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A.Morillas: Muestreo 1

MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS

Antonio MorillasAntonio MorillasAntonio MorillasAntonio Morillas


MUESTREO EN POBLACIONES FINITAS

1. Conceptos estadísticos básicos

2. Etapas en el muestreo

3. Tipos de error

4. Métodos de muestreo

5. Tamaño de la muestra e inferencia

6. Muestreo en poblaciones finitas

6.1 Muestreo aleatorio simple

6.2 Muestreo aleatorio estratificado


INTRODUCCIÓN

• Dos aspectos básicos de la inferencia estadística, no vistos aún:

� Proceso de selección de la muestra:

� Tamaño adecuado en poblaciones finitas:

Métodos de muestreo

Fiabilidad y coste


ETAPAS EN EL MUESTREO. ESQUEMA

1.Definir la INFORMACIÓN que se necesita

2. Determinar la POBLACIÓN y ver

LISTADO

3. MÉTODO de muestreo y TAMAÑO de la muestra

4. Cuestionario: NO RESPUESTA y garantizar FIABILIDAD (DISEÑO)

6. Conclusiones sobre la POBLACIÓN

5. Uso de la muestra para INFERENCIA


TIPOS DE ERROR

• Debidos al muestreo �� incertidumbre

• Ajenos al muestreo:

1. Definición incorrecta de la población

2. Respuestas falsas o imprecisas

3. Falta de respuesta �� posible sesgo

4. Sesgo en la selección elementos muestrales

5. Errores de manipulación, tabulación y cálculo

• No hay un criterio general para evitarlos y/o analizarlos �� minimizarlos


MÉTODOS DE MUESTREO

• Muestreo aleatorio:• Unidad muestral elemental:

• a.1) muestreo aleatorio simple• a.2) muestreo aleatorio sistemático• a.3) muestreo aleatorio estratificado

• Unidad muestral grupo:• b.1) muestreo por áreas y conglomerados• b.2) muestreo por etapas

• Muestreo no aleatorio y semialeatorio:• En general, no “científico”; no estudia precisión:

• c.1) por cuotas• c.2) de juicio u opinión


MUESTREO ALEATORIO SIMPLE

• Sirve de base a los demás métodos

• Es el más sencillo desde el punto de vista teórico

• Todos los elementos muestrales se tratan como iguales

• La selección es sin reposición

• Todas las muestras posibles son igualmente probables

• Cuando N es muy grande su coste es muy alto


MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

• Se necesita un listado ordenado de los elementos

• El orden no debe afectar a la aleatoriedad �� sesgo

• Se selecciona al azar el primer elemento muestral (k)

menor que p=N/n �� n grupos o clases de p elementos.

• Elegido éste, los demás se obtienen sumándole p al

anterior: k+p, k+2p,...

• El método garantiza que aparezcan elementos de todas

las clases, por lo que puede generar muestras más

representativas que el muestreo aleatorio simple


MUESTREO ALEATORIO SISTEMÁTICO

(N/n)=p

N = tamaño población

n = tamaño muestraListado

k<p

k+p k+2p1 Nk+3p

El orden no debe afectar a la aleatoriedad


MUESTREO ESTRATIFICADO

En ocasiones es indispensable agrupar los elementos de

la población en clases o estratos, que han de ser:

• Homogéneos en sus elementos

• Heterogéneos entre sí

Dentro de cada estrato se aplicará un muestreo aleatorio

simple o sistemático

Mejor información. Reduce errores y costes


MUESTREO POR CONGLOMERADOS

• Conglomerado: grupo de elementos de la población

• La unidad de muestreo es el conglomerado

• Se seleccionan aleatoriamente cierto número de

conglomerados y se investigan todos sus elementos

• Características: homogeneidad entre conglomerados;

heterogeneidad dentro de cada conglomerado

• Se reduce problema de listado (solo para unidades

seleccionadas), no es necesario saber tamaño población,

entrevistas dentro del grupo (conglomerado)�� menos

costoso


MUESTREO POR ETAPAS

• Generalización del muestreo por conglomerados

• Suele hacerse descendiendo de conglomerados más grandes a más pequeños:

• En cada etapa se aplica el muestreo aleatorio, sistemático o estratificado

• Objetivo: Reducir al mínimo el coste del listado

Provincia �� Municipio �� Barrio �� Edificio �� Familia


VENTAJAS E INCONVENIENTESMUESTREO ALEATORIO SIMPLE

• Requiere que se

posea de antemano un

listado completo de

toda la población.

