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MUESTREO DE ACEPTACIÓN
• Se tiene un lote de productos y se
inspecciona éste con la finalidad de
aceptar o no dicho lote como bueno.
• Existen muchos motivos para aplicar un
muestreo.
3
Ventajas y desventajas del muestreo
Ventajas• Es menos costoso.• Hay un menor manejo
del producto.• Puede aplicarse en
pruebas destructivas.• A menudo reduce los
errores de inspección.
Desventajas• Existe el riesgo de
aceptar lotes “malos” y rechazar “buenos”.
• Se obtiene menos información.
• Se necesita planificación previa.
4
Tipos de planes de muestreo• En base al tipo de característica medida:
– Planes de muestreo por atributos.– Planes de muestreo por variables.
• En base al número de muestras tomadas:– Planes de muestreo simple.– Planes de muestreo doble.– Planes de muestreo múltiple.– Planes de muestreo secuencial.
5
Condiciones para el uso de inspección por muestreo
• Las condiciones de producción de las unidades que conforman los lotes deben ser homogéneas.
• Las muestras que se tomen deben ser aleatorias y representativas de todos los artículos del lote.
• Es preferible utilizar lotes grandes en lugar de lotes pequeños.
6
Aleatorización• Si se utilizan métodos de juicio para
seleccionar la muestra se pierde la base estadística del procedimiento.
• En el procedimiento de aleatorización se debe garantizar que todas las muestras tengan la misma probabilidad de ocurrencia.
• Suponemos conocido N tamaño del lote) y n (tamaño de la muestra).
7
Aleatorización en línea o secuencial
• Cuando los productos se reciben uno por uno, cada vez que se obtiene uno debe decidirse si entra en la muestra o no.
• La probabilidad de cada artículo entre en la muestra va a depender del número de artículos que ya han entrado en ella k, así como de n y N. De hecho,
1)muestra laen entre ésimo(
iN
kniP
8
• El algoritmo puede resumirse como
Inicializar k = 0.
Para todo i desde 1 hasta N,
Generar UUni(0,1).
Si U < (n - k)/(N - i + 1),
Escoger el i-esimo artículo para la muestra
Asignar k = k + 1.
en caso contrario
Descartar el i-esimo artículo de la muestra
9
Aleatorización fuera de línea• Otro algoritmo de aleatorización que es
bastante intuitivo cuando los productos se reciben en grupos corresponde a generar una variación al azar de los elementos del lote. Esto requiere tenerlos identificados (por serial, ubicación u otro código).
• Este mismo algoritmo puede adaptarse para generar una permutación al azar.
10
• Si asumimos que los identificadores están contenidos en el vector e el algoritmo es
Para todo i desde 1 hasta n,
Generar UUni(0,1).
Asignar s = N - i + 1.
Asignar k = sU + 1.
Escoger e(k) como miembro de la muestra.
Intercambiar los contenidos de e(k) y e(s).
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Muestreo simple por atributos
• Este tipo de planes son los difundidos en la práctica comercial ya que son a la vez versátiles y sencillos de aplicar.
• Para definir un plan de muestreo simple por atributos es necesario fijar dos parámetros: el tamaño de la muestra n y el número de aceptación c. Cualquier lote que presente una muestra con más de c unidades disconformes es rechazado.
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Modelos probabilísticos en el muestreo por atributos
• El valor de la variable aleatoria C, número de piezas defectuosas contenido en una muestra de una población viene dado por una distribución hipergeométrica
donde p es la proporción de disconformes en el lote (punto de vista del consumidor).
n
N
cn
Np
c
pN
cCP
)1(
)(
13
• Cuando el tamaño del lote N es grande respecto al tamaño de la muestra n, la distribución puede aproximarse por una binomial.
• La misma distribución es exacta cuando consideramos el proceso desde el punto de vista del productor.
cnc ppc
ncCP
)1()(
14
Curvas características de operación
• Las curvas CO muestran la probabilidad de aceptación del lote como función de la fracción defectuosa contenida en este.
• A cada plan de muestreo (o sea, a cada par de valores n y c) le corresponde una curva CO distinta.
• Usualmente, la elección de un plan se basa en su curva CO.
15
Proporcion de defetos en el lote
Pro
ba
bili
da
d d
e a
cep
taci
on
de
l lo
te
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
• Por ejemplo, la curva CO para el plan con N = 1000, n = 89 y c = 2 es
16
• Suele distinguirse entre curvas CO de tipo
A o curvas CO del consumidor cuando las
mismas se construyen a partir de la
distribución hipergeométrica y curvas CO
tipo B o curvas CO del productor cuando
las mismas se construyen a partir de la
distribución binomial.
17
Proporcion de defetos en el lote
Pro
ba
bili
da
d d
e a
cep
taci
on
de
l lo
te
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
N=100N=Infinito
• Curvas CO tipo A y B para n = 25 y c = 0.
18
• Como la diferencia entre las curvas mostradas es pequeña, en la práctica los planes se diseñan basándose las curvas tipo B. Estos permite diseñar los planes independientemente del tamaño del lote.
