- , 1] (0,2) [-1, 3) (- , 3)

b) (- , 1] (0,2) (0, 1]

c) (- , 1] [-1, 3) [-1, 1]

d) (- , 1] (0,2) [-1, 3) (0, 1]

85. Siendo los intervalos:

A = (- , 1] B = (-4, 3] D = (1,3, 2,7)

Las expresiones en forma de intervalos son:

a) (- , 1] (-4, 3] (0, 2) (- , 2) (2, 3]

b) (- , 1] (-4, 3] (-4, 1]

c) (- , 1] (0, 2) (0, 1]

d) (- , 1] (-4, 3] (0, 2) (0, 1]

e) (0, 2) (1,3, 2,7) (1,3, 2)

f) (0, 2) (1,3, 2,7) (0, 2) (2, 2,7)

86. Primero lo calculamos:

2413 22

Por tanto es cierta, puesto que se trata de un número natural que están incluidos dentro de los racionales.

87. Si la medida es de 102,4 m2 y el Ea = 0,6 m2 el intervalo en el que se encuentra la medida es (103,0, 101,8).

88. Las respuestas son:

a) (40.847.371 � 18.830.649) / 18.830.649 · 100 117 % respecto a la población de 1900.

b) Ea = 40.847.371 � 40.000.000 = 847371 habts.

Er = 847371 / 40.847.371 0,02 2 %

89. Primero calculamos lo que le queda a Juan:

3.700.000 / 5 = 740.000 euros

3.700.000 � 740.000 = 2.960.000 euros le quedan

Ea = 2.960.000 � 2.900.00 = 60.000 euros

Er = 60.000 / 2.960.000 0,02 2 %

90. Primero calculamos lo que se ha destinado a investi-gación:

0,25 / 100 · 34.550.000 = 86.375 euros

Ea = 86.375 � 86.000 = 375 euros

Er = 375 / 86.375 0,004 0,4 %

91. Primero calculamos el sueldo mensual de cada emple-ado, teniendo en cuenta que un 1 año tiene 12 meses:

25 / 100 · 643.517 / 12 / 7 = 1888,4 € / mes / empleado

Ea = 1888,4 � 1800 = 88,4 euros

Er = 88,4 / 1888,4 0,05 5 %

92. Tomando como medida real 29,7 / 7 cm:

Ea = Er · núm. real = 0,0001 · 29,7 / 7 0,0004 cm = = 0,004 mm.

Por tanto la precisión ha de ser hasta las centésimas de milimetro.

93. Primero calculamos el área del rectángulo:

Arectángulo = 24 · 40 = 960 cm2

Y el área de los cuadrados será el resultado de dividir el área del rectángulo entre el núm. de cuadrados.

1-13

Acuadrados = 960 / 81 cm2 = 11,85185185

Entonces calcularemos el error absoluto si Er = 1 · 10-5

Ea = 0,0001 cm2

Por tanto la precisión con que se tomó el valor del área de los cuadrados fue hasta las diezmilésimas de cm2. Por tanto se tomó como valor del área de un cuadrado 11,8518 cm2 = 1185,18 mm2

Por lo que el lado de los cuadrados mide:

L = mm43,3418,1185área

Página 17

94. Suponemos que 7 es un número racional. Luego podemos escribir:

b

a7 , siendo

b

a la fracción irreducible.

Si elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad resulta:

2

2

b

a7 a2 = 7b2

Luego a2 es múltiplo de 7 , ya que tiene el factor 7. Por lo tanto, a es divisible entre 7.

Pero a2 es cuadrado perfecto, luego si a tiene 7 como factor, a2 lo debe tener 2 veces. Por tanto b2 debe tener también factor 7.

Luego b2 es múltiplo de 7, y como consecuencia, b es múltiplo de 7.

Por tanto si a y b son múltiplos de 7, la fracción a / bno es irreducible, contradiciendo la hipótesis inicial.

Por consiguiente 7 no es racional.

95. Los resultados hasta las milésimas y los errores relati-vos cometidos son:

a) 3,2305 + 3,1415 � 0,0002 = 6,3718 6,372

Ea = 6,3718 � 6,372 = 0,0002

Er = 0,0002 / 6,3718 0,00003

b) 1,9129 + 1,7099 � 2,2361 � 2,6458 = -1,2591 -1,259

Ea = -1,2591 � (-1,259) = 0,0001

Er = 0,0001 / -1,2591 0,00008

c) 2 + 1,4142 � 2,2361 = 1,1781 1,178

Ea = 1,1781 � 1,178 = 0,0001

Er = 0,0001 / 1,1781 0,00008

d) 3,1415 · 2,2361 = 7,0247 7,025

Ea = 7,0247 � 7,025 = 0,0003

Er = 0,0003 / 7,0247 0,00004

96. Es falsa. Puesto que por ejemplo para a = -7 y b = -2, no se cumple la condición de a > 0 y b > 0, pero sí que se cumple con las igualdades:

a · b = -7 · (-2) = 14 > 0

a � b = -7 � (-2) = -5 < 0

Por lo tanto que a y b sean positivos no es una condi-ción.