• Coste.

Sencillo y de

fácil

comprensión.

• Se selecciona una

muestra de tamaño n de

una población de N

unidades.

• Cada elemento tiene

una probabilidad de

inclusión igual y

conocida de n/N.

INCONVENIENTESVENTAJASCARACTERISTICAS


VENTAJAS E INCONVENIENTESMUESTREO SISTEMÁTICO

Si la constante de

muestreo está asociada

con el fenómeno de

interés, las

estimaciones obtenidas

a partir de la muestra

pueden contener sesgo

de selección

• Fácil de aplicar.

• Cuando la

población está

ordenada,

asegura una

cobertura de

unidades de

todos los tipos.

• Conseguir un listado de

los N elementos de la

población.

• Determinar p= N/n.

• Elegir un número

aleatorio, k, entre 1 y p

(k= arranque aleatorio).

• Seleccionar los

elementos de la lista.



VENTAJAS E INCONVENIENTESMUESTREO ESTRATIFICADO

• Se ha de conocer la

distribución en la

población de las

variables utilizadas

para la estratificación.

• Tiende a

asegurar muestra

adecuada a la

población.

• Estimaciones

más precisas.

• Muestra más

semejante a la

población

(variables

estratificadoras).

• Estratifica la muestra

según ciertas variables

de interés.

• Para ello debemos

conocer la composición

estratificada de la

población objetivo.

• El tamaño muestral se

reparte entre los distintos

estratos definidos en la

población, según ciertos

criterios.



VENTAJAS E INCONVENIENTESMUESTREO CONGLOMERADOS-ETAPAS

• El error estándar es

mayor que en el

muestreo aleatorio

simple o estratificado.

• El cálculo del error

estándar es complejo.

• Es muy

eficiente

cuando la

población es

muy grande y

dispersa.

• No es preciso

tener un

listado de toda

la población.

• Menor coste.

• Se seleccionan

aleatoriamente cierto

número de conglomerados.

• Se investigan todos los

elementos de cada uno de

ellos.

• Se realizan varias fases de

muestreo sucesivas, de más

grandes a más pequeños

(embudo)



TAMAÑO MUESTRAL E INFERENCIA

La muestra debe reproducir las características de la

población.

Hay dos cuestiones básicas:

- Cantidad de elementos de la muestra

- Generalización de sus resultados a la población

Ambas cosas, tamaño muestral y métodos de inferencia,

están relacionadas con la precisión de las estimaciones.


ERROR E INTERVALO DE CONFIANZACASO DE LA MEDIA

xε µ= −

1 / 2 1 / 2

1 / 2

x x

x x

x z x z

x zn

α α

α

σ µ σ

σµ σ σ

− −

−

− ≤ ≤ +

− ≤ → =

1 / 2x zn

ασε µ −= − =

)1( α−

2/1 α−−Z 2/1 α−Z

2/α

N(0,1)

• Error:

• Intervalo de confianza (1-α):

(0,1)/

xZ N

n

µσ

−= →


TAMAÑO MUESTRAL PARA LA MEDIAPOBLACIONES INFINITAS

2

1 / 2

2

2

zn α σ

ε−=

Despejando de la última expresión, para un

nivel de confianza (1-α) y un error máximo

permitido de tamaño ε, se obtiene:

(para una confianza del 95,5% el percentil de Z vale 2)

24

2n

σε

→ =


TAMAÑO MUESTRAL PROPORCIÓNPOBLACIONES INFINITAS

2

p̂

pq

nσ =Recordemos que:

Error:

Despejando:

n máxima:

1 / 2ˆ

pqp p z

nαε −= − =

2

1 / 2 4

2 2

z pq pqn nα

ε ε−= → =

max

4 4 0,25 1

2 2 2

pqn

ε ε ε×= = =


ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

Una vez fijado el tamaño de la muestra:

• La mejor estimación por puntos del gasto medio

será la media de la muestra.