• Sin embargo debe recordarse que para el consumidor esto es una aproximación cuya validez debe verificarse en cada caso.
19
• Curvas CO con relación n/N fija y c = 0.
Proporcion de defetos en el lote
Pro
ba
bili
da
d d
e a
cep
taci
on
de
l lo
te
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
N = 50,n = 5N = 100,n = 10N = 200,n = 20N = 1000,n = 100
20
Diseño de planes de muestreo
• El diseño clásico de planes de muestreo se basa en la especificación de algunos puntos dentro de la curva CO.– NCA: nivel de calidad aceptable, es el peor
nivel de calidad que el consumidor considera aceptable como media del proceso.
: riesgo del productor, es la probabilidad de que el plan rechace un lote con una proporción defectuosa igual al NCA. Se desea que sea bajo para proteger al productor.
21
– NCA: nivel de calidad aceptable, es el peor
nivel de calidad que el consumidor considera
aceptable en un lote individual.
: riesgo del consumidor, es la probabilidad
de que el plan acepte un lote con una
proporción defectuosa igual al PTDL
(Porcentaje defectuoso tolerable por lote).
Se desea que su valor sea pequeño ya que
se trata del tope aceptable por el consumidor.
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• Una vez que se fijan estos cuatro valores la curva característica está determinada en forma única y por tanto el plan de muestreo también. Para obtener n y c hay que resolver las ecuaciones:
c
d
dnd
c
d
dnd
PTDLPTDLdnd
n
NCANCAdnd
n
0
0
)1()!(!
!
)1()!(!
!1
23
• Si NCA < PTDL y < 1 - , este par de ecuaciones siempre tienen solución (aunque no en forma explícita). Sin embargo, dependiendo de cómo se fijen los parámetros anteriores es posible que el plan sea irrealizable en la práctica.
• En general mientras más cercanos sean el NCA y el PTDL mayor será el tamaño de la muestra n y, por tanto, más complejo el plan.
• En la práctica para resolver estas
ecuaciones se utiliza el nomograma.
• Por ejemplo para: 1- α = 0.95
NCA = p1=0.01, β= 0.10
PTDL = p2=0.06
Del nomograma se obtiene n = 89 y c = 2.
25
Planes de muestreo dobles por atributos
• En estos planes la decisión tras observar
la primera muestra tomada del lote puede
ser aceptarlo, rechazarlo o tomar una
segunda muestra. Si esto último se
decide entonces la aceptación o el
rechazo se basan en la información
proveniente de ambas muestras.
26
• Así pues, para determinar un plan de
muestreo doble es necesario fijar cuatro
valores: el tamaño de la primera muestra
(n1), el número de aceptación de la
primera muestra (c1), el tamaño de la
segunda muestra (n2) y el número de
aceptación para ambas muestras
combinadas (c2).
27
• Si llamamos di al número de defectos en la i-ésima muestra podemos resumir así:
¿ d1 c1? ¿ d1 > c2?
¿ d1 + d2 c2?
Tomar muestrade tamaño n1
Tomar muestrade tamaño n2
Aceptar lote Rechazar lote
Rechazar lote
Aceptar loteSI SI
SI
NO
NONO
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• Dos ventajas de estos planes son:– Cuando se utiliza reducción en la segunda
muestra pueden haber ahorros importantes.– Sicológicamente son más fáciles de aceptar
ya que estos planes le dan al lote una segunda oportunidad.
• La principal desventaja de los planes dobles es que requieren mayor planificación previa.
29
Curvas CO para planes de muestreo dobles
• El cálculo de las curvas CO es ahora más complejo. Llamando Xi al número de disconformes en la i-ésima muestra (i = 1,2) entonces Pa, la probabilidad de aceptación del lote, es:
2
1
21
2
1
021
01
22111
21122121111
)()()(
)()()(
)|()()(
c
cd
dc
s
c
d
c
cd
a
sXPdXPdXP
dcXPdXPcXP
cXccXXPcXcPcXPP
30
• Igualmente existen curvas tipo A (cuando se usa la distribución hipergeométrica
para las Xi) o tipo B (cuando se usa la
distribución binomial).
• Muchas veces se incluye también una curva CO para la primera y para la segunda muestras por separado, las cuales se hayan de la misma forma que se hizo en los planes simples.
31
• Por ejemplo, para el plan n1 = 50, c1 = 1, n2 = 100, c2 = 3 las curvas tipo B son:
Proporcion disconforme en el lote
Pro
ba
bili
da
d d
e a
cep
taci
on
0.0 0.05 0.10 0.15
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
Prob. acep. combinadaProb. acep. 1° muestraProb. rech. 1° muestra (derecha)
32
• Es importante destacar que la probabilidad
de aceptación y rechazo en la primera
muestra no suman 1, ya que se le da
oportunidad a tomar una segunda muestra.
• El diseño en este caso también se hace
especificando NCA, , PTDL y . Sin
embargo la solución de las ecuaciones es
en este caso más complicado.
• Si suponemos que n2 es múltiplo de n1, se pueden utilizar las tablas de Grubbs para diseñar los planes de muestreo dobles.