97. Si a y b son número reales y a > 0 y b < 0:

a) Verdadero, puesto que independientemente del signo de a y b, el resultado será un número natural.

b) Falso. Por ejemplo no se cumple para a = 5 y b = -1, que cumplen la primera condición (a > 0 y b <0):

(-5 � 2 · (-1))2 = 9 > 0

c) Verdadero, puesto que sean cuales sean los valores de a y b, si cumplen la primera condición, cumpli-rán con la igualdad, puesto que el signo siempre será negativo.

d) Verdadero, puesto que si se cumple la primera condición, la fracción 1 / a siempre será positiva, y la fracción 1 / b negativa, y el resultado de multi-plicarlos siempre será negativo.

98. Siendo a y b número reales y a < b, a > 0 y b > 0:

a) Falsa, ya que por ejemplo, para a = 0,25 y b = 0,5, que cumplen las condiciones iniciales, no se cumple la igualdad:

1 / 0,25 = 4; 1 / 0,5 = 2 4 > 2

b) Falsa, por ejemplo, para a = 2 y b = 3 que cumplen con las condiciones iniciales, pero no cumplen con la igualdad:

1 / 2 > -1 / 3

c) Verdadera, puesto que si se cumplen las condicio-nes iniciales, la fracción -1 / b siempre será más grande (un número negativo más pequeño) que la fracción -1 / a.

99. Siendo a, b y c números reales que cumplen a > 0, b < 0 y c < 0:

a) Verdadera, puesto que si se cumplen las condicio-nes iniciales, la fracción a / b siempre resultará negativa, ya que el conciente entre un número positivo (a) y otro negativo (b) resultará negativo, mientras que �a / b siempre resultará positiva, porque el numerador (-a) siempre será negativo y el denominador (b) siempre será negativo, resul-tando el cociente de la división siempre positivo.

b) Falsa, por ejemplo para a = 4 y b = -2, que cumplen las condiciones iniciales, no se cumple la condición de la igualdad:

4 / -(-2) = 2; -4 / -2 = 2 2 = 2

c) Falsa, puesto que si se cumplen las condiciones iniciales, la fracción b / c siempre resultará positi-va, mientras que �b / c siempre resultará negativa, y por tanto la igualdad sería:

b / c > -b / c

1-14

100. Siendo a < 0, b > 0 y a < b :

a) Verdadera, puesto que al ser b positivo y a nega-tivo y tener un signo menos delante, pasa a tener signo positivo, y el resultado de la igualdad siempre será positivo. Y tampoco será cero pues-to que el valor absoluto de a es menor que el de b.

b) Verdadera, puesto que al ser a negativo y bpositivo, pero tener un signo menos delante, pasa a tener signo negativo, el resultado de la igual-dad siempre será positivo. Tampoco será igual a cero.

c) Verdadera, puesto que el valor absoluto de a es menor que el valor absoluto de b y nunca resulta-rá cero la igualdad.

d) Verdadera, puesto que al ser b positivo y anegativo y b > a, el valor resultante de b � a será mayor que a � b .

101. Algunos de los contraejemplos que demuestran la falsedad de estas desigualdades, siendo a y b núme-ros reales:

a) Por ejemplo no es válida para a = 3 y b = -3

3 � (-3) < 3 � -3

6 < 0 6 > 0

b) Por ejemplo no es válido para a = 2 y b = 1

2 � 1 > 2 � 1

1 > 1 1 = 1

102. Los intervalos son:

a) -4 < x + x + 2 < 4

-4 < 2x + 2 < 4

-3 < x < 1 (-3, 1)

-3 1

b) -2,1 < 0,25x � 0,6 + x < 2,1

-2,1 < 1,25x � 0,6 < 2,1

-1,5<1,25x<2,7

-1,2 < x < 2 (-1,2; 2,18)

-1,2 2,18

103. Los intervalos cuya unión es (1, 3) y la intersección (1,5, 1,55) son:

(1, 1,55) y (1,5, 3)

104. Siendo A B es un entorno de a = 2 y r = 0,7:

A B = (a � r, a + r) = (1,3, 2,7)

Puesto que el entorno A tiene su centro en 0,5, el radio será la diferencia el extremo mayor del inter-valo A B y el centro de A:

rA = 2,7 � 0,5 = 2,2

Y el entorno B con centro 5, y cuyo radio será la

diferencia entre el centro de B y el extremo menor del intervalo A B: rB = 5 � 1,3 = 3,7.