• La de la proporción, la observada en la muestra.

• Con ellas, y obtenida la varianza del estimador,

podremos construir los correspondientes

intervalos de confianza, que nos dan una idea de

la horquilla en que se mueve el verdadero valor

del parámetro.


ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 / 2 1 / 2

ˆ ˆ1 / 2 1 / 2

Media :

( )

Proporción :

ˆ ˆ ( )

x x

p p

x z x z

p z p p z

α α

α α

σ µ σ

σ σ

− −

− −

− ≤ ≤ +

− ≤ ≤ +


MUESTREO POBLACIONES FINITAS

• POBLACIÓN FINITA: el número de

elementos de la muestra puede llegar a ser una

proporción apreciable de los de la población.

•La precisión de la estimación sería superior, al estar mejor representada el conjunto de la

población.

•La varianza del estimador ha de corregirse por el

factor:

N -n

N -1


MUESTREO ALEATORIO SIMPLETAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA

• Error máximo permitido, al estimar µµµµ por la media muestral, para un nivel de confianza:

ε= z σ1-α/2 x

εσ =x z

1-α/2

• Luego fijar el error máximo permitido equivale a predeterminar la varianza del estimador (función de n), para un nivel de confianza dado - 100(1-αααα)% -

• El tamaño de la muestra puede calcularse a partir de cualquiera de estas dos expresiones )(ε , σ

x

ε∈µ (x± )


MUESTREO ALEATORIO SIMPLETAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA (CÁLCULO A)

• A partir de la varianza del estimador:

• Operando: 2x

σ 2 2 2n(N -1) =σ (N -n)=σ N -σ n

2x

σ 2 2n(N -1) +σ n=σ N

σ=

2 2Nz σ1-α/22 2 2(N -1)ε

2Nσ

n =2 2(N +z σ

1-α/1) σ

2- +

x

� σσσσ2 desconocida

� encuesta piloto

/=al hacer 2 2 2σ ε zx 1-α/2

2 N -nσ2σ =x N -1n


MUESTREO ALEATORIO SIMPLETAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA (CÁLCULO B)

2 2 2ε = z σ1-α/2 x

• Elevando el error al cuadrado:

2σ (N -n)2 2ε = z1-α/2 n (N -1)

• Introduciendo la varianza del estimador:

• Operando: 2 2 2 2 2 2 2n(N -1)ε = z σ (N -n)= z σ N -z σ n1-α/2 1-α/2 1-α/2

2 2 2 2 2n(N -1)ε + z σ n= z σ N1-α/2 1-α/2

σ=

2 2Nz σ1-α/2n=2 2 2

(N -1)ε +z σ1-

2Nσ

2 2(N -1)

α x2+σ

/

� σσσσ2 desconocida

� encuesta piloto

al hacer 2 2 2ε = z σ1-α/2 x


MUESTREO ALEATORIO SIMPLEINFERENCIA SOBRE LA MEDIA

Estimación por puntos:

Estimación por intervalos:

En poblaciones finitas:

Como σσσσ2 es desconocida se estima mediante:

Haciendo operaciones ��

Para utilizar la normal, n será suficientemente grande.

Si n es pequeña y se supone normalidad �� t de Student

∑n1x= xini=1

ˆ∈µ (x±z σ )x1-α/2

2σx

N -n2σ2σn N 1

=-x

ˆ N -12sN

ˆˆ

2s (N -n)2σ =

x n N

�� desconocida

�� factor de corrección

�� insesgado


MUESTREO ALEATORIO SIMPLETAMAÑO DE LA MUESTRA: PROPORCIÓN

• Varianza del estimador:

ˆ

pq N -n2σ =p n N -1

ˆ

2Nz pq

1-αNpqn= /2

2 2(N -1)

=2

(N -1)σ + pq ε +z pq1-αp /2

ˆ

al hacer2

ε2σ =p 2

z1-α/2• Como p no se conoce, o se estima o nmax :