• Ver ejemplo en clase.
34
Curvas del número muestral medio
• Es importante conocer cual es el número promedio de inspecciones que se van a realizar bajo el plan de muestreo doble, como función del verdadera proporción disconforme en lote. Si las dos muestras se toman completamente, el cálculo es muy sencillo a partir de las curvas CO:
)( 1121 cXPnnNMM
35
• Sin embargo, cuando se utiliza reducción
(es decir, si se interrumpe la toma de la
segunda muestra cuando el total de
disconformes supera a c2) el número
muestral medio es menor y el cálculo es
más engorroso.
• Note que la reducción podría utilizarse
también en planes de muestreo simple.
Planes de muestreo Múltiples
• Es una extensión del muestreo doble, donde se pueden utilizar varias muestras para juzgar un lote. Si en este plan al terminar cualquier etapa, el número de artículos defectuosos es menor o igual al número de aceptación, se aceptará el lote. Si el número de defectuosos es mayor o igual al número de rechazo se descartará el lote. En otro caso se tomará la siguiente muestra.
37
Norma MIL-STD-105D (ANSI/ASQC Z1.4)
• Es una norma militar publicada en 1963.
• Presenta planes de muestreo simples, dobles y múltiples.
• Está basado en el NAC.
• Se puede utilizar para controlar la proporción de defectos o el número de defectos por unidad.
38
• Determinar el nivel de inspección, el cual
está relacionado con el tamaño muestral.
Usualmente se utiliza el nivel II pero el
nivel III se usa cuando el costo de
inspección es bajo y el nivel I cuando el
costo es alto. Los planes especiales se
utilizan con ensayos son destructivos, en
los cuales se desean tamaños mínimos.
• Determinar el tamaño del lote.
40
• Elegir el número de muestras del plan de muestreo: simple, doble o múltiple.
• Elegir el NAC (en porcentaje).
• Seleccionar el tipo de inspección (normal, reducida o severa). El plan contiene reglas para saltar entre los distintos planes.
• Usando el NAC y la letra código determinar el plan a partir de las tablas.
41
Reducida Normal Severa
Se aceptan 5lotes consecutivos
Se rechazan 2 de 5lotes consecutivos
Se aceptan 10lotes consecutivos
Se rechaza 1 lote ola producción es irregular
Inicio
10 lotesconsecutivos
bajoinspecdión
estrictaInterrupcción
CAMBIO DE NIVEL DE INSPECCIÓN
43
• Si en la posición correspondiente no se
encuentra ningún plan, seguir la flecha
hasta encontrar uno. Se debe tomar
entonces el nuevo tamaño muestral y el
nuevo número de aceptación.
• Si tamaño muestral es mayor que el del
lote, realice inspección al 100%.
44
• Ejemplo : Suponga que se espera recibir
lotes de 2.000 de un proveedor nuevo, y
que la gerencia ha decido soportar un
NAC de 0.1%. Le piden que determine un
plan de muestreo para investigar la
calidad de los artículos del proveedor.
Tome en cuenta que la inspección de este
tipo de productos es muy fácil y barata.
45
Para obtener la letra código del plan
necesitamos el tamaño del lote N (el cual
conocemos) y el nivel de inspección.
Como la inspección de estos artículos es
sencilla y barato, podemos utilizar un nivel
de inspección III, lo cual implica que el
tamaño de nuestras muestras n va a ser
un poco más grandes que con cualquier
otra alternativa.
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Una vez que obtenemos la letra código L, lo único que necesitamos es determinar el nivel de inspección. Como se trata de un nuevo proveedor, escogemos un nivel normal. Entrando en la tabla correspondiente, con un NAC de 0.1 y la la letra código L, el plan de muestreo simple correspondiente es n = 150 y c = 0 (como no hay plan, se sigue la flecha)
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Inspección rectificadora• Cuando un lote es rechazado por el plan
de muestreo lo más común es que este sea inspeccionado al 100% (bien sea por el productor o por el consumidor). En ese caso los artículos disconformes son eliminados o reemplazados, de modo que la proporción disconforme de estos lotes es cero.
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• El esquema de inspección en este caso se puede resumir en el siguiente gráfico
Lotesentrantes
Lotesaceptados
Lotesrechazados
Inspecciónal 100%
Lotessalientes
p = p0
p = 0
p = p0 p < p0
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• Es importante conocer cual la calidad promedio de los lotes una vez que se ha realizado la depuración de los rechazados. Esto se conoce como la calidad media de salida (CMS) y se calcula como
donde p es la fracción defectuosa y Pa es la probabilidad de aceptar el lote.
pPN
nNpPCMS a
a )(
50
• La curva CMS para un plan de muestreo simple con n = 89 y c = 2 es:
Proporcion de defetos en el lote
Ca
lida
d m
ed
ia d
e s
alid
a (
CM
S)
0.0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
0.0
0.0
05
0.0
10
0.0
15
51
• Otra característica importante de los planes de muestreo rectificativo es el número de artículos inspeccionados en el lote. A esto se le conoce como la inspección total media (ITM) y viene dado por:
))(1( nNPnITM a