105. Los resultados de las intersecciones son:

a) Todos los números reales excepto los enteros:

R � { } b) cero.

c) El conjunto vacío.

Evaluación de estándares

1. Las siguientes afirmaciones son:

a) Falsa, puesto que por ejemplo para x = 1 e y = -2 se cumple la condición x > y, pero el valor abso-luto de y será mayor que el de x y no se cumplirála segunda afirmación.

b) Falsa, ya que si y es positiva y su valor absoluto es mayor que el valor absoluto de x, siendo xnegativa, la desigualdad x < -y es errónea, puesto que �y < x.

2. Las aproximaciones y los errores son:

a) Hasta las décimas: 0,1

Ea = 0,10302 � 0,1 = 0,00302

Er = 0,00302 / 0,10302 0,03

Hasta las centésimas: 0,10

Ea = 0,10302 � 0,10 = 0,00302

Er = 0,00302 / 0,10302 0,03

Hasta las milésimas: 0,103

Ea = 0,10302 � 0,103 = 0,00002

Er = 0,00002 / 0,10302 0,0002

b) Hasta las décimas: 23,5

Ea = 23,45112 � 23,5 0,049

Er = 0,049 / 23,45112 0,0021

Hasta las centésimas: 23,45

Ea = 23,45112 � 23,45 = 0,00112

Er = 0,00112 / 23,45112 0,000048

Hasta las milésimas: 23,451

Ea = 23,45112 � 23,451 = 0,00012

Er = 0,00012 / 23,45112 0,000005

c) Hasta las décimas: 5,0

Ea = 5,001 � 5,0 = 0,001

Er = 0,001 / 5,001 0,0002

Hasta las centésimas: 5,00

Ea = 5,001 � 5,00 = 0,001

Er = 0,001 / 5,001 0,0002

Hasta las milésimas: 5,001

No hay error puesto que la aproximación es exac-tamente igual al número real.

1-15

3. El peso real de Andrea se encontrará entre 57,3 y 57,5 kg.

4. Las mediciones con menor error relativo son:

a) Para la medida del ordenador de 4,5 kg su valor re-al se encuentra entre 4,4 y 4,6 kg, por tanto su Ea =

= 0,1 kg y su Er será menor de 0,0 2 .

El valor real de la medida del peso del ratón, de 124 g, se encuentra entre 123 y 125 g, así su Ea = 1 g y su Er será menor de 0,009

Por lo tanto se ha efectuado menor error relativo al medir el ratón.

b) El valor real de la medida de la anchura, 75 mm, se encuentra situado entre 74 y 76 mm, por tanto

su Ea = 1 mm y su Er será menor a 0,01 3 .

Y el valor real de la medida del grosor, 0,5 cm, se encuentra situada entre 0,4 y 0,6 cm, por tanto su Ea = 0,1 cm y su Er será menor a 0,25.

Por consiguiente se ha cometido menor error rela-tivo al medir la anchura del móvil.

5. Los cálculos son:

a) -6 � 7 = -13 = 13

b) 3 � -5 � 12 = 3 � -17 = 3 � 17 = -14

c) 3 � -3 � -13 + 1 = 3 � 3 � 13 + 1 = = -12 = 12

d) - -10 + 2 · (-3 � 9) = -10 + 2 · (-12) = 10 ++ (-24) = -14

6. Sus intervalos y representaciones son:

a) (-5, -3)

b) (5 � 10, 5 + 10) = (-5, 15)

-5 155

7. Los entornos en forma de intervalo y sus representa-

ciones en la recta real son:

a) (3 � 6, 3 + 6) = (-3, 9)

b) (0 � 0,4, 0 + 0,4) = (-0,4, 0,4)

c) (-7 � 3,2, -7 + 3,2) = (-10,2, -3,8)

8. Los intervalos correspondientes son:

a) [-5, -3) [1, 3)

b) (- , -1) (-1, 1) (2) (4, + )

9. Las expresiones en forma de intervalos y sus repre-sentación en la recta real son:

a) (-2, 6]

-2 6 b) (-2, + )

-2

10. Los intervalos correspondientes y sus representacio-nes en la recta real son:

a) -5 < 3 � 2x < 5

4 > x > -1 (-1, 4)

b) -1 3x � 9 1

8 / 3 x 10 / 3 [8 / 3, 10 / 3]

-1 4

- 5 -3 8/3 10/3

1-16

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www.tiching.com/741190 http://www.aulamatematica.com/BC1/01_Reales/Resueltos/Reales_BC1_Resueltos_03.pdf