ˆ

20,25Nz

1-α0,25Nn = =max 2

(

/22 2

(N -1)ε +0,N - 251)σ +0,25 z1-α/2p


MUESTREO ALEATORIO SIMPLEINFERENCIA SOBRE LA PROPORCIÓN



ˆ xp=n

ˆ ˆˆ

∈p (p±z σ )1-α/2 p

ˆ ˆˆˆ

pq (N -n)2σ =p (n-1) N

x = número de observaciones con la característica estudiada

ˆ

pq N -n2σ =p n N -1

ˆ ˆpq (N -1)

(n-1) N


MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO

Población dividida en K estratos: N1+ N2 +.....+ NK = N

Tamaños muestrales de los estratos: n1+ n2 +.....+ nK= n

Medias poblacionales de los estratos: µµµµ1 µµµµ2 ......... µµµµK

Medias muestrales de los estratos: ......

Proporciones muestrales en estratos: …..

En cada estrato se hace un muestreo aleatorio simple:

• Estimadores insesgados (µµµµi, pi):

• Estimadores insesgados de la variancia de y :

ˆ )ˆ

2s (N -ni i i2σ =

x n Ni i i

xi

p̂1

p̂2

p̂K

p̂i

ˆ ˆ ( - )2ˆˆ ( -1)

p q N ni i i i

p n Ni i i

σ =

x1

x2

xK

xi

p̂i


DISTRIBUCIÓN DE LA MUESTRA ENTRE ESTRATOS-1

• No hay una respuesta única

• Criterios de asignación (afijación):

1. Uniforme: todos igual; poco sentido real.

2. Proporcional: La proporción de elementos de la

población en cada estrato se aplica a la muestra:

N ni i=

N n

Nin = n

i N


DISTRIBUCIÓN DE LA MUESTRA ENTRE ESTRATOS-2

3. Óptima: Pondera el criterio anterior con las varianzas de los respectivos estratos, asignando más observaciones a los estratos con mayor varianza poblacional. Es el más deseable si el objetivo único es la precisión en la estimación:

∑

N σi in = n

i KN σi i

i=1

∑

N p qi i i n = n

i KN p qi i i

i=1

Media y total:

Proporción:

�� σσσσ , encuesta piloto

�� n máxima


MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADOTAMAÑO DE LA MUESTRA: MEDIA

Asignación proporcional:

∑

∑

K2

N σi i 2

εi=1 2n= ; con σ =xK 21 z2 2 1-α/2Nσ + N σ

x i iN i=1

Asignación óptima: ∑

∑

2K1

N σi i 2N εi=1 2n= ; con σ =

xK 21 z2 2 1-α/2Nσ + N σx i iN i=1

Denom. de ni


MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADOTAMAÑO DE LA MUESTRA: PROPORCIÓN

Asignación proporcional:

Asignación óptima:

ˆ

ˆ

∑

∑

KN p qi i i 2εi=1 2n= ; con σ =

pK 21 z2 α/2Nσ + N p qp i i iN i=1

ˆ

ˆ

∑

∑

2K1

N p qi i i 2N εi=1 2n= ; con σ =

pK 21 z2 α/2Nσ + N p qp i iN i=1


MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADOINFERENCIA SOBRE LA MEDIA


K1µ= N µ

i iN i=1∑ ∑

K1x= N x

i iN i=1


ˆµ (x±z σ )1-α/2 x

∈ ˆ ˆ∑K1 22 2σ = N σ

ix x2 iN i=1


MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADOINFERENCIA SOBRE LA PROPORCIÓN

Proporciones poblacionales de los estratos:

Proporciones muestrales de los estratos: ˆ ˆ ˆ, , .... p p p1 2 K

, , .... p p p1 2 K



K1p= N p

i iN i=1∑ ˆ ˆ∑

K1p= N p

i iN i=1

ˆ ˆˆ

p (p±z σ )1-α/2 p

∈ ˆ ˆˆ ˆ∑

K1 22 2σ = N σip p2 iN i=1

ˆ ˆ )ˆˆ

p q (N -ni i i i2σ =

p (n -1) Ni i i

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